Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án - Đề 2
13 câu hỏi
\[x \ne 4;{\rm{ }}x \ne - 3\].
\[x \ne 3;{\rm{ }}x \ne - 4\].
\[x \ne 3;{\rm{ }}x \ne 6\].
\[x \ne 0;{\rm{ }}x \ne - 3\].
Đáp án đúng là: B
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{1}{{x - 3}} - 3 = \frac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)}}\) là\[x - 3 \ne 0\] và \[x + 4 \ne 0,\] hay \[x \ne 3\]và\[x \ne - 4\].
số âm.
số dương.
số 0.
số tùy ý.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(a < b\) và \(ac > bc\) nên ta có \(c < 0\), tức \(c\) là số âm.
Vậy ta chọn phương án A.
\(\left( {2;\,\,3} \right)\).
\(\left( {3;\,\,2} \right)\).
\(\left( { - 3;\,\,2} \right)\).
\(\left( { - 2;\,\,3} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Cách 1. Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\x + 2y = 7.\end{array} \right.\)
Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:
Trên màn hình cho kết quả \(x = 3,\) ta bấm tiếp phím = màn hình cho kết quả \(y = 2.\)
Vậy cặp số \(\left( {3;\,\,2} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\x + 2y = 7.\end{array} \right.\)
Cách 2. Thay \(x = 2,\,\,y = 3\) vào hệ phương trình đã cho, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2 - 3 = - 1 \ne 1\\2 + 2 \cdot 3 = 8 \ne 7\end{array} \right..\)
Tương tự, thay giá trị của \(x\) và \(y\) lần lượt của các cặp số ở phương án B, C, D vào hệ phương trình đã cho, ta thấy chỉ có cặp số \(\left( {3;\,\,2} \right)\) là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.
Vậy cặp số \(\left( {3;\,\,2} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\x + 2y = 7.\end{array} \right.\)
Cách 3. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\x + 2y = 7.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ phương trình trên, ta được:
\(3y = 6\) nên \(y = 2.\)
Thay \(y = 2\) vào phương trình \(x - y = 1,\) ta được:
\(x - 2 = 1,\) suy ra \(x = 3.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {3;\,\,2} \right)\).
\(a > 40\).
\(a < 40\).
\(a \ge 40\).
\(a \le 40\).
Đáp án đúng là: D
Vận tốc tối đa mà xe máy đi trên quãng đường đó là \(40\) km/h nên ta có \(a \le 40\).
\(x < 5 - 1\).
\(x < - 5 + 1\).
\(x < - 5 - 1\).
\(x > 5 + 1\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \( - x - 1 > 5\)
\( - 5 - 1 > x\)
\(x < - 5 - 1\).
Vậy ta chọn phương án C.
\(\sin \alpha \).
\[\cos \alpha \].
\(\tan \alpha \).
\(\cot \alpha \).
Đáp án đúng là: A
![Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) và \(\widehat B = \alpha .\) Tỉ số \(\frac{{HA}}{{BA}}\) bằng: A. \(\sin \alpha \). B. \[\cos \alpha \]. C. \(\tan \alpha \). D. \(\cot \alpha \). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/10/blobid1-1727876680.png)
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \[H,\] ta có \(\frac{{AH}}{{AB}} = \sin B\) hay \(\frac{{HA}}{{BA}} = \sin \alpha \).
Vậy ta chọn phương án A.\(\frac{3}{4}\).
\(\frac{4}{3}\).
\(\frac{5}{3}\).
