Bài tập Trục căn thức ở mẫu lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{2 - \sqrt 2 }}\) ta được
7.
\(\frac{{\sqrt {14} }}{2}\).
−7.
\( - \frac{{\sqrt {14} }}{2}\).
Đáp án đúng là: B
\(A = \frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{2 - \sqrt 2 }} = \frac{{\left( {\sqrt {14} - \sqrt 7 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{2}\)
\( = \frac{{\sqrt 7 \left( {2\sqrt 2 + 2 - 2 - \sqrt 2 } \right)}}{2} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\).
Rút gọn biểu thức \(B = \sqrt {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}} \) ta được
\(\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\).
\(\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\).
\(\frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}\).
\(\frac{{3\sqrt 5 }}{2}\).
Đáp án đúng là: A
\(B = \sqrt {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\).
Rút gọn biểu thức \(B = \frac{{a\sqrt b + b\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} \) (a, b > 0) ta được
0.
1.
\(\sqrt {ab} \).
\( - \sqrt {ab} \).
Đáp án đúng là: A
\(B = \frac{{a\sqrt b + b\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} \)
\(B = \frac{{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} \)
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }}\) (a, b ≥ 0, a ≠ b) ta được
\(\frac{{a + b}}{{a - b}}\).
\(\frac{{a - b}}{{a + b}}\).
1.
0.
Đáp án đúng là: A
\(A = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }}\)
\(A = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) - \sqrt b \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}\)
Kết quả của phép tính \(A = \left( {\frac{{15}}{{\sqrt 6 + 1}} - \frac{4}{{\sqrt 6 - 2}} - \frac{{12}}{{3 - \sqrt 6 }}} \right)\left( {11 + \sqrt 6 } \right)\) là
\(A = - 52\sqrt 6 - 227\).
\(A = - 52\sqrt 6 + 227\).
\(A = 52\sqrt 6 - 227\).
\(A = 52\sqrt 6 + 227\).
Đáp án đúng là: A
\(A = \left( {\frac{{15}}{{\sqrt 6 + 1}} - \frac{4}{{\sqrt 6 - 2}} - \frac{{12}}{{3 - \sqrt 6 }}} \right)\left( {11 + \sqrt 6 } \right)\)
\(A = \left[ {\frac{{15\left( {\sqrt 6 - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 6 + 1} \right)\left( {\sqrt 6 - 1} \right)}} - \frac{{4\left( {\sqrt 6 + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 6 - 2} \right)\left( {\sqrt 6 + 2} \right)}} - \frac{{12\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}}{{\left( {3 - \sqrt 6 } \right)\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}}} \right]\left( {11 + \sqrt 6 } \right)\)
\(A = \left[ {\frac{{15\left( {\sqrt 6 - 1} \right)}}{5} - \frac{{4\left( {\sqrt 6 + 2} \right)}}{2} - \frac{{12\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}}{3}} \right]\left( {11 + \sqrt 6 } \right)\)
\(A = \left[ {3\left( {\sqrt 6 - 1} \right) - 2\left( {\sqrt 6 + 2} \right) - 4\left( {3 + \sqrt 6 } \right)} \right]\left( {11 + \sqrt 6 } \right)\)
\(A = \left[ {3\sqrt 6 - 3 - 2\sqrt 6 - 4 - 12 - 4\sqrt 6 } \right]\left( {11 + \sqrt 6 } \right)\)
\(A = \left( { - 3\sqrt 6 - 19} \right)\left( {11 + \sqrt 6 } \right)\)
\(A = - 3\sqrt 6 .11 - 3.6 - 19.11 - 19\sqrt 6 \)
Kết quả của biểu thức \(A = \left( {1 - \frac{{5 + \sqrt 5 }}{{1 + \sqrt 5 }}} \right)\left( {\frac{{5 - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 5 }} - 1} \right)\) là
8.
−4.
4.
2.
