Bài tập Ứng dụng công thức nghiệm trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của đồ thị hàm số chứa tham số lớp 9 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 3x + m2 + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
(d) và (P) không có điểm chung với mọi m.
(d) tiếp xúc với (P) với mọi m.
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
Không xác định được vị trí tương đối của (d) và (P).
Đáp án đúng là: C
Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:
y = x2 và y = 3x + m2 + 1.
Suy ra x2 = 3x + m2 + 1 hay x2 – 3x – m2 – 1 = 0. (*)
Phương trình (*) có:
∆ = (–3)2 – 4.1.(–m2 – 1) = 9 + 4m2 + 4 = 4m2 + 13.
Với mọi m ta luôn có m2 ≥ 0, nên 4m2 + 13 ≥ 13 > 0 hay ∆ > 0.
Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Vậy đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d): y = –m và (P): y = 4x2 có điểm chung?
m < 0.
>
m > 0.
m ≤ 0.
m ≥ 0.
Đáp án đúng là: C
Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:
y = 4x2 và y = –m
Suy ra 4x2 = –m. (*)
Để đường thẳng (d): y = –m và (P): y = 4x2 có điểm chung thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là –m ≥ 0, hay m ≤ 0.
Vậy ta chọn phương án C.
Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng (d): y = mx – m + 2 tiếp xúc với parabol (P): y = 2x2?
m = 1.
m = 2.
m = –2.
m = 4.
Đáp án đúng là: D
Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:
y = 2x2 và y = mx – m + 2
Suy ra 2x2 = mx – m + 2 hay 2x2 – mx + m – 2 = 0. (*)
Phương trình (*) có: ∆ = (–m)2 – 4.2.(m – 2) = m2 – 8m + 16 = (m – 4)2.
Để đường thẳng (d) tiếp xúc parabol (P) thì phương trình (*) phải có nghiệm kép, tức là ∆ = 0, hay (m – 4)2 > 0, suy ra m – 4 = 0 nên m = 4.
Vậy ta chọn phương án D.
Điều kiện của tham số m và n để parabol (P): y = x2 không có điểm chung với đường thẳng là (d): y = mx + n là
m2 + 4n < 0.
>
m2 + 4n ≥ 0.
m2 + 2n < 0.
>
m2 + 2n ≥ 0.
Đáp án đúng là: A
Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:
y = x2 và y = mx + n
Suy ra x2 = mx + n hay x2 – mx – n = 0. (*)
Phương trình (*) có:
∆ = (–m)2 – 4.1.(–n) = m2 + 4n.
Để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung thì phương trình (*) không có nghiệm, tức là ∆ < 0, hay m2>
+ 4n < 0.
Vậy ta chọn phương án A.
>
Với giá trị nào của m thì parabol y = mx2 (m ≠ 0) cắt đường thẳng là (d): y = 2x – 2 tại hai điểm phân biệt?
\(m < \frac{1}{2}.\)
>
\(m \le \frac{1}{2}.\)
\(m < \frac{1}{2};\,\,m \ne 0.\)
>
\(m > \frac{1}{2}.\)
Đáp án đúng là: C
Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:
y = mx2 và y = 2x – 2
Suy ra mx2 = 2x – 2 hay mx2 – 2x + 2 = 0. (*)
Phương trình (*) có: ∆' = (–1)2 – m.2 = 1 – 2m.
Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt, tức là ∆' > 0, hay 1 – 2m > 0, nên \(m < \frac{1}{2}.\)
Kết hợp điều kiện m ≠ 0, ta được: \(m < \frac{1}{2};\,\,m \ne 0.\)
Vậy ta chọn phương án C.
>>
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, biết điểm có hoành độ bằng 1 là một điểm chung của parabol (P): y = 2x2 và đường thẳng (d): y = (m – 1)x – 2, với m là tham số. Khi đó giá trị của m là
m = 1.
m = 2.
m = 3.
m = 5.
Đáp án đúng là: D
Thay x = 1 vào hàm số y = 2x2, ta được: y = 2.12 = 2.
