Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 09
40 câu hỏi
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\[\left( { - 1;{\rm{ }}4} \right).\]
\[\left( { - 1; + \infty } \right).\]
\[\left( {0;1} \right).\]
\[( - 1;0).\]
Đáp án đúng là: D
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\[\left( { - \infty ; - 1} \right).\]
\[\left( { - 1;1} \right).\]
\[\left( {1;2} \right).\]
\[\left( {0;1} \right).\]
Đáp án đúng là: D
Quan sát đồ thị hàm số, ta có:
Trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\), đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng này.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\) dưới đây:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
\(5\).
\(3\).
\(2\).
\(4\).
Đáp án đúng là: D
Quan sát bảng xét dấu, ta thấy hàm số có 4 điểm cực trị.
Cho hàm số \[y = {x^3}--3{x^2} + 2\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số đạt cực đại tại \[x = 2\] và đạt cực tiểu tại \[x = 0\].
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 2\] và đạt cực đại tại \[x = 0\].
Hàm số đạt cực đại tại \[x = - 2\] và cực tiểu tại \[x = 0\].
Hàm số đạt cực đại tại \[x = 0\] và cực tiểu tại \[x = - 2\].
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[y = {x^3}--3{x^2} + 2\] \( \Rightarrow \) \(y' = 3{x^2} - 6x\).
\(y' = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(3{x^2} - 6x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 0\end{array} \right.\).
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và đạt cực đại tại \(x = 0\).
Cho hàm số \(y = 3{x^4} - 6{x^2} + 1\). Kết luận nào sau đây là đúng?
.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(y = 3{x^4} - 6{x^2} + 1\) \( \Rightarrow y' = 12{x^3} - 12x\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow 12{x^3} - 12x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1.\end{array} \right.\)
Ta có bảng biến thiên như sau:
Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm 1\) và \({y_{CT}} = - 2.\)
Thể tích \(V\) (đơn vị: cm3) của 1 kg nước tại nhiệt độ \(T\left( {0^\circ C \le T \le 30^\circ C} \right)\) được tính bởi công thức sau: \(V(T) = 999,87 - 0,06426T + 0,0085043{T^2} - 0,0000679{T^3}.\) (Nguồn: J. Stewart, Calculus, Steventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012).
Hỏi thể tích \(V\left( T \right)\),\(\left( {0^\circ C \le T \le 30^\circ C} \right)\), giảm trong khoảng nhiệt độ gần với khoảng nào sau đây?
\(\left( {0^\circ C;30^\circ C} \right)\).
\(\left( {0^\circ C;4^\circ C} \right)\).
\(\left( {4^\circ C;30^\circ C} \right)\).
\(\left( {0^\circ C;26^\circ C} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(V(T) = 999,87 - 0,06426T + 0,0085043{T^2} - 0,0000679{T^3}.\)
\( \Rightarrow V'\left( T \right) = - 0,06426 + 0,0170086T - 2,{037.10^{ - 4}}{T^2}\)
\(V'\left( T \right) = 0 \Leftrightarrow - 2,{037.10^{ - 4}}{T^2} + 0,0170086T - 0,06426 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}T \approx 79,53\,\,\,\,(L)\\T \approx 3,97\,\,\,\,\,(TM)\end{array} \right.\).
Ta có bảng xét dấu như sau:
Vậy thể tích giảm khi \(T \in \left( {0^\circ C;3,97^\circ C} \right)\).
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + \left( {4 - m} \right)x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) là:
\(\left( { - \infty ;1} \right]\).
\(\left( { - \infty ;4} \right]\).
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
\(\left( { - \infty ;4} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(y = {x^3} - 3{x^2} + \left( {4 - m} \right)x\); \(y' = 3{x^2} - 6x + 4 - m\).
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 4 - m \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right).\)
\( \Leftrightarrow m \le 3{x^2} - 6x + 4,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right).\)
\( \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} g(x)\) với \(g(x) = 3{x^2} - 6x + 4.\)
Ta có: \(g'\left( x \right) = 6x - 6\)
\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra \(m \le 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy \(m \in \left( { - \infty ;4} \right]\) thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Gọi \(m,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\). Giá trị của \(2m - 3M\) bằng:
\( - 13\).
