Bài tập Toán 7 chương 1: Hai đường thẳng vuông góc (Nâng cao phát triển tư duy)
12 câu hỏi
Cho hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau tại O. Vẽ tia OK là tia phân giác của góc AOC. Tính số đo góc KOD và KOB
Vì AB⊥CD nên AOC^=90° .
Vì tia OK là tia phân giác của góc AOC nên O1^=O2^=45° .
Ta có KOD^+O1^=180°(hai góc kề bù)
⇒KOD^=180°−45°=135°
KOB^+O2^=180°(hai góc kề bù)
⇒KOB^=180°−45°=135°
Cho góc AOB và tia OC nằm trong góc đó sao cho AOC^=4BOC^. Vẽ tia phân giác OM của góc AOC. Tính số đo của góc AOB nếu OM⊥OB
Tia OM là tia phân giác của góc AOC nên MOC^=12AOC^ mà
AOC^=4BOC^ nên MOC^=2BOC^ .
Nếu OM⊥OB thì MOB^=90°.
Ta có MOC^+BOC^=90° do đó 2BOC^+BOC^=90°⇒BOC^=30°.
Vậy AOC^=4.30°=120°
Cho góc tù AOB, AOB^=m°. Vẽ vào trong góc này các tia OC, OD sao cho OC⊥OA;OD⊥OB .
a) Chứng tỏ rằng AOD^=BOC^ .
b) Tìm giá trị của m để AOD^=DOC^=COB^
a) Ta có OC⊥OA nên AOC^=90°; OD⊥OB nên BOD^=90°.
Tia OD nằm trong góc AOB nên AOD^+BOD^=AOB^.
⇒AOD^=AOB^−BOD^=m°−90° (1)
Tia OC nằm trong góc AOB nên AOC^+BOC^=AOB^
⇒BOC^=AOB^−AOC^=m°−90° (2)
Từ (1) và (2), suy ra: AOD^=BOC^=m°−90°
b) Tia OC nằm giữa hai tia OB và OD. Suy ra BOC^+DOC^=BOD^=90°.
Nếu BOC^=DOC^ thì DOC^=90°:2=45°.
Do đó AOD^=DOC^=COD^⇔AOB^=3.DOC^=3.45°=135°⇔m=135.
Chứng tỏ hai đường thẳng vuông góc
Trong hình 2.7 có góc MON là góc bẹt, góc AOC là góc vuông. Các tia OM, ON lần lượt là các tia phân giác của các góc AOB và COD. Chứng tỏ rằng OB⊥OD
Vì MON^ là góc bẹt nên O1^+O3^+AOC^=180°(1)
O2^+O4^+BOD^=180°(2)
Mặt khác, O1^=O2^;O3^=O4^ (đề bài cho) nên từ (1) và (2) suy ra AOC^=BOD^ .
Vì AOC^=90° nên BOD^=90°⇒OB⊥OD
Cho góc nhọn AOB. Trên nửa mặt phẳng bờ OA có chứa tia OB, vẽ tia OC⊥OA. Trên nửa mặt phẳng bờ OB có chứa tia OA vẽ tia OD⊥OB. Gọi OM và ON lần lượt là các tia phân giác của các góc AOD và BOC. Chứng tỏ rằng OM⊥ON.
Ta có OC⊥OA⇒AOC^=90°. OD⊥OB⇒BOD^=90°.
Tia OB nằm giữa hai tia OA, OC.
Do đó AOB^+BOC^=90°. (1)
Tương tự, ta có AOB^+AOD^=90°. (2)
Từ (1) và (2) ⇒BOC^=AOD^ (cùng phụ với AOB^ ).
Tia OM là tia phân giác của góc AOD ⇒O1^=O2^=AOD^2.
Tia ON là tia phân giác của góc BOC ⇒O3^=O4^=BOC^2.
Vì AOD^=BOC^ nên O1^=O2^=O3^=O4^ .
Ta có AOB^+BOC^=90°⇒AOB^+O3^+O4^=90°⇒AOB^+O3^+O2^=90°.
Do đó MON^=90°⇒OM⊥ON
Cho góc bẹt AOB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia OM và ON sao cho AOM^=BON^=m°(90<m<180). Vẽ tia phân giác OC của góc MON.
a) Chứng tỏ rằng OC⊥AB.
b) Xác định giá trị của m để OM⊥ON.
a) Ta có AON^+BON^=180°;BOM^+AOM^=180° (hai góc kề bù) mà AOM^=BON^ (đề bài cho) nên AON^=BOM^ .
Mặt khác, tia OC là tia phân giác của góc MON nên CON^=COM^ .
Do đó AON^+CON^=BOM^+COM^ (1)
Ta có tia ON nằm giữa hai tia OA, OC; tia OM nằm giữa hai tia OB, OC nên từ (1) suy ra AOC^=BOC^=180°:2=90°. Vậy OC⊥AB.
b) Tia OM nằm giữa hai tia OB và ON nên BOM^+MON^=BON^=m° (1).
Mặt khác BOM^=180°−AOM^=180°−m° (2).
Từ (1) và (2) suy ra: 180°−m°+90°=m°⇒2m°=270°⇒m°=135°.
Vậy m=135.
