Bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm kèm điều kiện song song với mặt phẳng khác lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A(1; 3; −2) và song song với mặt phẳng (P): 2x – y + 3z + 4 = 0 là
2x + y + 3z + 7 = 0;
2x + y – 3z + 7 = 0;
2x – y + 3z + 7 = 0;
2x – y + 3z – 7 = 0.
Đáp án đúng là: C
Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.
Vì (α) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)\).
Ta có (α) đi qua A(1; 3; −2) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {2; - 1;3} \right)\).
Do đó phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) là: \(2\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 3} \right) + 3\left( {z + 2} \right) = 0\) hay 2x – y + 3z + 7 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; −1; −3) và mặt phẳng (P): 3x – 2y + 4z – 5 = 0. Mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P) có phương trình:
3x – 2y + 4z – 4 = 0;
3x – 2y + 4z + 4 = 0;
3x – 2y + 4z + 5 = 0;
3x + 2y + 4z + 8 = 0.
Đáp án đúng là: B
Do (Q) song song với (P) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2;4} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (Q): 3(x – 2) – 2(y + 1) + 4(z + 3) = 0
3x – 2y + 4z + 4 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−1; 2; 1) và mặt phẳng (P): 2x – y + z – 3 = 0. Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song với (P). Điểm nào sau đây không nằm trên mặt phẳng (Q).
K(3; 1; −8);
N(2; 1; −1);
I(0; 2; −1);
M(1; 0; −5).
Đáp án đúng là: B
Do (Q) // (P) nên phương trình mặt phẳng (Q) có dạng 2x – y + z + C = 0 (C ≠ −3).
Mặt phẳng (Q) đi qua A(−1; 2; 1) nên 2.(−1) – 2 + 1 + C = 0 C = 3.
Suy ra phương trình mặt phẳng (Q): 2x – y + z + 3 = 0.
Suy ra điểm không nằm trên mặt phẳng (Q) là N(2; 1; −1) vì 2.2 – 1 – 1 + 3 = 5 ≠ 0.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; −1; −2) và mặt phẳng (α): 3x – y + 2z + 4 = 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với (α).
3x + y – 2z – 14 = 0;
3x – y + 2z + 6 = 0;
3x – y + 2z – 6 = 0;
3x – y – 2z + 6 = 0.
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng qua M và song song với (α) có phương trình là:
3(x – 3) – (y + 1) + 2(z + 2) = 0 hay 3x – y + 2z – 6 = 0.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua I(1; −2; 0) và song song với mặt phẳng (Oxz) có phương trình là:
y + 1 = 0;
y – 2 = 0;
y + 2 = 0;
x + z – 1 = 0.
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxz) có dạng y + D = 0, qua I(1; −2; 0) nên D = 2.
Vậy mặt phẳng cần tìm là y + 2 = 0.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A(1; 3; −2) và song song với mặt phẳng (P): 2x – y + 3z + 4 = 0 là
2x – y + 3z + 7 = 0;
2x + y – 3z + 7 = 0;
2x + y + 3z + 7 = 0;
2x – y + 3z – 7 = 0.
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P): 2x – y + 3z + 4 = 0 có dạng:
2x – y + 3z + D = 0 (D ≠ 4).
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1; 3; −2) nên ta có:
2.1 – 3 + 3.(−2) + D = 0 D = 7 (thỏa mãn).
Vậy phương trình mặt phẳng (Q): 2x – y + 3z + 7 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−1; 2; 1) và mặt phẳng (P): 2x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P).
2x – y + z – 3 = 0;
−x + 2y + z + 3 = 0;
2x – y + z + 3 = 0;
−x + 2y + z + 3 = 0.
Đáp án đúng là: C
Vì (Q) // (P) nên (Q) có dạng: 2x – y + z + m = 0 (m ≠ −1).
Vì A (Q) nên 2.(−1) – 2 + 1 + m = 0 m = 3.