Như vậy, đường thẳng (d): y = (m – 1)x – 2 cắt (P): y = 2x2 tại một điểm có tọa độ là (1; 2).
Thay x = 1, y = 2 vào hàm số y = (m – 1)x – 2, ta được:
2 = (m – 1).1 – 2
2 = m – 1 – 2
2 = m – 3
m = 5.
Vậy ta chọn phương án D.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = –3x2 và đường thẳng y = (m + 1)x + 1. Số giá trị của m để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) là
0.
1.
2.
Vô số.
Đáp án đúng là: C
Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:
y = –3x2 và y = (m + 1)x + 1.
Suy ra –3x2 = (m + 1)x + 1 hay 3x2 + (m + 1)x + 1 = 0. (*)
Phương trình (*) có ∆ = [(m + 1)]2 – 4.3.1 = m2 + 2m + 1 – 12 = m2 + 2m – 11.
Để (d) tiếp xúc với (P) thì phương trình (*) phải có nghiệm kép, tức là ∆ = 0, hay m2 + 2m – 11 = 0.
Xét phương trình trên có ∆m' = 12 – 1.(–11) = 12 > 0 nên phương trình có hai nghiệm m phân biệt.
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu đều đề bài.
Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + 2m – 1. Với giá trị nào của tham số m thì (d) cắt (P) tại hai điểm A, B nằm về hai phía của trục tung?
\(m < \frac{1}{2}.\)
>
\(m \le \frac{1}{2}.\)
\(m > \frac{1}{2}.\)
\(m \ge \frac{1}{2}.\)
Đáp án đúng là: C
– Ta chứng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0.
+ Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ac < 0.
Xét ∆ = b2 – 4ac.
Do ac < 0 nên – 4ac > 0>
Lại có b2 ≥ 0 nên ∆ > 0.
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.\)
Ta có: \({x_1} \cdot {x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \cdot \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{\left( { - b - \sqrt \Delta } \right)\left( { - b + \sqrt \Delta } \right)}}{{2a \cdot 2a}}\)
\( = \frac{{{{\left( { - b} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt \Delta } \right)}^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - \Delta }}{{4{a^2}}}\)
\( = \frac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}.\)
Vì ac < 0 nên hai số a và c trái dấu nhau, do đó \(\frac{c}{a} < 0.\)
Suy ra tích hai nghiệm của phương trình đã cho trái dấu nhau.
Như vậy, nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ac < 0 thì phương trình này có hai nghiệm trái dấu.
+ Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 trái dấu.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ = b2 – 4ac > 0.
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.\)
Ta có: \({x_1} \cdot {x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \cdot \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{\left( { - b - \sqrt \Delta } \right)\left( { - b + \sqrt \Delta } \right)}}{{2a \cdot 2a}}\)
\( = \frac{{{{\left( { - b} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt \Delta } \right)}^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - \Delta }}{{4{a^2}}}\)
\( = \frac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}.\)
Vì hai nghiệm x1, x2 trái dấu nên \(\frac{c}{a} < 0,\) suy ra hai số a và c trái dấu nhau, do đó ac < 0.
Như vậy, nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu thì phương trình này có ac < 0.
Vậy, phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0.
– Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:
y = x2 và y = mx + 2m – 1.
Suy ra x2 = mx + 2m – 1 hay x2 – mx – 2m + 1 = 0. (*)
Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A, B nằm về hai phía của trục tung, tức hoành độ của hai điểm A, B trái dấu nhau, thì phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu, tức là ac < 0, hay 1.(–2m + 1) < 0, suy ra – 2m < –1, do đó \(m > \frac{1}{2}.\)>
>>>>>>>
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = –m2 – 4m + 5. Số giá trị nguyên của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt là
0.
3.
5.
7.
Đáp án đúng là: C
Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:
y = x2 và y = –m2 – 4m + 5.
Suy ra x2 = –m2 – 4m + 5. (*)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt, do đó –m2 – 4m + 5 > 0 hay m2 + 4m – 5 < 0.
