Bài tập Toán 9 Bài 6 (có đáp án): Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Ta biến đổi:

$$\begin{gathered} \frac{a^2-b^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \\ =\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a+b\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \\ =\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+b\right) \end{gathered}$$

Ta biến đổi:

$$\begin{gathered} \frac{1-a}{\sqrt{1+\sqrt{a}}}=\frac{\left(1-a\right)\sqrt{1+\sqrt{a}}}{1+\sqrt{a}} \\ =\frac{\left(1-a\right)\sqrt{1+\sqrt{a}}.\left(1-\sqrt{a}\right)}{\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)} \\ =\frac{\left(1-a\right)\sqrt{1+\sqrt{a}}.\left(1-\sqrt{a}\right)}{1-a} \\ =\sqrt{1+\sqrt{a}}.\left(1-\sqrt{a}\right) \end{gathered}$$

Đặt $t=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, ta được $a=bt$ và $c=dt$.

Khi đó, biểu thức được viết lại dưới dạng:

$\begin{array}{l}P=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}\\ =\frac{1}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{d}\right)\left(\sqrt{t}+1\right)}\\ =\frac{\left(\sqrt{b}-\sqrt{d}\right)\left(\sqrt{t}+1\right)}{(b-d)(t-1)}\\ =\frac{\left(\sqrt{b}-\sqrt{d}\right)\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-1\right)}{(b-d)\left(\frac{a}{b}-1\right)}\\ =\frac{\sqrt{b}\left(\sqrt{b}-\sqrt{d}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{(b-d)(a-b)}\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}A=\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\ =\frac{4\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)}+\frac{2\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}\\ =\frac{4\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)}{7-3}+\frac{2\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{5-3}\\ =\sqrt{7}+\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{3}\\ =\sqrt{7}+\sqrt{5}\end{array}$

Nhận xét rằng:

$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}={\left(\sqrt{a}\right)}^3+{\left(\sqrt{b}\right)}^3=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)$

Từ đó, suy ra:

$\begin{array}{l}\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\\ =\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\sqrt{ab}\\ =a-\sqrt{ab}+b-\sqrt{b}\\ =a-2\sqrt{ab}+b\\ ={\left(\sqrt{a}\right)}^2-2\sqrt{ab}+{\left(\sqrt{b}\right)}^2\\ ={\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\end{array}$

Nhận xét rằng:

$\begin{array}{l}\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1\\ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\\ \mathrm{...}\\ \frac{1}{\sqrt{2008}+\sqrt{2009}}=\sqrt{2009}-\sqrt{2008}\end{array}$

Thực hiện phép cộng theo vế và rút gọn, ta được:

$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{2008}+\sqrt{2009}}=\sqrt{2009}-1$ (đpcm)

1. Điều kiện để A có nghĩa:

$\left\{\begin{array}{l}1-x\ge 0\\ 1+x>0\\ 1-x^2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 1\\ x>-1\\ -1<x<1\end{array}\right.\iff -1<x<1(*)$

Vậy điều kiện tồn tại của A là $-1<x<1$

2. Biến đổi biểu thức về dạng:

$\begin{array}{l}A=\left(\sqrt{1-x}+\frac{3}{\sqrt{1+x}}\right):\left(1+\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\right)\\ =\frac{\sqrt{(1-x)(1+x)}+3}{\sqrt{1+x}}:\frac{\sqrt{1-x^2}+3}{\sqrt{1-x^2}}\\ =\frac{\sqrt{1-x^2}+3}{\sqrt{1-x}}.\frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}+3}\\ =\sqrt{1-x}\end{array}$

3. Trước tiên, ta viết lại x dưới dạng:

$x=\frac{\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=\frac{2\sqrt{3}-3}{4-3}=2\sqrt{3}-3$

Khi đó, ta suy ra: $A=\sqrt{1-\left(2\sqrt{3}-3\right)}=\sqrt{1-2\sqrt{3}+3}=\sqrt{{\left(1-\sqrt{3}\right)}^2}=\left|1-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}-1$

4. Để $\sqrt{A}>A$, điều kiện là: $A<1\iff \sqrt{1-x}<1\iff 1-x<1\iff x>0$

Vậy với $0<x<1$ thì $\sqrt{A}>A$

Ta biến đổi tương đương:

$\sqrt{3x^2}=x\sqrt{3}\iff \left|x\right|\sqrt{3}=x\sqrt{3}\iff \left|x\right|=x\iff x\ge 0$

Vậy với $x\ge 0$ ta có đẳng thức đã cho

Ta biến đổi tương đương:

$\begin{array}{l}\sqrt{a{(1-3x)}^2}=(3x-1)\sqrt{a}\\ \iff \left|1-3x\right|\sqrt{a}=(3x-1)\sqrt{a}\\ \iff \left|1-3x\right|=3x-1\\ \iff 1-3x\ge 0\\ \iff x\le \frac{1}{3}\end{array}$

(do a < 0)

Vậy với $x\le \frac{1}{3}$ ta có được đẳng thức đã cho.