Vậy (Q): 2x – y + z + 3 = 0.
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng qua M(1; 1; 1) song song (Oxy) là
y – 1 = 0;
x + y – 2 = 0;
x + y + z – 3 = 0;
z – 1 = 0.
Đáp án đúng là: D
Vì (P) // (Oxy) nên (P): z + d = 0.
Mà M (P) nên d = −1 nên (P): z – 1 = 0.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua I(3; −3; 3) và song song với mặt phẳng (Oyz) có phương trình là:
y – 3 = 0;
x + 3 = 0;
x – 3 = 0;
z – 3 = 0.
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) nên có dạng x + D = 0 và đi qua I nên D = −3.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là x – 3 = 0.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (Q): 5x – 3y + 2z – 3 = 0 có phương trình là
5x + 3y – 2z = 0;
5x – 3y – 2z = 0;
5x – 3y + 2z = 0;
−5x + 3y + 2z = 0.
Đáp án đúng là: C
Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng: 5x – 3y + 2z + c = 0 (c ≠ −3).
Mà (P) đi qua O nên (P): 5x – 3y + 2z = 0.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A(2; −3; 2) và song song với mặt phẳng (P): x − y + z + 4 = 0 là:
x + y + z + 7 = 0.
x + y − z + 7 = 0.
x − y + z + 7 = 0.
x − y + z − 7 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.
Vì (α) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Ta có (α) đi qua A(2; −3; 2) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Do đó phương trình của mặt phẳng (α) là 1(x – 2) − 1(y + 3) + 1(z − 2 ) = 0 hay x − y + z − 7 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 1; 4) và mặt phẳng (P): x − 2y + 4z − 5 = 0. Mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P) có phương trình:
x − 2y + 4z − 4 = 0;
x − 2y + 4z − 16 = 0;
x + 2y + 4z + 16 = 0;
x + 2y + 4z −16 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vì (Q) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;4} \right)\).
Mặt phẳng (Q) đi qua A(2; 1; 4) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 2;4} \right)\).
Do đó phương trình mặt phẳng (Q) là 1(x – 2) – 2(y – 1) + 4(z – 4) = 0 hay x – 2y + 4z – 16 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; −2; 4) và mặt phẳng (P): x + 2y + z + 5 = 0. Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song với (P). Điểm nào sau đây không nằm trên mặt phẳng (Q).
K(1; 1; −2).
N(2; 1; −3).
I(0; 2; −3).
M(1; 0; −5).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Vì (Q) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2;1} \right)\).
Mặt phẳng (Q) đi qua A(1; −2; 4) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2;1} \right)\).
Do đó phương trình mặt phẳng (Q) là 1(x – 1) + 2(y + 2) + 1(z – 4) = 0 hay x + 2y + z – 1 = 0.
Thay M(1; 0; −5) vào phương trình mặt phẳng (Q): x + 2y + z – 1 = 0.
Ta có: 1 + 2∙0 – 5 – 1 = −5.
Vậy M không thuộc mặt phẳng (Q).
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua M(2; −3; 4) và song song với mặt phẳng (Oxz) có phương trình là:
y + 4 = 0;
y − 4 = 0;
y + 3 = 0;
x + z − 2 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxz) có dạng y + D = 0, qua M(2; −3; 4) nên D = 3.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là y + 3 = 0.
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng qua H(−3; −1; −3) song song (Oyz) là:
y − 3 = 0.
x + 3 = 0.
x − 3 = 0.
z − 3 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) nên có dạng x + D = 0 và đi qua H nên D = 3.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là x + 3 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; −1; 4) và mặt phẳng (P): 3x – 2y + z + 1 = 0.
Khi đó:
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2;1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua O và song song với mặt phẳng (P) là 3x – 2y + z = 0.
Phương trình của mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (P) là 3x + 2y + z + 12 = 0.
