Bài tập Toán 7: Tính chất ba đường trung tuyến
26 câu hỏi
Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AD. Trên tia AD lấy điểm E sao cho AD = DE, trên tia BC lấy điểm M sao cho BC = CM. Chứng minh C là trọng tâm của tam giác AEM.
Theo đề bài ta có AD = DE nên C thuộc MD là đường trung tuyến của tam giác AEM (1)
Mặt khác ta có BC = 2CD và BC = CM nên CM = 2CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra C là trọng tâm của tam giác AEM.
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD, CE. Chứng minh BD + CE >32BC
Cho tam giác ABC có BC = 8 cm, các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Chứng minh BD + CE > 12 cm.
Theo câu 2 ta có: BD + CE > 32BC
Thay số:
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia PB lấy điểm E sao cho PE = PG. Trên tia đối của tia QG lấy điểm F sao cho QF = QG. Chứng minh:
a) GB = GE, GC = GF;
b) EF = BC và EF//BC.
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Lấy G thuộc cạnh AC sao cho AG =13AC. Tia DG cắt BC tại E. Qua E vẽ đường thẳng song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng này cắt nhau tại F. Gọi M là giao điểm của EF và CD.
Chứng minh:
a) G là trọng tâm tam giác BCD;
b) ∆BED = ∆FDE, từ đó suy ra EC = DF;
c) ∆DMF = ∆CME;
d) B, G, M thẳng hàng.
Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 2CM. Vẽ điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Gọi N là trung điểm của BD, Chứng minh:
a) M là trọng tâm tam giác ABD; Ba điểm A, M, N thẳng hàng;
b) Đường thẳng DM đi qua trung điểm của AB.
Cho tam giác ABC. Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EM. Chứng minh E là trọng tâm của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC. Vẽ trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G, K sao cho BG =23 BM và G là trung điểm của BK. Gọi E là trung điểm CK; GE cắt AC tại I Chứng minh:
a) I là trọng tâm của tam giác KGC;
b) CI =13AC.
Do đó I là giao điểm của hai trung tuyến CM và GE của tam giác GKC
Suy ra I là trọng tâm của tam giác GKC
Cho tam giác ABC, M là trung điểm AC. Trên đoạn BM lấy điểm K sao cho KM =12KB. Điểm H thuộc tia đối của tia MK sao cho BH = 2BK. Gọi I là điểm thuộc cạnh AC và IC = 13CA. Đường thẳng KI cắt HC ở E.
a) Chứng minh I là trọng tâm của tam giác HKC và E là trung điểm của HC
b) Tính các tỉ số IEIK,ICMC. Chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng ( F là trung điểm KC)
Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Đoạn thẳng AM, AN cắt BD lần lượt tại I và K. Chứng minh:
a) I là trọng tâm của tam giác ABC và K là trọng tâm của tam giác ADC;
b) BI = IK = KD.
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = BD. Gọi P, Q lần lượt là điểm trên BE sao cho BP = PQ = QE. Chứng minh:
a) CP, CQ cắt AB, AE tại trung điểm của AB,AE.
b) CP//AQ và CQ//AP.
Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
a) Tính ABD^
b) Chứng minh ∆ABD = ∆BAC.
c) Chứng minh AM = 12BC
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC tới các đỉnh của tam giác.
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM = 12BC.
a) Chứng minh BMA^=2MAC^ và CMA^=2MAB^.
b) Tính BAC^?
Cho hình vẽ, biết tam giác ABC có hai đường trung tuyến BN,CP vuông góc với nhau tại G. Tia AG cắt BC tại I. BC = 5 cm. Tính độ dài GI,AG.
Ta có tam giác ABC có hai đường trung tuyến BN,CP vuông góc với nhau tại G
Nên G là trọng tâm của tam giác ABC
Suy ra AI đi qua G là trung tuyến của tam giác ABC
Nên I là trung điểm của BC, nên GI là trung tuyến của tam giác BGC vuông tại G
Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AM.
a) Chứng minh AM ⊥BC.
b) Biết AB = 10 cm, BC = 12 cm.
Cho tam giác ABC có AB = BC = 13 cm, AC = 10 cm, Đường trung tuyến BM, trọng tâm. G. Tính độ dài GM.
Ta có AB = BC nên tam giác ABC cân tại B
Ta chứng minh được
Áp dụng Pytago trong tam giác vuông BMA
Ta có: BM = AB2-AM2=132-52=12
(Vì G là trọng tâm của tam giác ABC)
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN.
a) Chứng minh nếu tam giác ABC cân tại A thì BM = CN.
b) Ngược lại nếu BM = CN, chứng minh:
i) GB = GC, GN = GM;
ii) BN = CM;
iii) tam giác ABC cân tại A.
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết BM = CN. Chứng minh AG⊥BC.
Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G.
Biết AM = BN = CP. Chứng minh tam giác ABC đều.
Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G. Biết AG = BG = CG. Chứng minh tam giác ABC đều
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = 2AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BC. Chứng minh:
a) A là trọng tâm của tam giác CDE;
b) Đường thẳng CA đi qua trung điểm của DE.
a) Ta có BD = BC, do đó EB là đường trung tuyến của tam giác CDE .
Mặt khác AE = 2AB nên A là trọng tâm của tam giác CDE.
b) Vì A là trọng tâm của tam giác CDE nên CA là đường trung tuyến, suy ra ĐPCM
Cho bốn điểm A, B,C, D không thẳng hàng như hình vẽ. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trung điểm của BD và AC lần lượt là M, N. Chứng minh AC + DB > 2MN.
Ta có
OD + OA > AD
OA + OB > AB
OB + OC > BC
OC + OD > DC
2 (OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA
Hay 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA.
Ta có
AB + BC + CD + DA > 4MN.
Suy ra ĐPCM.
Chú ý: Trung điểm G của MN được gọi là trọng tâm của hình ABCD.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a) Tính BC.
b) Đường thẳng đi qua trung điểm I của BC và vuông góc với BC cắt AC tại D. Chứng minh CBD^=DCB^.
c) Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DC. Chứng minh tam giác BCE vuông.
Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Biết AB = 6cm, AC = 8cm.
a) Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh ∆AMB = ∆DMC.
b) Chứng minh ∆BAC =∆DCA.
c) Tính AM.
d) Chứng minh AM<AB+AC2.
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN vuông góc với nhau, trọng tâm G. Biết AM = 4,5 cm, BN = 6 cm. Tính độ dài cạnh AB.