\( - 18\).
\( - 16\).
\( - 15\).
Đáp án đúng là: B
Quan sát đồ thị hàm số, ta có:
Giá trị lớn nhất của đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\) là \(M = 4\) khi \(x = - 1\).
Giá trị nhỏ nhất của đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\) là \(m = - 3\) khi \(x = - 2\).
Suy ra: \(2m - 3M\)= \(2.\left( { - 3} \right) - 3.4\) = \( - 18\).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\mathop {\max }\limits_{[ - 1;3]} \)\[f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\].
\(\mathop {\max }\limits_{[ - 1;3]} \)\[f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\].
\(\mathop {\max }\limits_{[ - 1;3]} \)\[f\left( x \right) = f\left( 5 \right)\].
\(\mathop {\max }\limits_{[ - 1;3]} \)\[f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\].
Đáp án đúng là: A
Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:
Xét trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\), giá trị lớn nhất của hàm số là \(f\left( 0 \right) = 5\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{[ - 1;3]} \)\[f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\].
Cho hàm số \(y = x - \sqrt {x - 1} \). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{3}{4}\) và không có giá trị lớn nhất.
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{3}{4}\) và giá trị lớn nhất bằng \(1\).
Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm có hoành độ \(x = 1\) và giá trị lớn nhất bằng \(1\).
Đáp án đúng là: A
Tập xác định: \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\).
Ta có: \(y' = 1 - \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} = \frac{{2\sqrt {x - 1} - 1}}{{2\sqrt {x - 1} }}\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt {x - 1} - 1}}{{2\sqrt {x - 1} }} = 0\)\( \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{5}{4}\).
Ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số có giá trị nhỏ nhất là \(\frac{3}{4}\) và không có giá trị lớn nhất.
Giá trị lớn nhất \(M\), nhỏ nhất \(m\) của hàm số \[y = \;\frac{{2{x^2} + 3x + 3}}{{x + 1}}\] trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) lần lượt là:
\(M = \frac{{17}}{3},m = 3.\)
\(M = \frac{{17}}{3},m = - 3.\)
\(M = 3,m = - 5.\)
\(M = - 3,m = - 5.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[y = \;\frac{{2{x^2} + 3x + 3}}{{x + 1}}\] \( \Rightarrow y' = \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ {0;2} \right]\\x = - 2 \notin \left[ {0;2} \right]\end{array} \right.\).
Xét trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), ta tính được các giá trị \(y\left( 0 \right) = 3,y\left( 2 \right) = \frac{{17}}{3}\).
Vậy \(M = \frac{{17}}{3},m = 3.\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{x + {m^2}}}{{x - 1}}\) trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\) bằng \(14\)?
\(2\).
\(1\).
\(0\).
\(4\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(y = \frac{{x + {m^2}}}{{x - 1}}\)\( \Rightarrow y' = \frac{{ - 1 - {m^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
Vì \( - 1 - {m^2} < 0\,\,\forall m \in \mathbb{R} \Rightarrow \frac{{ - 1 - {m^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\,\,\,\forall x \in \left[ {2;3} \right]\).
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 14\).
Ta có: \(y\left( 3 \right) = \frac{{3 + {m^2}}}{{3 - 1}} = 14\)\( \Rightarrow {m^2} = 25\) \( \Leftrightarrow m = \pm 5\).
Mà theo đề bài, \(m\) nhận giá trị nguyên dương nên \(m = 5.\)
Vậy có 1 giá trị nguyên dương của tham số \(m\) thỏa mãn.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ:
Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng:
\(x = 1\).
\(x = - 1\).
\(x = 0\).
\(y = - 1\).
Đáp án đúng là: A
Quan sát đồ thị hàm số, ta có:
Đường thẳng \(x = 1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ.
Phương trình đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:
Tiệm cận đứng \(x = - 2\), tiệm cận ngang \(y = 1\).
Tiệm cận đứng \(x = 2\), tiệm cận ngang \(y = - 1\).
Tiệm cận đứng \(x = 1\), tiệm cận ngang \(y = - 2\).
Tiệm cận đứng \(x = - 1\), tiệm cận ngang \(y = 2\).
