Bài tập Toán 9 (Có đáp án) : Căn bậc ba - Căn bậc N

Đặt $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}\\ x_2=-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}\end{array}\right.\Rightarrow x_1{x}_2=\frac{5}{3}$

Khi đó

$\begin{array}{l}x=x_1-x_2\\ \iff x^3={\left(x_1-x_2\right)}^3={x_1}^3-{x_2}^3-3x_1{x}_2\left(x_1-x_2\right)=6-5x\\ \iff x^3+5x-6=0\\ \iff (x-1)(x^2+x+6)=0\\ \iff x=1\end{array}$

Vậy ta được x=1 là số hữu tỷ

Đặt $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}\\ x_2=\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}\end{array}\right.\Rightarrow x_1{x}_2=\frac{2a-1}{8}$

Khi đó

$\begin{array}{l}x=x_1-x_2\\ \iff x^3={\left(x_1+x_2\right)}^3={x_1}^3+{x_2}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)=2a+(1-2a)x\\ \iff x^3+(2a-1)x-2a=0\\ \iff (x-1)(x^2+x+2a)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x^2+x+2a\end{array}\right.\end{array}$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}{a}_1=\sqrt[3]{5\left(\sqrt{6}+1\right)}\\ a_2=\sqrt[3]{5\left(\sqrt{6}-1\right)}\end{array}\right.\Rightarrow a_1{a}_2=\sqrt[3]{25\left(5-1\right)}=5$

Khi đó

$\begin{array}{l}a=a_1-a_2\\ \iff a^3={\left(a_1-a_2\right)}^3={a_1}^3-{a_2}^3-3a_1{a}_2\left(a_1-a_2\right)=10-\mathrm{3.5.}x=10-15x\\ \iff x^3+15x=10\\ \iff A=10\end{array}$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}{M}_1=\sqrt[3]{\frac{a^3-3a+(a^2-1)\sqrt{a^2-4}}{2}}\\ M_2=\sqrt[3]{\frac{a^3-3a-(a^2-1)\sqrt{a^2-4}}{2}}\end{array}\right.\Rightarrow M_1{M}_2=1$

Khi đó

$\begin{array}{l}P=M_1+M_2\\ \iff P^3={\left(M_1+M_2\right)}^3={M_1}^3+{M_2}^3+3M_1{M}_2\left(M_1+M_2\right)=a^3-3a+3P\\ \iff P^3-3P-a^3+3a=0\\ \iff (P-a)(P^2+aP+a^2-3)=0(*)\end{array}$

Với giả thiết $\left|a\right|>2$, ta có:

$P^2+aP+a^2-3={\left(P+\frac{a}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\left(a^2-4\right)>0$

Do đó, phương trình (*) tương đương với $P-a=0\iff P=a$

Vậy ta được $P=a$

$\begin{array}{l}a=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\\ \iff a^3={\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\right)}^3\\ \iff a^3={\left(\sqrt[3]{4}\right)}^3+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^3-3\sqrt[3]{4}.\sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\right)\\ \iff a^3=6+6a\\ \iff a^3-6a-6=0(*)\end{array}$

Số a là số vô tỷ vì giả sử trái lại a là số hữu tỷ thì a phải là số nguyên bởi nó là nghiệm của một đa thức với hệ số nguyên và hệ số bậc cao nhất bằng 1

Mặt khác ta thấy ngay

$\begin{array}{l}2<\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}<4\\ \iff 2<a<4\\ \Rightarrow a=3\end{array}$

Tuy nhiên, a=3 không phải là một nghiệm của phương trình (*).

Giả sử trái lại b là số hữu tỷ. Ta có:

$b^3={\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}\right)}^3={\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^3-3.\sqrt[3]{3}.\sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}\right)=5+3\sqrt[3]{6b}$

$\iff \sqrt[3]{6}=\frac{b^3-5}{3b}$ là một số hữu tỷ - Vô lý.

Điều đó chứng tỏ b là một số vô tỷ.

Giả sử $\sqrt[n]{a}$ không phải là số nguyên. Dễ thấy $c=\sqrt[n]{a}$ là một nghiệm của đa thức với hệ số nguyên $x^n-a$.