Đáp án đúng là: C
\(A = \left( {1 - \frac{{5 + \sqrt 5 }}{{1 + \sqrt 5 }}} \right)\left( {\frac{{5 - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 5 }} - 1} \right)\)
\(A = \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 - 5 - \sqrt 5 }}{{1 + \sqrt 5 }}} \right)\left( {\frac{{5 - \sqrt 5 - 1 + \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 5 }}} \right)\)
Thực hiện phép tính \(A = \left( {\frac{2}{{\sqrt 3 - 1}} + \frac{3}{{\sqrt 3 - 2}} + \frac{{15}}{{3 - \sqrt 3 }}} \right).\frac{1}{{\sqrt 3 + 5}}\) được kết quả là
−1.
1.
\( - \frac{1}{2}.\)
\(\frac{1}{2}.\)
Đáp án đúng là: D
\(A = \left( {\frac{2}{{\sqrt 3 - 1}} + \frac{3}{{\sqrt 3 - 2}} + \frac{{15}}{{3 - \sqrt 3 }}} \right).\frac{1}{{\sqrt 3 + 5}}\)
\(A = \left[ {\frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}} + \frac{{15\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {3 - \sqrt 3 } \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}} \right].\frac{1}{{\sqrt 3 + 5}}\)
\(A = \left[ {\frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2} + \frac{{3\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}}{{ - 1}} + \frac{{15\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{6}} \right].\frac{1}{{\sqrt 3 + 5}}\)
\(A = \left[ {\sqrt 3 + 1 - 3\left( {\sqrt 3 + 2} \right) + \frac{{5\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{2}} \right].\frac{1}{{\sqrt 3 + 5}}\)
\(A = \left[ { - 2\sqrt 3 - 5 + \frac{{5\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{2}} \right].\frac{1}{{\sqrt 3 + 5}}\)
\(A = \frac{{ - 4\sqrt 3 - 10 + 15 + 5\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{{\sqrt 3 + 5}}\)
Thực hiện phép tính \(B = \left( {\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}\).
2.
−2.
\({\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)^2}\).
0.
Đáp án đúng là: B
\(B = \left( {\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}\)
\(B = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt {14} - \sqrt 7 } \right)\left( {1 - \sqrt 3 } \right) + \left( {\sqrt {15} - \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}}} \right].\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)\)
\(B = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt {14} - \sqrt 7 } \right)\left( {1 - \sqrt 3 } \right) + \sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}}} \right].\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)\)
\(B = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt {14} - \sqrt 7 - \sqrt 5 + \sqrt {10} } \right)\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}}} \right].\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)\)
\(B = \frac{{\left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}}.\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)\)
\(B = - \left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right) = - \left( {7 - 5} \right) = - 2\).
Rút gọn biểu thức \(B = \frac{{\left( {a\sqrt b + b} \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{a - b}}.\sqrt {\frac{{ab + {b^2} - 2\sqrt {a{b^3}} }}{{a\left( {a + 2\sqrt b } \right) + b}}} \)
với (a, b > 0) được
a.
b.
0.
1.
Đáp án đúng là: B
\(B = \frac{{\left( {a\sqrt b + b} \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{a - b}}.\sqrt {\frac{{ab + {b^2} - 2\sqrt {a{b^3}} }}{{a\left( {a + 2\sqrt b } \right) + b}}} \)
\(B = \frac{{\left( {a\sqrt b + b} \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{a - b}}.\sqrt {\frac{{ab + {b^2} - 2\sqrt {a{b^3}} }}{{{a^2} + 2a\sqrt b + b}}} \)
\(B = \frac{{\left( {a\sqrt b + b} \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{a - b}}.\sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt {ab} - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + \sqrt b } \right)}^2}}}} \)
\(B = \frac{{\left( {a\sqrt b + b} \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{a - b}}.\frac{{{{\left( {\sqrt {ab} - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + \sqrt b } \right)}^2}}}\)
\(B = \frac{{\left( {a\sqrt b + b} \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{a - b}}.\frac{{\left( {\sqrt {ab} - b} \right)}}{{\left( {a + \sqrt b } \right)}}\)
\(B = \frac{{\left( {a\sqrt b + b} \right)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt {ab} - b} \right)}}{{\left( {a + \sqrt b } \right)}} = \frac{{\sqrt b .\sqrt b .\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}{{\sqrt a - \sqrt b }} = b\).