\(\frac{5}{4}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha = \frac{4}{3}.\)
\(1,33.\)
\(0,88.\)
\(0,68.\)
\(0,75.\)
1. Giải các phương trình sau:
a) \(\left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right) = 0.\) b) \(\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} + \frac{x}{{4 - x}} = \frac{{17x - 56}}{{16 - {x^2}}}.\)
2. Giải các bất phương trình sau:
a) \[3 \le \frac{{2x + 3}}{5}\]. b) \(3\left( {x - 2} \right) - 5 \ge 3\left( {2x - 1} \right).\) c) \[\frac{{2x + 4}}{3} - \frac{{4x - 7}}{{18}} > \frac{{2x - 5}}{9} - \frac{{2x - 1}}{{15}}.\]
1. a) \(\left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\) \(2 - x = 0\) hoặc \(x + 3 = 0\) \(x = 2\) hoặc \(x = - 3.\) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 2;\,\,x = - 3.\)
| 1. b) Điều kiện xác định: \(x \ne 4,\,\,x \ne - 4.\) \(\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} + \frac{x}{{4 - x}} = \frac{{17x - 56}}{{16 - {x^2}}}\) \(\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} - \frac{x}{{x - 4}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}\) \(\frac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}\) \(\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right) - x\left( {x + 4} \right) = - 17x + 56\) \(2{x^2} - 8x - 5x + 20 - {x^2} - 4x = - 17x + 56\) \({x^2} = 36\) \(x = 6\)(thõa mãn) hoặc \(x = - 6\) (thõa mãn). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 6;\,\,x = - 6.\) |
2. a) \(3 \le \frac{{2x + 3}}{5}\) \(3 \cdot 5 \le \frac{{2x + 3}}{5} \cdot 5\) \(15 \le 2x + 3\) \( - 2x \le 3 - 15\) \( - 2x \le - 12\) \(x \ge 6\). Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x \ge 6.\) 2. b) \(3\left( {x - 2} \right) - 5 \ge 3\left( {2x - 1} \right)\) \(3x - 6 - 5 \ge 6x - 3\) \(3x - 6x \ge - 3 + 5 + 6\) \( - 3x \ge 8\) \(x \le \frac{{ - 8}}{3}\). Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x \le \frac{{ - 8}}{3}\). | 2. c) \[\frac{{2x + 4}}{3} - \frac{{4x - 7}}{{18}} > \frac{{2x - 5}}{9} - \frac{{2x - 1}}{{15}}\] \[\frac{{30\left( {2x + 4} \right)}}{{90}} - \frac{{5\left( {4x - 7} \right)}}{{90}} > \frac{{10\left( {2x - 5} \right)}}{{90}} - \frac{{6\left( {2x - 1} \right)}}{{90}}\] \[30\left( {2x + 4} \right) - 5\left( {4x - 7} \right) > 10\left( {2x - 5} \right) - 6\left( {2x - 1} \right)\] \[60x + 120 - 20x + 35 > 20x - 50 - 12x + 6\] \[60x - 20x - 20x + 12x > - 50 + 6 - 120 - 35\] \[\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,32x > - 199\] \[\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x > \frac{{ - 199}}{{32}}\] Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \[x > \frac{{ - 199}}{{32}}.\] |
1. Với giá trị nào của \(m\) và \(n\) thì hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx - ny = 1\\2nx - 5y = m\end{array} \right.\) có nghiệm là \(\left( { - 1;\,\,1} \right)\)?
2. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến về mặt kỹ thuật nên tổ I đã sản xuất vượt kế hoạch 18%, và tổ II sản xuất vượt mức kế hoạch 21%. Vì vậy trong thời gian quy định cả hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Tính số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch.
1. Để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx - ny = 1\\2nx - 5y = m\end{array} \right.\) có nghiệm là \(\left( { - 1;\,\,1} \right)\) thì \(x = - 1\) và \(y = 1\) thỏa mãn hệ phương trình này, khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}m \cdot \left( { - 1} \right) - n \cdot 1 = 1\\2n \cdot \left( { - 1} \right) - 5 \cdot 1 = m\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} - m - n = 1\\m + 2n = - 5\end{array} \right.\).
Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: \(n = - 4\).
Thay \(n = - 4\) vào phương trình \( - m - n = 1\) ta được:
\( - m - \left( { - 4} \right) = 1\) nên \(m = - 3.\)
Vậy \(m = - 3\) và \(n = - 4\).
2. Gọi \(x,\,\,y\) (sản phẩm) lần lượt là số sản phẩm của tổ I và tổ II theo kế hoạch cần sản xuất \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right)\).
Theo bài, theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình: \(x + y = 600\) (1)
Khi tổ I vượt kế hoạch 18% thì số sản phẩm tổ I sản xuất được là: \(x + 18\% x = 1,18x\) (sản phẩm).