Chứng minh một tia là tia phân giác, là tia đối
Cho góc AOB có số đo bằng 1200 . Vẽ tia phân giác OM của góc đó. Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa tia OA, vẽ tiaON⊥OM. Trong góc AOB vẽ tia OC⊥OB. Chứng tỏ rằng:
a) Tia OC là tia phân giác của góc AOM;
b) Tia OA là tia phân giác của góc CON
a) Tia OM là tia phân giác của góc AOB nên AOM^=BOM^=120°:2=60°.
Ta có OC⊥OB⇒BOC^=90°.
Tia OM nằm giữa hai tia OB, OC nên BOM^+COM^=BOC^
⇒COM^=90°−60°=30°
Tia OC nằm giữa hai tia OA, OB nên AOC^+BOC^=AOB^
⇒AOC^=120°−90°=30°
Vậy AOC^=COM^=30°. (1)
Tia OC nằm giữa hai tia OA, OM nên từ (1) suy ra tia OC là tia phân giác của góc AOM.
b) Ta có OM⊥ON⇒MON^=90°.
Tia OA nằm giữa hai tia ON, OM nên AON^+AOM^=MON^.
Suy ra AON^=MON^−AOM^=90°−60°=30°.
Vậy AON^=AOC^=30° (2)
Tia OA nằm giữa hai tia ON, OC nên từ (2) suy ra tia OA là tia phân giác của góc CON.
Cho góc bẹt AOB, tia OC⊥AB. Vẽ tia OM và ON ở trong góc BOC sao cho BOM^=CON^=13BOC^. Tìm trong hình vẽ các tia là tia phân giác của một góc
Ta có OC⊥AB nên AOC^=BOC^=90° (1)
Tia OC nằm giữa hai tia OA, OB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tia OC là tia phân giác của góc AOB.
Ta có BOM^=CON^=13BOC^=30°.
Tia ON nằm trong góc BOC nên BON^+CON^=BOC^.
Suy ra BON^=90°−30°=60°.
Tia OM nằm giữa hai tia OB, ON. (3)
Do đó BOM^+MON^=BON^⇒MON^=60°−30°=30°.
Vậy BOM^=MON^=CON^=30° (4)
Từ (3) và (4) suy ra tia OM là tia phân giác của góc BON.
Tia ON nằm giữa hai tia OM và OC (5)
Từ (4) và (5) suy ra tia ON là tia phân giác của góc COM.
Tóm lại, các tia OC, OM, ON lần lượt là các tia phân giác của các góc AOB, BON và COM.
Cho hai tia OM và ON vuông góc với nhau, tia OC nằm giữa hai tia đó. Vẽ các tia OA và OB sao cho tia OM là tia phân giác của góc AOC, tia ON là tia phân giác của góc BOC. Chứng tỏ rằng hai tia OA, OB đối nhau
Ta có OM⊥ON⇒MON^=90°.
Tia OM là tia phân giác của góc AOC nên AOM^=MOC^.
Tia ON là tia phân giác của góc BOC nên BON^=NOC^.
Xét tổng
AOC^+BOC^=2MOC^+2NOC^=2MOC^+NOC^=2MON^=2.90°=180°.
Hai góc kề AOC và BOC có tổng bằng nên hai tia OA, OB đối nhau.
Đường trung trực – Hai góc có cạnh tương ứng vuông góc
Cho đoạn thẳng AB = 2a. Lấy các điểm E và F nằm giữa A và B sao cho AE = BF. Chứng tỏ rằng hai đoạn thẳng AB và EF cùng có chung một đường trung trực
Trường hợp :
Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó MA = MB = a.
Điểm E nằm giữa hai điểm A và M, điểm F nằm giữa hai điểm B và M.
Do đó ME = MA - AE = a - AE; MF = MB - BF = a - BF.
Vì AE = BF nên ME = MF. Vậy M là trung điểm chung của hai đoạn thẳng AB và EF. Qua M vẽ thì xy là đường trung trực chung của AB và EF.
Trường hợp : Chứng minh tương tự
Cho bốn điểm M, N, P, Q nằm ngoài đường thẳng xy. Biết MN⊥xy; PQ⊥xy và xy là đường trung trực của đoạn thẳng NP. Chứng tỏ rằng bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng
Ta có MN⊥xy; PQ⊥xy (vì xy là đường trung trực của NP). Qua điểm N chỉ vẽ được một đường thẳng vuông góc với xy, suy ra ba điểm M, N, P thẳng hàng. (1)
Ta có NP⊥xy;PQ⊥xy. Qua điểm P chỉ vẽ được một đường thẳng vuông góc với xy, suy ra ba điểm N, P, Q thẳng hàng. (2)
Từ (1) và (2) suy ra các điểm M, N, P, Q thẳng hàng vì chúng cùng thuộc đường thẳng NP
Hai góc gọi là có cạnh tương ứng vuông góc nếu đường thẳng chứa mỗi cạnh của góc này tương ứng vuông góc với đường thẳng chứa một cạnh của góc kia. Xem hình 2.8 (a, b) rồi kể tên các góc nhọn (hoặc tù) có cạnh tương ứng vuông góc
Trên hình 2.8a) có AH⊥Ox,AK⊥Oy nên các góc có cạnh tương ứng vuông góc là: góc HAK và góc xOy; góc HAt và góc xOy.
Trên hình 2.8b) có AB⊥AC; AH⊥BC và nên các góc có cạnh tương ứng vuông góc là: góc BAH và góc C; góc CAH và góc B.
