Bài tập Toán 9 Bài 6 (có đáp án): Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

A=25.90=25.9.10=5.3.10=1510

B=75.54=25.3.9.6=5.33.2.3=452

\(\)\(A = \frac{a}{{a - 2}}.\sqrt {2{{\rm{a}}^8}({a^2} - 4{\rm{a}} + 4)} \)

\(\begin{array}{l} = \frac{{a.\sqrt 2 {a^4}\left| {a - 2} \right|}}{{a - 2}}\\ = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{a\sqrt 2 {a^4}(a - 2)}}{{a - 2}}\\\frac{{a\sqrt 2 {a^4}(2 - a)}}{{a - 2}}\end{array} \right.\\\end{array}\)khi \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2 > 0\\a - 2 < 0\end{array} \right.\)

\( = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 {a^5}\\ - \sqrt 2 {a^5}\end{array} \right.\)khi \(\left\{ \begin{array}{l}a > 2\\a < 2\end{array} \right.\).

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng quy tắc đưa một thừa số vào trong dấu căn.

Vì a > b nên a−bb2>0 do đó:

a−bb2a2b4a2−2qb+b2=a−b2b4.a2b4a2−2qb+b2=a2=a

Cách 2: Sử dụng quy tắc đưa một thừa số ra ngoài dấu căn.

a−bb2a2b4a2−2qb+b2=a−bb2a2b4a−b2=a−bb2.a.b2a−b=a−bb2.a.b2a−b=a

Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn, ta viết lại dãy số dưới dạng:

62=72,45=80,213=52,37=63

Vì 52<63<72<80 ⇒213<37<62<45

Ta biến đổi :

712=73.4=7.336=216

Ta biến đổi :

1a−1a2=a−1a2=a−1a

Ta biến đổi:

a+1a2−1=a+1a2−1a2−1=a+1a2−1a−1a+1=a2−1a−1

Ta biến đổi:

a−1+1a−1−1=a−1+12a−1−1a−1+1=a−1+12a−1−1=a−1+12a−2

Ta biến đổi:

a2−b2a+b=a−ba+ba+b=a−ba+ba+ba+b=a−ba+b

Ta biến đổi:

1−a1+a=1−a1+a1+a=1−a1+a.1−a1+a1−a=1−a1+a.1−a1−a=1+a.1−a

Đặt t=ab=cd, ta được a=bt và c=dt.

Khi đó, biểu thức được viết lại dưới dạng:

P=1a+b+c+d=1b+dt+1=b−dt+1(b−d)(t−1)=b−dab−1(b−d)ab−1=bb−da−b(b−d)(a−b)

Ta có:

A=47−3+35+3=47+37−37+3+25−35−35+3=47+37−3+25−35−3=7+3+5−3=7+5

Nhận xét rằng:

aa+bb=a3+b3=a+ba−ab+b

Từ đó, suy ra:

aa+bba+b−ab=a+ba−ab+ba+b−ab=a−ab+b−b=a−2ab+b=a2−2ab+b2=a−b2

Nhận xét rằng:

11+2=2−11+22−1=2−12−1=2−112+3=3−22+33−2=3−23−2=3−2...12008+2009=2009−2008

Thực hiện phép cộng theo vế và rút gọn, ta được:

11+2+12+3+...+12008+2009=2009−1 (đpcm)

1. Điều kiện để A có nghĩa:

1−x≥01+x>01−x2>0⇔x≤1x>−1−1<x<1⇔−1<x<1(*)

Vậy điều kiện tồn tại của A là −1<x<1

2. Biến đổi biểu thức về dạng:

A=1−x+31+x:1+31−x2=(1−x)(1+x)+31+x:1−x2+31−x2=1−x2+31−x.1−x21−x2+3=1−x

3. Trước tiên, ta viết lại x dưới dạng:

x=32−32−32+3=23−34−3=23−3

Khi đó, ta suy ra: A=1−23−3=1−23+3=1−32=1−3=3−1

4. Để A>A, điều kiện là: A<1⇔1−x<1⇔1−x<1⇔x>0

Vậy với 0<x<1 thì A>A

Ta biến đổi tương đương:

3x2=x3⇔x3=x3⇔x=x⇔x≥0

Vậy với x≥0 ta có đẳng thức đã cho

Ta biến đổi tương đương:

a(1−3x)2=(3x−1)a⇔1−3xa=(3x−1)a⇔1−3x=3x−1⇔1−3x≥0⇔x≤13

(do a < 0)

Vậy với x≤13 ta có được đẳng thức đã cho.

