Bài tập Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y = ax^2 (a ≠ 0) với đồ thị hàm số bậc nhất y = bx + c lớp 9 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) và đường thẳng (d): y = bx + c. Để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) thì
Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép.
Phương trình ax2 + bx + c = 0 có ∆ ≥ 0.
Phương trình ax2 – bx – c = 0 có nghiệm kép.
Phương trình ax2 – bx – c = 0 có nghiệm.
Đáp án đúng là: C
Để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) thì phương trình ax2 = bx + c hay ax2 – bx – c = 0 có nghiệm kép.
Cho parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) và đường thẳng (d): y = bx + c. Nếu phương trình ax2 – bx – c = 0 có nghiệm kép thì
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
(d) và (P) không có điểm chung.
(d) tiếp xúc với (P).
Không xác định được vị trí tương đối của (d) và (P).
Đáp án đúng là: C
Nếu phương trình ax2 – bx – c = 0 có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P).
Cho parabol (P): y = 3x2 và đường thẳng (d): y = x + 3. Số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
0.
1.
2.
Vô số.
Đáp án đúng là: C
Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = x + 3 và parabol (P): y = 3x2, khi đó ta có:
y = 3x2 và y = x + 3.
Suy ra 3x2 = x + 3 hay 3x2 – x – 3 = 0 (*).
Phương trình (*) có ∆ = (–1)2 – 4.3.(–3) = 37 > 0.
Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
Như vậy, đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt, tức hai đồ thị hàm số này có hai điểm chung.
Vậy ta chọn phương án C.
Tọa độ giao điểm của đường thẳng y = x – 2 và parabol y = –x2 là
(1; –1) và (2; –4).
(1; 1) và (–2; 4).
(–1; –1) và (2; –4).
(1; –1) và (–2; –4).
Đáp án đúng là: D
Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = x – 2 và parabol (P): y = –x2, khi đó ta có:
y = –x2 (1) và y = x – 2.
Suy ra –x2 = x – 2 hay x2 + x – 2 = 0 (*).
Phương trình (*) có ∆ = 12 – 4.1.(–2) = 9 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3.\)
Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - 1 - 3}}{{2 \cdot 1}} = - 2;\,\,{x_2} = \frac{{ - 1 + 3}}{{2 \cdot 1}} = 1.\)
Với x1 = –2, thay vào (1), ta được: y = –(–2)2 = –4.
Với x2 = 1, thay vào (2), ta được: y = –12 = –1.
Như vậy, đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là (–2; –4) và (1; –1).
Ta chọn phương án D.
Đường thẳng nào sau đây không có điểm chung với parabol y = x2?
y = 2x + 1.
y = 2x.
y = 2x – 3.
y = 2x + 3.
Đáp án đúng là: C
⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = 2x + 1 và parabol (P): y = x2, khi đó ta có:
y = x2 và y = 2x + 1.
Suy ra x2 = 2x + 1 hay x2 – 2x – 1 = 0 (*).
Phương trình (*) có ∆' = (–1)2 – 1.(–1) = 2 > 0.
Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
Như vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Do đó phương án A không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
⦁ Tương tự như trên, ta có các đường thẳng y = 2x và y = 2x + 3 cũng cắt parabol (P): y = x2 tại hai điểm phân biệt.
⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = 2x – 3 và parabol (P): y = x2, khi đó ta có:
y = x2 và y = 2x – 3.
Suy ra x2 = 2x – 3 hay x2 – 2x + 3 = 0 (*).
Phương trình (*) có ∆' = (–1)2 – 1.3 = –2 < 0.
Do đó phương trình (*) vô nghiệm nên đường thẳng (d) không cắt parabol (P): y = x2, tức là hai đồ thị hàm số này không có điểm chung.
Vậy ta chọn phương án C.
>
Cho parabol (P): \(y = - \frac{1}{4}{x^2}\) và đường thẳng (d): y = k (với k < 0). Kết luận nào sau đây là đúng?
</>
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
(d) và (P) không có điểm chung.
(d) tiếp xúc với (P).
Không xác định được vị trí tương đối của (d) và (P).
Đáp án đúng là: A
Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = k và parabol (P): \(y = - \frac{1}{4}{x^2},\) khi đó ta có:
\(y = - \frac{1}{4}{x^2}\) và y = k.
