Bài tập Xác định tọa độ các phép toán vectơ, tọa độ điểm, độ dài đoạn thẳng lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; −1; 2) và B(2; 1; 1). Độ dài đoạn thẳng AB bằng
2;
\(\sqrt 6 \);
\(\sqrt 2 \);
6.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(AB = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 6 \).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; −3) và B(0; −2; 1). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là
M(1; 2; −1);
\(N\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}; - 1} \right)\);
\(P\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2};1} \right)\);
K(3; −1; −2).
Đáp án đúng là: B
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là \(\left( {\frac{{3 + 0}}{2};\frac{{1 - 2}}{2};\frac{{ - 3 + 1}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}; - 1} \right)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {4; - 3; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + \overrightarrow k \). Tìm tọa độ của \(2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b \).
(11; 0; 1);
(5; −1; 0);
(11; 0; −1);
(5; −1; −1).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(2\overrightarrow a = \left( {8; - 6; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow b = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + \overrightarrow k \)\( \Rightarrow \overrightarrow b = \left( {1;2;1} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow b = \left( {3;6;3} \right)\).
Do đó \(2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b = \left( {8 + 3; - 6 + 6; - 2 + 3} \right) = \left( {11;0;1} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2;6;2} \right)\), vectơ \(\frac{3}{2}\overrightarrow a \) có tọa độ là
(−6; 9; 6);
(−3; 9; 3);
(6; 9; 6);
(−3; 6; 3).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\frac{3}{2}\overrightarrow a = \left( { - 3;9;3} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; −3; 5). Tìm tọa độ A' là điểm đối xứng với A qua trục Oy.
A'(2; 3; 5);
A'(2; −3; −5);
A'(−2; −3; 5);
A'(−2; −3; −5).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A(2; −3; 5) lên Oy. Suy ra H(0; −3; 0).
Vì A' đối xứng với A qua trục Oy nên H là trung điểm đoạn AA'.
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = - 2\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = - 3\\{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = - 5\end{array} \right.\)Þ A'(−2; −3; −5).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; 2) và B(3; −1; 4). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {OB} \) là
\(\overrightarrow u = \left( { - 7;7; - 8} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - 7;3; - 8} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - 7;5; - 8} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - 7;9; - 8} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {BA} = \left( { - 2;4; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {OB} = \left( {3; - 1;4} \right)\) suy ra \(2\overrightarrow {BA} = \left( { - 4;8; - 4} \right)\).
Vậy \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {OB} = \left( { - 7;9; - 8} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm E(1; 3; 2), F(0; −1; 5), K(2; 4; −1) và tam giác ABC thỏa mãn \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CK} = \overrightarrow 0 \). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là
G(1; 2; 2);
G(−1; −4; 3);
G(2; 2; 1);
G(1; 1; −3).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CK} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GE} - \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GF} - \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GK} - \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {GK} - \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {GK} = \overrightarrow 0 \).
Suy ra G cũng là trọng tâm của tam giác EFK.
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 + 0 + 2}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{3 - 1 + 4}}{3} = 2\\{z_G} = \frac{{2 + 5 - 1}}{3} = 2\end{array} \right.\). Vậy G(1; 2; 2).
Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành MNPQ có M(−4; 3; 3), N(4; −4; 2) và P(3; 6; −1). Biết chu vi của hình bình hành MNPQ bằng \(\sqrt a + \sqrt b \) với a, b ∈ ℕ* và a > b. Tính a – b.
4;
8;
16;
32.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {8; - 7; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {NP} = \left( { - 1;10; - 3} \right)\).
Suy ra \(MN = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {114} \) và \(NP = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{10}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {110} \).
Chu vi của hình bình hành MNPQ là \(2\left( {MN + NP} \right) = 2\sqrt {114} + 2\sqrt {110} = \sqrt {456} + \sqrt {440} \).
Khi đó a = 456; b = 440. Vậy a – b = 16.
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3;0;1} \right)\) và \(\overrightarrow c = \left( {1;1;0} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow b \) thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow b - \overrightarrow a + 2\overrightarrow c = \overrightarrow 0 \)?
\(\overrightarrow b = \left( { - 1;2; - 1} \right)\);
\(\overrightarrow b = \left( { - 2;1; - 1} \right)\);
\(\overrightarrow b = \left( {1; - 2;1} \right)\);
\(\overrightarrow b = \left( {1;2;1} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow b - \overrightarrow a + 2\overrightarrow c = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow b = \overrightarrow a - 2\overrightarrow c = \left( {1; - 2;1} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3), B(−2; −4; 9). Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA = 2MB. Độ dài đoạn thẳng OM là
5;
3;
\(\sqrt {54} \);
\(\sqrt {17} \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {MA} = \left( {1 - x;2 - y;3 - z} \right)\) và \(\overrightarrow {MB} = \left( { - 2 - x; - 4 - y;9 - z} \right)\).