Đa thức này nếu có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm đó phải là số nguyên. Nhưng theo giả thiết $\sqrt[n]{a}$ không phải là số nguyên, do đó $\sqrt[n]{a}$ phải là số vô tỷ.

Thực hiện phép nhân liên hợp, ta có: 

$$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}{\left(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}\right)\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}\right)} \\ =\frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}{3-2}=\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4} \end{gathered}$$

Thực hiện phép nhân liên hợp, ta có

$$\begin{gathered} \frac{6}{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1}=\frac{6\left(\sqrt[3]{5}+1\right)}{\left(\sqrt[3]{5}+1\right)\left(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1\right)} \\ =\frac{6\left(\sqrt[3]{5}+1\right)}{5+1}=\sqrt[3]{5}+1 \end{gathered}$$

$A=\sqrt[3]{64}-\sqrt[3]{1000}-\sqrt[3]{8}=4-10-2=-8$

$B=\sqrt[3]{-125}-\sqrt[3]{128}-\sqrt[3]{2}=-5+4\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}-5$

$C=\sqrt[3]{81}-\sqrt[3]{27}-3\sqrt[3]{3}=3\sqrt[3]{3}-3-\sqrt[3]{3}=-3$

$\begin{array}{l}A=\sqrt[3]{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(3+2\sqrt{2}\right)}\\ =\sqrt[3]{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(2+2\sqrt{2}+1\right)}\\ =\sqrt[3]{\left(\sqrt{2}+1\right){\left(\sqrt{2}+1\right)}^2}\\ =\sqrt[3]{{\left(\sqrt{2}+1\right)}^3}\\ =\sqrt{2}+1\end{array}$

$\begin{array}{l}B={\left(\sqrt[3]{3}-1\right)}^3+{\left(\sqrt[3]{3}+1\right)}^3\\ ={\left(\sqrt[3]{3}-1+\sqrt[3]{3}+1\right)}^3-3\left(\sqrt[3]{3}-1\right)\left(\sqrt[3]{3}+1\right)\left(\sqrt[3]{3}-1+\sqrt[3]{3}-1\right)\\ ={\left(2\sqrt[3]{3}\right)}^3-6\sqrt[3]{3}\left(\sqrt[3]{9}-1\right)\\ =24-18+6\sqrt[3]{3}\\ =6+6\sqrt[3]{3}\end{array}$

$C=\left(\sqrt[3]{3}-1\right)\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1\right)={\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3-1=3-1=2$

$D=\left(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}\right)\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{4}\right)={\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3-{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2=3-2=1$

$\begin{array}{l}A={\left(\sqrt[3]{a}+1\right)}^3-{\left(\sqrt[3]{a}-1\right)}^3\\ ={\left[\left(\sqrt[3]{a}+1\right)-\left(\sqrt[3]{a}-1\right)\right]}^3+3\left(\sqrt[3]{a}+1\right)\left(\sqrt[3]{a}-1\right)\left[\left(\sqrt[3]{a}+1\right)-\left(\sqrt[3]{a}-1\right)\right]\\ =2^3+6\left(\sqrt[3]{a^2}-1\right)\\ =8+6\sqrt[3]{a^2}-6\\ =2+6\sqrt[3]{a^2}\end{array}$

$B=\frac{1+a}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}+1}=\frac{\left(1+\sqrt[3]{a}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}+1\right)}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}+1}=1+\sqrt[3]{a}$

$$\begin{gathered} C=\sqrt[3]{1-x^3+3x(x-1)}=\sqrt[3]{1-3x+3x^2-x^3} \\ =\sqrt[3]{{(1-x)}^3}=1-x \end{gathered}$$

$D=\sqrt[3]{64}-\sqrt[3]{1000}-\sqrt[3]{8}=4-10-2=-8$

$$\begin{gathered} {\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)}^3=\frac{5\sqrt{5}-15+3\sqrt{5}-1}{8}=\frac{8\sqrt{5}-16}{8}=\sqrt{5}-2 \\ \iff \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt[3]{\sqrt{5}-2} \end{gathered}$$

Thực hiện phép nhân liên hợp, ta có: 

$$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}{\left(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}\right)\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}\right)} \\ =\frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}{3-2}=\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4} \end{gathered}$$