Bài tập Toán 7 chương 1: Hai góc đối đỉnh ( Nâng cao phát triển tư duy)

Ta có: AOC^=BOD^ (hai góc đối đỉnh) mà  AOC^+BOD^=100° nên AOC^=BOD^=100°:2=50°.

Hai góc AOC và BOC kề bù nên BOC^=180°−50°=130°.

Do đó AOD^=BOC^=130° (hai góc đối đỉnh).

Hai góc NOP và MOP kề bù nên NOP^+MOP^=180° mà  NOP^=23MOP^ nên NOP^=180°.22+3=72°; MOP^=180°−72°=108°.

Suy ra MOQ^=NOP^=72° (hai góc đối đỉnh); NOQ^=MOP^=108° (hai góc đối đỉnh)

Ta có AOC^=BOD^=a° (hai góc đối đỉnh).

Tia OM là tia phân giác của góc AOC nên AOM^=MOC^=a°2.

Hai góc AOM^ và BOM^ kề bù nên AOM^+BOM^=180° suy ra BOM^=180°−a°2.

Ta có BOM^=155°⇔180°−a°2=155°⇔a°2=180°−155°⇔a°2=25°⇔a°=50°.

Vậy a = 50 .

Lưu ý: Kí hiệu ⇔ đọc là “khi và chỉ khi”.

Khi viết A⇔B ta hiểu từ A suy được ra B và ngược lại, từ B suy được ra A

Hai góc EOK và FOK kề bù nên EOK^+FOK^=180°

⇒EOK^=180°−m°

Tia OK là tia phân giác của góc EOG nên EOG^=2180°−m°.

Vì FOH^ đối đỉnh với EOG^ nên FOH^=EOG^=2180°−m°.

Ta có FOH^=110°⇔2180°−m°=110°⇔180°−m°=55°

⇔m°=180°−55°⇔m°=125°. Vậy m = 125.

Hai góc AOy và BOx là hai góc đối đỉnh nên AOy^=BOx^.

Ta có BOx^≤BOC^ nên AOy^≤60°; dấu “=” xảy ra khi tia Ox trùng với tia OC.

Vậy số đo lớn nhất của góc AOy là bằng 600 khi tia Ox trùng với tia OC

a) Ba đường thẳng cắt nhau tại O tạo thành 6 tia. Số góc do 6 tia tạo ra là: 6.52=15 (góc).

b) Xét hai đường thẳng AB và CD trong ba đường thẳng đã cho (h.1.11). Hai đường thẳng này tạo thành bốn góc không có điểm trong chung. Tổng của bốn góc này bằng 360° nên trong bốn góc đó phải tồn tại một góc lớn hơn hoặc bằng 90°.

Thật vậy, nếu mỗi góc đó đều nhỏ hơn 90° thì tổng của chúng nhỏ hơn 90°.4=360°: vô lí.

Giả sử góc tồn tại nói trên là góc BOD.

- Nếu BOD^>90° thì AOC^=BOD^>90°, bài toán đã giải xong.

- Nếu BOD^=90° thì ta xét tiếp đường thẳng thứ ba MN đi qua O (h.1.12).

Giả sử tia ON nằm trong góc BOD. Khi đó góc BON là góc nhọn do đó AON^ là góc tù (vì BON^ và  AON^ là hai góc kề bù). Góc AON là góc tù thì góc BOM là góc tù (vì BOM^=AON^).

Vậy luôn tồn tại hai góc tù trong số 15 góc được tạo thành.

Chứng tỏ hai tia đối nhau

Xét hai góc đối đỉnh AOC và BOD. Gọi tia OM là tia phân giác của góc AOC; tia ON là tia phân giác của góc BOD. Ta phải chứng tỏ hai tia OM, ON đối nhau.

Ta có AOC^=BOD^ (hai góc đối đỉnh) mà O1^=O2^;O3^=O4^ nên O1^=O3^ (một nửa của hai góc bằng nhau).