Đáp án đúng là: A
Quan sát đồ thị hàm số, ta có:
Đường thẳng \(x = - 2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Đường thẳng \(y = 1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy tiệm cận đứng \(x = - 2\), tiệm cận ngang \(y = 1\).
Đường thẳng \(y = 2x - 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số nào sau đây?
\(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 5}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{ - 2{x^2} - 3x + 5}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{{{x^2} - 3x + 5}}{{x - 2}}\).
\(y = \frac{{ - 2{x^2} - 3x + 5}}{{ - x + 1}}\).
Đáp án đúng là: A
Xét các đáp án A, B, C, D ta lấy tử số chia mẫu số. Ta có:
Đáp án A, ta có:
Vậy đường thẳng \(y = 2x - 1\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 5}}{{x - 1}}\).
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} + x}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?
\(2\).
\(3\).
\(4\).
\(1\).
Đáp án đúng là: A
Ta có điều kiện xác định: \(D = \left[ { - 4; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}.\)
Xét: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} + x}} = 0\).
Do đó, đường thẳng \(y = 0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} + x}} = + \infty .\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} + x}} = - \infty .\)
Do đó, \(x = - 1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}} = \frac{1}{4}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{x}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}} = \frac{1}{4}\).
Do đó, \(x = 0\) không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Cho hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\) có đồ thị \[\left( C \right)\]. Tìm tọa độ giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đồ thị \[\left( C \right)\].
\(I\left( { - 2;2} \right)\).
\(I\left( { - 2; - 2} \right)\).
\(I\left( {2;1} \right)\).
\(I\left( { - 2;1} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = 1.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = 1.\)
Do đó, \(y = 1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = + \infty .\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = - \infty .\)
Do đó, \(x = - 2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy tọa độ giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đồ thị \[\left( C \right)\] là \(I\left( { - 2;1} \right)\).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\).
Mệnh đề nào sau đây là sai?
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \).
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {B'C'} \).
\(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {A'B'} \).
\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A'D'} \).
Đáp án đúng là: C
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {D'C'} = \overrightarrow {DC} \) và \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {BC} \).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\) và \(G\) là trung điểm \(MN\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \) với \(O\) là điểm bất kì.
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {DG} \).
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} = \overrightarrow 0 \).
Đáp án đúng là: A
Có \(M,N,G\) lần lượt là trung điểm \(AB,CD,MN\). Theo quy tắc trung điểm, ta có:
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM} \); \(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN} \); \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} = \overrightarrow 0 \).
Suy ra \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \) hay \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {DG} \).
Với \(O\) là điểm bất kì, ta có:
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GD} \)
\( = 4\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \)\( = 4\overrightarrow {OG} \).
Vậy đáp án A sai và các đáp án B, C, D đúng.
Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\sin \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 1.\)
Đáp án đúng là: B
Theo đề bài, \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ \). Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \)?
\(120^\circ \).
\(60^\circ \).
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
\( = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos 60^\circ - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 60^\circ \)
\( = 0\).
Suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 90^\circ \).
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ \), \(\widehat {CAD} = 90^\circ \). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Hãy xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {IJ} \)?
\(120^\circ \).
\(60^\circ \).
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right)\).
Vì tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABC\) đều.
Suy ra \(CI \bot AB\).
Tương tự ta có tam giác \(ABD\) đều nên \(DI \bot AB\).
Xét: \(\overrightarrow {IJ} .\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right).\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {IC} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {ID} .\overrightarrow {AB} \) \( = \overrightarrow 0 \).
Suy ra \(\left( {\overrightarrow {IJ} ,\overrightarrow {AB} } \right) = 90^\circ \).
Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc \(100^\circ \) và có độ lớn lần lượt là \(25N\) và \(12N\). Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn \(4N\). Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
\(26N\).
\(25N\).
\(41N\).
\(72N\).
Đáp án đúng là: A
Gọi \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) là ba lực tác động vào vật tại điểm \(O\) lần lượt có độ lớn \(25N,12N,4N\).
Vẽ \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {{F_3}} \).
Dựng hình bình hành \(OADB\) và hình bình hành \(ODEC\).
