Bài tập Viết phương trình mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 1; 1) và B(1; 3; −5). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
y – 2z + 2 = 0;
y – 3z + 4 = 0;
y – 2z – 6 = 0;
y – 3z – 8 = 0.
Đáp án đúng là: D
Tọa độ trung điểm M của đoạn AB là M(1; 2; −2).
Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua M và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;2; - 6} \right)\) có phương trình 2y – 6z – 16 = 0 hay y – 3z – 8 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 0; 1). Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên trục Ox và trên (Oyz). Viết phương trình mặt trung trực của đoạn AB.
4x – 2z – 3 = 0;
4x – 2y – 3 = 0;
4x – 2z + 3 = 0;
4x + 2z + 3 = 0.
Đáp án đúng là: A
Theo đề ta có A(2; 0; 0), B(0; 0; 1).
Gọi I là trung điểm AB. Ta có \(I\left( {1;0;\frac{1}{2}} \right)\).
Mặt phẳng trung trực đoạn AB đi qua I và nhận \(\overrightarrow {BA} = \left( {2;0; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình \(2\left( {x - 1} \right) - \left( {z - \frac{1}{2}} \right) = 0\) 4x – 2z – 3 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−2; 2; 6). Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng OA.
x – y – 3z + 11 = 0;
x – y – 3z + 9 = 0;
– x + y + 3z + 22 = 0;
x – y – 3z = 0.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( { - 2;2;6} \right)\).
Mặt phẳng (P) nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1; - 3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và đi qua I(−1; 1; 3) trung điểm của OA nên có phương trình x – y – 3z + 11 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(2; −1; 2) và N(2; 1; 4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN.
3x + y – 1 = 0;
y + z – 3 = 0;
x – 3y – 1 = 0;
2x + y – 2z = 0.
Đáp án đúng là: B
Trung điểm I của đoạn MN có tọa độ I(2; 0; 3) và \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;2;2} \right)\).
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN đi qua I và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {0;1;1} \right)\) có phương trình là y + z – 3 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 0; 1). Gọi N là hình chiếu của M trên mặt phẳng (Oxy). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn MN.
2z – 1 = 0;
2z + 1 = 0;
z – 1 = 0;
2z – 3 = 0.
Đáp án đúng là: A
Theo đề ta có N(2; 0; 0).
Gọi I là trung điểm MN nên I có tọa độ \(I\left( {2;0;\frac{1}{2}} \right)\).
Mặt phẳng trung trực đoạn MN đi qua I và nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;0; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình \( - z + \frac{1}{2} = 0\) 2z – 1 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; 2; −1) và B(−5; 4; 1). Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
E(−8; 2; 2);
F(0; −3; 4);
G(0; 0; 7);
H(−2; 6; 0).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 8;2;2} \right)\) và I(−1; 3; 0) là trung điểm của đoạn AB.
Phương trình mặt phẳng trung trực của AB đi qua I(−1; 3; 0) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 8;2;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
−8(x + 1) + 2(y – 3) + 2z = 0 4x – y – z + 7 = 0.
Thay tọa độ điểm G vào phương trình mặt phẳng ta được −7 + 7 = 0 (luôn đúng).
Trong không gian Oxyz cho điểm A(−2; 3; 2), điểm B thuộc trục Oy và có tung độ bằng 5. Viết phương trình mặt phẳng (α) là mặt phẳng trung trục của đoạn AB.
x + y – z – 2 = 0;
x + y – z + 6 = 0;
−x + 4y + z – 2 = 0;
2x + 2y – 2z – 6 = 0.
Đáp án đúng là: A
Ta có B(0; 5; 0), I là trung điểm AB I(−1; 4; 1).
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2; - 2} \right)\).
Mặt phẳng trung trực của AB có dạng 2x + 2y – 2z – 4 = 0 x + y – z – 2 = 0.
Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; 2; 5), B(2; −2; 1), gọi G là trọng tâm của tam giác OAB. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng OG.
x + 2y – 5 = 0;
2x + 4y – 5 = 0;
x – 2z + 5 = 0;
2x + 4z – 5 = 0.
Đáp án đúng là: D
Ta có G(1; 0; 2), I là trung điểm của OG nên \(I\left( {\frac{1}{2};0;1} \right)\).
Mặt phẳng trung trực của OG đi qua I và nhận \(\overrightarrow {OG} = \left( {1;0;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(x + 2z - \frac{5}{2} = 0\) 2x + 4z – 5 = 0.
