Bài tập Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 4 = 0. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với (P)?
2x + y – 2z + 5 = 0;
x + 2y + 2z – 5 = 0;
x + 3y – z + 1 = 0;
x + y + z – 6 = 0.
Đáp án đúng là: B
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Mặt phẳng x + 2y + 2z – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2;2} \right)\).
Vì \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{n_1}} = 0\) nên hai mặt phẳng này vuông góc với nhau.
Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + z – 4 = 0; (Q): 5x – 3y – 2z – 7 = 0. Vị trí tương đối của (P) và (Q) là:
Cắt nhưng không vuông góc;
Vuông góc;
Trùng nhau;
Song song.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 3;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5; - 3; - 2} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Ta thấy \(\overrightarrow {{n_1}} \ne k\overrightarrow {{n_2}} \left( {k \ne 0} \right)\) suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) không cùng phương hay (P) cắt (Q).
Mặt khác \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 17 \ne 0\). Do đó (P) cắt (Q) nhưng không vuông góc.
Trong không gian Oxyz, điều kiện của m để hai mặt phẳng (P): 2x + 2y – z = 0 và (Q): x + y + mz + 1 = 0 cắt nhau là
\(m = - \frac{1}{2}\);
\(m \ne - \frac{1}{2}\);
\(m \ne \frac{1}{2}\);
m ≠ −1.
Đáp án đúng là: B
(P), (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1;m} \right)\).
(P) cắt (Q) khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến không cùng phương nghĩa là
\(\overrightarrow {{n_1}} \ne k\overrightarrow {{n_2}} \left( {k \ne 0} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {2;2; - 1} \right) \ne k\left( {1;1;m} \right) \Leftrightarrow m \ne - \frac{1}{2}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + (m + 1)y – 2z + m = 0 và (Q): 2x – y + 3 = 0, với m là tham số thực. Để (P) và (Q) vuông góc với nhau thì giá trị thực của m bằng bao nhiêu?
m = −1;
m −5;
m = 1;
m = 3.
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;m + 1; - 2} \right)\) và mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;0} \right)\).
Để (P) (Q) \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\) \( \Leftrightarrow 2 - m - 1 + 0 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): x – 2y − 2z – 3 = 0; (β): 2x − 4y + (m – 1)z – 6 = 0 (m là tham số thực). Tìm m để (α) và (β) song song với nhau.
m = −1;
m = 0;
m = 1;
Không tồn tại m.
Đáp án đúng là: D
Để (α) và (β) song song với nhau thì \(\frac{2}{1} = \frac{{ - 4}}{{ - 2}} = \frac{{m - 1}}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 6}}{{ - 3}}\), suy ra không tồn tại m.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 3x – 5y + 2z + 1 = 0 và (Q): 9x + (m – 11)y + (m2 – 10)z – 4 = 0. Tìm m để mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).
m = 0;
m = 4;
m = ±4;
m = −4.
Đáp án đúng là: D
(P) //(Q) khi và chỉ khi \(\frac{9}{3} = \frac{{m - 11}}{{ - 5}} = \frac{{{m^2} - 10}}{2} \Leftrightarrow m = - 4\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 5z – 1 = 0 và (Q): 4x + (m – 3)y + (m2 + 1)z – 7 = 0 (m là tham số). Tìm m để hai mặt phẳng song song.
m = 3;
m = −3;
m = ±3;
m = 0.
Đáp án đúng là: B
Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song \( \Leftrightarrow \frac{4}{2} = \frac{{m - 3}}{{ - 3}} = \frac{{{m^2} + 1}}{5} \ne \frac{{ - 7}}{{ - 1}}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{m - 3}}{{ - 3}} = 2\\\frac{{{m^2} + 1}}{5} = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 3\\m = \pm 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 3\).
Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) tương ứng có phương trình 2x + 6y – 4z + 8 = 0, 5x + 15y – 10z + 20 = 0, 6x + 18y – 12z – 24 = 0. Chọn mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề sau:
(P) // (Q);
(P) cắt (Q);
(Q) // (R);
(R) cắt (P).
Đáp án đúng là: C
Ta có (P): 2x + 6y – 4z + 8 = 0, (Q): 5x + 15y – 10z + 20 = 0, (R) 6x + 18y – 12z – 24 = 0.
Vì \(\frac{2}{5} = \frac{6}{{15}} = \frac{{ - 4}}{{ - 10}} = \frac{8}{{20}}\) nên (P) ≡ (Q).
