Trắc nghiệm Phương trình bậc hai một ẩn lớp 9 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Đáp án đúng là: B

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng \(a{x^2} + bx + c = 0,\) trong đó \(x\) là ẩn; \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số cho trước gọi là hệ số và \(a \ne 0\).

Do đó, phương trình \(2{x^2} - 2022 = 0\) là phương trình bậc hai một ẩn.

Đáp án đúng là: C

Đáp án C sai vì \({x^2} - 4x - 5 = 0\) trong đó \(a = 1;\,\,b = - 4;\,\,c = - 5.\)

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(\Delta = {b^2} - 4ac.\)

Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}.\)

Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{b}{{2a}}.\)

Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi \(\Delta \ge 0.\)

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\,,\)với \(b = 2b'\) và \(\Delta ' = {b'^2} - 4ac.\)

Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};\,\,{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}.\)

Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{{b'}}{a}.\)

Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Đáp án đúng là: C

Phương trình \(2{x^2} - 5x + 2 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.2 = 9 > 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{5 + \sqrt 9 }}{{2.2}} = 2\) và \({x_1} = \frac{{5 - \sqrt 9 }}{{2.2}} = \frac{1}{2}.\)

Đáp án đúng là: A

Phương trình \(9{x^2} - 30x + 25 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 30} \right)^2} - 4.9.25 = 0\)

Suy ra phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{30}}{{2.9}} = \frac{5}{3}.\)

Đáp án đúng là: D

Phương trình \(3{x^2} + 6x + 9 = 0\) có \(\Delta = {6^2} - 4.3.9 = - 72 < 0\).

Suy ra phương trình vô nghiệm.

Đáp án đúng là: C

Phương trình nhận \(x = 1\) và \(x = - 3\) làm nghiệm có dạng:

\(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\) hay \({x^2} + 3x - x - 3 = 0\) hay \({x^2} + 2x - 3 = 0.\)

Đáp án đúng là: D

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.1.8 = 4 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình \(\left( 2 \right)\) có \(\Delta = {2^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = 16 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Đáp án đúng là: B

Phương trình \({x^2} - 7x + 12 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.1.12 = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{7 - 1}}{2};\,\,{x_2} = \frac{{7 + 1}}{2} = 4.\)

Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là \(3 + 4 = 7.\)

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Sai.        c) Sai.        d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: \(m{x^2} - 3x + 1 = 0\) có biệt thức là \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4m = 9 - 4m\).

b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\),

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\9 - 4m > 0\end{array} \right.\) do đó \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m < \frac{9}{4}\end{array} \right.\).

Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(m < \frac{9}{4},m \ne 0\).

c) Sai.

Để phương trình vô nghiệm thì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\9 - 4m < 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > \frac{4}{9}\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện được \(m > \frac{9}{4}\).

Vậy để phương trình vô nghiệm thì \(m > \frac{9}{4}\).

d) Đúng.

Thay \(x = \frac{2}{3}\) vào phương trình, ta được: \(m{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - 3.\frac{2}{3} + 1 = 0\) hay \(\frac{4}{9}m - 1 = 0\) do đó \(\frac{4}{9}m = 1\) suy ra \(m = \frac{9}{4}\).

Phương trình có nghiệm kép \(x = \frac{2}{3}\) khi \(m = \frac{9}{4}\).

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Đúng.    c) Đúng.     d) Sai.

a) Đúng.

Để phương trình luôn có nghiệm thì ta có: \[\Delta ' \ge 0\], suy ra:

\[{\left( {m + 1} \right)^2} - 3m \ge 0\] hay \[{m^2} - m + 1 \ge 0\] nên \[{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge 0\] (luôn đúng với mọi \[m\])

Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi \[m\].

b) Đúng.

Để phương trình \[m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3 = 0\] có nghiệm kép thì:

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 3m = 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} - m + 1 = 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = 0\end{array} \right.\].

Nhận thấy \[{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\] luôn đúng với mọi \[m\].

Do đó \[{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = 0\] vô nghiệm.

Vậy không có giá trị \[m\] thỏa mãn để phương trình có nghiệm kép.

c) Đúng.

Xét với \[m = 0\] thì ta có \[ - 2x + 3 = 0\] suy ra \[x = \frac{3}{2}\].

Do đó với \[m = 0\] thì phương trình có đúng một nghiệm là \[x = \frac{3}{2}\].

d) Sai.

Để phương trình \[m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3 = 0\] có hai nghiệm phân biệt thì

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 3m > 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} - m + 1 > 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\end{array} \right.\].

Nhận thấy \[{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\] luôn đúng với mọi \[m\].