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }}} + \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}} \) ta được
0.
1.
4.
\(2\sqrt 3 .\)
Đáp án đúng là: C
\(A = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }}} + \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}} \)
\(A = \sqrt {\frac{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}} + \sqrt {\frac{{{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}} \)
Trong thuyết tương đối, khối lượng m (kg) của một vật khi chuyển động với tốc độ v được cho bởi công thức:
\(m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\),
trong đó m0 (kg) là khối lượng của vật khi đứng yên, c (m/s) là tốc độ của ánh sáng trong chân không (Theo sách Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam 2016), Khi đó:
Công thức dưới dạng trục căn thức là \(m = \frac{{{m_0}c\sqrt {{c^2} - {v^2}} }}{{{c^2} - {v^2}}}\).
\({m_0} = \frac{{m\sqrt {{c^2} - {v^2}} }}{c}\).
Khi vật chuyển động với tốc độ \(v = \frac{1}{{10}}c\) thì \(m = 1,005{m_0}\).
Với tốc độ \(v = \frac{1}{5}c\) thì m0 = m.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: \(m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {\frac{{{c^2} - {v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \frac{{{m_0}\sqrt {{c^2}} }}{{\sqrt {{c^2} - {v^2}} }} = \frac{{{m_0}c\sqrt {{c^2} - {v^2}} }}{{{c^2} - {v^2}}}\).
Vậy trục căn thức ở mẫu ta được \(m = \frac{{{m_0}c\sqrt {{c^2} - {v^2}} }}{{{c^2} - {v^2}}}\).
b) Đúng.
Vì \({m_0} = \frac{{m\sqrt {{c^2} - {v^2}} }}{c}\) nên \({m_0}c = m\sqrt {{c^2} - {v^2}} \).
Suy ra \({m_0} = \frac{{m\sqrt {{c^2} - {v^2}} }}{c}\).
c) Đúng.
Thay \(v = \frac{1}{{10}}c\) ta được:
\(m = \frac{{{m_0}c\sqrt {{c^2} - {{\frac{c}{{100}}}^2}} }}{{{c^2} - \frac{{{c^2}}}{{100}}}} = \frac{{{m_0}c.\sqrt {99} c}}{{10}}:\frac{{99{c^2}}}{{100}} = \frac{{{m_0}{c^2}.\sqrt {99} }}{{10}}.\frac{{100}}{{99{c^2}}} = \frac{{10{m_0}}}{{\sqrt {99} }} \approx 1,005{m_0}\).
d) Sai.
Thay \(v = \frac{1}{5}c\) ta được:
\({m_0} = \frac{{m\sqrt {{c^2} - {v^2}} }}{c} = \frac{{m\sqrt {{c^2} - \frac{{{c^2}}}{{25}}} }}{c} = \frac{{mc\sqrt {24} }}{{5c}} = \frac{{\sqrt {24} m}}{5} \approx 0,98m\).
Biết rằng hình thang và hình chữ nhật như hình dưới đây có diện tích bằng nhau.
Khi đó:
Diện tích hình chữ nhật là \({S_1} = 6\sqrt 6 \).
Diện tích hình thang là \({S_2} = \frac{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right).h}}{2}\).
Phương trình biểu diễn diện tích hai hình bằng nhau là: \(\frac{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right).h}}{2} = 6\sqrt 6 \).
