Bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm kèm điều kiện song song với mặt phẳng khác lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.

Vì (α) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;1} \right)\).

Ta có (α) đi qua A(2; −3; 2) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1; - 1;1} \right)\).

Do đó phương trình của mặt phẳng (α) là 1(x – 2) − 1(y + 3) + 1(z − 2 ) = 0 hay x − y + z − 7 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì (Q) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;4} \right)\).

Mặt phẳng (Q) đi qua A(2; 1; 4) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1; - 2;4} \right)\).

Do đó phương trình mặt phẳng (Q) là 1(x – 2) – 2(y – 1) + 4(z – 4) = 0 hay x – 2y + 4z – 16 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì (Q) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;2;1} \right)\).

Mặt phẳng (Q) đi qua A(1; −2; 4) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;2;1} \right)\).

Do đó phương trình mặt phẳng (Q) là 1(x – 1) + 2(y + 2) + 1(z – 4) = 0 hay x + 2y + z – 1 = 0.

Thay M(1; 0; −5) vào phương trình mặt phẳng (Q): x + 2y + z – 1 = 0.

Ta có: 1 + 2∙0 – 5 – 1 = −5.

Vậy M không thuộc mặt phẳng (Q).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxz) có dạng y + D = 0, qua M(2; −3; 4) nên D = 3.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là y + 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) nên có dạng x + D = 0 và đi qua H nên D = 3.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là x + 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.               b) Đúng.                  c) Sai.         d) Đúng.

a) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2;1} \right)\).

b) Đúng. Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua O và song song với mặt phẳng (P) là 3x – 2y + z = 0.

c) Sai. Gọi phương trình cần tìm là (α).

Do (α) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3; - 2;1} \right)\).

Mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2; −1; 4) và nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {3; - 2;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 3(x – 2) – 2(y + 1) + 1(z – 4) = 0 hay 3x – 2y + z – 12 = 0.

Phương trình mặt phẳng đi qua M(2; −1; 4) và song song với mặt phẳng (P) là:

d) Đúng. Gọi M' là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Oxy). Khi đó toạ độ M' là (2; −1; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.             b) Sai.                     c) Đúng.                     d) Sai.

a) Sai. Thay A(1; 2; −1) vào phương trình mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0.

Ta có: 1∙3 − 2∙2 + 2∙(−1) + 7 = 4.

Vậy A không nằm trên mặt phẳng (P).

b) Sai. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3; - 2;2} \right)\).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {5; - 4;3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_P}}  \ne \overrightarrow {{n_Q}} \) .

Vậy hai mặt phẳng (P) và (Q) không song song với nhau.

c) Đúng. Vì (α) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3; - 2;2} \right)\).

Mặt phẳng (α) đi qua điểm I(1; 0; −1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {3; - 2;2} \right)\) có phương trình là: 3(x – 1) – 2(y – 0) + 2(z + 1 ) = 0 hay 3x – 2y + 2z – 1 = 0.

d) Sai. Mặt phẳng (P) cắt trục Oz tại điểm có toạ độ B\(\left( {0;0;\frac{{ - 7}}{2}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                       b) Đúng.                   c) Đúng.            d) Đúng.

a) Đúng. Có \(\overrightarrow {OA}  = \left( { - 1;4;2} \right)\) và \(\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow j } \right] = \left( { - 2;0; - 1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (α) có dạng −2(x + 1) – (z – 2) = 0 hay 2x + z = 0 hay x + \(\frac{1}{2}\)z = 0.

b = 0, c = \(\frac{1}{2}\).

Do đó b – 2c2 + 1 = 0 − 2∙\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\) + 1 = \(\frac{1}{2}\) > 0.

b) Đúng. Do (α) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;2;2} \right)\).

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A(−1; 4; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;2;2} \right)\) có phương trình là:

1(x + 1) + 2(y – 4) + 2(z – 2) = 0 hay x + 2y + 2z – 11 = 0.

c) Đúng. Do mặt phẳng (P) x + 2y + 2z = 1 đối xứng với mặt phẳng (β) qua trục Ox nên ta có phương trình mặt phẳng (β) là x – 2y – 2z − 1 = 0.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (β) là \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {1; - 2; - 2} \right)\),

Có \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {1; - 2; - 2} \right) =  - 2 \cdot \left( {\frac{{ - 1}}{2};1;1} \right)\) nên \(\overrightarrow u  = \left( { - \frac{1}{2};1;1} \right)\) cũng là 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (β).

Khi đó a + b = \(\frac{{ - 1}}{2}\) + 1 = \(\frac{1}{2}\) < 2.

d) Đúng. Gọi M là giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox. Khi đó toạ độ điểm M(1; 0; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.               b) Sai.                c) Sai.                  d) Sai.

a) Đúng. \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {9;13;7} \right)\).

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {9;13;7} \right)\).

b) Sai. Mặt phẳng (α) đi qua điểm  A(2; 0; −3) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {9;13;7} \right)\) có phương trình là: 9(x – 2) + 13(y – 0) + 7(z + 3) = 0 hay 9x + 13y + 7z + 3 = 0.

c) Sai. Thay điểm M(1; −2; −3) vào mặt phẳng (α): 9x + 13y + 7z + 3 = 0.