Suy ra \( - \frac{1}{4}{x^2} = k\) hay x2 = –4k (*).
Với k < 0 ta có –4k > 0 nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.</>
Như vậy, đường thẳng (d): y = k cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
Ta chọn phương án A.
Cho hàm số y = x2 có đồ thị là (P). Đường thẳng đi qua hai điểm thuộc (P) có hoành độ bằng –1 và 2 là
y = –x + 2.
y = x + 2.
y = –x – 2.
y = x – 2.
Đáp án đúng là: B
Cách 1. ⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng y = –x + 2 và parabol (P): y = x2, khi đó ta có:
y = x2 và y = –x + 2.
Suy ra x2 = –x + 2 hay x2 + x – 2 = 0 (*).
Phương trình (*) có ∆ = 12 – 4.1.(–2) = 9 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3.\)
Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - 1 - 3}}{{2 \cdot 1}} = - 2;\,\,{x_2} = \frac{{ - 1 + 3}}{{2 \cdot 1}} = 1.\)
Như vậy, đường thẳng y = –x + 2 cắt parabol (P): y = x2 tại hai điểm có hoành độ lần lượt là –2 và 1. Do đó phương án A không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
⦁ Giải tương tự, ta có hai đường thẳng y = –x – 2 và y = x – 2 đều không cắt parabol (P): y = x2 nên không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng y = x + 2 và parabol (P): y = x2, khi đó ta có:
y = x2 và y = x + 2.
Suy ra x2 = x + 2 hay x2 – x – 2 = 0 (*).
Phương trình (*) có ∆ = (–1)2 – 4.1.(–2) = 9 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3.\)
Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - 3}}{{2 \cdot 1}} = - 1;\,\,{x_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + 3}}{{2 \cdot 1}} = 2.\)
Như vậy, đường thẳng y = x + 2 cắt parabol (P): y = x2 tại hai điểm có hoành độ lần lượt là –1 và 2. Do đó phương án B thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Vậy ta chọn phương án B.
Cách 2. Thay x = –1 vào hàm số y = x2, ta được: y = (–1)2 = 1.
Thay x = 2 vào hàm số y = x2, ta được: y = 22 = 4.
Do đó, đường thẳng (d) cần tìm cắt parabol (P): y = x2 tại hai điểm phân biệt (–1; 1) và (2; 4).
Giả sử đường thẳng (d) cần tìm là đồ thị của hàm số y = ax + b.
Thay x = –1 và y = 1 vào hàm số trên, ta được: 1 = a.(–1) + b hay –a + b = 1.
Thay x = 2 và y = 4 vào hàm số trên, ta được: 4 = a.2 + b hay 2a + b = 4.
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - a + b = 1\\2a + b = 4\end{array} \right..\)
Giải hệ phương trình trên bằng máy tính cầm tay ta được nghiệm là (a; b) = (1; 2).
Vậy đường thẳng (d) cần tìm có hàm số là: y = x + 2. Ta chọn phương án B.
Cho đường thẳng y = 6x + 9 tiếp xúc với parabol (P): y = –x2 tại điểm M. Độ dài đoạn thẳng OM là
\(\sqrt {10} .\)
\(2\sqrt {10} .\)
\(3\sqrt {10} .\)
\(4\sqrt {10} .\)
Đáp án đúng là: C
– Giả sử A(xA; yA) và B(xB; yB). Ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm A và B là độ dài đoạn thẳng AB.
Qua A, B lần lượt kẻ đường thẳng song song với Ox, Oy. Hai đường thẳng này cắt nhau tại H. Khi đó tam giác ABH vuông tại H.
⦁ AH // Ox nên AH = |xA – xH| = |xA – xB|.
⦁ BH // Oy nên BH = |yA – yH| = |yA – yB|.
⦁ \(AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}} \) (Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABH vuông tại H).
– Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng y = 6x + 9 và parabol (P): y = –x2, khi đó ta có:
y = –x2 (1) và y = 6x + 9.
Suy ra –x2 = 6x + 9 hay x2 + 6x + 9 = 0 (*).
Phương trình (*) có ∆' = 32 – 1.9 = 0.
Do đó phương trình (*) có nghiệm kép là: \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - 3}}{1} = - 3.\)
Thay x = –3 vào hàm số y = –x2, ta được: y = –(–3)2 = –9.