Hợp lực tác động vào vật là:
\(\overrightarrow F = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OE} .\)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(OBD\), ta có:
\(O{D^2} = B{D^2} + O{B^2} - 2.BD.OB.\cos \widehat {OBD} = O{A^2} + O{B^2} + 2.OA.OB.\cos 100^\circ \)
Vì \(OC \bot \left( {OADB} \right)\) nên \(OC \bot OD\), suy ra \(ODEC\) là hình chữ nhật.
Do đó, tam giác \(DOE\) vuông tại \(D\).
Ta có: \(O{E^2} = O{C^2} + O{D^2} = O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2.OA.OB.\cos 100^\circ \).
Suy ra:
\(OE = \sqrt {O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2.OA.OB.\cos 100^\circ } \)\( = \sqrt {{4^2} + {{25}^2} + {{12}^2} + 2.25.12.\cos 100^\circ } \)
\(OE \approx 26N\).
Vậy độ lớn của hợp lực \(F = OE \approx 26N\).
Trong không gian với hệ trục \[Oxyz\], cho \(\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là:
\(\left( { - 1;2; - 3} \right)\).
\(\left( {2; - 3; - 1} \right)\).
\(\left( {2; - 1; - 3} \right)\).
\(\left( { - 3;2; - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Trong không gian với hệ trục \[Oxyz\], có \(\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \) nên tọa độ \(\overrightarrow a = \left( { - 1;2; - 3} \right)\).
Trong không gian \[Oxyz\], hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {3;5;2} \right)\) trên trục \(Ox\) có tọa độ là:
\(\left( {0;5;2} \right)\).
\(\left( {0;5;0} \right)\).
\(\left( {3;0;0} \right)\).
\(\left( {0;0;2} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Trong không gian \[Oxyz\], hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {3;5;2} \right)\) trên trục \(Ox\) có tọa độ \(\left( {3;0;0} \right)\).
Trong không gian \[Oxyz\], tìm tọa độ điểm đối xứng của \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) qua mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] là:
\(\left( {0;2;3} \right)\).
\(\left( { - 1; - 2; - 3} \right)\).
\(\left( { - 1;2; - 3} \right)\).
\(\left( { - 1;2; - 3} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có điểm đối xứng của \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) qua mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] ta được điểm có tọa độ \(\left( { - 1;2; - 3} \right)\).
Trong không gian với hệ trục \[Oxyz\], cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\), biết rằng \[A( - 3;0;0),{\rm{ }}B\left( {0;2;0} \right),{\rm{ }}D\left( {0;0;1} \right),{\rm{ }}A'\left( {1;2;3} \right)\]. Tìm tọa độ điểm \[C'\].
\(\left( {10;4;4} \right)\).
\(\left( { - 13;4;4} \right)\).
\(\left( {13;4;4} \right)\).
\(\left( {7;4;4} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(C\left( {x;y;z} \right)\), ta có: \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \).
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 0 = 0 - \left( { - 3} \right)\\y - 0 = 2 - 0\\z - 1 = 0 - 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\\z = 1\end{array} \right.\). Vậy \(C\left( {3;2;1} \right)\).
Gọi \(C'\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), ta có: \(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AA'} \).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 3 = 1 - \left( { - 3} \right)\\{y_0} - 2 = 2 - 0\\{z_0} - 1 = 3 - 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 7\\{y_0} = 4\\{z_0} = 4\end{array} \right.\). Vậy \(C'\left( {7;4;4} \right)\).
Trong không gian với hệ trục \[Oxyz\], cho tam giác \(ABC\) với \[A\left( {8;9;2} \right)\], \[B\left( {3;5;1} \right),\]\[C\left( {11;10;4} \right).\] Số đo góc \(\widehat {BAC}\) của tam giác \(ABC\) đó là:
\(150^\circ \).
\(60^\circ \).
\(120^\circ \).
\(30^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\) \( \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {42} .\)
\(\overrightarrow {AC} = \left( {3;1;2} \right)\) \( \Rightarrow AC = \sqrt {{3^2} + {1^2} + {2^2}} = \sqrt {14} \).
Ta có: \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{ - 5.3 + \left( { - 4} \right).1 + \left( { - 1} \right).2}}{{\sqrt {42} .\sqrt {14} }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra \(\widehat {BAC} = 150^\circ \).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], điểm thuộc trục \(Ox\)và cách đều hai điểm \(A\left( {4;2; - 1} \right)\) và \(B\left( {2;1;0} \right)\) là:
\(M\left( { - 4;0;0} \right)\).
