Bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có một vectơ pháp tuyến lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt phẳng có dạng 2x + z + c = 0.

Thay M(1; −2; 3) vào phương trình ta được c = −5.

Phương trình mặt phẳng là: 2x + z − 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; −3; 4) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;4;1} \right)\) là:

−2(x – 2) + 4(y + 3) + (z – 4) = 0 ⇔ 2x – 4y – z – 12 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {4;2;6} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M' và nhận \(\overrightarrow {MM'} \) làm vectơ pháp tuyến là:

4(x – 5) + 2(y – 4) + 6(z − 2) = 0 ⇔ 2x + y + 3z − 20 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

 Gọi M(x; y; z). Do MA = 2MB và M là điểm thuộc đoạn AB nên \(\overrightarrow {MA}  =  - 2\overrightarrow {MB} \).

Khi đó: \(\overrightarrow {MA}  =  - 2\overrightarrow {MB}  \Leftrightarrow \left( {2 - x;1 - y; - 1 - z} \right) =  - 2 \cdot \left( {1 - x;2 - y;3 - z} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 - x =  - 2\left( {1 - x} \right)}\\{1 - y =  - 2\left( {2 - y} \right)}\\{ - 1 - z =  - 2\left( {3 - z} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{4}{3}}\\{y = \frac{5}{3}}\\{z = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow M\left( {\frac{4}{3};\frac{5}{3};\frac{5}{3}} \right)\).

Phuơng trình mặt phẳng đi qua điểm M và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {5; - 3;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:

\(5 \cdot \left( {x - \frac{4}{3}} \right) - 3 \cdot \left( {y - \frac{5}{3}} \right) + 2 \cdot \left( {z - \frac{5}{3}} \right) = 0\) ⇔ 5x – 3y + 2z – 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Do B ∈ Oz nên B(0; 0; z).

\(OB = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{0^2} + {0^2} + {z^2}}  = 3 \Leftrightarrow {z^2} = 9 \Leftrightarrow z =  \pm 3\).

Do cao độ của B dương nên z = 3 nên B(0; 0; 3).

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1;2} \right)\).

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} \) làm vectơ pháp tuyến là:

−1(x – 1) – (y – 1) + 2(z – 1) = 0 ⇔ x + y – 2z = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.              b) Sai.                          c) Đúng.                  d) Sai.

a) Đúng. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(−1; 2; 0) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {4;0; - 5} \right)\) có phương trình là:

4(x + 1) − 5z = 0 ⇔ 4x – 5z + 4 = 0.

b) Sai. Thay A(2; −1; 5) vào phương trình mặt phẳng (P): 4x – 5z + 4 = 0.

Ta có: 4∙2 − 5∙5 + 4 = −13.

Mặt phẳng (P) không đi qua điểm A(2; −1; 5).

c) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {8;0; - 10} \right) = 2 \cdot \left( {4;0; - 5} \right) = 2\overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

d) Sai. Thay B(0; 2; 8) ) vào phương trình mặt phẳng (P): 4x – 5z + 4 = 0.

Ta có: 4∙0 – 5∙8 + 4= −36.

Vậy B(0; 2; 8) không thuộc mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                        b) Đúng.                     c) Đúng.              d) Đúng.

a) Đúng. Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là (2; 1; 2).

b) Đúng. Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua I(2; 1; 2) và có vectơ pháp tuyến\(\overrightarrow n  = \left( { - 2;1;4} \right)\) là:

−2∙(x – 2) + 1∙(y – 1) + 4∙(z – 2) = 0 ⇔ −2x + y + 4z − 5 = 0.

c) Đúng. Hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (Oyz) là K(0; 1; 2).

d) Đúng. Thay M(1; −1: 2) vào phương trình (Q) −2x + y + 4z − 5 = 0.

Ta có: −2∙1 − 1 + 4∙2 − 5 = 0.

Vậy M thuộc mặt phẳng (Q).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng              b) Đúng.               c) Đúng.                       d) Sai.

a) Đúng. H' là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (Oxy) nên H'(3; 4; 0).

b) Đúng. Mặt phẳng (P) đi qua điểm H'(3; 4; 0) và có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 1} \right)\) có phương trình là:

1(x – 3) + 1(y – 4) – z = 0 ⇔ x + y – z – 7 = 0.

c) Đúng. Thay M(7; 0; 0) vào mặt phẳng (P): x + y – z – 7 = 0.