Trong không gian Oxyz cho điểm M(2; 7; −4), gọi A và B lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục tọa độ Ox và Oz. Mặt phẳng nào sau đây là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
x – 2z – 5 = 0;
x + 2z + 6 = 0;
x + 2z + 3 = 0;
2x + 7y – 4z + 6 = 0.
Đáp án đúng là: C
Theo đề ta có A(2; 0; 0), B(0; 0; −4), I là trung điểm AB nên I(1; 0; −2).
Mặt phẳng trung trực của AB là mặt phẳng đi qua I(1; 0; −2) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;0; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x + 2z + 3 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4; 0; 1) và B(−2; 2; 3). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là ax + by − z = 0. Tính a + b.
2;
−2;
3;
−3.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;2;2} \right)\) và I là trung điểm của AB nên I(1; 1; 2).
Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;2;2} \right)\) là vectơ pháp tuyến có phương trình
−6(x – 1) + 2(y – 1) + 2(z – 2) = 0 −6x + 2y + 2z = 0 3x – y – z = 0.
Suy ra a + b = 2.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và B(1; 4; −3). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
y – z + 3 = 0.
y – 3z − 3 = 0.
y + z + 3 = 0.
y + z − 3 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Tọa độ trung điểm M của đoạn AB là M(1; 3; 0).
Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua M và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;2; - 6} \right)\) có phương trình 0(x – 1) + 2(y − 3) − 6(z – 0) = 0 hay y – 3z – 3 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; 1; 1). Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên trục Oy và trên (Oxz). Viết phương trình mặt trung trực của đoạn AB.
6x – 2y + 2z – 9 = 0.
3x – y + z + \(\frac{9}{2}\) = 0.
6x – 2y + 2z + 9 = 0.
3x − y + z –1 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có A(0; 1; 0) , B(3; 0; 1).
Gọi I là trung điểm của AB. Ta có \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).
Mặt phẳng trung trực đoạn AB đi qua I và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình \(3\left( {x - \frac{3}{2}} \right) - 1\left( {y - \frac{1}{2}} \right) + 1\left( {z - \frac{1}{2}} \right) = 0\)) ⇔ 3x − y + z – \(\frac{9}{2}\) = 0 hay 6x – 2y + 2z – 9 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4; 2; 6). Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng OA.
2x + y + 3z – 28 = 0.
2x + y + 3z −14 = 0.
x + y + 3z − 28 = 0.
2x + y + 3z + 28 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {4;2;6} \right) = 2 \cdot \left( {2;1;3} \right)\).
Mặt phẳng (P) nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và đi qua I(2; 1; 3) trung điểm của OA nên có phương trình là:
2(x − 2) + 1(y − 1) + 3(z – 3) = 0 hay 2x + y + 3z – 14 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(2; 1; −2) và N(6; −1; 4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN.
3x + y − 1 = 0.
y + z − 3 = 0.
x − 3y − 1 = 0.
2x – y + 3z −11 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Trung điểm I của đoạn MN có tọa độ I(4; 0; 1) và \(\overrightarrow {MN} = \left( {4; - 2;6} \right)\).
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN đi qua I và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)\) có phương trình là 2(x – 4) − 1(y – 0) + 3(z – 1) = 0 hay 2x – y + 3z – 11 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; 1; 1). Gọi N là hình chiếu của M trên mặt phẳng (Oyz). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn MN
2x − 1 = 0.
2x + 1 = 0.
x − 1 = 0.
2x − 3 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Theo đề ta có N (0; 1; 1).
Gọi I là trung điểm MN nên I có tọa độ \(I\left( {\frac{3}{2};1;1} \right)\).
Mặt phẳng trung trực đoạn MN đi qua I và nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;0;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình \(\left( {x - \frac{3}{2}} \right) + 0\left( {y - 1} \right) + 0\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3 = 0\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; 0) và B(4; 1; 2).
Khi đó:
\(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)\).
Mặt phẳng qua A và vuông góc với AB có phương trình là 3x + y + 2z – 3 = 0.
Nếu I(a; b; c) là trung điểm của AB thì a + b + c = 4.
Mặt phẳng trung trực của AB có phương trình là 3x + y + 2z – 12 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)\).
b) Đúng. Mặt phẳng qua A(1; 0; 0) và vuông góc với AB nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là 3x + y + 2z – 3 = 0.
c) Đúng. Gọi I là trung điểm của AB khi đó \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)\).
Vậy a + b + c = \(\frac{5}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 4\).
d) Sai. Mặt phẳng trung trực của AB đi qua \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
\(3\left( {x - \frac{5}{2}} \right) + 1\left( {y - \frac{1}{2}} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\) hay 3x + y + 2z – 10 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 1), B(−2; 1; 0), C(0; 2; 2).