Điều kiện: x≥2

324x−8−9x−281=6⇔32.2x−2−9.19.x−2=6⇔3x−2−x−2=6⇔2x−2=6⇔x−2=3⇔x−2=9⇔x=11

Vậy phương trình có nghiệm x=11

Biến đổi phương trình về dạng:

x2+1−x−x2+1+xx2+1+xx2+1−x+2=0⇔−2xx2+1−x2+2=0⇔−2x+2=0⇔2x=2⇔x=1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=1

Ta có

A=156+1+46−2=156−16+16−1+46+26−26+2=156−16−1+46+26−4=36−1+26+2=56+1

B=123−6+6=12.3+63−63+6=12.3+69−6=43+6

Vậy ta được A < B.

A=1−aa1−a=1−a1+a+a1−a=1+a+a

B=118+8−22=118

C=a+3+a−3a+3−a−3=a+3+a−3a+3+a−3a+3−a−3a+3+a−3=a+3+a−32a+3a−3=a+3+2a+3a−3+a−3a+3−a+3=2a+2a2−96

D=21+2−3=21+2+31+2−31+2+3=21+2+31+22−3=21+2+31+22+22−3=21+2+322=1+2+32

A=17−23+17+23=7+23+7−237−237+23=277−4.3=−275

B=2+12−1−2−21−2=2+1+2−22−1=22−12−1=22−12+12−12+1=2.2+22−2−12−1=3+2

Ta biến đổi tương đương:

7x2=−x7⇔x7=−x7⇔x=−x⇔x≤0

Vậy với x≤0 ta có được đẳng thức đã cho.

Ta biến đổi tương đương:

ax−22=(2−x)a⇔(2−x)a=x−2a⇔x−2=2−x⇔2−x≤0⇔x≥2

Vậy với x≥2 ta có được đẳng thức đã cho.

Thực hiện phép quy đồng mẫu số cho vế trái (VT),ta được

aa−b−ba+b=aa−b−ba+b=aa+ba−ba+b−ba−ba+ba−b=aa+b−ba−ba−ba+b=a+a.b−a.b+ba−ba+b=a+ba−b

Nhận xét rằng:

ab+ba+ba−b=bab+ba+ba−b

ab+b2−2ab3aa+2b+b=ba2−2ab+b2a2+2ab+b2=ba−b2a+b2=ba−ba+b

Do đó

VT=ba+ba−ba−b.ba−ba+b=ba+ba−ba−b=b

Điều kiện x≥4

4x−16+x−4−139x−36=4⇔2x−4+x−4−x−4=4⇔2x−4=4⇔x−4=2⇔x−4=4⇔x=8

Vậy S=8

Điều kiện x≥1

9x−9−4x−4+16x−16−3x−1=16⇔3x−1−2x−1+4x−1−3x−1=16⇔2x−1=16⇔x−1=8⇔x−1=64⇔x=65

Vậy x=65

Điều kiện: x≥−1

1x+1+1−1x+1−1+2=0⇔−2x+1−1+2=0⇔2x=2⇔x=1

Vậy phương trình có nghiệm x=1

Điều kiện: x∈ℝ

2x5−3−2x3+1=5+1⇔2x5+35−35+3−2x3−13−13+1=5+1⇔2x5+35−3−2x3−13−1=5+1⇔2x5+32−2x3−12=5+1⇔x5+3−x3−1=5+1⇔x5+x3−x3+x=5+1⇔x5+x=5+1⇔x5+1=5+1⇔x=1

Vậy phương trình có nghiệm x=1

Ta biến đổi tương đương:

7x2=−x7⇔x7=−x7⇔x=−x⇔x≤0

Vậy với x≤0 ta có được đẳng thức đã cho.