Ta có MA = 2 MB \( \Rightarrow \overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = - 2\left( { - 2 - x} \right)\\2 - y = - 2\left( { - 4 - y} \right)\\3 - z = - 2\left( {9 - z} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2\\z = 7\end{array} \right.\)
Þ M(−1; −2; 7). Khi đó \(\overrightarrow {OM} = \left( { - 1; - 2;7} \right)\). Vậy \(OM = \sqrt {54} \).
(3; 4; 1).
(−1; −2; 3).
(3; 5; 1).
(1; 2; 3).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Véctơ \(\overrightarrow a - \overrightarrow b \) có toạ độ (1; 2; 3).
(5; −1; −10).
(0; 3; 0).
(−3; 3; 6).
(5; −1; 10).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow a = (1;1; - 2)}\\{\overrightarrow b = ( - 2;1;4)}\end{array}} \right.\)⇒\[\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b \] = (5; −1; −10).
(3; 0; 2).
(−1; −2; 6).
(1; 0; −6).
(1; 2; −6).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (2−1; 1 – (−1); −4 – 2) = (1; 2; −6).
Trong không gian Oxyz, cho A(1; 0; −2) và B(0; 3; 1). Khi đó độ dài đoạn thẳng AB bằng?
6.
\(\sqrt {19} \).
\(\sqrt {10} \).
10
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (−1; 3; 3) ⇒ AB = \(\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 3{}^2 + {3^2}} \) = \(\sqrt {19} \).
\(\left( {\frac{{ - 7}}{2};\frac{{13}}{2}; - 1} \right)\).
\(\left( {\frac{7}{2};\frac{{13}}{2};1} \right)\).
\(\left( {\frac{{ - 7}}{2};\frac{{ - 13}}{2}; - 1} \right)\).
\(\left( {\frac{7}{2};\frac{{ - 13}}{2};1} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Gọi D(x; y; z) là điểm cần tìm.
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (1; −3; 4), \(\overrightarrow {DC} \) = (−3 – x; 5 – y ; 1 – z).
Có \[\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {DC} \]⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = 2\left( { - 3 - x} \right)}\\{ - 3 = 2\left( {5 - y} \right)}\\{4 = 2\left( {1 - z} \right)}\end{array}} \right.\)⇔\(\)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 7}}{2}}\\{y = \frac{{13}}{2}}\\{z = - 1}\end{array}} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a \) = (2; −1; 3), \(\overrightarrow b \) = (−1; 5; 2).
Khi đó:
\(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) = (−3; 6; −1).
\(\overrightarrow a - \overrightarrow b \) = (3; −6; 1).
3\(\overrightarrow b \) = (−3; 15; 6).
\(2\overrightarrow a - \overrightarrow b \) = (5; −7; 4).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d)Đúng.
a) Sai. \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) = (2 + (−1); −1 + 5; 3 + 2) = (1; 4; 5).
b) Đúng. \(\overrightarrow a - \overrightarrow b \) = (2 – (−1); −1 – 5; 3 – 2) = (3; −6; 1).
c) Đúng. 3\(\overrightarrow b \) = (−1∙3; 3∙5; 3∙2) = (−3; 15; 6).
d) Đúng. \(2\overrightarrow a - \overrightarrow b \) = (2∙2 +1; −1∙2 – 5; 2∙3 – 2) = (5; −7; 4).
Trong không gian Oxyz, cho \(\Delta \)ABC, biết A(−1; 0; 3), B(4; 2; 0), C(3; 1; −3).
Khi đó:
G(2; 1; 0) là trọng tâm tam giác ABC.
D(−2; −1; 0) là một đỉnh của hình bình hành ABCD.
M(a; b; c) thoả mãn \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB} \). Khi đó a + b + c = −13.
M(a; b; c) ∈ Ox sao cho BM vuông góc với đường thẳng AC. Khi đó 4a2 + b2 + c2 = 162.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Gọi G(x; y; z) là trọng tâm tam giác ABC.
Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 1 + 4 + 3}}{3} = 2}\\{y = \frac{{0 + 2 + 1}}{3} = 1}\\{z = \frac{{3 + 0 - 3}}{3} = 0}\end{array}} \right.\)Þ G(2; 1; 0).
b) Đúng. Gọi D(x; y; z) là đỉnh của hình bình hành ABCD.