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \[m \ne 0\].

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Đúng.    c) Sai.        d) Đúng.

a) Đúng.

Với \[m = 2\], ta có: \[{x^2} - 1 = 0\] suy ra \[{x^2} = 1\].

Do đó, \[x = 1\] hoặc \[x = - 1\].

Vậy với \[m = 2\] thì phương trình có nghiệm là \[\left\{ { - 1;\,\,1} \right\}\].

b) Đúng.

Nhận thấy \[\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2m - 3 = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[m \in \mathbb{R}\].

Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi \[m \in \mathbb{R}\].

c) Sai.

Để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt thì:

\[\left\{ \begin{array}{l}2m - 3 \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}2m - 3 \ne 0\\{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne \frac{3}{2}\\m \ne 1\end{array} \right.\].

Vậy \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne \frac{3}{2}\\m \ne 1\end{array} \right.\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

d) Đúng.

Xét \[2m - 3 = 0\] suy ra \[m = \frac{3}{2}\] thì ta có phương trình \[x - 1 = 0\] suy ra \[x = 1\]. (1)

Xét \[2m - 3 \ne 0\] suy ra \[m \ne \frac{3}{2}\] thì ta có phương trình \[\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0\].

Nhận thấy tổng các hệ số \[2m - 3 + \left[ { - 2\left( {m - 2} \right)} \right] + \left( { - 1} \right) = 2m - 3 - 2m + 4 - 1 = 0\].

Do đó, phương trình có nghiệm \[x = 1\] và \[x = \frac{{ - 1}}{{2m - 3}}\]. (2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình luôn có nghiệm \[x = 1\].

Đáp án đúng là:a) Đúng.  b) Sai.        c) Đúng.     d) Đúng.

a) Đúng.

Với \[m = - 2\] ta được: \[ - 4{x^2} + 2x - 2 = 0\] hay \[ - 2{x^2} + x - 1 = 0\].

Xét \[\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right) = 1 - 8 = - 7 < 0\].

Do đó, với \[m = - 2\] thì phương trình vô nghiệm.

b) Sai.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\{\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - m\left( {m - 2} \right) > 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\4m + 1 > 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m > - \frac{1}{4}\end{array} \right.\].

Vậy với \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m > - \frac{1}{4}\end{array} \right.\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Đúng.

Để phương trình có nghiệm kép thì:

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\{\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - m\left( {m - 2} \right) = 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\4m + 1 = 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m = - \frac{1}{4}\end{array} \right.\].

Vậy với \[m = - \frac{1}{4}\] thì phương trình có nghiệm kép.

d) Đúng.

Để phương trình có đúng một nghiệm thì phương trình trở thành phương trình bậc nhất. Do đó, \[m - 2 = 0\], suy ra \[m = 2\].

Với \[m = 2\], ta có: \[6x + 2 = 0\] suy ra \[x = - \frac{1}{3}\].

Vậy với \[m = 2\] thì phương trình có nghiệm duy nhất \[x = - \frac{1}{3}\].

Lời giải

Đáp án đúng là: a) Sai.      b) Đúng.    c) Đúng.     d) Sai.

a) Sai.

Với \[m = 3\], ta có phương trình: \[{x^2} - 2x + 5 = 0\] hay \[{\left( {x - 1} \right)^2} + 4 = 0\].

Nhận thấy \[{\left( {x - 1} \right)^2} + 4 > 0\] với mọi \[x\].

Do đó, phương trình \[{\left( {x - 1} \right)^2} + 4 = 0\] vô nghiệm.

Vậy với \[m = 3\] thì phương trình vô nghiệm.

b) Đúng.

Thay \[x = - 4\] vào phương trình, ta có:

\[{\left( { - 4} \right)^2} - 2\left( {m - 2} \right).\left( { - 4} \right) + {m^2} - 3m + 5 = 0\]

\[16 + 8m - 16 + {m^2} - 3m + 5 = 0\]

\[{m^2} + 5m + 5 = 0\] (*)

Xét phương trình (*), ta có:\[\Delta = {5^2} - 5.4 = 5 > 0\].

Do đó, ta có \[{m_1} = \frac{{ - 5 - \sqrt 5 }}{2}\] và \[{m_2} = \frac{{ - 5 + \sqrt 5 }}{2}\].

Vậy các giá trị của \[m\] để phương trình có một trong các nghiệm bằng \[ - 4\] là: \[\left\{ {\frac{{ - 5 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 5 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}\].

c) Đúng.

