Bài tập Toán 7 chương 1: Tổng ba góc của một tam giác ( Nâng cao phát triển tư duy)

- Hình 1.  $\Delta ABC$ có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

$56°+x°+12°+x°=180°\iff x°=56°$

- Hình 2. $\Delta MNP$ vuông tại $M\Rightarrow \widehat{N}+\widehat{P}=90°$

$2x°+x°-15°=90°\iff x°=35°$  

- Hình 3. $\Delta DEF$ có $\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}=180°$

$x°+3x°-25°+x°+10°=180°\iff x°=39°$

Ta có: $\widehat{A_2}=\widehat{A_1}=45°$ (đối đỉnh).

Ta có $\widehat{B_2}+\widehat{B_1}=180°\Rightarrow \widehat{B_2}=50°$.

 $\Delta ABC$ có $\widehat{C_1}=\widehat{A_2}+\widehat{B_2}$ (góc ngoài của tam giác) suy ra: $\widehat{C_2}=95°$

Đặt số đo góc ngoài đỉnh A; B; C lần lượt là x; y; z. Theo đầu bài, ta có: $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ và $x+y+z=360°$

Giải ra, ta được: $x=80°; y=120°; z=160°$.

Từ đó suy ra các góc trong đỉnh A; B; C tương ứng là $100°,60°,20°$.

Do đó tỉ lệ ba góc trong là: 5:3:1.

a) Ta có $\widehat{A}=2.\widehat{B}$; $\widehat{B}=3.\widehat{C}\Rightarrow \widehat{A}=6\widehat{C}$.

$\Delta ABC$ có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°\Rightarrow 6.\widehat{C}+3\widehat{C}+\widehat{C}=180°$

$\Rightarrow \widehat{C}=18°;\widehat{B}=54°;\widehat{A}=108°$.

b) Ta có $\widehat{ACx}+\widehat{C_1}=180°$(hai góc kề bù)

Ta có: $\widehat{ACx}+18°=180°\Rightarrow \widehat{ACx}=162°$.

$\Delta BCE$ có $\widehat{E}+\widehat{B}+\widehat{BCE}=180°;\widehat{E}+54°+18°+81°=180°\Rightarrow \widehat{E}=27°$ hay $\widehat{AEC}=27°$.

a) $\Delta ACD$ có $\widehat{A_2}+\widehat{C}+\widehat{ADC}=180°$;

$\Delta ABD$ có $\widehat{A_1}+\widehat{B}+\widehat{ADB}=180°$;

Mà $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ nên $\widehat{C}+\widehat{ADC}=\widehat{B}+\widehat{ADB}\Rightarrow \widehat{ADC}-\widehat{ADB}=\widehat{B}-\widehat{C}\sqrt{a^2+b^2}$.

b) $\Delta ABC$ có $\widehat{BAx}=\widehat{B}+\widehat{C}$ (góc ngoài tam giác)

$\Rightarrow \widehat{A_3}=\widehat{A_4}=\frac{1}{2}\widehat{BAX}=\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}$

$\Delta ACE$ có: $\widehat{A_4}=\widehat{E}+\widehat{C}$ (góc ngoài)

$\Rightarrow \widehat{E}=\widehat{A_4}-\widehat{C}\Rightarrow \widehat{AEB}=\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}-\widehat{C}$ hay $\widehat{AEB}=\frac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2}$

$\Delta ACD$ có $\widehat{D_2}=\widehat{B}+\widehat{A_1}$ (góc ngoài tam giác)

$\Delta ABD$ có $\widehat{D_1}=\widehat{C}+\widehat{A_2}$ (góc ngoài tam giác) mà $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

nên $\widehat{D_2}-\widehat{D_1}=\widehat{B}-\widehat{C}$

$\Rightarrow \widehat{D_2}-\widehat{D_1}=18°$ mà $\widehat{D_2}+\widehat{D_1}=180°$

nên $\widehat{D_2}=\frac{180°+18°}{2}=99°; \widehat{D_1}=\frac{180°-18°}{2}=81°$

a) Ta có $\widehat{ADB}=85°\Rightarrow \widehat{ADC}=95°$.