Giải bất phương trình:
m2 + 4m – 5 < 0
m2 – m + 5m – 5 < 0
m(m – 1) + 5(m – 1) < 0
(m – 1)(m + 5) < 0.
Từ bất phương trình trên ta suy ra được m – 1 và m + 5 là hai số trái dấu nhau.
Mà với mọi m ta luôn có m – 1 < m + 5.
Do đó m – 1 là số âm và m + 5 là số dương.
Tức là m – 1 < 0 và m + 5 > 0>
Suy ra m < 1 và m > –5>
Hay –5 < m < 1.
Theo bài, m có giá trị nguyên nên m ∈ {–4; –3; –2; –1; 0}.
Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
>>>>>>>
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng (d): \[y = mx + {m^2} - \frac{1}{2}.\] Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đường thẳng (d) có điểm chung với parabol (P)?
0.
1.
2.
3.
Đáp án đúng là: D
Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:
\(y = - \frac{1}{2}{x^2}\) và \[y = mx + {m^2} - \frac{1}{2}.\]
Suy ra \( - \frac{1}{2}{x^2} = mx + {m^2} - \frac{1}{2}\) hay x2 + 2mx + 2m2 – 1 = 0. (*)
Phương trình (*) có ∆' = m2 – 1.(2m2 – 1) = m2 – 2m2 + 1 = 1 – m2.
Để đường thẳng (d) có điểm chung với parabol (P) thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là ∆' ≥ 0, hay 1 – m2 ≥ 0 nên m2 – 1 ≤ 0.
Giải bất phương trình:
m2 – 1 ≤ 0
(m – 1)(m + 1) ≤ 0
Suy ra m – 1 ≤ 0 và m + 1 ≥ 0 (do m – 1 < m + 1)
Do đó m ≤ 1 và m ≥ –1
Hay –1 ≤ m ≤ 1.
Theo bài, m có giá trị nguyên nên m ∈ {–1; 0; 1}.
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
</>
Biết rằng một phương trình bậc hai ẩn x có \(\Delta\) = 5 – m (m là tham số) là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì
m < 5.
m > 5.
m = 5.
m \(\neq\) 5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) có hai nghiệm phân biệt. Suy ra \(\Delta\) = 5 – m > 0 nên m < 5.Biết rằng một phương trình bậc hai ẩn x có \(\Delta\) = m + 1 (m là tham số) là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Biết rằng đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung, khi đó
m \(\neq\) –1.
m = –1.
m > –1.
m < –1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).
Vì đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung nên phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) vô nghiệm. Suy ra \(\Delta\) = m + 1 < 0 nên m < –1.Biết rằng phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là x2 – 2mx – 1 = 0 (1). Số giá trị của m để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) là
1.
2.
Vô số.
0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình (1).
Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = (–m)2 – 1.(–1) = m2 + 1 > 0 mọi giá trị của m.
Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Vậy không có giá trị của m để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P).Đường thẳng (d): y = m2 + 2 và parabol (P): y = x2 có số điểm chung là
0.
1.
2.
3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 = m2 + 2 nên x2 – m2 – 2 = 0 (1).
Số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình (1).
Ta có: \(\Delta\)’ = 02 – 1.(–m2 – 2) = m2 + 2 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Vậy số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là 2Đường thẳng (d): y = 2x – 1 và parabol (P): y = mx2 có hai điểm chung khi
m > 1.
m \(\neq\) 0 và m < 1.
m < 1.
m \(\neq\) 0 và m \(\neq\) 1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
mx2 = 2x – 1, suy ra mx2 – 2x + 1 = 0 (1).
Số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình (1).
Để (d) và (P) có 2 điểm chung thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Do đó, m \(\neq\) 0 và \(\Delta\)’ = 1 – m > 0. Suy ra m \(\neq\) 0 và m < 1.Với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = x – 2m và parabol (P): y = x2. Khi đó:
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x2 – x + 2m = 0.
Đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung khi \({\rm{m}} > \frac{1}{8}.\)
Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi \({\rm{m}} < \frac{1}{8}.\)
Có hai giá trị của m để đường thẳng (d) và parabol (P) có một điểm chung.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 = x – 2m, suy ra x2 – x + 2m = 0 (1).
Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x2 – x + 2m = 0.
b) Đúng.
Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P).
Phương trình (1) có: \(\Delta\) = (–1)2 – 4.1.2m = 1 – 8m.
Để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung thì phương trình (1) vô nghiệm. Suy ra \(\Delta\) = 1 – 8m < 0 nên \({\rm{m}} > \frac{1}{8}.\)
Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung thì \({\rm{m}} > \frac{1}{8}.\)
c) Đúng.
Để đường (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Suy ra \(\Delta\) = 1 – 8m > 0 nên \({\rm{m}} < \frac{1}{8}.\)
Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi \({\rm{m}} < \frac{1}{8}.\)
d) Sai.
Để đường (d) và parabol (P) có một điểm chung thì phương trình (1) có một nghiệm kép. Suy ra \(\Delta\) = 1 – 8m = 0 nên \({\rm{m}} = \frac{1}{8}.\)
Vậy có một giá trị của m để đường thẳng (d) và parabol (P) có một điểm chung.Cho đường thẳng (d): y = mx + 2n và parabol (P): y = x2. Khi đó:
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x2 – mx + 2n = 0.
Đường thẳng (d) và parabol (P) có hai điểm chung khi m2 + 8n > 0.
Với n > 0 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt.
Với \({\rm{m}} = 2\sqrt {2{\rm{n}}} \;\,\left( {{\rm{n}} > 0} \right)\) thì đường thẳng (d) và parabol (P) có 1 điểm chung.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 = mx + 2n nên x2 – mx – 2n = 0 (1).
Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x2 – mx – 2n = 0.
b) Đúng.
Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của (d) và (P).
Phương trình (1) có \(\Delta\) = (–m)2 – 4.1.(–2n) = m2 + 8n.
Để đường thẳng (d) và parabol (P) có hai điểm chung thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Suy ra \(\Delta\) = m2 + 8n > 0.
Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) có hai điểm chung khi m2 + 8n > 0.
c) Đúng.
Với n > 0 thì 8n > 0, do đó m2 + 8n > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Vậy với n > 0 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt.
d) Sai.
Với \({\rm{m}} = 2\sqrt {2{\rm{n}}} \) ta có: \(\Delta = {\left( {2\sqrt {2{\rm{n}}} } \right)^2} + 8{\rm{n}} = 8{\rm{n}} + 8{\rm{n}} = 16{\rm{n}} > 0\) với n > 0.
Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi \({\rm{m}} = 2\sqrt {2{\rm{n}}} \).
Vậy với \({\rm{m}} = 2\sqrt {2{\rm{n}}} \;\,\left( {{\rm{n}} > 0} \right)\) thì đường thẳng (d) và parabol (P) có 2 điểm chung.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 4mx – 4m2 và parabol (P): y = x2, khi đó:
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x2 + 4mx – 4m2 = 0.
(d) luôn tiếp xúc với (P) với mọi giá trị của m.
Giao điểm của (d) và (P) là điểm A(2m ; 4m2).
Không có giá trị của m để giao điểm của (d) và (P) có tung độ gấp 2 lần hoành độ.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
x2 = 4mx – 4m2, suy ra x2 – 4mx + 4m2 = 0 (1).
Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x2 – 4mx + 4m2 = 0.
b) Đúng.
Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của (d) và (P).
Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = (–2m)2 – 1.(4m2) = 0 nên phương trình (1) có 1 nghiệm kép.
Vậy (d) luôn tiếp xúc với (P) với mọi giá trị của m.
c) Đúng.
Phương trình (1) có nghiệm là: \({\rm{x}} = \frac{{ - \left( { - 2{\rm{m}}} \right)}}{1} = 2{\rm{m}}{\rm{.}}\)
Thay x = 2m vào y = x2 ta có: y = (2m)2 = 4m2.