\(M\left( {4;0;0} \right)\).
\(M\left( {5;0;0} \right)\).
\(M\left( { - 5;0;0} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Gọi điểm \(M\) thuộc trục \(Ox\) có tọa độ \(\left( {x;0;0} \right)\).
Theo đề, ta có \(M\) cách đều hai điểm \(A\left( {4;2; - 1} \right)\) và \(B\left( {2;1;0} \right)\) hay \(MA = MB\).
Ta có: \(MA = MB\) \( \Rightarrow \)\(M{A^2} = M{B^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {(0 - 2)^2} + {\left[ {0 - \left( { - 1} \right)} \right]^2} = {\left( {2 - x} \right)^2} + {\left( {1 - 0} \right)^2} + {\left( {0 - 0} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + 4 + 1 = {x^2} - 4x + 4 + 1\)
\( \Leftrightarrow 4x = 16\)
\( \Leftrightarrow x = 4.\)
Vậy \(M\left( {4;0;0} \right)\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right)\), \(B\left( {2; - 1;3} \right)\). Tìm điểm \(M\) trên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] sao cho \[M{A^2}--2M{B^2}\] lớn nhất.
\(M\left( {3; - 4;0} \right)\).
\(M\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2};0} \right)\).
\(M\left( {0;0;5} \right)\).
\(M\left( {\frac{1}{2};\frac{{ - 3}}{2};0} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = 2\left( {2 - x} \right)\\2 - y = 2\left( { - 1 - y} \right)\\1 - z = 2\left( {3 - z} \right).\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 4\\z = 5\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3; - 4;5} \right)\).
Khi đó, ta có: \(M{A^2} - 2M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = - M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} } \right) + I{A^2} - 2I{B^2}\)
\( = - M{I^2} + I{A^2} - 2I{B^2}\).
Để \[M{A^2}--2M{B^2}\] lớn nhất thì \( - M{I^2} + I{A^2} - 2I{B^2}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow MI\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Suy ra \(M\left( {3; - 4;0} \right)\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai vectơ \(\overrightarrow u = (1; - 4;0)\) và \(\overrightarrow v = ( - 1; - 2;1)\). Vectơ \(\overrightarrow u + 3\overrightarrow v \) có tọa độ là:
\(\left( { - 2; - 10;3} \right)\).
\(\left( { - 2; - 6;3} \right)\).
\(\left( { - 4;8;4} \right)\).
\(\left( { - 2; - 10; - 3} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(3\overrightarrow v = \left( { - 3; - 6;3} \right)\).
Do đó, \(\overrightarrow u + 3\overrightarrow v = \left( { - 2; - 10;3} \right)\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho \(\overrightarrow u = \left( { - 1;1;0} \right)\), \(\overrightarrow v = (0; - 1;0)\), góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) là:
\(120^\circ \).
\(60^\circ \).
\(150^\circ \).
\(135^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{ - 1.0 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }}\)\( = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 .1}} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Suy ra \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 135^\circ \).
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;1; - 1} \right)\),\(\overrightarrow b = \left( {1;3;m} \right)\). Tìm \(m\) để \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ \).
\(m = - 5\).
\(m = 5\).
\(m = 1\).
\(m = - 2\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{2.1 + 1.3 + \left( { - 1} \right).m}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2} + {m^2}} }}\).
Vì \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ \) nên \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0\).
Suy ra \(2.1 + 1.3 + \left( { - 1} \right).m = 0\) hay \(m = 5\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho ba điểm \(A(1; - 2;3)\),\(B( - 1;2;5)\),\(C(0;0;1)\).Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).
\(\left( {5;9;13} \right)\).
\(\left( {0;0;3} \right)\).
\(\left( {0;0;9} \right)\).