Vì \(\frac{5}{6} = \frac{{15}}{{18}} = \frac{{ - 10}}{{ - 12}} \ne \frac{{20}}{{ - 24}}\) nên (Q) // (R).
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng (Oyz)?
−2x = 0;
−2z – 1 = 0;
2z = 0;
−2x + 1 = 0.
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) có phương trình Ax + D = 0 (D ≠ 0).
Dựa vào đáp án ta chọn mặt phẳng có phương trình: −2x + 1 = 0.
Trong không gian Oxyz, xác định m, n, p để cặp mặt phẳng (P): 2x + 3y – 4z + p = 0, (Q): mx + (n – 1)y + 8z – 10 = 0 trùng nhau?
m = 4; n = 5; p = −5;
m = −4; n = −5; p = 5;
m = −3; n = −4; p = 5;
m = −2; n = −3; p = 5.
Đáp án đúng là: B
Xét p = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Xét p ≠ 0 khi đó (P) và (Q) trùng nhau khi và chỉ khi \(\frac{m}{2} = \frac{{n - 1}}{3} = \frac{8}{{ - 4}} = \frac{{ - 10}}{p}\)
m = −4; n = −5; p = 5.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 5x + my + z – 5 = 0 và (Q): nx – 3y – 2z + 7 = 0. Tìm m, n để (P) // (Q)?
m = \(\frac{3}{2}\), n = 2.
m = −2, n = \(\frac{3}{2}\).
m = \(\frac{3}{2}\), n = −10.
m = \(\frac{{ - 3}}{2}\), n = 10.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
(P): 5x + my + z – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow a = \left( {5;m;1} \right)\).
(Q): nx – 3y – 2z + 7 = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow b = \left( {n; - 3; - 2} \right)\).
(P) // (Q) ⇔ \(\frac{5}{n} = \frac{m}{{ - 3}} = \frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 5}}{7} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{5}{n} = \frac{1}{{ - 2}}}\\{\frac{m}{{ - 3}} = \frac{1}{{ - 2}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = - 10}\\{m = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – my – 6z – 4 = 0 và (Q): (m – 2,5)x + y + (m + 1)z + 2 = 0. Tìm m để (P) trùng (Q).
2.
3.
4.
5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
(P) ≡ (Q) ⇔ \(\frac{1}{{m - 2,5}} = \frac{{ - m}}{1} = \frac{{ - 6}}{{m + 1}} = \frac{{ - 4}}{2} = - 2 \Leftrightarrow m = 2\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + my + mz − 9 = 0 và (Q): 4x – y – 3z – 10 = 0. Tìm m để (P) \( \bot \) (Q).
2.
1.
3.
0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
(P): 2x + my + mz − 9 = 0 có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow a = \left( {2;m;m} \right)\)
(Q): 4x – y – 3z – 10 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow b = \left( {4; - 1; - 3} \right)\).
(P) \( \bot \) (Q) ⇔ \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot 4 + m \cdot \left( { - 1} \right) + m \cdot \left( { - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow m = 2\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 3 = 0 và (Q): 2x + 4y + (m – 1)z + 6 = 0. Tìm m để (P) và (Q) song song với nhau.
0.
4.
6.
5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Để (P) và (Q) song song với nhau thì \(\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{{m - 1}}{2} \ne \frac{6}{3} \Leftrightarrow m = 5\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z + 6 = 0. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với (P)?
2x + y – z + 5 = 0.
x − y + z – 5 = 0.
x + 3y – z + 1 = 0.
x + y + z – 10 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)\].
Mặt phẳng x − y + z – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Vì \(\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {{n_1}} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 1 = 0\) nên hai mặt phẳng này vuông góc với nhau.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): (4 – a)x – (a + 3)y + z + 1 = 0 và mặt phẳng (Q): 3x – 4y + z + 3 = 0.
Khi đó:
Mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) song song với nhau khi a = 1.
Mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) vuông góc với nhau khi a = 2.
Không có giá trị nào của a để hai mặt phẳng trên trùng nhau.
Mặt phẳng (Q) đi qua gốc toạ độ O.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. (P) // (Q) ⇔ \(\frac{{4 - a}}{3} = \frac{{ - a - 3}}{{ - 4}} = \frac{1}{1} \ne \frac{1}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = - a - 3\\4 - a = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1\).
b) Sai. Mặt phẳng (P): (4 – a)x – (a + 3)y + z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {4 - a; - a - 3;1} \right)\).
Mặt phẳng (Q): 3x – 4y + z + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3; - 4;1} \right)\).