Như vậy, đường thẳng y = 6x + 9 tiếp xúc với (P): y = –x2 tại điểm M(–3; –9).
Vậy độ dài đoạn thẳng OM là:
\(OM = \sqrt {{{\left( { - 3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 9 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {90} = 3\sqrt {10} .\)
Gọi A và B là hai giao điểm của đường thẳng y = x – 2 và parabol y = –x2. Độ dài đoạn thẳng AB là
\(\sqrt 2 .\)
\(2\sqrt 2 .\)
\(3\sqrt 2 .\)
\(4\sqrt 2 .\)
Đáp án đúng là: C
– Giả sử A(xA; yA) và B(xB; yB). Ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm A và B là độ dài đoạn thẳng AB.
Qua A, B lần lượt kẻ đường thẳng song song với Ox, Oy. Hai đường thẳng này cắt nhau tại H. Khi đó tam giác ABH vuông tại H.
⦁ AH // Ox nên AH = |xA – xH| = |xA – xB|.
⦁ BH // Oy nên BH = |yA – yH| = |yA – yB|.
⦁ \(AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}} \) (Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABH vuông tại H).
– Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): y = x – 2 và parabol (P): y = –x2, khi đó ta có:
y = –x2 (1) và y = x – 2.
Suy ra –x2 = x – 2 hay x2 + x – 2 = 0 (*).
Phương trình (*) có ∆ = 12 – 4.1.(–2) = 9 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3.\)
Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - 1 - 3}}{{2 \cdot 1}} = - 2;\,\,{x_2} = \frac{{ - 1 + 3}}{{2 \cdot 1}} = 1.\)
Với x1 = –2, thay vào (1), ta được: y = –(–2)2 = –4.
Với x2 = 1, thay vào (2), ta được: y = –12 = –1.
Như vậy, đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là (–2; –4) và (1; –1).
Vậy độ dài đoạn thẳng AB là:
\[AB = \sqrt {{{\left( { - 2 - 1} \right)}^2} + {{\left[ { - 4 - \left( { - 1} \right)} \right]}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 .\]
Đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm 4 và cắt parabol (P): y = 2x2 tại hai điểm A, B. Diện tích tam giác OAB (với O là gốc tọa độ) là
\(\sqrt 2 .\)
\(2\sqrt 2 .\)
\(4\sqrt 2 .\)
\(8\sqrt 2 .\)
Đáp án đúng là: C
– Giả sử A(xA; yA) và B(xB; yB). Ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm A và B là độ dài đoạn thẳng AB.
Qua A, B lần lượt kẻ đường thẳng song song với Ox, Oy. Hai đường thẳng này cắt nhau tại H. Khi đó tam giác ABH vuông tại H.
⦁ AH // Ox nên AH = |xA – xH| = |xA – xB|.
⦁ BH // Oy nên BH = |yA – yH| = |yA – yB|.
⦁ \(AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}} \) (Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABH vuông tại H).
– Đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm 4 là đồ thị của hàm số y = 4.
Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): y = 4 và parabol (P): y = 2x2, khi đó ta có:
y = 2x2 (1) và y = 4.
Suy ra 2x2 = 4 hay x2 = 2, do đó \(x = \sqrt 2 \) hoặc \(x = - \sqrt 2 .\)
Như vậy, đường thẳng (d): y = 4 cắt parabol (P): y = 2x2 tại hai điểm phân biệt có tọa độ là \(\left( {\sqrt 2 ;\,\,4} \right);\,\,\left( { - \sqrt 2 ;\,\,4} \right).\)
Độ dài đoạn thẳng AB là: \(AB = \sqrt {{{\left( { - \sqrt 2 - \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 .\)
Gọi H là giao điểm của đường thẳng (d): y = 4 với trục Oy tại điểm 4, khi đó H(0; 4).
Suy ra OH = |4| = 4.
Vậy diện tích tam giác OAB là:
\({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt 2 = 4\sqrt 2 \) (đơn vị diện tích).
Biết rằng một phương trình bậc hai ẩn x có \(\Delta\) = 5 là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P), số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là
0.
1.
2.
Vô số điểm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).
Vì \(\Delta\) = 5 > 0 nên phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) có hai nghiệm phân biệt.
Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) có 2 điểm chung.Biết rằng đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung, khi đó phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) có
1 nghiệm.
Vô nghiệm.
2 nghiệm.
3 nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).
Vì đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung nên phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) không có nghiệm.Biết rằng giao điểm đường thẳng (d) và parabol (P) có hoành độ là nghiệm của phương trình x2 – 4x + 4 = 0 (1). Số giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là
1.
2.
3.
0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Số giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình (1).
Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = (–2)2 – 1.4 = 0 nên phương trình (1) có một nghiệm kép.
Vậy số giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là 1.Đường thẳng (d): y = 3 và parabol (P): y = x2 có số điểm chung là
0.
1.
2.
3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 = 3, suy ra x2 – 3 = 0 (1).
Số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình (1).
Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = 02 – 1.(–3) = 3 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Vậy số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là 2.Giao điểm của thẳng (d): y = 2x – 1 và parabol (P): y = x2 có hoành độ bằng
0.
2.
–1.
1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 = 2x – 1, suy ra x2 – 2x + 1 = 0 (1).
Số giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình (1).
Vì \(\Delta\)’ = (–1)2 – 1.1 = 0 nên phương trình (1) có nghiệm kép là\({\rm{x}} = \frac{{ - \left( { - 1} \right)}}{1} = 1.\)
Vậy giao điểm của thẳng (d): y = 2x – 1 và parabol (P): y = x2 có hoành độ bằng 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 6x – 9 và parabol (P): y = x2. Khi đó:
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x2 – 6x – 9 = 0.
Đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P).
Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) bằng 3.
Tổng tung độ và hoành độ của giao điểm giữa đường thẳng (d) và parabol (P) bằng 5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2 = 6x – 9, suy ra x2 – 6x + 9 = 0 (1).
Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x2 – 6x + 9 = 0.
b) Đúng.
Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P).
Phương trình (1) có: \(\Delta\)’ = (–3)2 – 1.9 = 0 nên phương trình (1) có một nghiệm kép.
Vậy đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P).
c) Đúng.
Phương trình (1) có nghiệm là \({\rm{x}} = \frac{{ - \left( { - 3} \right)}}{1} = 3.\)
Vậy hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) bằng 3.
d) Sai.
Thay x = 3 vào y = x2 ta có: y = 32 = 9.
Vậy tổng tung độ và hoành độ của giao điểm giữa (d) và (P) bằng 12.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = –x + 1 và parabol (P): y = 2x2, khi đó:
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là 2x2 + x – 1 = 0.
(d) tiếp xúc với (P).
Giao điểm của (d) và (P) có hoành độ là số nguyên dương.
Giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) có tung độ lớn hơn 5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2x2 = –x + 1, suy ra 2x2 + x – 1 = 0 (1).
Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là 2x2 + x – 1 = 0.
b) Sai.
Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của (d) và (P).
Phương trình (1) có \(\Delta\) = 12 – 4.2.(–1) = 9 > 0 nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) Sai.
Phương trình (1) có hai nghiệm là \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt 9 }}{{2 \cdot 2}} = \frac{1}{2};\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt 9 }}{{2 \cdot 2}} = - 1.\)
Vậy giao điểm của (d) và (P) có hoành độ không là số nguyên dương.
d) Sai.
Thay x = –1 vào y = 2x2 ta có: y = 2(–1)2 = 2 < 5.
Thay \({\rm{x}} = \frac{1}{2}\) vào y = 2x2 ta có: \({\rm{y}} = 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} < 5.\)
Vậy giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) có tung độ nhỏ hơn 5Cho đường thẳng (d): y = –3x – 2 và parabol (P): y = x2. Khi đó:
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x2 + 3x + 2 = 0.
Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng (d) và parabol (P) đều lớn hơn 1.
Điểm A(–1; 1) và điểm B(–2; 4) là các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a)Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2 = –3x – 2 nên x2 + 3x + 2 = 0 (1).
Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x2 + 3x + 2 = 0.
b) Đúng.
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).
Phương trình (1) có: \(\Delta\) = 32 – 2.1.4 = 1 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
c) Sai.