Gọi M' là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Oxy). Khi đó toạ độ M' là (2; −1; 0).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2;1} \right)\).
b) Đúng. Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua O và song song với mặt phẳng (P) là 3x – 2y + z = 0.
c) Sai. Gọi phương trình cần tìm là (α).
Do (α) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 2;1} \right)\).
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2; −1; 4) và nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; - 2;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 3(x – 2) – 2(y + 1) + 1(z – 4) = 0 hay 3x – 2y + z – 12 = 0.
Phương trình mặt phẳng đi qua M(2; −1; 4) và song song với mặt phẳng (P) là:
d) Đúng. Gọi M' là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Oxy). Khi đó toạ độ M' là (2; −1; 0).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 và (Q): 5x – 4y + 3z + 1 = 0.
Khi đó:
Điểm A(1; 2; −1) nằm trên mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0.
Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau.
Mặt phẳng (α) đi qua điểm I(1; 0; −1) và song song với (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 có phương trình là (α): 3x – 2y + 2z – 1 = 0.
Mặt phẳng (P) cắt trục Oz tại điểm có toạ độ B(0; 0; 3).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Thay A(1; 2; −1) vào phương trình mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0.
Ta có: 1∙3 − 2∙2 + 2∙(−1) + 7 = 4.
Vậy A không nằm trên mặt phẳng (P).
b) Sai. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 2;2} \right)\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {5; - 4;3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} \ne \overrightarrow {{n_Q}} \) .
Vậy hai mặt phẳng (P) và (Q) không song song với nhau.
c) Đúng. Vì (α) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 2;2} \right)\).
Mặt phẳng (α) đi qua điểm I(1; 0; −1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; - 2;2} \right)\) có phương trình là: 3(x – 1) – 2(y – 0) + 2(z + 1 ) = 0 hay 3x – 2y + 2z – 1 = 0.
d) Sai. Mặt phẳng (P) cắt trục Oz tại điểm có toạ độ B\(\left( {0;0;\frac{{ - 7}}{2}} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho A(−1; 4; 2) và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z = 1.
Khi đó:
Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa trục Oy có dạng x + by + cz = 0, khi đó b – 2c2 + 1 > 0.
Phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và song song với mặt phẳng (P) là: x + 2y + 2z – 11 = 0.
Biết (β) là mặt phẳng đối xứng với mặt phẳng (P): x + 2y + 2z = 1 qua trục Ox.Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (β) là \(\overrightarrow u = \left( {a;b;1} \right)\). Khi đó a + b < 2.
Gọi M là giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox. Khi đó toạ độ điểm M(1; 0; 0).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Có \(\overrightarrow {OA} = \left( { - 1;4;2} \right)\) và \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow j } \right] = \left( { - 2;0; - 1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (α) có dạng −2(x + 1) – (z – 2) = 0 hay 2x + z = 0 hay x + \(\frac{1}{2}\)z = 0.
b = 0, c = \(\frac{1}{2}\).
Do đó b – 2c2 + 1 = 0 − 2∙\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\) + 1 = \(\frac{1}{2}\) > 0.
b) Đúng. Do (α) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2;2} \right)\).
Mặt phẳng (α) đi qua điểm A(−1; 4; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;2;2} \right)\) có phương trình là:
1(x + 1) + 2(y – 4) + 2(z – 2) = 0 hay x + 2y + 2z – 11 = 0.
c) Đúng. Do mặt phẳng (P) x + 2y + 2z = 1 đối xứng với mặt phẳng (β) qua trục Ox nên ta có phương trình mặt phẳng (β) là x – 2y – 2z − 1 = 0.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (β) là \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1; - 2; - 2} \right)\),
Có \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1; - 2; - 2} \right) = - 2 \cdot \left( {\frac{{ - 1}}{2};1;1} \right)\) nên \(\overrightarrow u = \left( { - \frac{1}{2};1;1} \right)\) cũng là 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (β).