Điều kiện: $x\ge 2$

$\begin{array}{l}\frac{3}{2}\sqrt{4x-8}-9\sqrt{\frac{x-2}{81}}=6\\ \iff \frac{3}{2}.2\sqrt{x-2}-9.\frac{1}{9}.\sqrt{x-2}=6\\ \iff 3\sqrt{x-2}-\sqrt{x-2}=6\\ \iff 2\sqrt{x-2}=6\\ \iff \sqrt{x-2}=3\\ \iff x-2=9\\ \iff x=11\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm x=11

Biến đổi phương trình về dạng:

$\begin{array}{l}\frac{\sqrt{x^2+1}-x-\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}{\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}+2=0\\ \iff \frac{-2x}{x^2+1-x^2}+2=0\\ \iff -2x+2=0\\ \iff 2x=2\\ \iff x=1\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=1

Ta có

$$\begin{gathered} A=\frac{15}{\sqrt{6}+1}+\frac{4}{\sqrt{6}-2} \\ =\frac{15\left(\sqrt{6}-1\right)}{\left(\sqrt{6}+1\right)\left(\sqrt{6}-1\right)}+\frac{4\left(\sqrt{6}+2\right)}{\left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)} \\ =\frac{15\left(\sqrt{6}-1\right)}{6-1}+\frac{4\left(\sqrt{6}+2\right)}{6-4} \\ =3\left(\sqrt{6}-1\right)+2\left(\sqrt{6}+2\right) \\ =5\sqrt{6}+1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} B=\frac{12}{3-\sqrt{6}}+\sqrt{6}=\frac{12.\left(3+\sqrt{6}\right)}{\left(3-\sqrt{6}\right)\left(3+\sqrt{6}\right)} \\ =\frac{12.\left(3+\sqrt{6}\right)}{9-6}=4\left(3+\sqrt{6}\right) \end{gathered}$$

Vậy ta được A < B.

$A=\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}=\frac{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)}{1-\sqrt{a}}=1+\sqrt{a}+a$

$B=\frac{1}{\sqrt{18}+\sqrt{8}-2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{18}}$

$\begin{array}{l}C=\frac{\sqrt{a+3}+\sqrt{a-3}}{\sqrt{a+3}-\sqrt{a-3}}\\ =\frac{\left(\sqrt{a+3}+\sqrt{a-3}\right)\left(\sqrt{a+3}+\sqrt{a-3}\right)}{\left(\sqrt{a+3}-\sqrt{a-3}\right)\left(\sqrt{a+3}+\sqrt{a-3}\right)}\\ =\frac{{\left(\sqrt{a+3}+\sqrt{a-3}\right)}^2}{\left(a+3\right)\left(a-3\right)}\\ =\frac{a+3+2\sqrt{a+3}\sqrt{a-3}+a-3}{a+3-a+3}\\ =\frac{2a+2\sqrt{a^2-9}}{6}\end{array}$

$\begin{array}{l}D=\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}\\ =\frac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{\left(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}\\ =\frac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{{\left(1+\sqrt{2}\right)}^2-3}\\ =\frac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{{\left(1+2\sqrt{2}+2\right)}^2-3}\\ =\frac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{2\sqrt{2}}\\ =\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\end{array}$

$\begin{array}{l}A=\frac{1}{\sqrt{7}-2\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+2\sqrt{3}}\\ =\frac{\sqrt{7}+2\sqrt{3}+\sqrt{7}-2\sqrt{3}}{\left(\sqrt{7}-2\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{7}+2\sqrt{3}\right)}\\ =\frac{2\sqrt{7}}{7-4.3}\\ =-\frac{2\sqrt{7}}{5}\end{array}$

$\begin{array}{l}B=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{2}-2}{1-\sqrt{2}}\\ =\frac{\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}-1}\\ =\frac{2\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}\\ =\frac{\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}\\ =\frac{2.2+2\sqrt{2}-\sqrt{2}-1}{2-1}\\ =3+\sqrt{2}\end{array}$

Ta biến đổi tương đương:

$\sqrt{7x^2}=-x\sqrt{7}\iff \left|x\right|\sqrt{7}=-x\sqrt{7}\iff \left|x\right|=-x\iff x\le 0$

Vậy với $x\le 0$ ta có được đẳng thức đã cho.