Vậy giao điểm của (d) và (P) là điểm A(2m ; 4m2).
d) Sai.
Để giao điểm của (d) và (P) có tung độ gấp 2 lần hoành độ thì
4m2 = 2.2m, suy ra m2 – m = 0, suy ra m(m – 1) = 0 nên m = 0 hoặc m = 1.
Vậy có 2 giá trị của m để giao điểm của (d) và (P) có tung độ gấp 2 lần hoành độ.Cho đường thẳng (d): y = –2mx + 2m + 1 và parabol (P): y = x2. Khi đó:
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x2 + 2mx – 2m – 1 = 0.
Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
Đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại một điểm có hoành độ bằng 1.
Có một giá trị của m để tổng hoành độ các giao điểm của (d) và (P) bằng 6.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
x2 = –2mx + 2m + 1, suy ra x2 + 2mx – 2m – 1 = 0 (1).
Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x2 + 2mx – 2m – 1 = 0.
b) Sai.
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).
Phương trình (1) có: \(\Delta\)’ = m2 – 1.(– 2m – 1) = m2 + 2m + 1 = (m + 1)2.
Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Suy ra \(\Delta\)’ = (m + 1)2 > 0, suy ra m + 1 \(\neq\) 0 nên m \(\neq\) –1 (*).
Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi m \(\neq\) –1.
c) Đúng.
Phương trình (1) có nghiệm là: \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - {\rm{m}} + \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} + 1} \right)}^2}} }}{1} = 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - {\rm{m}} - \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} + 1} \right)}^2}} }}{1} = - 2{\rm{m}} - 1.\)
Vậy đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại một điểm có hoành độ bằng 1.
d) Đúng.
Để tổng hoành độ các giao điểm của (d) và (P) bằng 6 thì
1 + (–2m – 1) = 6
–2m = 6
m = –3 (thỏa mãn (*)).
Vậy có một giá trị của m để tổng hoành độ các giao điểm của (d) và (P) bằng 6.Cho parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d): y = 2mx – m2 + 4. Khi đó:
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là x2 – 2mx + m2 – 4 = 0.
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
Các hoành độ giao điểm của (d) và (P) là m – 2 và m – 4.
Có duy nhất một giá trị của m để các giao điểm của (d) và (P) có hoành độ đối nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b)Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
x2 = 2mx – m2 + 4 hay x2 – 2mx + m2 – 4 = 0 (1).
Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là x2 – 2mx + m2 – 4 = 0.
b) Đúng.
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).
Phương trình (1) có: \(\Delta\)’ = (–m)2 – 1.(m2 – 4) = 4 > 0 với mọi giá trị của m nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
c) Sai.
Phương trình (1) có hai nghiệm là \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - {\rm{m}}} \right) + \sqrt 4 }}{1} = {\rm{m}} + 2;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - {\rm{m}}} \right) - \sqrt 4 }}{1} = {\rm{m}} - 2.\)
Vậy các hoành độ giao điểm của (d) và (P) là m + 2 và m – 2.
d) Đúng.
Để các giao điểm của (d) và (P) có hoành độ đối nhau thì
m + 2 = –(m – 2)
m + 2 + m – 2 = 0
m = 0.
Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 6x – m. Có bao nhiêu giá trị của nguyên m nhỏ hơn 20 để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 10
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x2 = 6x – m hay x2 – 6x + m = 0 (1).
Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của (d) và (P).
Để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung thì phương trình (1) vô nghiệm.
Suy ra \(\Delta\)’ = (–3)2 – 1.m = 9 – m < 0 nên m > 9.
Mà m là số nguyên nhỏ hơn 20 nên m Î {10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19}.
Vậy có 10 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho parabol (P): y = 3x2 và đường thẳng y = (m – 1)x + 4 – m. Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt sao cho tổng các hoành độ bằng 5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 16
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
3x2 = (m – 1)x + 4 – m hay 3x2 – (m – 1)x – 4 + m = 0 (1).
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).
