Bài tập Toán 7 chương 1: Hai đường thẳng vuông góc (Nâng cao phát triển tư duy)

Vì $AB\perp C\text{D}$ nên $\widehat{AOC}=90°$ .

Vì tia OK là tia phân giác của góc AOC nên $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}=45°$ .

Ta có $\widehat{K\text{OD}}+\widehat{O_1}=180°$(hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{K\text{OD}}=180°-45°=135°$

 $\widehat{K\text{O}B}+\widehat{O_2}=180°$(hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{K\text{O}B}=180°-45°=135°$

Tia OM là tia phân giác của góc AOC nên $\widehat{MOC}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}$  mà

$\widehat{AOC}=4\widehat{BOC}$ nên $\widehat{MOC}=2\widehat{BOC}$ .

Nếu $OM\perp OB$ thì $\widehat{MOB}=90°$.

Ta có $\widehat{MOC}+\widehat{BOC}=90°$ do đó $2\widehat{BOC}+\widehat{BOC}=90°\Rightarrow \widehat{BOC}=30°$.

Vậy $\widehat{AOC}=4.30°=120°$

a) Ta có $OC\perp OA$ nên $\widehat{AOC}=90°$; $O\text{D}\perp OB$ nên $\widehat{BO\text{D}}=90°$.

Tia OD nằm trong góc AOB nên $\widehat{AO\text{D}}+\widehat{BO\text{D}}=\widehat{AOB}$.

  $\Rightarrow \widehat{AO\text{D}}=\widehat{AOB}-\widehat{BO\text{D}}=m°-90°$ (1)

Tia OC nằm trong góc AOB nên $\widehat{AOC}+\widehat{BOC}=\widehat{AOB}$

  $\Rightarrow \widehat{BOC}=\widehat{AOB}-\widehat{AOC}=m°-90°$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra: $\widehat{AO\text{D}}=\widehat{BOC}\left(=m°-90°\right)$

b) Tia OC nằm giữa hai tia OB và OD. Suy ra $\widehat{BOC}+\widehat{DOC}=\widehat{BO\text{D}}=90°$.

Nếu $\widehat{BOC}=\widehat{DOC}$ thì $\widehat{DOC}=90°:2=45°$.

Do đó $\widehat{AO\text{D}}=\widehat{DOC}=\widehat{CO\text{D}}\iff \widehat{AOB}=3.\widehat{DOC}=3.45°=135°\iff m=135$.

Chứng tỏ hai đường thẳng vuông góc

Vì $\widehat{MON}$  là góc bẹt nên $\widehat{O_1}+\widehat{O_3}+\widehat{AOC}=180°$(1)

$\widehat{O_2}+\widehat{O_4}+\widehat{BO\text{D}}=180°$(2)

Mặt khác, $\widehat{O_1}=\widehat{O_2};\widehat{O_3}=\widehat{O_4}$ (đề bài cho) nên từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AOC}=\widehat{BO\text{D}}$ .

Vì $\widehat{AOC}=90°$ nên $\widehat{BO\text{D}}=90°\Rightarrow OB\perp OD$

Ta có $OC\perp OA\Rightarrow \widehat{AOC}=90°$. $O\text{D}\perp OB\Rightarrow \widehat{BO\text{D}}=90°$.

Tia OB nằm giữa hai tia OA, OC.

Do đó $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}=90°$.  (1)

Tương tự, ta có $\widehat{AOB}+\widehat{AO\text{D}}=90°$.        (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{BOC}=\widehat{AO\text{D}}$ (cùng phụ với $\widehat{AOB}$ ).

Tia OM là tia phân giác của góc AOD $\Rightarrow \widehat{O_1}=\widehat{O_2}=\frac{\widehat{AO\text{D}}}{2}$.

Tia ON là tia phân giác của góc BOC $\Rightarrow \widehat{O_3}=\widehat{O_4}=\frac{\widehat{BOC}}{2}$.

Vì  $\widehat{AO\text{D}}=\widehat{BOC}$ nên $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}=\widehat{O_3}=\widehat{O_4}$ .

Ta có $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}=90°\Rightarrow \widehat{AOB}+\widehat{O_3}+\widehat{O_4}=90°\Rightarrow \widehat{AOB}+\widehat{O_3}+\widehat{O_2}=90°$.

Do đó $\widehat{MON}=90°\Rightarrow OM\perp ON$

a) Ta có $\widehat{AON}+\widehat{BON}=180°;\widehat{BOM}+\widehat{AOM}=180°$ (hai góc kề bù) mà $\widehat{AOM}=\widehat{BON}$ (đề bài cho) nên $\widehat{AON}=\widehat{BOM}$ .

Mặt khác, tia OC là tia phân giác của góc MON nên $\widehat{CON}=\widehat{COM}$ .

Do đó  $\widehat{AON}+\widehat{CON}=\widehat{BOM}+\widehat{COM}$       (1)

Ta có tia ON nằm giữa hai tia OA, OC; tia OM nằm giữa hai tia OB, OC nên từ (1) suy ra $\widehat{AOC}=\widehat{BOC}=180°:2=90°$. Vậy $OC\perp AB$.

b) Tia OM nằm giữa hai tia OB và ON nên  $\widehat{BOM}+\widehat{MON}=\widehat{BON}=m°$   (1).