Ta có: 1∙9 + 13∙(−2) + 7∙(−3) + 3  = −35.

Vậy mặt phẳng (α) không đi qua điểm M(1; −2; −3).

d) Sai. Vì (α) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {9;13;7} \right)\).

Mặt phẳng (P) đi qua M(1; −2; −3) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {9;13;7} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là 9(x – 1) + 13(y + 2) + 7(z + 3) = 0 hay 9x + 13y + 7z +38 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                  b) Đúng.                  c) Sai.                d) Sai.

a) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;2} \right)\).

b) Đúng. \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 1;2} \right)\).

c) Sai. Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: x – 2y + 2z + d = 0.

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(−3; 0; 1) ta có: −3 − 2∙0 + 2∙1 + d = 0 hay d = 1.

Do đó mặt phẳng (Q): x – 2y + 2z + 1 = 0.

Vậy a + b + c = 1.

d) Sai. Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;2;2} \right) \ne \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;2} \right)\).

Vậy mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 10 = 0 không song song với mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −17

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B,C là: \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1\) hay −3x + 2y + z – 6 = 0.

Ta có (P) // (Q) nên \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( { - 3;2;1} \right)\).

Mặt phẳng (P) đi qua S(−1; 6; 2) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( { - 3;2;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: −3(x + 1) + 2(y – 6) + 1(z – 2) = 0 hay −3x + 2y + z – 17 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Vì hình chóp O.ABC là hình chóp đều nên tam giác ABC đều.

Mặt phẳng (α) chứa giao tuyến của (P) và (Q) và cắt tia Ox tại A nên A(a; 0; 0) với a > 0.

Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Suy ra \(\Delta OHA = \Delta OHB = \Delta OHC\left( {c.g.c} \right)\) nên OA = OB = OC.

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{a} = 1\) hay x + y + z – a = 0.

Ta lấy hai điểm trên giao tuyến của (P), (Q) là E(6; 0; 0) và F(2; 2; 2).

Thay toạ độ E, F vào mặt phẳng (ABC) có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6 + 0 + 0 - a = 0}\\{2 + 2 + 2 - a = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = 6\).

Khi đó mặt phẳng (α) có phương trình là x + y + z – 6 = 0.

Do (α) // (β) nên \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;1;1} \right)\).

Mặt phẳng (β) đi qua điểm M(1; −2; 3) và nhận \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {1;1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 1(x – 1) + 1(y + 2) + 1(z – 3) = 0 hay x + y + z – 2 = 0.

Vậy a + b + c = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( {a - 3;b - 1;c - 7} \right)\) và \(\overrightarrow {BM}  = \left( {a - 5;b - 5;c - 1} \right)\).

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in (P)}\\{MA = MB = \sqrt {35} }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in (P)}\\{M{A^2} = M{B^2}}\\{M{A^2} = 35}\end{array}} \right.\).

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a - b - c + 4 = 0}\\{\left( {a - 3} \right){}^2 + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 7} \right)}^2} = {{\left( {a - 5} \right)}^2} + {{\left( {b - 5} \right)}^2} + {{\left( {c - 1} \right)}^2}}\\{{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 7} \right)}^2} = 35}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a - b - c =  - 4}\\{4a + 8b - 12c =  - 8}\\{{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 7} \right)}^2} = 35}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = c}\\{c = a + 2}\\{{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 7} \right)}^2} = 35}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = a + 2}\\{c = a + 2}\\{3{a^2} - 14a = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{b = 2}\\{c = 2}\end{array}} \right.\) (do M có hoành độ nguyên).

Nên  M(0; 2; 2).

Vì (Q) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \overrightarrow {n{}_P}  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).

M' là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Oxy) nên M'(0; 2; 0).

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm M'(0; 2; 0) và nhận \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2(x – 0) – 1(y − 2) – 1(z − 0) = 0 hay 2x – y – z + 2 = 0.

Vậy p = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −5

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;1;1} \right)\), \(\overrightarrow {CD}  = \left( {0;1; - 1} \right)\).

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)\).

Mặt phẳng (α) đi qua A(1; 1; 0) và nhận vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)\)có phương trình là −2(x – 1) – 1(y – 1) – 1(z – 0) = 0 hay 2x + y + z – 3 = 0.

Vì (P) // (α) nên \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)\).

Mặt phẳng (P) đi qua M(1; 2; 3) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là −2(x – 1) – 1(y – 2) – 1(z – 3) = 0 hay 2x + y + z – 7 = 0.

Vậy b + c + d = 1 + 1 – 7 = −5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6

Vì (P) // (Q): x – y + 2z – 1 = 0 nên \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\).

Mặt phẳng (P) đi qua A(2; 1; −3) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 1(x – 2) – 1(y – 1) + 2(z + 3) = 0 hay x − y + 2z + 5 = 0.

Vậy a + b + c = −1 + 2 + 5 = 6.