Ta có: \(\Delta\) = [–(m – 1)]2 – 4.3.(–4 + m) = m2 – 14m + 49 = (m – 7)2.
Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Suy ra \(\Delta\) = (m – 7)2 > 0, suy ra m – 7 \(\neq\) 0 nên m \(\neq\) 7 (*).
Phương trình (1) có hai nghiệm là:
\({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left[ { - \left( {{\rm{m}} - 1} \right)} \right] + \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} - 7} \right)}^2}} }}{{2 \cdot 3}} = \frac{{ - 4 + {\rm{m}}}}{3};\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left[ { - \left( {{\rm{m}} - 1} \right)} \right] - \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} - 7} \right)}^2}} }}{{2 \cdot 3}} = 1.\)
Vì tổng các hoành độ bằng 5 nên ta có: \(\frac{{ - 4 + {\rm{m}}}}{3} + 1 = 5\) nên m = 16 (thỏa mãn (*)).
Vậy m = 16.
Cho parabol (P): y = mx2 và đường thẳng y = x + 5m (d). Biết rằng đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ bằng 1. Tìm hoành độ của giao điểm còn lại.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: –5
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): mx2 = x + 5m hay mx2 – x – 5m = 0 (1).
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Suy ra m \(\neq\) 0 và \(\Delta\) > 0. Suy ra m \(\neq\) 0 và (–1)2 – 4.m(–5m) = 1 + 20m2 > 0 với mọi m nên m \(\neq\) 0 (*).
Theo đầu bài ta có: x = 1 là nghiệm của phương trình (1) nên
m.12 – 1 – 5m = 0, suy ra –1 – 4m = 0, suy ra \({\rm{m}} = \frac{{ - 1}}{4}\) (thỏa mãn (*)).
Với \({\rm{m}} = \frac{{ - 1}}{4}\) thì \(\Delta = 1 + 20 \cdot {\left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right)^2} = \frac{9}{4}\) nên nghiệm của phương trình (1) là:
\({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt {\frac{9}{4}} }}{{2 \cdot \frac{{ - 1}}{4}}} = - 5;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt {\frac{9}{4}} }}{{2 \cdot 1}} = 1.\)
Vậy hoành độ của giao điểm còn lại bằng –5.
Biết rằng parabol (P): y = 4x2 và đường thẳng (d): y = 2mx – n2 (m \(\neq\) –2n) có 1 điểm chung, tính giá trị m – 2n.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
4x2 = 2mx – n2 nên 4x2 – 2mx + n2 = 0 (1).
Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của (d) và (P).
Để parabol (P) và đường thẳng (d) có 1 điểm chung thì phương trình (1) có 1 nghiệm kép.
Suy ra \(\Delta\)’ = m2 – 4n2 = 0 nên (m + 2n)(m – 2n) = 0 nên m – 2n = 0 (do m \(\neq\) –2n).
Vậy m – 2n = 0.
Biết rằng parabol (P): y = (m – 1)x2 và đường thẳng (d): y = mx – 1 cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Tính tích các hoành độ giao điểm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
(m – 1)x2 = mx – 1 hay (m – 1)x2 – mx + 1 = 0 (1).
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).
Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Suy ra m – 1 \(\neq\) 0 và \(\Delta\) > 0 nên m \(\neq\) 1 và (m – 2)2 > 0. Suy ra m \(\neq\) 1 và m \(\neq\) 2.
Phương trình (1) có hai nghiệm là:
\({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - {\rm{m}}} \right) + \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} - 2} \right)}^2}} }}{{2\left( {{\rm{m}} - 1} \right)}} = {\rm{m}} - 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - {\rm{m}}} \right) - \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} - 2} \right)}^2}} }}{{2\left( {{\rm{m}} - 1} \right)}} = \frac{1}{{{\rm{m}} - 1}}{\rm{.}}\)
Do đó, \({{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{{\rm{m}} - 1}}{{{\rm{m}} - 1}} = {\rm{1}}{\rm{.}}\)
Vậy tích các hoành độ bằng 1.