\(\left( { - 1;0;3} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Gọi \(G(x;y;z)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + \left( { - 1} \right) + 0}}{3} = 0\\y = \frac{{ - 2 + 2 + 0}}{3} = 0\\z = \frac{{3 + 5 + 1}}{3} = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {0;0;3} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \(B(1;2 - 3)\), \(C(7;4; - 2)\). Nếu điểm \(E\) thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow {CE} = 2\overrightarrow {EB} \) thì tọa độ điểm \(E\) là:
\(\left( {3;\frac{8}{3}; - \frac{8}{3}} \right)\).
\(\left( {\frac{8}{3};3; - \frac{8}{3}} \right)\).
\(\left( {3;3; - \frac{8}{3}} \right)\).
\(\left( {1;2;\frac{1}{3}} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Gọi \(E\left( {x;y;z} \right)\), ta có: \(\overrightarrow {CE} = 2\overrightarrow {EB} \).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 7 = 2\left( {1 - x} \right)\\y - 4 = 2\left( {2 - y} \right)\\z + 2 = 2\left( { - 3 - z} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = \frac{8}{3}\\z = \frac{{ - 8}}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow E\left( {3;\frac{8}{3}; - \frac{8}{3}} \right)\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2;1;2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Xác định tọa độ của \(\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b \).(0,25 điểm)
Ta có: \(2\overrightarrow b = \left( {2;2; - 2} \right)\).
Do đó, \(\overrightarrow a - 2\overrightarrow b = \left( { - 2 - 2;1 - 2;2 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 4; - 1;4} \right)\).
Vậy \(\overrightarrow u = \left( { - 4; - 1;4} \right)\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2;1;2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1;1; - 1} \right)\).Tính độ dài của \(\overrightarrow u \).(0,25 điểm)
Ta có: \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {33} \).
Vậy độ dài vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\sqrt {33} \).
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2;1;2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Tính \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).(0,5 điểm)
Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 2.1 + 1.1 + 2.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}\).
Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8 giờ sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian \(t\) (giờ) trong ngày cho bởi công thức:
\(h(t) = - \frac{1}{3}{t^3} + 5{t^2} + 24t\), \(\left( {t > 0} \right)\).
Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân phải di dời đi trước khi xả nước theo quy định trước 5 giờ. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước mấy giờ? Biết rằng mực nước trong hồ phải đi lên cao nhất mới xả nước.(1,0 điểm)
Xét: \(h(t) = - \frac{1}{3}{t^3} + 5{t^2} + 24t\), \(\left( {t > 0} \right).\)
Ta có: \(h'(t) = - {t^2} + 10t + 24\)
\(h'(t) = 0 \Leftrightarrow - {t^2} + 10t + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 12 \in \left( {0; + \infty } \right)\\t = - 2 \notin \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Để mực nước lên cao nhất thì phải mất 12 giờ.
Vậy phải thông báo cho dân dời đi vào 15 giờ chiều cùng ngày.
Cho hàm số \(y = \frac{{4x - 5}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( H \right)\). Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) với \({x_0} < 0\) là một điểm thuộc đồ thị \(\left( H \right)\) thỏa mãn tổng khoảng cách từ \(M\) đến hai đường tiệm cận của \(\left( H \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(6\). Tính giá trị của biểu thức \(S = {\left( {{x_0} + {y_0}} \right)^2}\) .(1,0 điểm)
Đồ thị \(\left( H \right)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \({\Delta _1}:x = - 1\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \({\Delta _2}:y = 4\).
Gọi \(M\left( {{x_0};\frac{{4{x_0} - 5}}{{{x_0} + 1}}} \right) \in \left( H \right)\), \({x_0} \ne - 1,{x_0} < 0\).
Khi đó, ta có: \({d_1} = d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \left| {{x_0} + 1} \right|\) và \({d_2} = d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{9}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}.\)
\( \Rightarrow {d_1}.{d_2} = \left| {{x_0} + 1} \right|.\frac{9}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}} = 9\).
Ta có: \({d_1} + {d_2} \ge 2\sqrt {{d_1}{d_2}} = 6\) nên \(\min \left( {{d_1} + {d_2}} \right) = 6\) khi \({d_1} = {d_2} \Leftrightarrow \left| {{x_0} + 1} \right| = \frac{9}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = - 4\end{array} \right.\)
Do \({x_0} < 0\) nên chọn \({x_0} = - 4\), khi đó \(M\left( { - 4;7} \right) \Rightarrow S = 9.\)
