Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án - Đề 4
11 câu hỏi
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{x}{{x - 3}} = \frac{{5x}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) là
\[x \ne - 2;{\rm{ }}x \ne 3\].
\[x \ne 2;{\rm{ }}x \ne --3\].
\[x \ne - 3;{\rm{ }}x \ne --2\].
\[x \ne 0;{\rm{ }}x \ne 3\].
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{x}{{x - 3}} = \frac{{5x}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) là \(x - 3 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\) hay \[x \ne - 2\] và \[x \ne 3\].
Phương trình \(0x + 7y = 14\) có nghiệm tổng quát là
\(\left( {x;\,\,2} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\).
\(\left( {2;\,\,y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\).
\(\left( {x;\,\,0} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\).
\(\left( {0;\,\,y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: A
Từ phương trình \(0x + 7y = 14\) ta có \(7y = 14\) suy ra \(y = 2\).
Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là \(\left( {x;\,\,2} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\).
Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc nhọn bất kì thỏa mãn \[\alpha + \beta = 90^\circ \] và \[\sin \alpha = 0,5.\] Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[\sin \beta = 0,5.\]
\[\cos \beta = 0,5.\]
\[\tan \beta = 0,5.\]
\[\cot \beta = 0,5.\]
Đáp án đúng là: B
Do \[\alpha + \beta = 90^\circ \] nên \[\cos \beta = \sin \alpha = 0,5.\]
Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\). Khi đó \(\sin \widehat {HAC}\) bằng
\(\frac{{AH}}{{AC}}\).
\(\frac{{AH}}{{HC}}\).
\(\frac{{AB}}{{BC}}\).
\(\frac{{AC}}{{BC}}\).
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta HAC\) vuông tại \(H\) ta có: \(\sin \widehat {HAC} = \frac{{HC}}{{AC}}\). Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}\). Mà \(\widehat {HAC} + \widehat {C\,} = 90^\circ \) và \(\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ \) nên \(\sin \widehat {HAC} = \sin B = \frac{{AC}}{{BC}}\) |
|
Vậy ta chọn phương án D.
Cho ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) và \(a \le b.\)
a) \(a + c \le b + c.\)
b) \(ac \ge bc\) với \(c > 0.\)
c) \( - \frac{a}{c} \ge - \frac{b}{c}\) với \(c < 0.\)
d) \({a^2} \le {b^2}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đ;b) S;c) S; d) S.
Với \(a \le b,\) ta có:
⦁ \(a + c \le b + c.\) Do đó ý a) là đúng.
⦁ \(ac \le bc\) với \(c > 0.\) Do đó ý b) là sai.
⦁ \(\frac{a}{c} \ge \frac{b}{c}\) với \(c < 0,\) nên \( - \frac{a}{c} \le - \frac{b}{c}.\) Do đó ý c) là sai.
⦁ \(a - b \le 0\)
Chẳng hạn nếu \(a + b \le 0\) thì \(\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) \ge 0\) hay \({a^2} - {b^2} \ge 0\) nên \({a^2} \ge {b^2}.\)
Do đó ý d) là sai.
Gọi \(\left( {x;\,\,y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right..\] Bạn An sau khi giải hệ phương trình thì viết được hệ thức \(y = ax.\) Tìm \(a.\)
Hướng dẫn giải
Đáp số: \(a = 13.\)
Từ phương trình \[2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\] ta được \[2x + 2y + 3x - 3y = 4\] hay \[5x - y = 4.\]
Từ phương trình \[\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\] ta được \[x + y + 2x - 2y = 5\] hay \[3x - y = 5\].
Theo bài, \(y = ax\) nên ta có \( - \frac{{13}}{2} = a \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right)\), suy ra \(a = 13.\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5{\rm{\;cm}},\,\,BC = 12{\rm{\;cm}}\) và \(CA = 13{\rm{\;cm}}.\) Tính số đo góc \(C\) (làm tròn kết quả đến phút).