$\Delta ABD$ có $\widehat{A_1}+\widehat{B}+\widehat{ADB}=180°$;

$\Delta ACD$ có $\widehat{A_2}+\widehat{C}+\widehat{ADC}=180°$;

Mà $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ nên $\widehat{C}+\widehat{ADC}=\widehat{B}+\widehat{ADB}$

$\Rightarrow \widehat{ADC}-\widehat{ADB}=\widehat{B}-\widehat{C}$

Vậy $\widehat{B}-\widehat{C}=95°-85°=10°$.

b) $4.\widehat{B}=5.\widehat{C}\Rightarrow \frac{\widehat{B}}{5}=\frac{\widehat{C}}{4}$.

Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, ta có: $\frac{\widehat{B}}{5}=\frac{\widehat{C}}{4}=\frac{\widehat{B}-\widehat{C}}{5-4}=\frac{10°}{1}=10°$.

Suy ra: $\widehat{B}=50°;\widehat{C}=40°$

a) $\Delta ABO$ có $\widehat{O_1}=\widehat{A_1}+\widehat{ABO}$ (góc ngoài tam giác).

 $\Delta ACO$ có $\widehat{O_2}=\widehat{A_2}+\widehat{ACO}$ (góc ngoài tam giác).

 $\Rightarrow \widehat{O_1}+\widehat{O_2}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{ABO}+\widehat{ACO}$ hay $\widehat{BOC}=\widehat{A}+\widehat{ABO}+\widehat{ACO}$.

b) Từ $\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90°-\frac{\widehat{A}}{2}$

 $\Rightarrow \widehat{B_2}+\widehat{C_2}=\frac{180°-\widehat{A}}{2}\Rightarrow \widehat{B_2}+\widehat{C_2}=\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{B_2}+\widehat{C_2}=\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{C}}{2}$ mà BO là tia phân giác của $\hat{B}$ nên $\widehat{B_1}=\frac{\widehat{B}}{2}$ suy ra $\widehat{C_2}=\frac{\widehat{C}}{2}$; hay CO là tia phân giác của góc $\hat{C}$

a) Từ: $\widehat{A}=180°-3.\widehat{C}\Rightarrow \widehat{A}=\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}-3.\widehat{C}$ suy ra $\widehat{B}=2.\widehat{C}$

b) $DE\text{ // }BC\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{C}$ (góc đồng vị) và $\widehat{EDB}=\widehat{DBC}$(góc so le trong).

Tia DE là tia phân giác của $\widehat{ADB}\iff \widehat{ADE}=\widehat{EDB}\iff \widehat{C}=\widehat{DBC}$ mà $\widehat{C}=\frac{1}{2}\widehat{B}$ nên $\widehat{DBC}=\frac{1}{2}\widehat{B}$

<=> BD là tia phân giác của $\widehat{ABC}$.

Vậy khi D là giao điểm của tia phân giác  và AC thì DE là tia phân giác của $\widehat{ADB}$

Giả sử cả ba góc ngoài ở ba đỉnh đều lớn hơn  suy ra mỗi góc trong đều nhỏ hơn ${60}^0$

Vậy tổng ba góc trong của tam giác nhỏ hơn , vô lí. Do đó tồn tại một góc ngoài có số đo không lớn hơn ${120}^0$

a) Góc BDC là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác ACD nên $\widehat{BDC}>\widehat{A}=90°$; $90°<\widehat{BDC}<180°\Rightarrow \widehat{BDC}$ là góc tù.

b) $\widehat{BDC}=\widehat{A}+\widehat{ACD}$ (góc ngoài tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ACD}=15°\Rightarrow \widehat{ACB}=30°\Rightarrow \widehat{B}=60°$

Xét $\Delta ABI$ có $\widehat{A}+\widehat{B}=180°-\widehat{AIB}$.

Xét $\Delta CDH$ có $\widehat{C}+\widehat{D}=180°-\widehat{CHD}$.

Xét $\Delta EFK$ có $\widehat{E}+\widehat{F}=180°-\widehat{EKF}$.

Suy ra:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}=540°-\left(\widehat{AIB}+\widehat{CHD}+\widehat{EKF}\right)$

$=540°-\left(\widehat{KIH}+\widehat{IHK}+\widehat{IKH}\right)=540°-180°=360°$