Ta có: 7 + 0 − 0 – 7 = 0.

Vậy M thuộc mặt phẳng (P).

d) Sai. Vectơ \(\overrightarrow u  = \left( { - 2; - 2;2} \right) =  - 2 \cdot \left( {1;1; - 1} \right) =  - 2\overrightarrow n \).

Vì \(\overrightarrow u \) cùng phương với \(\overrightarrow n \) nên \(\overrightarrow u  = \left( { - 2; - 2;2} \right)\) là một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                   b) Sai.                c) Sai.                  d) Đúng.

a) Đúng. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 2;1} \right)\) có phương trình là:

2(x – 1) – 2(y – 1) + z – 2 = 0 ⇔ 2x – 2y + z – 2 = 0.

b) Sai. \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 8; - 7;2} \right)\).

c) Sai. \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 8; - 7;2} \right) \ne \overrightarrow 0 \). \(\overrightarrow u \) không cùng phương với \(\overrightarrow v \).

d) Đúng. Thay C(3; 2; 0) vào mặt phẳng (P): 2x – 2y + z – 2 = 0.

Ta có: 3∙2 − 2∙2 – 2 = 0.

Vậy C thuộc mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.                   b) Đúng.            c) Sai.                d) Đúng.

a) Sai. Thay m = 2 vào phương trình mặt phẳng (Q): (m + 1)x – 2y + z – 5 = 0.

Ta có: 3x – 2y + z – 5 = 0.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là: \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2;1} \right)\).

b) Đúng. Điều kiện để với mọi m thì phương trình đã cho luôn là phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q): (m + 1)x – 2y + z – 5 = 0 .

(m + 1)2 + (−2)2 + 12 > 0 ⇔ (m + 1)2 + 5 > 0 với mọi giá trị của m.

c) Sai. Thay m = −3 vào phương trình mặt phẳng (Q): (m + 1)x – 2y + z – 5 = 0.

Ta có: −2x −2y + z – 5 = 0.

Vecơ pháp tuyến của (Q) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 2; - 2;1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng đi qua A(1; 2; 8) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 2; - 2;1} \right)\) là:

−2(x – 1) −2(y – 2) + z – 8 = 0 ⇔ −2x – 2y + z – 2 = 0.

d) Đúng. Thay A(0; 2; 9) vào phương trình mặt phẳng (Q) ta có:

− 2∙2 + 9 – 5 = 0.

Vậy với mọi giá trị của tham số m, mặt phẳng (Q) luôn đi qua điểm A(0; 2; 9).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −9

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và \(\overrightarrow n \) làm vectơ pháp tuyến có dạng

2(x – 1)  − (y + 1) + 3(z – 2) = 0 ⇔ 2x – y + 3z – 9 = 0.

Vậy D = −9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −5

Hình chiếu của M lên Oz là M'(0; 0; 3).

\(\overrightarrow n  = \overrightarrow {MM'}  = \left( { - 1; - 2;0} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (α) đi qua M(1; 2; 3) và nhận \(\overrightarrow {MM'} \) làm vectơ pháp tuyến là:

−1(x – 1) − 2(y – 2) + 0(z – 3) = 0 ⇔ −x − 2y + 5 = 0 ⇔ x + 2y – 5 = 0.

Vậy D = −5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2,5

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I và nhận \(\overrightarrow u \) làm vectơ pháp tuyến là:

2(x – 1) + 2(y −2) + (z + 1) = 0 ⇔ 2x + 2y + z – 5 = 0.

Phương trình mặt phẳng (P) giao với trục Ox là:

2x – 5 = 0 ⇔ x = 2,5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  = 2\overrightarrow {MB} \\ \Leftrightarrow (3 - x; - 2 - y;1 - z) = 2 \cdot (1 - x;1 - y; - 2 - z) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - x = 2(1 - x)}\\{ - 2 - y = 2(1 - y)}\\{1 - z = 2( - 2 - z)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1}\\{y = 4}\\{z =  - 5}\end{array}} \right.\end{array}\)Do đó: M(−1; 4; −5).

Mặt phẳng (P) đi qua M(−1; 4; −5) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3;2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:

3(x + 1) + 2(y – 4) – z + 5 = 0 ⇔ 3x + 2y – z = 0. Suy ra A = 3; B = 2.

Vậy T = A + B = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Mặt phẳng (P) vuông góc với trục Oz nhận \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(z - 3 = 0\)Û z = 3.