Phương trình (1) có hai nghiệm là \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - 3 + \sqrt 1 }}{{2 \cdot 1}} = - 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 3 - \sqrt 1 }}{{2 \cdot 2}} = - 2.\)
Vậy hoành độ giao điểm của hai đường thẳng (d) và parabol (P) đều nhỏ hơn 1.
d) Đúng.
Thay x = –1 vào y = x2 ta có y = (–1)2 = 1 nên điểm A(–1; 1).
Thay x = –2 vào y = x2 ta có y = (–2)2 = 4 nên điểm B(–2; 4).
Vậy A(–1; 1) và điểm B(–2; 4) là các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) y = 2x2 cắt đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(0; 3) và B(1; 2).
Đường thẳng (d): y = –x + 3.
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là 2x2 – x – 3 = 0.
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Tung độ giao điểm của (d) và (P) là số lớn hơn 5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a)Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Đường thẳng (d) có dạng: y = ax + b.
Vì đường thẳng (d) đi qua A(0; 3) nên 3 = 0.a + b, suy ra b = 3. Do đó, (d): y = ax + 3.
Vì (d): y = ax + 3 đi qua điểm B(1; 2) nên 2 = a.1 + 3, suy ra a = –1.
Vậy (d): y = –x + 3.
b) Sai.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2x2 = –x + 3, suy ra 2x2 + x – 3 = 0 (1).
Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là 2x2 + x – 3 = 0.
c) Đúng.
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).
Vì \(\Delta\) = 12 – 4.2.(–3) = 25 > 0 nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
d) Sai.
Phương trình (1) có hai nghiệm là \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt {25} }}{{2 \cdot 2}} = 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt {25} }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{ - 3}}{2}.\)
Thay x = 1 vào y = 2x2 ta có y = 2.12 = 2 < 5.
Thay \({\rm{x}} = \frac{{ - 3}}{2}\) vào y = x2 ta có \({\rm{y}} = 2 \cdot {\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)^2} = \frac{9}{2} < 5.\)
Vậy tung độ giao điểm của (d) và (P) là số nhỏ hơn 5.Cho parabol (P): y = ax2 (a \(\neq\) 0) đi qua điểm A(1; 1) và đường thẳng (d): y = 2x. Khi đó:
(P): y = x2.
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Hoành độ các giao điểm của (P) và (d) là 1 và 2.
Tổng các tung độ giao điểm của (d) và (P) bằng 4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b)Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Vì parabol (P) đi qua điểm A(1; 1) nên 1 = a.12 nên a = 1. Vậy (P): y = x2.
b) Đúng.
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x2 = 2x hay x2 – 2x = 0 (1).
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).
Ta có: \(\Delta\)’ = (–1)2 – 1.0 = 1 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) Sai.
Phương trình (1) có hai nghiệm là \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt 1 }}{1} = 2;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt 1 }}{1} = 0.\)
Vậy hoành độ các giao điểm của (P) và (d) là 0 và 2.
d) Đúng.
Thay x = 0 vào y = x2 ta có y = 02 = 0.
Thay x = 2 vào y = x2 ta có y = 22 = 4.
Vậy tổng các tung độ giao điểm của (d) và (P) bằng 4.Cho parabol (P): y = x2 và các đường thẳng y = x – 5; y = 2x – 1; y = x – 1; y = 18x – 64. Có bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với parabol (P).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng y = x – 5 ta có:
x2 = x – 5 hay x2 – x + 5 = 0 (1).
Phương trình (1) có \(\Delta\) = (–1)2 – 4.1.5 = –19 < 0 nên phương trình (1) vô nghiệm.
Suy ra, đường thẳng y = x – 5 không cắt parabol (P).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng y = 2x – 1 ta có:
x2 = 2x – 1 hay x2 – 2x + 1 = 0 (2).
Phương trình (2) có \(\Delta\)’ = (–1)2 – 1.1 = 0 nên phương trình (2) có nghiệm kép.
Suy ra, đường thẳng y = 2x + 1 tiếp xúc parabol (P).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng y = x – 1 ta có:
x2 = x – 1 hay x2 – x + 1 = 0 (3).
Phương trình (3) có \(\Delta\) = (–1)2 – 4.1.1 = –3 < 0 nên phương trình (3) vô nghiệm.
Suy ra, đường thẳng y = x – 1 không cắt parabol (P).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng y = 18x – 64 ta có:
x2 = 18x – 64 hay x2 – 18x + 64 = 0 (4).