Chiều cao của hình thang là \(h = 12 + 6\sqrt 2 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Diện tích hình chữ nhật S1 = \(\sqrt {12} .\sqrt {18} = \sqrt {12.18} = 6\sqrt 6 .\)
b) Đúng.
Diện tích hình thang \({S_2} = \frac{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right).h}}{2}\).
c) Đúng.
Phương trình biểu diễn bài toán trên là: S1 = S2
Hay \(\frac{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right).h}}{2} = 6\sqrt 6 \)
d) Sai.
Ta có: \(\frac{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right).h}}{2} = 6\sqrt 6 \)
Suy ra \(\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right).h = 12\sqrt 6 \)
Do đó, \(h = \frac{{12\sqrt 6 }}{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right)}}\)
\(h = \frac{{12\sqrt 6 \left( {\sqrt {24} - \sqrt {12} } \right)}}{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right)\left( {\sqrt {24} - \sqrt {12} } \right)}}\)
\(h = \frac{{12\sqrt 6 .\sqrt {24} - 12\sqrt 6 .\sqrt {12} }}{{{{\left( {\sqrt {24} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {12} } \right)}^2}}}\)
\(h = \frac{{12\sqrt {6.24} - 12\sqrt {6.12} }}{{12}}\)
\(h = \sqrt {144} - \sqrt {72} \)
\(h = 12 - 6\sqrt 2 \).
\(a = \sqrt 3 + 1.\)
\(b = 3\left( {\sqrt 6 - \sqrt 3 } \right)\).
\(c = \sqrt 6 \).
\(a + b + c = 1.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: \(a = \frac{2}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2} = \sqrt 3 + 1\).
b) Sai.
Ta có: \(b = \frac{3}{{\sqrt 6 + \sqrt 3 }} = \frac{{3\left( {\sqrt 6 - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {\sqrt 6 - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 6 - \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{3\left( {\sqrt 6 - \sqrt 3 } \right)}}{3} = \sqrt 6 - \sqrt 3 \).
c) Sai.
Ta có: \(c = \frac{6}{{\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \).
d) Sai.
Ta có: a + b + c = \(\sqrt 3 + 1 + \sqrt 6 - \sqrt 3 + \sqrt 6 = 2\sqrt 6 + 1\).
\(a + b = \sqrt 3 - 1.\)
\(c = 3 - \sqrt 7 \).
\(a + b + c > 0.\)
Giá trị của biểu thức \(T = {\left( {a + b + c + 4 - \sqrt 7 } \right)^2}\) có giá trị là một số nguyên.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: \(a + b = \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}\)
\( = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}} = \sqrt 2 - 1 + \sqrt 3 - \sqrt 2 = - 1 + \sqrt 3 \).
b) Đúng.
Ta có: \(c = \frac{2}{{3 + \sqrt 7 }} = \frac{{2\left( {3 - \sqrt 7 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 7 } \right)\left( {3 - \sqrt 7 } \right)}} = \frac{{2\left( {3 - \sqrt 7 } \right)}}{2} = 3 - \sqrt 7 \)
c) Đúng.
Ta có: a + b + c = \(\sqrt 3 - 1 + 3 - \sqrt 7 = 2 + \sqrt 3 - \sqrt 7 \).
Vì \(2 + \sqrt 3 > 2 + 1\) hay \(2 + \sqrt 3 > 3\) nên \(2 + \sqrt 3 - \sqrt 7 > 3 - \sqrt 7 = \sqrt 9 - \sqrt 7 > 0\)
Do đó, a + b + c > 0.
d) Sai.
Ta có: \(T = {\left( {a + b + c + 4 - \sqrt 7 } \right)^2} = {\left( {2 + \sqrt 3 - \sqrt 7 + 4 - \sqrt 7 } \right)^2} = {\left( {6 + \sqrt 3 } \right)^2} = 39 + 12\sqrt 3 \).
Do đó T không có giá trị là số nguyên.
\(a = 3 + \sqrt 5 .\)
\(b = \sqrt 2 \).
c > b.