Hướng dẫn giải
Đáp số: \(\widehat {C\,} \approx 22^\circ 37'.\)
Xét \(\Delta ABC\) có \(A{B^2} + B{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169\);
\(C{A^2} = {13^2} = 169.\)
Do đó \(A{B^2} + B{C^2} = C{A^2},\) nên theo định lí Pythagore đảo ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \(B.\)
Khi đó, ta có: \[\sin C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{{13}}.\]
Sử dụng MTCT, ta bấm lần lượt các phím:
Trên màn hình cho kết quả \(22^\circ 37'11.51'',\) làm tròn đến phút ta được \(22^\circ 37'.\)
(2,5 điểm)
1. Giải các phương trình sau:
a) \(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0.\)
b) \(\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}.\)
2. Giải các bất phương trình sau:
a) \(\frac{{3 - 2x}}{2} > 4\).
b) \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) < {\left( {x + 2} \right)^2} + 3\).
c) \[\frac{{4x - 1}}{2} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{9x - 11}}{3}.\]
Hướng dẫn giải
1. a) \(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0\) \(\frac{2}{3}x + 6 = 0\) hoặc \(8 - 2x = 0\) \(\frac{2}{3}x = - 6\) hoặc \(2x = 8\) \(x = - 9\) hoặc \(x = 4\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 9;\) \(x = 4\). | 1. b) Điều kiện xác định \(x \ne 0;\,\,x \ne 3.\) \(\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}\) \(\frac{{\left( {x + 3} \right)x}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{3}{{x\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}}\) \(\left( {x + 3} \right)x = 3 + x - 3\) \({x^2} + 3x = 3 + x - 3\) \({x^2} + 2x = 0\) \(x\left( {x + 2} \right) = 0\) \(x = 0\) hoặc \(x + 2 = 0\) \(x = 0\) (không thỏa mãn) hoặc \(x = - 2\) (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là \(x = - 2\). |
2. a) \(\frac{{3 - 2x}}{2} > 4\) \(\frac{{3 - 2x}}{2} \cdot 2 > 4 \cdot 2\) \(3 - 2x > 8\) \( - 2x > 5\) \(x < - \frac{5}{2}\). Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x < - \frac{5}{2}\). 2. b) \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) < {\left( {x + 2} \right)^2} + 3\) \({x^2} - 9 < {x^2} + 4x + 4 + 3\) \({x^2} - {x^2} - 4x < 4 + 3 + 9\) \[ - 4x < 16\] \[x > - 4\]. | 2. c) \[\frac{{4x - 1}}{2} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{9x - 11}}{3}\] \[\frac{{3\left( {4x - 1} \right)}}{6} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{2\left( {9x - 11} \right)}}{6}\] \[3\left( {4x - 1} \right) + 6x - 19 \ge 2\left( {9x - 11} \right)\] \[12x - 3 + 6x - 19 \ge 18x - 22\] \[12x + 6x - 18x \ge - 22 + 3 + 19\] \[0x \ge 0\]. Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x \in \mathbb{R}.\) |
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x < - \frac{5}{2}\).
(2,0 điểm)
1. Tìm các hệ số \(x\) và \(y\) trong phản ứng hóa học đã được cân bằng sau:
\(x{\rm{FeO}} + y{{\rm{O}}_2}\mathop \to \limits^{{\rm{t}}^\circ } 2{\rm{F}}{{\rm{e}}_3}{{\rm{O}}_4}.\)
Từ đó, hãy hoàn thiện phương trình phản ứng hóa học sau khi được cân bằng.
2. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
Gen B có \(3\,\,600\) liên kết hydrogen và có hiệu giữa nucleotide loại \[T\] với loại nucleotide không bổ sung với nó là \(300\) nucleotide. Tính số nucleotide từng loại của gen B. Biết rằng, để tính số lượng nucleotide \[\left( {A,{\rm{ }}T,{\rm{ }}G,{\rm{ }}C} \right)\] trong phân tử DNA, ta áp dụng nguyên tắc bổ sung: “\[A\] liên kết với \[T\] bằng 2 liên kết hydrogen và \[G\] liên kết với \[C\] bằng 3 liên kết hydrogen” và \(\% A = \% T,\,\,\% G = \% C.\) Tổng số nucleotide trong gen:
\(N = A + T + G + C = 2A + 2G = 2T + 2C.\)
Hướng dẫn giải
1. Vì số nguyên tử của \({\rm{Fe}}\) và \({\rm{O}}\) ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 \cdot 3\\x + 2y = 2 \cdot 4\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\x + 2y = 8.\end{array} \right.\)
Thay \(x = 6\) vào phương trình \(x + 2y = 8,\) ta được:
\(6 + 2y = 8,\) suy ra \(2y = 2,\) nên \(y = 1.\)
Vậy \(x = 6\) và \(y = 1.\) Khi đó ta hoàn thiện phương trình phản ứng hóa học sau cân bằng như sau:
\({\rm{6FeO}} + {{\rm{O}}_2}\mathop \to \limits^{{\rm{t}}^\circ } 2{\rm{F}}{{\rm{e}}_3}{{\rm{O}}_4}.\)
2. Theo bài, hiệu giữa nucleotide loại T với loại nucleotide không bổ sung với nó là \(300\) nucleotide nên ta có phương trình: \(T - G = 300\). (1)
Theo nguyên tắc bổ sung: “\[A\] liên kết với \[T\] bằng 2 liên kết hydrogen và \[G\] liên kết với \[C\] bằng 3 liên kết hydrogen” và theo bài, gen B có \(3\,\,600\) liên kết hydrogen nên ta có phương trình \(2T + 3G = 3\,\,600\). (2)
Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}T - G = 300\\2T + 3G = 3\,\,600\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3T - 3G = 900\\2T + 3G = 3\,\,600\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta được: \(5T = 4\,500,\) suy ra \(T = 900\).
Thay \(T = 900\) vào phương trình \(T - G = 300\), ta được: \(900 - G = 300,\) suy ra \(G = 600.\)
Vậy số nucleotide từng loại gen B là: \(G = C = 600\) và \(A = T = 900\).
(2,5 điểm)
1. Cho tam giác \(OPQ\) vuông tại \(O\) có \(\widehat {Q\,} = 35^\circ \) và \(OQ = 10{\rm{ cm}}{\rm{.}}\) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác \(OPQ\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm đối với đơn vị của cm).
2. Một chiếc thang \(AC\) được dựng vào một bức tường thẳng đứng (hình vẽ).
– Ban đầu khoảng cách từ chân thang đến tường là \(BC = 1,3{\rm{\;m}}\) và góc tạo bởi thang và phương nằm ngang là \(\widehat {ACB} = 66^\circ \).
– Sau đó, đầu \(A\) của thang bị trượt xuống \(40{\rm{\;cm}}\) đến vị trí \(D.\) Khi đó, góc \(DEB\) tạo bởi thang và phương nằm ngang bằng bao nhiêu (Kết quả số đo góc làm tròn đến phút)?
Hướng dẫn giải
a) Xét tam giác \(OPQ\) vuông tại \(O\), ta có:
⦁ \(OQ = OQ \cdot \tan Q = 10 \cdot \tan 35^\circ \approx 7,00{\rm{\;(cm}});\)
⦁ \(OQ = PQ \cdot \cos Q\)
Suy ra \(PQ = \frac{{OQ}}{{\cos Q}} = \frac{{10}}{{\cos 35^\circ }} \approx 12,21{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Vậy \(OQ \approx 7,00{\rm{\;cm}},\,\,PQ \approx 12,21{\rm{\;cm}}.\)
2. Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) ta có:
\(BC = AC \cdot \cos C\), suy ra \(AC = \frac{{BC}}{{\cos C}} = \frac{{1,3}}{{\cos 66^\circ }} \approx 3,20\) (m).
