Bài tập Toán 7 chương 1: Tiên đề Ơ-Clit vể đường thẳng song song (Nâng cao và phát triển tư duy)

Ta có $\widehat{BAM}=\widehat{B}$ suy ra AM // BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).

$\widehat{CAN}=\widehat{C}$ suy ra AN // BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).

Theo tiên đề Ơ-clít qua điểm A chỉ có một đường thẳng song song với BC, do đó ba điểm M, A, N thẳng hàng

Giả sử trong số 101 đường thẳng vẽ qua A có chưa đến 100 đường thẳng cắt a. Suy ra ít nhất cũng còn hai đường thẳng không cắt a. Hai đường thẳng này cùng đi qua A và cùng song song với a. Điều này vô lí vì nó trái với tiên đề Ơ-clít. Vậy điều giả sử là sai, do đó qua A có ít nhất 100 đường thẳng cắt a

Trong số n đường thẳng đã vẽ, nhiều nhất là có một và chỉ một đường thẳng song song với xy. Do đó muốn có ít nhất 10 đường thẳng cắt xy thì số đường thẳng phải vẽ ít nhất là 11. Vậy n = 11.

Tính chất hai đường thẳng song song

a) Ta có DE // AB nên $\widehat{DEC}=\widehat{A}$ (cặp góc đồng vị); DF // AC nên $\widehat{BF\text{D}}=\widehat{A}$ (cặp góc đồng vị).

Mặt khác $\widehat{BF\text{D}}=\widehat{FDE}$  (so le trong của DE // AB)

Suy ra $\widehat{A}=\widehat{DEC}=\widehat{BF\text{D}}=\widehat{F\text{D}E}$.

b) Ta có $\widehat{D_2}=\widehat{B}$ (cặp góc đồng vị của DE // AB); $\widehat{D_1}=\widehat{C}$ (cặp góc so le trong của DF // AC);

Do đó $\widehat{D_1}+\widehat{D_2}=\widehat{B}+\widehat{C}=110°$. Suy ra $\widehat{F\text{D}E}=180°-110°=70°$.

Vậy $\widehat{A}=70°$ (vì $\widehat{A}=\widehat{F\text{D}E}$).

Ta có MD // AN suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{M_1}$ (cặp góc so le trong); ME // AC suy ra $\widehat{A_2}=\widehat{M_2}$ (cặp góc so le trong).

Tia MA nằm giữa hai tia MD và ME. Do đó tia MA là tia phân giác của góc DME.

 $\iff \widehat{M_1}=\widehat{M_2}\iff \widehat{A_1}=\widehat{A_2}\iff$M là giao điểm của BC với tia phân giác của góc A

Ta có $\widehat{ABC}=180°-2m°$ nên $\widehat{ABy}=180°-\left(180°-2m°\right)=2m°$.

Mặt khác $B\text{x}//AC$ nên $\widehat{xBy}=\widehat{C}=m°$ (cặp góc đồng vị); suy ra

$\widehat{AB\text{x}}=2m°-m°=m°$. Vậy $\widehat{AB\text{x}}=\widehat{xBy}=m°$.       (1)

Tia Bx nằm giữa hai tia BA và By.                (2)

Từ (1) và (2) suy ra tia Bx là tia phân giác của góc ABy.

Vận dụng dấu hiệu nhận biết và tính chất của hai đường thẳng song song

Ta có $\widehat{AC\text{D}}=180°-120°=60°$. Vậy $\widehat{AC\text{D}}=\widehat{BAa}=60°$.

Suy ra m // n (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).

Ta có $\widehat{D_1}+\widehat{D_2}=180°$ mà $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$ nên $\widehat{D_1}=90°$.

Suy ra $b\perp n$ do đó $b\perp m$ (vì m // n )

Ta có $AB\perp AC;C\text{D}\perp AC;OE\perp AC$ (đề bài).

Suy ra $AB//C\text{D}//OE$ (cùng vuông góc với AC).

Do đó $\widehat{AO\text{E}}=\widehat{OAB}=m°$ (cặp góc so le trong); $\widehat{EOC}=\widehat{OC\text{D}}=50°$ (cặp góc so le trong).

Tia OE nằm giữa hai tia OA và OC nên tia OE là tia phân giác của góc AOC 

$\iff \widehat{AO\text{E}}=\widehat{EOC}\iff m=50$

Ta có $\widehat{AEF}+\widehat{EFC}=45°+45°.3=180°$.

Suy ra AB // CD (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau).

Do đó $\widehat{AEF}=\widehat{EFD}$ (cặp góc so le trong).

Mặt khác $\widehat{E_1}=\frac{1}{2}\widehat{AEF};\widehat{F_1}=\frac{1}{2}\widehat{EFD}$ nên $\widehat{E_1}=\widehat{F_1}$, dẫn tới Em // Fn (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Gọi C là giao điểm của hai đường thẳng Ay và Bm.

Ta có Ax // Bm nên $\widehat{A}=\widehat{ACm}$ (cặp góc so le trong).

Mặt khác  $\widehat{A}=\widehat{ACm}$ nên $\widehat{ACm}=\widehat{mBn}\left(=\widehat{A}\right)$.

Do đó Ay // Bn (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Ở trong góc AOB vẽ tia $Ot//Ax$. Khi đó $\widehat{AOt}=\widehat{A}=a°$ (cặp góc so le trong).

Suy ra $\widehat{BOt}=b°$. Vậy $\widehat{BOt}=\widehat{B}\left(=b°\right)$.

Do đó By // Ot (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).

Vậy Ax // By (vì cùng song song với Ot)

Trong góc AOC vẽ tia Ot sao cho $Ot//AB$.

Khi đó $\widehat{A}+\widehat{AOt}=180°$ (cặp góc trong cùng phía).

Suy ra $\widehat{AOt}=180°-m°$.

Do đó $\widehat{COt}=\widehat{AOC}-\widehat{AOt}=360°-\left(m°+n°\right)-\left(180°-m°\right)=180°-n°$

Vậy $\widehat{C}+\widehat{COt}=n°+\left(180°-n°\right)=180°$.

Suy ra CD // Ot (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau).

Do đó  AB // CD(vì cùng song song với Ot).

Vì $OA\perp OC$ nên $\widehat{AOC}=90°$. Trong góc AOC vẽ tia Ot sao cho $Ot//AB$.

Khi đó $\widehat{A}+\widehat{AOt}=180°$ (cặp góc trong cùng phía).

Suy ra $\widehat{AOt}=180°-130°=50°$.

Vì $\widehat{AOC}=90°$ nên $\widehat{COt}=40°$.

Ta có $\widehat{C}+\widehat{COt}=140°+40°=180°$.

Do đó CD // Ot (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau).

Suy ra AB // CD (vì cùng song song với Ot).

Vì $\widehat{AMx}=140°$ nên $\widehat{M_1}=40°$.

Vì  $\widehat{BNy}=150°$ nên $\widehat{N_2}=30°$.

Ở trong góc AOB vẽ tia Ot // Mx, khi đó Ot // Ny (vì Mx // Ny).

Ta có  $\widehat{O_1}=\widehat{M_1}=40°$ (cặp góc so le trong).

 $\widehat{O_2}=\widehat{N_2}=30°$ (cặp góc so le trong).

Suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{O_1}+\widehat{O_2}=40°+30°=70°$