Phương trình (4) có \(\Delta\)’ = (–9)2 – 1.64 = 17 > 0 nên phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt. Suy ra, đường thẳng y = 18x – 64 cắt parabol (P).
Vậy trong các đường thẳng trên, có 1 đường thẳng tiếp xúc (P).
Cho parabol (P): y = 3x2 và đường thẳng y = x + 4. Gọi A(x1; y1); B(x2; y2) (với x1 > x2) là các giao điểm của (P) và (d). Tính 3y1 – 2y2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 10
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 3x2 = x + 4 hay 3x2 – x – 4 = 0 (1).
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).
Ta có: \(\Delta\) = (–1)2 – 4.3.(–4) = 49 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là
\({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt {49} }}{{2 \cdot 3}} = \frac{4}{3};\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt {49} }}{{2 \cdot 3}} = - 1\) (do x1 > x2).
Thay \({\rm{x}} = \frac{4}{3}\) vào y = 3x2 ta có \({\rm{y}} = 3 \cdot {\left( {\frac{4}{3}} \right)^2} = \frac{{16}}{3}\) nên \({\rm{A}}\left( {\frac{4}{3};\;\,\frac{{16}}{3}} \right).\)
Thay x = –1 vào y = 3x2 ta có y = 3(–1)2 = 3 nên B(–1; 3)
Do đó, \(3{{\rm{y}}_1} - 2{{\rm{y}}_2} = 3 \cdot \frac{{16}}{3} - 2 \cdot 3 = 10.\)
Vậy 3y1 – 2y2 = 10.
Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng y = 4x + 5 (d). Gọi A(x1; y1); B(x2; y2) (với x1 > 0) là các giao điểm của (P) và (d). Tính 2x1 + 3y2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 13
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x2 = 4x + 5 hay x2 – 4x – 5 = 0 (1).
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).
Ta có: \(\Delta\)’ = (–2)2 – 1.(–5) = 9 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là
\({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 2} \right) + \sqrt 9 }}{1} = 5;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 2} \right) - \sqrt 9 }}{1} = - 1\) (do x1 > 0).
Thay x = –1 vào y = x2 ta có y = (–1)2 = 1 nên B(–1; 1).
Do đó, 2x1 + 3y2 = 2.5 + 3.1 = 13.
Vậy 2x1 + 3y2 = 13.
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(0; –16) và B(2; 0) và parabol (P): y = x2. Hỏi đường thẳng (d) và parabol (P) có bao nhiêu điểm chung?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Đường thẳng (d) có dạng: y = ax + b.
Vì đường thẳng (d) đi qua A(0; –16) nên –16 = 0.a + b, suy ra b = –16.
Do đó, (d): y = ax – 16.
Vì (d): y = ax – 16 đi qua điểm B(2; 0) nên 0 = a.2 – 16, suy ra a = 8.
Suy ra (d): y = 8x – 16.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 = 8x – 16, suy ra x2 – 8x + 16 = 0 (1).
Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của (d) và (P).
Vì \(\Delta\) = (–8)2 – 4.1.16 = 0 nên phương trình (1) có 1 nghiệm kép.
Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) có một điểm chung.
Cho parabol (P): y = ax2 (a \(\neq\) 0) đi qua điểm A(2; 4) và đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3; cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 6. Tìm số điểm chung của parabol (P) và đường thẳng (d).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Vì parabol (P) đi qua điểm A(2; 4) nên 4 = a.22 nên a = 1 (thỏa mãn). Suy ra (P): y = x2.
Vì đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 nên 3 = 0.a + b, suy ra b = 3. Do đó, (d): y = ax + 3.
Vì (d): y = ax + 3 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 6 nên 0 = a.6 + 3, suy ra \({\rm{a}} = \frac{{ - 1}}{2}.\) Suy ra (d): \({\rm{y}} = \frac{{ - 1}}{2}{\rm{x}} + 3.\)
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): \({{\rm{x}}^2} = \frac{{ - 1}}{2}{\rm{x}} + 3\), suy ra 2x2 + x – 6 = 0 (1).
Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của (d) và (P).
Vì \(\Delta\) = 12 – 4.2.(–6) = 49 > 0 nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) có hai điểm chung.