Do D là một đỉnh của hình bình hành ABCD nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \)
Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 = 3 - 4}\\{y - 0 = 1 - 2}\\{z - 3 = - 3 - 0}\end{array}} \right.\)⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{y = - 1}\\{z = 0}\end{array}} \right.\)⇒ D(−2; −1; 0).
c) Sai. Gọi M(a; b; c) thoả mãn \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB} \)
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( {x + 1;y;z - 3} \right);\)\(\overrightarrow {CB} = \left( {1;1;3} \right)\)⇒\(3\overrightarrow {CB} = \left( {3;3;9} \right).\)
\(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB} \)⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 = 3}\\{y = 3}\\{z - 3 = 9}\end{array}} \right.\)⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 3}\\{z = 12}\end{array}} \right..\)
Vậy M(2; 3; 12).
Suy ra a + b + c = 17.
d) Sai. Gọi M(a; b; c) ∈ Ox ⇒ b = 0; c = 0.
\(\overrightarrow {BM} = \left( {a - 4; - 2;0} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = (4;1; - 6).\)
BM vuông góc với đường thẳng AC khi \(\overrightarrow {BM} \bot \overrightarrow {AC} \)⇔\(\overrightarrow {BM} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\)
Do đó: 4(a – 4) − 2∙1 = 0 ⇔ 4a = 18 ⇔ a = \(\frac{9}{2}\).
Khi đó: 4a2 + b2 + c2 = 81.
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a \) = (2; 1; 0), \(\overrightarrow b \) = (−1; 0; −2), \(\overrightarrow c \) = (m; −2; 4).
Khi đó:
−2\(\overrightarrow a \) + \(\overrightarrow b \) = (−5; −2; −2).
\(\overrightarrow b \bot \overrightarrow c \)⇔ m = 8.
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{2}{5}\).
\(\left| {\overrightarrow c } \right| = 2\left| {\overrightarrow a } \right|\)⇔ m = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. −2\(\overrightarrow a \) + \(\overrightarrow b \) = (−2∙2 − 1; −2∙1; −2) = (−5; −2; −2).
b) Sai.\(\overrightarrow b \bot \overrightarrow c \)⇔\(\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c \) = 0 ⇔ − m – 8 = 0 ⇔ m = −8.
c) Sai.\[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{ - 2}}{5}\].
d) Đúng.\(\left| {\overrightarrow c } \right| = 2\left| {\overrightarrow a } \right|\)⇔\(\sqrt {{m^2} + 20} = 2\sqrt 5 \)⇔ m2 + 20 = 20 ⇔ m = 0.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; 5; 4), C(0; 2; 0).
Khi đó:
Khi vecto \(\overrightarrow v = \left( {1;3; - 2n} \right)\)cùng phương với vectơ\(\overrightarrow {AB} \) thì n có giá trị là \(\frac{{ - 1}}{2}\).
Khi ABCD là hình bình hành thì điểm D(−1; −1; −1).
Với điểm E(x; y; −2) để B, C, E thẳng hàng thì x + y = \(\frac{{ - 1}}{2}\).
Điểm M ∈ (Oxy) sao cho A, B, M thẳng hàng có toạ độ là M(−2; 7; 0).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} = (1;3;1)}\\{\overrightarrow v = (1;3; - 2n)}\end{array}} \right.\) .
Để hai vecto \(\overrightarrow v \), \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương ⇔\(\frac{1}{1} = \frac{3}{3} = \frac{{ - 2n}}{1}\)⇔ n = \(\frac{{ - 1}}{2}\).
b) Đúng. Gọi D(a; b; c) là một đỉnh của hình bình hành ABCD.
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} = (1;3;1)}\\{\overrightarrow {DC} = ( - a;2 - b; - c)}\end{array}} \right.\).
Để ABCD là hình bình hành ⇔\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a = 1}\\{2 - b = 3}\\{ - c = 1}\end{array}} \right.\)⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\{b = - 1}\\{c = - 1}\end{array}} \right.\).
Vậy D(−1; −1; −1).
c) Đúng. Ta có: điểm E(x; y; −2).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {BC} = ( - 2; - 3; - 4)}\\{\overrightarrow {BE} = (x - 2;y - 5; - 6)}\end{array}} \right.\).
Để B, C, E thẳng hàng ⇔\(\overrightarrow {BC} \), \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương
⇔\(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 5}}{{ - 3}} = \frac{{ - 6}}{{ - 4}} = \frac{3}{2}\)⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{y = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)⇒ x + y = \(\frac{{ - 1}}{2}\).
d) Sai. Ta có M ∈ (Oxy) ⇒ M(m; n; 0), với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} = (1;3;1)}\\{\overrightarrow {AM} = (m - 1;n - 2; - 3)}\end{array}} \right.\).
Để A, B, M thẳng hàng ⇔\(\overrightarrow {AB} \) , \(\overrightarrow {AM} \) cùng phương
⇔\(\frac{{m - 1}}{1} = \frac{{n - 2}}{3} = \frac{{ - 3}}{1}\)⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 2}\\{n = - 7}\end{array}} \right.\)⇒ M(−2; −7; 0).
Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) = (2; −2; −4), \(\overrightarrow b \) = (1; −1; 1).
Khi đó:
\(\overrightarrow a + \overrightarrow b \)= (3; −3; −3).
\(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 3 \).
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương.
\(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - 2\overrightarrow j - 4\overrightarrow k \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng . b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.\(\overrightarrow a + \overrightarrow b \)= (3; −3; −3).
b) Đúng.\(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 3 \).
c) Sai. \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương.
d) Đúng.\(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - 2\overrightarrow j - 4\overrightarrow k \).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm B(1; 2; −3) và C(7; 4; −2). Gọi E(x; y; z) là điểm thoả mãn đẳng thức \(\overrightarrow {CE} = 2\overrightarrow {EB} \) khi đó x + y + z bằng?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Giả sử điểm cần tìm có toạ độ E(x; y; z), khi đó \(\overrightarrow {CE} \) = (x – 7; y – 4; z + 2) và \(\overrightarrow {EB} = (1 - x;2 - y; - 3 - z)\).
Theo giả thiết \(\overrightarrow {CE} = 2\overrightarrow {EB} \) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 7 = 2 - 2x}\\{y - 4 = 4 - 2y}\\{z + 2 = - 6 - 2z}\end{array}} \right.\)⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{y = \frac{8}{3}}\\{z = \frac{{ - 8}}{3}}\end{array}} \right.\).
Do đó E\(\left( {3;\frac{8}{3};\frac{{ - 8}}{3}} \right)\). Suy ra x + y + z = 3 + \(\frac{8}{3}\) − \(\frac{8}{3}\) = 3.
Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 1), C(−3; 6; 4). Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho MC = 2MB. Tính độ dài AM. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 5,4
Gọi M(a; b; c) là điểm nằm trên đoạn BC.
Ta có \(\overrightarrow {CM} = \left( {a + 3;b - 6;c - 4} \right)\)và \(\overrightarrow {MB} = \left( { - a;3 - b;1 - c} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {MB} \).
Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 3 = - 2a}\\{b - 6 = 6 - 2b}\\{c - 4 = 2 - 2c}\end{array}} \right.\)⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\{b = 4}\\{c = 2}\end{array}} \right.\)⇒ M(−1; 4; 2) ⇒\(\overrightarrow {AM} = \left( { - 3;4;2} \right)\).
Do đó AM = \(\sqrt {29} \) ≈ 5,4.
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(−2; 3; 1) và B(5; 6; 2). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm M. Tỉ số \(\frac{{AM}}{{BM}}\) có giá trị bằng?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,5
M ∈ (Oxz) ⇒ M(x; 0; z); \(\overrightarrow {AB} = \left( {7;3;1} \right)\)⇒ AB = \(\sqrt {59} \); \(\overrightarrow {AM} = \left( {x + 2; - 3;z - 1} \right)\).
A, B, M thẳng hàng nên \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} \) (k ∈ ℝ)
Nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 = 7k}\\{ - 3 = 3k}\\{z - 1 = k}\end{array}} \right.\)⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 9}\\{ - 1 = k}\\{z = 0}\end{array}} \right.\)⇒ M(−9; 0; 0).
\(\overrightarrow {BM} = \left( { - 14; - 6; - 2} \right)\); \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 7; - 3; - 1} \right)\).
BM = 2\(\sqrt {59} \); AM = \(\sqrt {59} \)
⇒\(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{1}{2}\) = 0,5.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 1), C(−3; 6; 4). Tìm điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB. Khi đó tung độ của điểm M có giá trị bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Giả sử M(a; b; c).
Ta có: \(\overrightarrow {BM} = \left( {a;b - 3;c - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 3;3;3} \right)\).
Mà \(\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {BM} \)⇒\(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \).
Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{3} \cdot \left( { - 3} \right)}\\{b - 3 = \frac{1}{3} \cdot 3}\\{c - 1 = \frac{1}{3} \cdot 3}\end{array}} \right.\)⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\{b = 4}\\{c = 2}\end{array}} \right.\)⇒ M(−1; 4; 2).
Do đó M(−1; 4; 2).
Vậy b = 4.
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC biết A(1; 0; −2); B(2; 1; −1), C(1; −2; 2). Tính chu vi tam giác ABC (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 10,6
Theo công thức tính độ dài vectơ ta có:
\(AB = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{(1 - 0)}^2} + {{( - 1 + 2)}^2}} = \sqrt 3 \),
\(BC = \sqrt {1 + 9 + 9} = \sqrt {19} \);
\(AC = \sqrt {0 + 4 + 16} = 2\sqrt 5 \).
Chu vi tam giác ABC: \(\sqrt 3 + \sqrt {19} + 2\sqrt 5 \) ≈ 10,6.