Khi đó a + b = \(\frac{{ - 1}}{2}\) + 1 = \(\frac{1}{2}\) < 2.
d) Đúng. Gọi M là giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox. Khi đó toạ độ điểm M(1; 0; 0).
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 0; −3) và hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 1; - 2;5} \right)\), \(\overrightarrow v = \left( {3; - 1; - 2} \right)\). Mặt phẳng (α) đi qua A và nhận \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) làm cặp vectơ chỉ phương.
Khi đó:
Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {9;13;7} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (α) là 9x + 13y + 7z – 2 = 0.
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; −2; −3).
Mặt phẳng (P) đi qua M(1; −2; −3) song song với (α) có phương trình là x + 2y + 5z + 18 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {9;13;7} \right)\).
Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {9;13;7} \right)\).
b) Sai. Mặt phẳng (α) đi qua điểm A(2; 0; −3) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {9;13;7} \right)\) có phương trình là: 9(x – 2) + 13(y – 0) + 7(z + 3) = 0 hay 9x + 13y + 7z + 3 = 0.
c) Sai. Thay điểm M(1; −2; −3) vào mặt phẳng (α): 9x + 13y + 7z + 3 = 0.
Ta có: 1∙9 + 13∙(−2) + 7∙(−3) + 3 = −35.
Vậy mặt phẳng (α) không đi qua điểm M(1; −2; −3).
d) Sai. Vì (α) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {9;13;7} \right)\).
Mặt phẳng (P) đi qua M(1; −2; −3) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {9;13;7} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là 9(x – 1) + 13(y + 2) + 7(z + 3) = 0 hay 9x + 13y + 7z +38 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A(−3; 0; 1), B(0; −1; 3).
Khi đó:
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;2} \right)\).
Mặt phẳng (Q) đi qua A song song với mặt phẳng (P) có phương trình: ax + by + cz + 1 = 0. Khi đó, giá trị của biểu thức a + b + c = −1.
Mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 10 = 0 song song với mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\).
b) Đúng. \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;2} \right)\).
c) Sai. Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: x – 2y + 2z + d = 0.
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(−3; 0; 1) ta có: −3 − 2∙0 + 2∙1 + d = 0 hay d = 1.
Do đó mặt phẳng (Q): x – 2y + 2z + 1 = 0.
Vậy a + b + c = 1.
d) Sai. Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;2;2} \right) \ne \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)\).
Vậy mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 10 = 0 không song song với mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm S(−1; 6; 2), A(0; 0; 6), B(0; 3; 0), C(−2; 0; 0). Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua S và song song với mặt phẳng (Q) có dạng: −3x + by + cz + d = 0. Khi đó d có giá trị bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −17
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B,C là: \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1\) hay −3x + 2y + z – 6 = 0.
Ta có (P) // (Q) nên \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 3;2;1} \right)\).
Mặt phẳng (P) đi qua S(−1; 6; 2) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 3;2;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: −3(x + 1) + 2(y – 6) + 1(z – 2) = 0 hay −3x + 2y + z – 17 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 4y – 2z – 6 = 0, (Q): x – 2y + 4z – 6 = 0. Mặt phẳng (α) chứa giao tuyến của (P) và (Q) và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp đều. Gọi (β) là mặt phẳng đi qua điểm M(1; −2; 3) và song song với mặt phẳng (α). Biết mặt phẳng (β) có dạng ax + by + cz − 2 = 0. Tính giá trị của biểu thức a + b + c.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Vì hình chóp O.ABC là hình chóp đều nên tam giác ABC đều.
Mặt phẳng (α) chứa giao tuyến của (P) và (Q) và cắt tia Ox tại A nên A(a; 0; 0) với a > 0.
Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Suy ra \(\Delta OHA = \Delta OHB = \Delta OHC\left( {c.g.c} \right)\) nên OA = OB = OC.
Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{a} = 1\) hay x + y + z – a = 0.
Ta lấy hai điểm trên giao tuyến của (P), (Q) là E(6; 0; 0) và F(2; 2; 2).