Khi tổ II vượt kế hoạch 21% thì số sản phẩm tổ II sản xuất được là: \(y + 21\% y = 1,21y\) (sản phẩm).
Theo bài, cả hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm nên ta có phương trình:
\(1,18x + 1,21y = 600 + 120\) hay \(118x + 121y = 72\,\,000\) (2)
Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\\118x + 121y = 72\,\,000\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 118, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}118x + 118y = 70\,\,800\\118x + 121y = 72\,\,000\end{array} \right.\)
Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\( - 3y = - 1\,\,200\), suy ra \(y = 400\) (thỏa mãn).
Thay \(y = 400\) vào phương trình \(x + y = 600\), ta được:
\(x + 400 = 600\), suy ra \(x = 200\) (thỏa mãn).
Vậy theo kế hoạch, tổ I và tổ II cần sản xuất lần lượt là 200 sản phẩm và 400 sản phẩm.
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(A = \cos 40^\circ - \sin 50^\circ + \tan 20^\circ \cot 20^\circ \) \( = \cos 40^\circ - \cos 40^\circ + 1\) \( = 0 + 1 = 1.\) | b) \(B = \frac{{\sin 10^\circ }}{{\cos 80^\circ }} - \frac{{\cos 20^\circ }}{{\sin 70^\circ }} + \frac{{\tan 15^\circ }}{{\cot 75^\circ }}\) \( = \frac{{\sin 10^\circ }}{{\sin 10^\circ }} - \frac{{\cos 20^\circ }}{{\cos 20^\circ }} + \frac{{\tan 15^\circ }}{{\tan 15^\circ }}\) \( = 1 - 1 + 1 = 1.\) |
Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi từ nhà (điểm \[A)\] đến trường (điểm \[B)\] phải leo lên và xuống một con dốc đỉnh \(C\) được mô tả như hình vẽ dưới. Cho biết đoạn \[AB\] dài 762 m, \(\widehat {A\,\,} = 4^\circ ,\,\,\widehat {B\,} = 6^\circ .\)
![Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi từ nhà (điểm \[A)\] đến trường (điểm \[B)\] phải leo lên và xuống một con dốc đỉnh \(C\) được mô tả như hình vẽ dưới. Cho biết đoạn \[AB\] dài 762 m, \(\widehat {A\,\,} = 4^\circ ,\,\,\widehat {B\,} = 6^\circ .\) a) Tính chiều cao con dốc (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét). b) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ (làm tròn kết quả đến phút)? Biết rằng tốc độ lên dốc là 4 km/h và tốc độ xuống dốc là 19 km/h. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/10/blobid5-1727877176.png)
a) Tính chiều cao con dốc (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
b) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ (làm tròn kết quả đến phút)? Biết rằng tốc độ lên dốc là 4 km/h và tốc độ xuống dốc là 19 km/h.
a) Kẻ \(CH \bot AB,\,\,H \in AB.\) Khi đó \(CH\) là chiều cao của con dốc.
![Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi từ nhà (điểm \[A)\] đến trường (điểm \[B)\] phải leo lên và xuống một con dốc đỉnh \(C\) được mô tả như hình vẽ dưới. Cho biết đoạn \[AB\] dài 762 m, \(\widehat {A\,\,} = 4^\circ ,\,\,\widehat {B\,} = 6^\circ .\) a) Tính chiều cao con dốc (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét). b) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ (làm tròn kết quả đến phút)? Biết rằng tốc độ lên dốc là 4 km/h và tốc độ xuống dốc là 19 km/h. (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/10/blobid3-1727877165.png)
⦁ Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \[H,\] ta có: \({\rm{tan}}\widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}\)
Suy ra \(AH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan}}\widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{{\rm{tan6}}^\circ }}\,\,({\rm{m}}).\) (1)
⦁ Xét \(\Delta BCH\) vuông tại \[H,\] ta có: \({\rm{tan}}\widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}\)
Suy ra \(BH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan}}\widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{{\rm{tan4}}^\circ }}\,\,({\rm{m}}).\) (2)
⦁ Từ (1) và (2) ta có: \(AH + BH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{{CH}}{{{\rm{tan4}}^\circ }}\) hay \(AB = CH \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}} \right)\)
Do đó \(762 = CH \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}} \right)\)
Suy ra \(CH = \frac{{762}}{{\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}}} \approx 32{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Vậy chiều cao của con dốc là 32 m.