Ta biến đổi tương đương:

$\begin{array}{l}\sqrt{a{\left(x-2\right)}^2}=(2-x)\sqrt{a}\\ \iff (2-x)\sqrt{a}=\left|x-2\right|\sqrt{a}\\ \iff \left|x-2\right|=2-x\\ \iff 2-x\le 0\\ \iff x\ge 2\end{array}$

Vậy với $x\ge 2$ ta có được đẳng thức đã cho.

Thực hiện phép quy đồng mẫu số cho vế trái (VT),ta được

$\begin{array}{l}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\ =\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\ =\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\frac{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\\ =\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\\ =\frac{a+\sqrt{a}.\sqrt{b}-\sqrt{a}.\sqrt{b}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\\ =\frac{a+b}{a-b}\end{array}$

Nhận xét rằng:

$\frac{\left(a\sqrt{b}+b\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{a-b}=\frac{\sqrt{b}\left(a\sqrt{b}+b\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{a-b}$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{ab+b^2-2\sqrt{a{b}^3}}{a\left(a+2\sqrt{b}\right)+b}}=\sqrt{\frac{b\left[{\left(\sqrt{a}\right)}^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+{\left(\sqrt{b}\right)}^2\right]}{a^2+2a\sqrt{b}+{\left(\sqrt{b}\right)}^2}} \\ =\sqrt{\frac{b{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2}{{\left(a+\sqrt{b}\right)}^2}}=\frac{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a+\sqrt{b}} \end{gathered}$$

Do đó

$$\begin{gathered} VT=\frac{\sqrt{b}\left(a+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}.\frac{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a+\sqrt{b}} \\ =\frac{b\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b} \\ =b \end{gathered}$$

Điều kiện $x\ge 4$

$\begin{array}{l}\sqrt{4x-16}+\sqrt{x-4}-\frac{1}{3}\sqrt{9x-36}=4\\ \iff 2\sqrt{x-4}+\sqrt{x-4}-\sqrt{x-4}=4\\ \iff 2\sqrt{x-4}=4\\ \iff \sqrt{x-4}=2\\ \iff x-4=4\\ \iff x=8\end{array}$

Vậy $S=\left\{8\right\}$

Điều kiện $x\ge 1$

$\begin{array}{l}\sqrt{9x-9}-\sqrt{4x-4}+\sqrt{16x-16}-3\sqrt{x-1}=16\\ \iff 3\sqrt{x-1}-2\sqrt{x-1}+4\sqrt{x-1}-3\sqrt{x-1}=16\\ \iff 2\sqrt{x-1}=16\\ \iff \sqrt{x-1}=8\\ \iff x-1=64\\ \iff x=65\end{array}$

Vậy $x=65$

Điều kiện: $x\ge -1$

$\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{1}{\sqrt{x+1}-1}+2=0\\ \iff \frac{-2}{x+1-1}+2=0\\ \iff \frac{2}{x}=2\\ \iff x=1\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm x=1

Điều kiện: $x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\frac{2x}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{2x}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{5}+1\\ \iff \frac{2x\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}-\frac{2x\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}=\sqrt{5}+1\\ \iff \frac{2x\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{5-3}-\frac{2x\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=\sqrt{5}+1\\ \iff \frac{2x\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{2}-\frac{2x\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=\sqrt{5}+1\\ \iff x\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)-x\left(\sqrt{3}-1\right)=\sqrt{5}+1\\ \iff x\sqrt[]{5}+x\sqrt{3}-x\sqrt{3}+x=\sqrt{5}+1\\ \iff x\sqrt[]{5}+x=\sqrt{5}+1\\ \iff x\left(\sqrt{5}+1\right)=\sqrt{5}+1\\ \iff x=1\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm x=1

Ta biến đổi tương đương:

$\sqrt{7x^2}=-x\sqrt{7}\iff \left|x\right|\sqrt{7}=-x\sqrt{7}\iff \left|x\right|=-x\iff x\le 0$

Vậy với $x\le 0$ ta có được đẳng thức đã cho.