\(a + b + c\) có giá trị là một số hữu tỉ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: \(a = \frac{4}{{3 - \sqrt 5 }} = \frac{{4\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}} = \frac{{4\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{4} = 3 + \sqrt 5 \).
b) Đúng.
Ta có: \(b = \frac{{\sqrt {10} + \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 + 1}} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{{\sqrt 5 + 1}} = \sqrt 2 \).
c) Sai.
Ta có: \(c = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 6 + 2}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}} = \frac{2}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}\)
Vì \(\sqrt 2 + \sqrt 3 > 2\) nên \(\frac{2}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} < 1 < \sqrt 2 \) nên c < b.
d) Sai.
Ta có:
a + b + c = \(3 + \sqrt 5 + \sqrt 2 + \frac{2}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} = 3 + \sqrt 5 + \sqrt 2 + 2\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) = 3 + \sqrt 5 + 2\sqrt 3 - 2\).
Do đó, a + b + c có giá trị là số vô tỉ.
Cho biểu thức \(B = \frac{3}{{\sqrt 5 - \sqrt 2 }} + \frac{4}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 6 + \sqrt 5 }}\). Biết rằng sau khi trục căn thức ở mẫu và rút gọn ta được B = \(a\sqrt b \) (với a, b ∈ ℕ).
Tính giá trị của T = a + b.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 8
\(B = \frac{3}{{\sqrt 5 - \sqrt 2 }} + \frac{4}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 6 + \sqrt 5 }}\)
\( = \frac{{3\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}} + \frac{{4\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}} + \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 5 }}{{\left( {\sqrt 6 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 6 - \sqrt 5 } \right)}}\)
\( = \frac{{3\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{{4\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 5 }}{{{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{3\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{3} + \frac{{4\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}}{4} + \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 5 }}{1}\)
\( = \sqrt 5 + \sqrt 2 + \sqrt 6 - \sqrt 2 + \sqrt 6 - \sqrt 5 \)
\( = 2\sqrt 6 \).
Do đó, a = 2, b = 6.
Vậy T = a + b = 8.
Tính giá trị của biểu thức \(D = \left( {\frac{{\sqrt {22} - \sqrt {11} }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {21} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 4
\(D = \left( {\frac{{\sqrt {22} - \sqrt {11} }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {21} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\)
\[ = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt {22} - \sqrt {11} } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt {21} - \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}} \right]\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\]
\[ = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt {22} - \sqrt {11} } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{{ - 1}} - \frac{{\left( {\sqrt {21} - \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}} \right]\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\]
\[ = \left[ { - \left( {\sqrt {44} - \sqrt {22} + \sqrt {22} - \sqrt {11} } \right) - \frac{{\sqrt {21} - \sqrt 7 + \sqrt {63} - \sqrt {21} }}{2}} \right]\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\]
\[ = \left[ { - \sqrt {44} + \sqrt {11} - \frac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 9 - 1} \right)}}{2}} \right]\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\]
\[ = \left[ { - 2\sqrt {11} + \sqrt {11} - \sqrt 7 } \right]\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\]
\[ = \left( { - \sqrt {11} - \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\]
\[ = - \left( {\sqrt {11} + \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\]
\[ = - \left[ {{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {11} } \right)}^2}} \right]\]
\[ = - \left( { - 4} \right) = 4\].
Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{2\sqrt {xy} }}{{x - y}} - \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{2\sqrt x - 2\sqrt y }}} \right).\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}\) (x, y ≥ 0, x ≠ y). Tính giá trị của P, biết \(\frac{x}{y} = \frac{4}{9}\). (Kết quả viết dưới dạng số thập phân)
Hướng dẫn giải
Đáp án: −0,4
Ta có: \(P = \left( {\frac{{2\sqrt {xy} }}{{x - y}} - \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{2\sqrt x - 2\sqrt y }}} \right).\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}\)
\( = \left[ {\frac{{4\sqrt {xy} }}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} - \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}} \right].\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}\)
\( = \left[ {\frac{{4\sqrt {xy} }}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}} \right].\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}\)
\( = \frac{{4\sqrt {xy} - {{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}}}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}.\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}\)
\( = \frac{{4\sqrt {xy} - x - 2\sqrt {xy} - y}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}.\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}\)
\( = \frac{{ - \left( {x + 2\sqrt {xy} + y} \right)}}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}.\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}\)
\( = \frac{{ - {{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}}}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}.\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}\)
\( = \frac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }}\)
Với \(\frac{x}{y} = \frac{4}{9}\) suy ra y = \(\frac{{9x}}{4}\).
Do đó, P \( = \frac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \frac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x + \frac{3}{2}\sqrt x }} = \frac{{ - \sqrt x }}{{\frac{5}{2}\sqrt x }} = - \frac{2}{5} = - 0,4\).
Biết rằng \(\frac{{13}}{{3\sqrt 7 + \sqrt {11} }} + \frac{{17}}{{4\sqrt 7 + 2\sqrt {11} }} = a\sqrt 7 + b\sqrt {11} \) (a, b ∈ ℚ) . Tính giá trị của a + b.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 2
Ta có: \(\frac{{13}}{{3\sqrt 7 + \sqrt {11} }} + \frac{{17}}{{4\sqrt 7 + 2\sqrt {11} }}\)
\( = \frac{{13\left( {3\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)}}{{\left( {3\sqrt 7 + \sqrt {11} } \right)\left( {3\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)}} + \frac{{17\left( {4\sqrt 7 + 2\sqrt {11} } \right)}}{{\left( {4\sqrt 7 + 2\sqrt {11} } \right)\left( {4\sqrt 7 - 2\sqrt {11} } \right)}}\)
\( = \frac{{13\left( {3\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)}}{{52}} + \frac{{17\left( {4\sqrt 7 + 2\sqrt {11} } \right)}}{{68}}\)
\( = \frac{{3\sqrt 7 - \sqrt {11} }}{4} + \frac{{4\sqrt 7 + 2\sqrt {11} }}{4}\)
\( = \frac{{3\sqrt 7 - \sqrt {11} + 4\sqrt 7 + 2\sqrt {11} }}{4}\)
\( = \frac{{7\sqrt 7 + \sqrt {11} }}{4}\)
\( = \frac{{7\sqrt 7 }}{4} + \frac{{\sqrt {11} }}{4} = \frac{7}{4}.\sqrt 7 + \frac{1}{4}.\sqrt {11} \).
Do đó, \(a = \frac{7}{4};\,\,b = \frac{1}{4}\).
Suy ra a + b = \(\frac{7}{4} + \frac{1}{4} = 2.\)
Tính giá trị của biểu thức M = x5 – 6x3 + x tại \(x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 - 1}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0
Ta có: \(x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 - 1}} = \frac{{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)}} = \frac{{6\sqrt 2 + 3 + 4 + \sqrt 2 }}{7} = \frac{{7\sqrt 2 + 7}}{7} = \sqrt 2 + 1\).
Ta có: M = x5 – 6x3 + x
\( = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^5} - 6.{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^3} + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\)
\( = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^4} - 6{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2} + 1} \right]\)
\( = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^4} - 2{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2} + 1 - 4{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} \right]\)
\( = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^4} - 2{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2} + 1 - 4{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} \right]\)
\( = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ {{{\left( {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2} - 1} \right)}^2} - 4{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} \right]\)
\( = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2} - 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right) - 1} \right]\left[ {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2} + 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right) - 1} \right]\)
\( = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ {2 + 2\sqrt 2 + 1 - 2\sqrt 2 - 2 - 1} \right]\left[ {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2} + 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right) - 1} \right]\)
\( = 0.\left( {\sqrt 2 + 1} \right).\left[ {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2} + 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right) - 1} \right]\)
= 0.