Thay toạ độ E, F vào mặt phẳng (ABC) có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6 + 0 + 0 - a = 0}\\{2 + 2 + 2 - a = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = 6\).
Khi đó mặt phẳng (α) có phương trình là x + y + z – 6 = 0.
Do (α) // (β) nên \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;1;1} \right)\).
Mặt phẳng (β) đi qua điểm M(1; −2; 3) và nhận \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1;1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 1(x – 1) + 1(y + 2) + 1(z – 3) = 0 hay x + y + z – 2 = 0.
Vậy a + b + c = 3.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 7) và B(5; 5; 1) và mặt phẳng (P): 2x – y – z + 4 = 0. Điểm M(a; b; c) thuộc (P) sao cho MA = MB = \(\sqrt {35} \) (biết M có hoành độ nguyên). Gọi M' là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Oxy). Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M' và song song với mặt phẳng (P) có dạng: 2x + my + nz + p = 0. Tìm p?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( {a - 3;b - 1;c - 7} \right)\) và \(\overrightarrow {BM} = \left( {a - 5;b - 5;c - 1} \right)\).
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in (P)}\\{MA = MB = \sqrt {35} }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in (P)}\\{M{A^2} = M{B^2}}\\{M{A^2} = 35}\end{array}} \right.\).
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a - b - c + 4 = 0}\\{\left( {a - 3} \right){}^2 + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 7} \right)}^2} = {{\left( {a - 5} \right)}^2} + {{\left( {b - 5} \right)}^2} + {{\left( {c - 1} \right)}^2}}\\{{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 7} \right)}^2} = 35}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a - b - c = - 4}\\{4a + 8b - 12c = - 8}\\{{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 7} \right)}^2} = 35}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = c}\\{c = a + 2}\\{{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 7} \right)}^2} = 35}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = a + 2}\\{c = a + 2}\\{3{a^2} - 14a = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{b = 2}\\{c = 2}\end{array}} \right.\) (do M có hoành độ nguyên).
Nên M(0; 2; 2).
Vì (Q) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {n{}_P} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).
M' là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Oxy) nên M'(0; 2; 0).
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm M'(0; 2; 0) và nhận \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2(x – 0) – 1(y − 2) – 1(z − 0) = 0 hay 2x – y – z + 2 = 0.
Vậy p = 2.
Trong không gian Oxyz, cho A(1; 1; 0), B((0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1). Mặt phẳng (α) đi qua A(1; 1; 0), B(0; 2; 1) song song với đường thẳng CD. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M(1; 2; 3) và song song với mặt phẳng (α). Biết phương trình mặt phẳng (P) có dạng 2x + by + cz + d. Tính giá trị của biểu thức b + c + d?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −5
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;1} \right)\), \(\overrightarrow {CD} = \left( {0;1; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (α) đi qua A(1; 1; 0) và nhận vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)\)có phương trình là −2(x – 1) – 1(y – 1) – 1(z – 0) = 0 hay 2x + y + z – 3 = 0.
Vì (P) // (α) nên \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (P) đi qua M(1; 2; 3) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là −2(x – 1) – 1(y – 2) – 1(z – 3) = 0 hay 2x + y + z – 7 = 0.
Vậy b + c + d = 1 + 1 – 7 = −5.
Trong không gian Oxyz, cho phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(2; 1; −3) và song song với mặt phẳng (Q): x – y + 2z – 1 = 0 có dạng x + ay + bz + c = 0. Tính giá trị của biểu thức S = a + b + c?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 6
Vì (P) // (Q): x – y + 2z – 1 = 0 nên \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;2} \right)\).
Mặt phẳng (P) đi qua A(2; 1; −3) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 1(x – 2) – 1(y – 1) + 2(z + 3) = 0 hay x − y + 2z + 5 = 0.
Vậy a + b + c = −1 + 2 + 5 = 6.
Bạn có thích hoạt động này không?
