Bài tập Toán 7 chương 1: Hai đường thẳng vuông góc

Do đó: $2\widehat{mOz}+2\widehat{nOz}={180}^0$ 

$\Rightarrow \widehat{mOz}+\widehat{nOz}={90}^0$

$\Rightarrow \widehat{mOn}={90}^0\Rightarrow Om\perp On$ 

Vậy hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau

Đường thẳng d là trung trực của các đoạn thẳng: BC, AD

Vì M là một điểm của đoạn thẳng AB nên:

$AM+MB=AB\Rightarrow 3+MB=6$

                     $\Rightarrow MB=6–3=3\left(cm\right)$

Ta có: $AM=MB=\frac{AB}{2}=3cm$  

 M là trung điểm của AB (1)

Có: $\widehat{AMx}+\widehat{BMx}={180}^0$ (hai góc kề bù)

Mà $\widehat{xMA}=\widehat{xMB}$

$\Rightarrow 2\widehat{AMx}={180}^0$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{AMx}={90}^0 \\ \Rightarrow Mx\perp AB \left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1) và (2) suy ra Mx là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Vì $\widehat{MON},\widehat{NOM\text{'}}$ là hai góc kề bù nên:

$\begin{array}{l}\widehat{MON}+\widehat{NOM\text{'}}={180}^0\\ \Rightarrow {70}^0+\widehat{NOM\text{'}}={180}^0\\ \Rightarrow \widehat{NOM\text{'}}={180}^0-{70}^0={110}^0\end{array}$ 

Ta có: $ON\perp ON\text{'}\Rightarrow \widehat{NON\text{'}}={90}^0$ 

Mà ON’trong góc NOM’ nên: 

$\begin{array}{l}\widehat{M\text{'}ON\text{'}}+\widehat{NON\text{'}}=\widehat{NOM\text{'}}\\ \Rightarrow \widehat{M\text{'}ON\text{'}}+{90}^0={110}^0\\ \Rightarrow \widehat{M\text{'}ON\text{'}}={110}^0-{90}^0={20}^0\end{array}$

a)      Ta có: $Om\perp \text{Ox}\Rightarrow \widehat{xOm}={90}^0$

Ta có tia Om nằm trong  nên:

$\begin{array}{l}\widehat{xOm}+\widehat{mOy}=\widehat{xOy}\\ \Rightarrow {90}^0+\widehat{mOy}={140}^0\\ \Rightarrow \widehat{mOy}={140}^0-{90}^0={50}^0\end{array}$

Làm tương tự ta cũng có $\widehat{nOx}={50}^0$

+) Xét trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox, có $\widehat{xOn}<\widehat{xOm}$:  (vì $0°<50°<90°$ )

=> Tia On nằm giữa hai tia Ox và Om

$\begin{array}{l}\Rightarrow \widehat{xOn}+\widehat{mOn}=\widehat{xOm}\\ \Rightarrow {50}^0+\widehat{mOn}={90}^0\\ \Rightarrow \widehat{mOn}={90}^0-{50}^0={40}^0\end{array}$

b)    Theo ý a, ta có: $\widehat{yOm}={50}^0$, $\widehat{nOx}={50}^0$

 $\Rightarrow \widehat{xOn}=\widehat{yOm}$

b. Gọi Ot là tia phân giác của  $\widehat{mOn} \Rightarrow \widehat{nOt}=\widehat{mOt}$(2)

Theo đề bài, ta có : $\widehat{mOn}$  nằm trong  $\widehat{xOy}$

Mà Ot là tia phân giác của $\widehat{mOn}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\text{Tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy}\\ \text{Tia On }\mathrm{nằm} \mathrm{giữa}\text{ hai tia Ox và Ot}\\ \text{Tia Om }\mathrm{nằm} \mathrm{giữa}\text{ hai tia Oy và Ot}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \widehat{xOt}=\widehat{xOn}+\widehat{nOt},\widehat{yOt}=\widehat{yOm}+\widehat{mOt}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: $\widehat{xOt}=\widehat{yOt}$

Ta có tia Ot nằm giữa hai tian Ox và Oy; $\widehat{xOt}=\widehat{yOt}$

=> Ot là tia phân giác của $\widehat{xOy}$

Do đó Ot là tia phân giác chung của $\widehat{mOn}$ và $\widehat{xOy}$

Ta có: 

$OC\perp OA\Rightarrow \widehat{AOC}={90}^0$

$OB\perp OD\Rightarrow \widehat{BOD}={90}^0$

Ta có: Ot là tia phân giác của $\widehat{BOC}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \widehat{COt}=\widehat{tOB}=\frac{\widehat{COB}}{2}(t/c)\\ \Rightarrow \widehat{COB}=2\widehat{COt}\end{array}$

Ta có: Ot' là tia phân giác của $\widehat{AOD}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \widehat{AOt\text{'}}=\widehat{t\text{'}OD}=\frac{\widehat{AOD}}{2}(t/c)\\ \Rightarrow \widehat{AOD}=2\widehat{AOt\text{'}}\end{array}$