Khi đó:
Mặt phẳng trung trực của đoạn AB có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1; - 1} \right)\)
Cặp vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;0;1} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {2;1;2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow u = \left( {1; - 4;1} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn BC là \(\overrightarrow v = \left( {1;0; - 1} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Mặt phẳng trung trực của đoạn AB có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 1; - 1} \right) = - 1 \cdot \left( {3;1;1} \right)\).
b) Sai. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;0;1} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {2;1;2} \right)\).
c) Đúng. Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;4; - 1} \right) = - \left( {1; - 4;1} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow u = \left( {1; - 4;1} \right)\).
d) Sai. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn BC là \(\overrightarrow v = \overrightarrow {BC} = \left( {2;1;2} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; −2; 0), B(2; −1; 1), C(1; 1; 2).
Khi đó:
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 3;2} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng là ax + by + cz + 3 = 0, khi đó giá trị của biểu thức a + b + c = 0.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với BC. Khi đó mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; −2; 0).
Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AC có phương trình: 3y + 2z + 1 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {0;3;2} \right)\).
b) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 2;3} \right)\)
Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(1; −2; 0) và nhận vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 1; - 2;3} \right)\) có phương trình là:
−1(x – 1) – 2(y + 2) + 3(z – 0) = 0 hay x + 2y – 3z + 3 = 0.
Khi đó a + b + c = 0.
c) Đúng. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với BC. Khi đó mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; −2; 0).
d) Sai. Gọi M là trung điểm của AC nên nên \(M\left( {1;\frac{{ - 1}}{2};1} \right)\).
Mặt phẳng (α) đi qua \(M\left( {1;\frac{{ - 1}}{2};1} \right)\) và nhận vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {0;3;2} \right)\) có phương trình là:
0 (x −1) + 3\(\left( {y + \frac{1}{2}} \right)\) + 2(z – 1) = 0 hay 3y + 2z − \(\frac{1}{2}\) = 0.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3), B(3; 0; 1).
Khi đó:
Trung điểm I của AB có toạ độ là I(2; 1; 2).
Phương trình mặt phẳng trung trực (P) của AB có dạng x – y – z + m = 0. Giá trị của m = 0.
Mặt phẳng trung trực (P) của AB cắt trục Oz tại điểm có cao độ bằng 3.
Độ dài của\(AB = \sqrt 3 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Trung điểm I của AB có toạ độ là I(2; 1; 2).
b) Sai. \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2; - 2} \right) = 2 \cdot \left( {1; - 1; - 1} \right) = 2\overrightarrow n \).
Chọn \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1; - 1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Phương trình mặt phẳng trung trực (P) là:
1(x – 2) – 1(y – 1) – 1( z – 2) = 0 hay x – y – z + 1 = 0.
Vậy m = 1.
c) Sai. Gọi C(0; 0; z) là điểm thuộc Oz.
Thay C(0; 0; z) vào mặt phẳng (P) ta có: z = 1.
Mặt phẳng trung trực (P) của AB cắt trục Oz tại điểm có cao độ bằng 1.
d) Sai. \(AB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 3 \).
Trong không gian Oxyz, cho G(1; 4; 3) và H(4; 0; 5).
\(\overrightarrow {GH} = \left( {3; - 4;2} \right)\)
Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn GH là 3x – 4y + 2z = 0.
Mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm tứ diện OABC. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng ax + by + cz – 48 = 0. Khi đó giá trị của biểu thức a + b + c bằng 20.
Mặt phẳng (Q) đi qua H và song song với mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z – 5 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. \(\overrightarrow {GH} = \left( {3; - 4;2} \right)\)
b) Sai. Gọi I là trung điểm của GH nên \(I\left( {\frac{5}{2};2;4} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow n = \overrightarrow {GH} = \left( {3; - 4;2} \right)\).
Mặt phẳng trung trực của đoạn GH đi qua I và nhận \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 3\(\left( {x - \frac{5}{2}} \right)\) − 4(y – 2) + 2(z – 4) = 0 hay 3x – 4y + 2z − \(\frac{{15}}{2}\) = 0.
c) Sai. Mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C nên A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c).
Vì G là trọng tâm của tứ diện OABC nên
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_O}}}{4} = \frac{a}{4}}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_O}}}{4} = \frac{b}{4}}\\{{z_G} = \frac{{z{}_A + {y_A} + {z_A} + {z_O}}}{4} = \frac{c}{4}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 4}\\{b = 16}\\{c = 12}\end{array}} \right.} \right.\).
Khi đó mặt phẳng (P) có phương trình là \(\frac{x}{4} + \frac{y}{{16}} + \frac{z}{{12}} = 1\) hay 12x + 3y + 4z – 48 = 0.