(P) \( \bot \) (Q) ⇔ \(\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} = 0 \Leftrightarrow \left( {4 - a} \right) \cdot 3 + \left( { - 4} \right) \cdot \left( { - a - 3} \right) + 1 \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow a = - 25\) .
c) Đúng. (P) ≡ (Q) ⇔ \(\frac{{4 - a}}{3} = \frac{{ - a - 3}}{{ - 4}} = \frac{1}{1} \ne \frac{1}{3}\).
Không có giá trị nào của a để hai mặt phẳng trên trùng nhau.
d) Sai. Mặt phẳng (Q) không đi qua gốc toạ độ O.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 5y – 4z + 20 = 0.
Khi đó:
Vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow a = \left( {2;5; - 4} \right)\).
Mặt phẳng (Q) qua A(1; 1; −1) song song với mặt phẳng (P) có phương trình là: 2x + 5y – 4z – 11 = 0.
Mặt phẳng (P) cắt trục Ox tại điểm N(−10; 0; 0).
Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (α): x – 3y + 7z – 9 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow a = \left( {2;5; - 4} \right)\).
b) Đúng. Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;5; - 4} \right)\).
Mặt phẳng (Q) qua A(1; 1; −1) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;5; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2(x – 1) + 5(y – 1) – 4(z + 1) = 0 hay 2x + 5y – 4z – 11 = 0.
c) Đúng. Mặt phẳng (P) cắt trục Ox tại điểm N(−10; 0; 0).
d) Sai. Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 3;7} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} \cdot \overrightarrow {{n_P}} = 1 \cdot 2 + 5 \cdot \left( { - 3} \right) + 7 \cdot \left( { - 4} \right) = - 41\).
Vậy mặt phẳng (P) không vuông góc với mặt phẳng (α): x – 3y + 7z – 9 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho A(1; 2; −1), B(−1; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0.
Khi đó:
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Khi m = − 4 thì mặt phẳng (Q): 2x – my + 3 = 0 vuông góc với mặt phẳng (P).
Mặt phẳng (K) qua A song song với (P) có phương trình là x + 2y – z −6 = 0.
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 2;2} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
b) Sai. Mặt phẳng (Q): 2x – my + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - m;0} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_Q}} \cdot \overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot 1 + \left( { - m} \right) \cdot 2 + 0 \cdot \left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - 2m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
c) Đúng. Mặt phẳng (K) song song với mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_K}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (K) qua A nhận \(\overrightarrow {{n_K}} = \left( {1;2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:
1(x – 1) + 2(y – 2) – 1(z + 1 ) = 0 hay x + 2y – z − 6 = 0.
d) Đúng. \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 2;2} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 và (Q): 5x – 4y + 3z + 1 = 0.
Khi đó:
Điểm A(1; 2; −1) nằm trên mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0.
Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau.
Mặt phẳng (α) đi qua điểm I(1; 0; −1) và song song với (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 có phương trình là x + z = 0.
Mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 không đi qua gốc toạ độ.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Thay A(1; 2; −1) vào phương trình mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0.
3∙1 − 2∙2 + 2∙(−1) + 7 = 4.
b) Sai. Mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 2;2} \right)\)
Mặt phẳng (Q): 5x – 4y + 3z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {5; - 4;3} \right)\).
Ta có: \(\frac{3}{5} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 4}} \ne \frac{2}{3}\).
Vậy hai mặt phẳng (P) và (Q) không song song với nhau.
c) Sai. Mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 2;2} \right)\)
Do (α) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 2;2} \right)\).
Mặt phẳng (α) đi qua điểm I(1; 0; −1) và nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; - 2;2} \right)\)làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 3(x – 1) – 2(y – 0) + 2(z + 1) = 0 hay 3x – 2y + 2z − 1 = 0.
d) Đúng. Mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 không đi qua gốc toạ độ.
Trong không gian Oxyz, cho A(1; 2; 3), B(3; 4; 4) và mặt phẳng (P): 2x + y + mz – 1 = 0.
Khi đó:
Khi B ∈ (P): 2x + y + mz – 1 = 0 thì m = −2.
Biết mặt phẳng (Q): 4x + (n – 2)y + z – 3 = 0 song song với mặt phẳng (P). Khi đó 2m + n = 5.
Cho mặt phẳng (α): 3x – 2y + 2z + 10 = 0. Mặt phẳng (P) và mặt phẳng (α) song song với nhau và có cùng vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2;2} \right)\).
Mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 2; 3) và song song với mặt phẳng (Oxy) có phương trình là: z – 3 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Thay B(3; 4; 4) vào phương trình mặt phẳng (P): 2x + y + mz – 1 = 0.