Mặt khác: $\widehat{AOD}+\widehat{DOB}+\widehat{BOC}+\widehat{AOC}={360}^0$

$\Rightarrow 2\widehat{AOt\text{'}}+{90}^0+2\widehat{COt}+{90}^0={360}^0$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 2\widehat{AOt\text{'}}+2\widehat{COt}={180}^0\\ \Rightarrow \widehat{AOt\text{'}}+\widehat{COt}={90}^0\end{array}$

Do đó: $\widehat{AOt\text{'}}+\widehat{AOC}+\widehat{COt}={180}^0$

$\Rightarrow \widehat{t\text{'}Ot}={180}^0$

=> Ot và Ot' là hai tia đối nhau

Ta có:  $bb\text{'}\perp aa\text{'}$ nên $bb\text{'}\perp AB$ tại  (vì hai điểm  và  thuộc đường thẳng aa'  ) (1)

 và M là trung điểm của AB (2)

 Từ (1) và (2) suy ra nên bb' là đường trung trực của AB (theo định nghĩa đường trung trực)

Tương tự: aa' là đường trung trực của CD.

Ba đường thẳng cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều 3 đỉnh của tam giác (sẽ được chứng minh ở chương sau lớp 7)

a) Vì Ot là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên  $\widehat{xOt}=\widehat{tOy}=\frac{1}{2}\widehat{xOy}$   (1)

    Vì Ot là tia phân giác của $\widehat{yOz}$ nên $\widehat{yOt\text{'}}=\widehat{t\text{'}Oz}=\frac{1}{2}\widehat{yOz}$  (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{tOt\text{'}}=\widehat{tOy}+\widehat{yOt\text{'}} \widehat{tOt\text{'}}=\frac{1}{2}\widehat{xOy}+\frac{1}{2}\widehat{yOz}=\frac{1}{2}\widehat{xOz}$(vì $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOz}$ kề bù)

$\widehat{tOt\text{'}}=\frac{1}{2}{.180}^0={90}^0$

Vậy $\widehat{tOt\text{'}}={90}^0$  hay $Ot\perp Ot\text{'}$.

b) Theo phần a ta có $\widehat{tOt\text{'}}={90}^0$

Vì Om là tia đối của tia Ot nên $\widehat{mOt}={180}^0$ và hai góc $\widehat{mOt}, \widehat{tOt\text{'}}$ là hai góc kề bù nên

$\widehat{tOt\text{'}}+\widehat{t\text{'}Om}={180}^0$ hay ${90}^0+\widehat{t\text{'}Om}={180}^0$

Suy ra  $\widehat{t\text{'}Om}={90}^0$ 

a) Vì $OC\perp OA$  nên $\widehat{AOC}={90}^0$ do đó $\widehat{AOD}+\widehat{DOC}=\widehat{AOC}$ suy ra $\widehat{AOD}=\widehat{AOB}-\widehat{BOD}=\widehat{AOB}-{90}^0$ (1)

Vì  $OD\perp OB$ nên $\widehat{BOD}={90}^0$ do đó $\widehat{BOC}+\widehat{COD}=\widehat{BOD}$ suy ra $\widehat{BOC}=\widehat{AOB}-\widehat{AOC}=\widehat{AOB}-{90}^0$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\widehat{BOC}=\widehat{AOD}$.

b) Vì tia OM là tia phân giác của $\widehat{AOB}$ nên $\widehat{AOM}=\widehat{MOB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}$.

Mà $\widehat{COM}+\widehat{MOA}={90}^0$ ( do $\widehat{AOC}={90}^0$);

     $\widehat{DOM}+\widehat{MOB}={90}^0$ ( do $\widehat{BOD}={90}^0$).

Vậy $\widehat{COM}=\widehat{DOM}$ ( cùng phụ với hai góc bằng nhau).     (3)

Vì OM nằm giữa hai tia OC và OD và $\widehat{COM}=\widehat{DOM}$ (theo (3)) nên OM có phải là tia phân giác của $\widehat{DOC}$.

a) Vì tia OD nằm trong $\widehat{AOB}$ nên tia OD nằm giữa hai tia OA và OB do đó

$\widehat{AOD}+\widehat{BOD}=\widehat{AOB}$

Suy ra: $\widehat{AOD}=\widehat{AOB}-\widehat{BOD}={90}^0-{60}^0={30}^0$

Tương tự ta cũng có $\widehat{COB}={30}^0$, $\widehat{DOC}={30}^0$ .

b) Vì là tia phân giác của $\widehat{DOE}$ nên $\widehat{DOB}=\widehat{BOE}={60}^0$ .

Vì OB nằm giữa hai tia OC và OE và $\widehat{COB}={30}^0$nên ta có

$\widehat{EOC}=\widehat{EOB}+\widehat{BOC}={60}^0+{30}^0={90}^0$

Vậy $OC \perp OE$