Để phương trình có nghiệm kép thì phương trình \[{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 3m + 5 = 0\] có biệt thức \[\Delta ' = 0.\]

Ta có: \[\Delta ' = 0\] suy ra \[{\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} - {m^2} + 3m - 5 = 0\] hay \[ - m - 1 = 0\] suy ra \[m = - 1\].

Vậy với \[m = - 1\] thì phương trình có nghiệm kép.

d) Sai.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \[{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 3m + 5 = 0\] có biệt thức \[\Delta ' > 0.\]

Do đó, \[{\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} - {m^2} + 3m - 5 > 0\] hay \[ - m - 1 > 0\], suy ra \[m < - 1\].

Đáp án: 2

Đặt \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta được phương trình\({t^2} - 6t - 7 = 0\)

\(\left( {t + 1} \right)\left( {t + 7} \right) = 0\)

\(t + 1 = 0\) hoặc \(t - 7 = 0\)

\(t = - 1\) hoặc \(t = 7.\)

Đối chiếu với điều kiện \(t \ge 0\) ta được \(t = 7.\)

Với \(t = 7\) ta có \({x^2} = 7\).

Do đó \(x = \sqrt 7 \) hoặc \(x = - \sqrt 7 \).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Đáp án: 2

Để phương trình \(\left( {m + 7} \right){x^2} - 2\left( {m - 9} \right)x - 7m + 15 = 0\) là phương trình bậc hai thì \(m + 7 \ne 0\) hay \(m \ne - 7\).

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m - 9} \right)^2} + \left( {m - 7} \right)\left( {7m - 15} \right)\)

               \( = {m^2} - 18m + 81 + 7{m^2} - 15m + 49m - 105\)

               \( = 8{m^2} + 16m - 24\)

               \( = 8\left( {{m^2} + 2m - 3} \right)\)

\(\Delta ' = 0\), do đó \(8\left( {{m^2} + 2m - 3} \right) = 0\)

                       \(\left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\)

                       \(m = 1\) hoặc \(m = - 3\) (thỏa mãn)

Do đó, có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn để phương trình có nghiệm kép.

Đáp án: 7

Để phương trình vô nghiệm thì \(\Delta < 0\) hay\(\Delta = {m^2} - 4 \cdot 3 < 0\).

Suy ra \({m^2} - 12 < 0\) nên \(\Delta < 0\)\( - \sqrt {12} < m < \sqrt {12} \) hay \( - 3,46... < m < 3,46...\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in {\rm{\{ }} - 3;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3\} \).

Vậy có 7 giá trị thỏa mãn.

Đáp án: −9

Ta có \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right) = 504\)

\(\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 6} \right)} \right]\left[ {\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)} \right] = 504\)

\(\left( {{x^2} + 8x + 12} \right)\left( {{x^2} + 8x + 15} \right) = 504\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt \(t = {x^2} + 8x\), phương trình \(\left( * \right)\) trở thành\(\left( {t + 12} \right)\left( {t + 15} \right) = 420\)

\({t^2} + 27t + 180 = 504\)

\({t^2} + 27t - 324 = 0\)

\(\left( {t - 9} \right)\left( {t + 36} \right) = 0\)

\(t = 9\) hoặc \(t = - 32.\)

Ta xét hai trường hợp sau:

Vì \({\left( {x + 4} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R},\) nên phương trình \(\left( {***} \right)\) vô nghiệm.

Vậy tích các nghiệm của phương trình đã cho là: \(1 \cdot \left( { - 9} \right) = - 9.\)

Đáp án: 2

Vì \(x = - 2\) là nghiệm của phương trình nên ta có:

\(4m + 6\left( {m + 1} \right) + {m^2} - 13m - 4 = 0\)

\(4m + 6m + 6 + {m^2} - 13m - 4 = 0\)

\({m^2} - 3m + 2 = 0\)

\(\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 0\)

Suy ra \(m = 1\) hoặc \(m = 2\).

• Với \(m = 1\) thì ta có phương trình \({x^2} - 6x - 16 = 0\).

Giải phương trình, được: \({x^2} - 8x + 2x - 16 = 0\)

                                         \(\left( {x - 8} \right)x + 2\left( {x - 8} \right) = 0\)

                                          \(\left( {x - 8} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 8\) hoặc \(x = - 2\).

• Với \(m = 2\) thì ta có phương trình \(2{x^2} - 9x - 26 = 0\)

                                                        \(2{x^2} - 13x + 4x - 26 = 0\)

                                                         \(\left( {2x - 13} \right)x + 2\left( {2x - 13} \right) = 0\)

                                                          \(\left( {2x - 13} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)

Suy ra \(x = \frac{{13}}{2}\) hoặc \(x = - 2\).