Ta có: 2∙3 + 4 + 4∙m – 1 = 0 hay m = \(\frac{{ - 9}}{4}\).
b) Đúng. Mặt phẳng (Q): 4x + (n – 2)y + z – 3 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {4;n - 2;1} \right)\).
Do (Q) // (P) ⇔ \(\frac{4}{2} = \frac{{n - 2}}{1} = \frac{1}{m} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = n - 2}\\{2 = \frac{1}{m}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 4}\\{m = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\).
Suy ra 2m + n = 5.
c) Sai. Mặt phẳng (α): 3x – 2y + 2z + 10 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; - 2;2} \right)\)
Mặt phẳng (P): 2x + y + mz – 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1;m} \right)\).
Để (α) // (P) thì \(\frac{3}{2} \ne \frac{{ - 2}}{1} = \frac{2}{m}\).
Vậy mặt phẳng (P) và mặt phẳng (α) không song song với nhau và không có cùng vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2;2} \right)\).
d) Đúng. Mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 2; 3) và song song với mặt phẳng (Oxy) có phương trình là: z – 3 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + my + 2mz − 9 = 0 và (Q): 6x – y – z − 10 = 0. Tìm m để (P) ⊥ (Q) .
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Mặt phẳng (P): 2x + my + 2mz − 9 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;m;2m} \right)\)
Mặt phẳng (Q): 6x – y – z − 10 = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {6; - 1; - 1} \right)\).
Để (P) ⊥ (Q) ta có:
\(\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {n{}_Q} = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot 6 + m \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 2m = 0 \Leftrightarrow - 3m + 12 = 0 \Rightarrow m = 4\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 20 = 0 và (Q): 4x – 6y + mz + 60 = 0. Tìm m để (P) // (Q).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 8
Mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 20 = 0 có vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 3;4} \right)\)
Mặt phẳng (Q): 4x – 6y + mz + 60 = 0 có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {4; - 6;m} \right)\)
Để (P) // (Q) thì \(\frac{2}{4} = \frac{{ - 3}}{{ - 6}} = \frac{4}{m} \ne \frac{{20}}{{60}} \Leftrightarrow m = 8\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – my – 4z – 6 + m = 0 và (Q): (m + 3)x + y + (5m + 1)z – 7 = 0. Tìm m để (P) ≡ (Q).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −1
Để (P) ≡ (Q) thì \(\frac{2}{{m + 3}} = \frac{{ - m}}{1} = \frac{{ - 4}}{{5m + 1}} = \frac{{m - 6}}{{ - 7}}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{m + 3}} = \frac{{ - m}}{1}\\\frac{{ - 4}}{{5m + 1}} = \frac{{ - m}}{1}\\\frac{{m - 6}}{{ - 7}} = \frac{{ - m}}{1}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 3m + 2 = 0\\5{m^2} + m - 4 = 0\\6m = - 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m = - 1\).
Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0, (Q): 2x + my + 2z + 3 = 0 và (R): − x + 2y + nz = 0. Tính tổng m + 2n, biết rằng (P) \( \bot \) (R) và (P) // (Q).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0
Mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)\).
Mặt phẳng (Q): 2x + my + 2z + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;m;2} \right)\).
Mặt phẳng (R): − x + 2y + nz = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_R}} = \left( { - 1;2;n} \right)\).
(P) \( \bot \) (R) ⇔ \(\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_R}} = 0 \Leftrightarrow - 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + n \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow n = - 1\).
(P) // (Q) ⇔ \(\frac{2}{1} = \frac{m}{1} = \frac{2}{1} \ne \frac{3}{{ - 1}} \Leftrightarrow m = 2\).
Vậy m + 2n = 2 + 2∙(−1) = 0.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 5x + my + z – 5 = 0 và (Q): nx – 3y − 2z + 7 = 0. Biết (P) // (Q). Tính m + n?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −8,5
Mặt phẳng (P): 5x + my + z – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow a = \left( {5;m;1} \right)\).
Mặt phẳng (Q): nx – 3y − 2z + 7 = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow b = \left( {n; - 3; - 2} \right)\).
(P) // (Q) ⇔ \(\frac{5}{n} = \frac{m}{{ - 3}} = \frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 5}}{7} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{5}{n} = \frac{1}{{ - 2}}}\\{\frac{m}{{ - 3}} = \frac{1}{{ - 2}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \frac{3}{2}}\\{n = - 10}\end{array}} \right.\).
Vậy m + n = \(\frac{3}{2} - 10 = - 8,5\).
Bạn có thích hoạt động này không?