Vậy a + b + c = 19.
d) Đúng. Mặt phẳng (Q) đi qua H và song song với mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z – 5 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho A(2; 1; 4) và B(−1; −3; −5). Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của của đoạn thẳng AB. Biết phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: 3x + by + cz + d = 0. Tìm giá trị của b?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Gọi I là trung điểm của AB.
Khi đó \(I\left( {\frac{1}{2}; - 1;\frac{{ - 1}}{2}} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 4; - 9} \right) = - 1 \cdot \left( {3;4;9} \right)\).
Chọn \(\overrightarrow n = \left( {3;4;9} \right)\) làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Mặt phẳng (P) có phương trình là:
3\(\left( {x - \frac{1}{2}} \right)\) + 4(y + 1) + 9\(\left( {z + \frac{1}{2}} \right)\) = 0 hay 3x + 4y + 9z + 7 = 0.
Vậy b = 4.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−1; 2; 3) và B(1; 6; −1. Gọi C(2; 2; m) thuộc mặt phẳng trung trực của AB. Tìm giá trị của m.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −1
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên I(0; 4; 1).
Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I(0; 4; 1) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;4; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
2(x – 0) + 4(y – 4) – 4(z – 1) = 0 hay x + 2y – 2z – 6 = 0.
Thay C(2; 1; m) vào phương trình mặt phẳng trung trực AB: x + 2y – 2z – 6 = 0.
Ta có: 2 + 1∙2 – 2∙m – 6 = 0 hay m = −1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2,7
Gọi I là trung điểm của AB nên I(2; 1; 2).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4; - 4} \right) = 2 \cdot \left( {1; - 2; - 2} \right)\).
Chọn \(\overrightarrow n = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).
Mặt phẳng (α) đi qua I và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) có phương trình là:
1(x – 2) – 2(y – 1) – 2(z – 2) = 0 hay x – 2y – 2z + 4 = 0.
Mặt phẳng của (α) với các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A', B', C' nên A'(−4; 0; 0), B'(0; 2; 0) và C'(0; 0; 2).
\(v = \frac{1}{6} \cdot OA' \cdot OB' \cdot OC' = \frac{1}{6} \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2 = \frac{8}{3} \approx 2,7\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−3; 2; 1) và B(5; −4; 1). Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên (Oxy) và N là điểm đối xứng của B qua (Oyz).
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn MN. Biết phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: 4x + by + cz + d = 0. Tìm giá trị của d?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 29
M là hình chiếu vuông góc của A trên (Oxy) nên M(−3; 2; 0).
N là điểm đối xứng của B qua (Oyz) nên N(−5; −4; 1).
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 2; - 6;1} \right)\).
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN do đó \(I\left( { - 4; - 1;\frac{1}{2}} \right)\).
Mặt phẳng (P) đi qua I và nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 2; - 6;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình là: −2(x + 4) – 6(y + 1) + 1\(\left( {z - \frac{1}{2}} \right)\) = 0 hay 4x + 12y – 2z + 29 = 0.
Vậy d = 29.
Trong không gian Oxyz, cho hình vuông ABCD biết A(1;2;1), B(3;0;0), C(1; −1; −2), D(−1; 1; −1). Giả sử I(m; n; p) là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng GI. Biết phương trình của mặt phẳng (P) có dạng ax + by + cz – 9 = 0. Tính giá trị của biểu thức a + c.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 10
Tâm I của hình vuông chính là trung điểm của đường chéo AC và BD.
Khi đó \(I\left( {1;\frac{1}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\).
G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\).
Gọi H là trung điểm của GI nên \(H\left( {\frac{4}{3};\frac{5}{{12}};\frac{{ - 5}}{{12}}} \right)\).
\(\overrightarrow {GI} = \left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{1}{6};\frac{{ - 1}}{6}} \right)\).
Chọn \(\overrightarrow n = \left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{1}{6};\frac{{ - 1}}{6}} \right)\) làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn GI.
Do đó phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn GI là:
\(\frac{{ - 2}}{3}\left( {x - \frac{4}{3}} \right) + \frac{1}{6}\left( {y - \frac{5}{{12}}} \right) - \frac{1}{6}\left( {z + \frac{5}{{12}}} \right) = 0\)
⇔ \(\frac{{ - 2}}{3}x + \frac{1}{6}y - \frac{1}{6}z + \frac{3}{4} = 0\) hay 8x – 2y + 2z – 9 = 0.
Vậy a + c = 8 + 2 = 10.
Bạn có thích hoạt động này không?