Mặt khác $\widehat{BOM}=180°-\widehat{AOM}=180°-m°$                  (2).

Từ (1) và (2) suy ra: $\left(180°-m°\right)+90°=m°\Rightarrow 2m°=270°\Rightarrow m°=135°$.

Vậy $m=135$.

Chứng minh một tia là tia phân giác, là tia đối

a) Tia OM là tia phân giác của góc AOB nên $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}=120°:2=60°$.

Ta có $OC\perp OB\Rightarrow \widehat{BOC}=90°$.

Tia OM nằm giữa hai tia OB, OC nên $\widehat{BOM}+\widehat{COM}=\widehat{BOC}$

$\Rightarrow \widehat{COM}=90°-60°=30°$

Tia OC nằm giữa hai tia OA, OB nên $\widehat{AOC}+\widehat{BOC}=\widehat{AOB}$

$\Rightarrow \widehat{AOC}=120°-90°=30°$

Vậy $\widehat{AOC}=\widehat{COM}\left(=30°\right)$. (1)

Tia OC nằm giữa hai tia OA, OM nên từ (1) suy ra tia OC là tia phân giác của góc AOM.

b) Ta có $OM\perp ON\Rightarrow \widehat{MON}=90°$.

Tia OA nằm giữa hai tia ON, OM nên $\widehat{AON}+\widehat{AOM}=\widehat{MON}$.

Suy ra $\widehat{AON}=\widehat{MON}-\widehat{AOM}=90°-60°=30°$.

Vậy $\widehat{AON}=\widehat{AOC}\left(=30°\right)$    (2)

Tia OA nằm giữa hai tia ON, OC nên từ (2) suy ra tia OA là tia phân giác của góc CON.

Ta có $OC\perp AB$ nên  $\widehat{AOC}=\widehat{BOC}=90°$ (1)

Tia OC nằm giữa hai tia OA, OB.                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra tia OC là tia phân giác của góc AOB.

Ta có $\widehat{BOM}=\widehat{CON}=\frac{1}{3}\widehat{BOC}=30°$.

Tia ON nằm trong góc BOC nên $\widehat{BON}+\widehat{CON}=\widehat{BOC}$.

Suy ra $\widehat{BON}=90°-30°=60°$.

Tia OM nằm giữa hai tia OB, ON.                (3)

Do đó $\widehat{BOM}+\widehat{MON}=\widehat{BON}\Rightarrow \widehat{MON}=60°-30°=30°$.

Vậy $\widehat{BOM}=\widehat{MON}=\widehat{CON}=30°$           (4)

Từ (3) và (4) suy ra tia OM là tia phân giác của góc BON.

Tia ON nằm giữa hai tia OM và OC              (5)

Từ (4) và (5) suy ra tia ON là tia phân giác của góc COM.

Tóm lại, các tia OC, OM, ON lần lượt là các tia phân giác của các góc AOB, BON và COM.

Ta có $OM\perp ON\Rightarrow \widehat{MON}=90°$.

Tia OM là tia phân giác của góc AOC nên $\widehat{AOM}=\widehat{MOC}$.

Tia ON là tia phân giác của góc BOC nên $\widehat{BON}=\widehat{NOC}$.

Xét tổng

 $\widehat{AOC}+\widehat{BOC}=2\widehat{MOC}+2\widehat{NOC}=2\left(\widehat{MOC}+\widehat{NOC}\right)=2\widehat{MON}=2.90°=180°$.

Hai góc kề AOC và BOC có tổng bằng  nên hai tia OA, OB đối nhau.

Đường trung trực – Hai góc có cạnh tương ứng vuông góc

 Trường hợp :

Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó MA = MB = a.

Điểm E nằm giữa hai điểm A và M, điểm F nằm giữa hai điểm B và M.

Do đó ME = MA - AE = a - AE; MF = MB - BF = a - BF.

Vì AE = BF nên ME = MF. Vậy M là trung điểm chung của hai đoạn thẳng AB và EF. Qua M vẽ  thì xy là đường trung trực chung của AB và EF.

 Trường hợp : Chứng minh tương tự

Ta có $MN\perp xy; PQ\perp xy$ (vì xy là đường trung trực của NP). Qua điểm N chỉ vẽ được một đường thẳng vuông góc với xy, suy ra ba điểm M, N, P thẳng hàng. (1)

Ta có $NP\perp xy;PQ\perp xy$. Qua điểm P chỉ vẽ được một đường thẳng vuông góc với xy, suy ra ba điểm N, P, Q thẳng hàng. (2)

Từ (1) và (2) suy ra các điểm M, N, P, Q thẳng hàng vì chúng cùng thuộc đường thẳng NP

Trên hình 2.8a) có $AH\perp Ox,AK\perp Oy$ nên các góc có cạnh tương ứng vuông góc là: góc HAK và góc xOy; góc HAt và góc xOy.

Trên hình 2.8b) có $AB\perp AC; AH\perp BC$ và  nên các góc có cạnh tương ứng vuông góc là: góc BAH và góc C; góc CAH và góc B.