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) ta có: \(AB = BC \cdot \tan C = 1,3 \cdot \tan 66^\circ \approx 2,92\) (m).
Khi đầu \(A\) của thang bị trượt xuống \(40{\rm{\;cm}} = 0,4{\rm{\;m}}\) đến vị trí \(D\) thì \(DB = AB - AD \approx 2,92 - 0,4 = 2,52\) (m) và chiều dài thang là \(DE = AC \approx 3,20\) (m).
Xét \(\Delta BDE\) vuông tại \(B,\) ta có:
\(\sin \widehat {DEB} = \frac{{BD}}{{DE}} \approx \frac{{2,52}}{{3,2}} = 0,7875\), suy ra \(\widehat {DEB} \approx 51^\circ 57'.\)
(0,5 điểm) Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \[0^\circ < \alpha < 90^\circ .\] Chứng minh rằng: \[\frac{{\sin \alpha + \cos \alpha - 1}}{{1 - \cos \alpha }} = \frac{{2\cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha + 1}}.\]
Hướng dẫn giải
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {B\,} = \alpha \). Do \(\widehat {B\,}\) là góc nhọn nên \(0^\circ < \widehat {B\,} < 90^\circ \) hay \[0^\circ < \alpha < 90^\circ .\] Ta có: \(\sin \alpha = \frac{{AC}}{{BC}}\) và \(\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}}.\) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (định lí Pythagore). |
|
\[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {\left( {\frac{{AC}}{{BC}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2} = \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1.\]
Với \[0^\circ < \alpha < 90^\circ \] thì \[1 - \cos \alpha \ne 0\] và \[\sin \alpha - \cos \alpha + 1 \ne 0\].
Ta có: \[\frac{{\sin \alpha + \cos \alpha - 1}}{{1 - \cos \alpha }} - \frac{{2\cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha + 1}}\]
\[ = \frac{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha - 1} \right)\left( {\sin \alpha - \cos \alpha + 1} \right) - 2\cos \alpha \left( {1 - \cos \alpha } \right)}}{{\left( {1 - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha - \cos \alpha + 1} \right)}}\]
\[ = \frac{{\left[ {\sin \alpha + \left( {\cos \alpha - 1} \right)} \right]\left[ {\sin \alpha - \left( {\cos \alpha - 1} \right)} \right] - 2\cos \alpha \left( {1 - \cos \alpha } \right)}}{{\left( {1 - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha - \cos \alpha + 1} \right)}}\]
\[ = \frac{{{{\sin }^2}\alpha - {{\left( {\cos \alpha - 1} \right)}^2} - 2\cos \alpha + 2{{\cos }^2}\alpha }}{{\left( {1 - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha - \cos \alpha + 1} \right)}}\]
\[ = \frac{{{{\sin }^2}\alpha - \left( {{{\cos }^2}\alpha - 2\cos \alpha + 1} \right) - 2\cos \alpha + 2{{\cos }^2}\alpha }}{{\left( {1 - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha - \cos \alpha + 1} \right)}}\]
\[ = \frac{{{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha + 2\cos \alpha - 1 - 2\cos \alpha + 2{{\cos }^2}\alpha }}{{\left( {1 - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha - \cos \alpha + 1} \right)}}\]
\[ = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x - 1}}{{\left( {1 - \cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x + 1} \right)}}.\]
\[ = \frac{{1 - 1}}{{\left( {1 - \cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x + 1} \right)}} = 0\] (vì \[1 - \cos x \ne 0\] và \[\sin x - \cos x + 1 \ne 0)\]
Vậy \[\frac{{\sin x + \cos x - 1}}{{1 - \cos x}} = \frac{{2\cos x}}{{\sin x - \cos x + 1}}.\]