b) ⦁ Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \[H,\] ta có: \({\rm{sin}}\widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AC}}\)
Suy ra \(AC = \frac{{CH}}{{{\rm{sin}}\widehat {CAH}}} \approx \frac{{{\rm{32}}}}{{{\rm{sin6}}^\circ }}{\rm{\;(m)}} = \frac{4}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}{\rm{\;(km)}}{\rm{.}}\) (3)
Xét \(\Delta BCH\) vuông tại \[H,\] ta có: \({\rm{sin}}\widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{CB}}\)
Suy ra \(CB = \frac{{CH}}{{{\rm{sin}}\widehat {CBH}}} \approx \frac{{{\rm{32}}}}{{{\rm{sin4}}^\circ }}{\rm{\;(m)}} = \frac{4}{{125{\rm{sin4}}^\circ }}{\rm{\;(km)}}{\rm{.}}\) (4)
⦁ Thời gian lên dốc \[AC\] là: \[{t_{AC}} = \frac{{{S_{AC}}}}{{{v_{ld}}}} = \frac{{AC}}{{{v_{ld}}}} \approx \frac{4}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}:4 = \frac{1}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}\] (giờ).
Thời gian xuống dốc \(CB\) là: \[{t_{CB}} = \frac{{{S_{CB}}}}{{{v_{xd}}}} = \frac{{CB}}{{{v_{xd}}}} \approx \frac{4}{{125{\rm{sin4}}^\circ }}:19 = \frac{4}{{{\rm{2}}\,\,{\rm{375sin4}}^\circ }}\] (giờ).
Thời gian đi từ \(A\) đến \(B\) là:
\({t_{AB}} = {t_{AC}} + {t_{CB}} \approx \frac{1}{{125\sin 6^\circ }} + \frac{4}{{{\rm{2}}\,\,{\rm{375sin4}}^\circ }} \approx 0,1007\) (giờ) ≈ 6 phút.
Vậy bạn An đến trường lúc 6 giờ + 6 phút = 6 giờ 6 phút.
Cho các số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4.\) Chứng bất đẳng thức sau:
\(\frac{1}{{2x + y + z}} + \frac{1}{{x + 2y + z}} + \frac{1}{{x + y + 2z}} \le 1.\)
⦁ Trước hết, ta chứng minh với \(a > 0\) và \(b > 0\) luôn có \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}.\]
Thật vậy, với \(a > 0\) và \(b > 0,\) ta có:
\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}} = \frac{{b\left( {a + b} \right) + a\left( {a + b} \right) - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0.\]\(\)
Do đó \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}.\,\,\,\left( * \right)\]
⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) cho hai số \(2x > 0\) và \(y + z > 0,\) ta có:
\[\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{y + z}} \ge \frac{4}{{2x + y + z}}\]
Suy ra \[\frac{1}{{2x + y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{y + z}}} \right).\]
Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) cho hai số \(y > 0\) và \(z > 0,\) ta có:
\(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{4}{{y + z}}.\)
Suy ra \[\frac{1}{{y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}}.\]
Do đó: \[\frac{1}{{2x + y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{y + z}}} \right) \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}}} \right).\]
Chứng minh tương tự, ta có:
\[\frac{1}{{x + 2y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{2y}} + \frac{1}{{4z}}} \right);\] \[\frac{1}{{x + y + 2z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{2z}}} \right).\]
Khi đó:
\(\frac{1}{{2x + y + z}} + \frac{1}{{x + 2y + z}} + \frac{1}{{x + y + 2z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}}} \right) + \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{2y}} + \frac{1}{{4z}}} \right) + \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{2z}}} \right)\)
\( = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}} + \frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{2y}} + \frac{1}{{4z}} + \frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{2z}}} \right)\)
\( = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1\) (do \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4).\)
Vậy \(\frac{1}{{2x + y + z}} + \frac{1}{{x + 2y + z}} + \frac{1}{{x + y + 2z}} \le 1.\)