Vì AOB^=180° nên AOD^+DOB^=180°

⇒AOD^+O4^+O3^=180°

⇒AOD^+O4^+O1^=180° (vì O1^=O3^).

Do đó MON^=180°.

Suy ra hai tia OM, ON đối nhau

Theo đề bài ta có AOM^=MOC^,BON^=DON^ mà AOM^=BON^ (hai góc đối đỉnh) nên MOC^=DON^.

Ta có MOD^+DON^=180° (hai góc kề bù), suy ra MOD^+MOC^=180°.

Hai góc MOD và MOC là hai góc kề, có tổng bằng 180° nên hai tia OC, OD đối nhau.

Chứng tỏ một tia là tia phân giác

Ta có AOB^=AOC^ (đề bài cho) mà BOC'^=COB'^ (hai góc đối đỉnh) nên AOB^−BOC'^=AOC^−COB'^.

Do đó AOC'^=AOB'^. (1)

Mặt khác, tia OA nằm giữa hai tia OB' và . (2)

Nếu từ (1) và (2) ta được tia OA là tia phân giác của góc B'OC'

Hai góc AOC và BOC kề bù nên AOC^+BOC^=180°

⇒BOC^=180°−150°=30°.

Tương tự, ta tính được AOD^=30°.

Ta có BOE^=AOD^=30° (hai góc đối đỉnh).

Suy ra BOC^=BOE^=30°. (1)

Tia OB nằm giữa hai tia OC và OE. (2)

Từ (1) và (2) ta được tia OB là tia phân giác của góc COE

Đếm góc, đếm tia

a) Liệt kê các cặp góc đối đỉnh

Xét các cặp góc “đơn”:

Góc 1 đối đỉnh với góc 5; Góc 2 đối đỉnh với góc 6; Góc 3 đối đỉnh với góc 7; Góc 4 đối đỉnh với góc 8. Có tất cả 4 góc “đơn” đối đỉnh.

Xét các cặp góc “ghép đôi” (ghép hai góc đơn kề nhau thành một góc “ghép đôi”):

Góc 12 đối đỉnh với góc 56; Góc 23 đối đỉnh với góc 67; Góc 34 đối đỉnh với góc 78; Góc 45 đối đỉnh với góc 81. Có tất cả 4 cặp góc “ghép đôi” đối đỉnh.

Xét các cặp góc “ghép ba” (ghép ba góc đơn kề nhau thành một góc “ghép ba”):

Góc 123 đối đỉnh với góc 567; Góc 234 đối đỉnh với góc 678; Góc 345 đối đỉnh với góc 781; Góc 456 đối đỉnh với góc 812. Có tất cả 4 cặp góc “ghép ba” đối đỉnh.

Vậy tổng cộng có 4.3=12 cặp góc đối đỉnh.

b) Xây dựng công thức tính số cặp góc đối đỉnh.

Có 4 đường thẳng cắt nhau tại một điểm nên có: 4.2=8 (tia).

Số góc do 8 tia tạo ra là 8.72=28 (góc).

Không kể góc bẹt thì số góc còn lại là: 28−4=24 (góc).

Mỗi góc trong 24 góc này đều có một góc đối đỉnh với nó nên số cặp góc đối đỉnh được tạo thành là 24 : 2 = 12 (cặp).

* Nhận xét: Nếu có n đường thẳng cắt nhau tại một điểm thì số cặp góc đối đỉnh (không kể góc bẹt) được tạo thành là n(n-1).

Thật vậy, số tia do n đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo ra là 2n (tia).

Số góc do 2n tia tạo ra là: 2n2n−12=n2n−1.

Không kể n góc bẹt thì số góc còn lại là: n2n−1−n=2n2−n−n=2n2−2n=2nn−1.

Số cặp góc đối đỉnh là: 2nn−12=nn−1.

a) Ta có: nn−1=20                                             b) Ta có: nn−1=90 

nn−1=5.4⇒n=5.                                               nn−1=10.9⇒n=10

Vậy n=5.                                                             Vậy n=10.