Bài tập Toán 7 chương 1: Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

a) Xét hai đường thẳng AD và Bm, đối với cát tuyến Dx thì:

- Góc DCm so le trong với góc ADC;

- Góc BCx đồng vị với góc ADC;

- Góc DCB trong cùng phía với góc ADC.

b) Xét hai đường thẳng AB và Dx, đối với cát tuyến Ay thì:

- Góc ACD so le trong với góc BAC;

- Góc xCy đồng vị với góc BAC;

- Góc Acx trong cùng phía với góc BAC.

Vận dụng cặp góc so le trong

- Tìm cách giải

Để chứng tỏ AB // CD ta chứng tỏ một cặp góc so le trong bằng nhau. Ta nghĩ đến việc chứng tỏ $\widehat{A}=\widehat{C}$ vì có thể dùng các góc $\widehat{O_1},\widehat{O_2}$ làm trung gian.

- Trình bày lời giải

Ta có $\widehat{A}=\widehat{O_1};\widehat{C}=\widehat{O_2}$ (đề bài cho) mà $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$ (đối đỉnh) nên $\widehat{A}=\widehat{C}$.

Suy ra AB // CD vì có cặp góc so le trong bằng nhau

Tia AC nằm giữa hai tia AB và Ax nên $\widehat{BAC}+\widehat{CAx}=\widehat{BAx}$

$\Rightarrow \widehat{CAx}=110°-70°=40°$.

Do đó $\widehat{CAx}=\widehat{C}\left(=40°\right)$.

Suy ra Ax // BC vì có cặp góc so le trong bằng nhau

Tìm cách giải

Đề bài có cho hai tia đối nhau nên ta vận dụng tính chất của hai góc kề bù. Ngoài ra đề bài còn có tia phân giác nên trong hình vẽ có hai góc bằng nhau.

Trình bày lời giải

Hai góc MAB và BAD kề bù nên $\widehat{MAB}=180°-130°=50°$.

Tia AM là tia phân giác của góc BAC nên $\widehat{MAC}=\widehat{MAB}=50°$.

Do đó $\widehat{MAC}=\widehat{C}\left(=50°\right)\Rightarrow A\text{D}//CE$ vì có cặp góc so le trong bằng nhau

Ta có $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\widehat{B_1}+\widehat{B_2}\left(=180°\right)\Rightarrow 2\widehat{A_1}+2\widehat{A_2}=2\widehat{B_1}+2\widehat{B_2}$ (1)

Mặt khác: $\widehat{A_1}-2\widehat{A_2}=\widehat{B_1}-2\widehat{B_2}$ (2)

Cộng từng vế các đẳng thức (1) và (2) được $3\widehat{A_1}=3\widehat{B_1}\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{B_1}$

=> a // b vì có cặp góc so le trong bằng nhau

Tìm cách giải

Trong hình vẽ đã có các cặp góc so le trong là $\hat{A}$ và $\widehat{C_1};\widehat{E}$ và $\widehat{C_2}$. Muốn chứng tỏ AB // CD và CD // EF chỉ cần chứng tỏ $\widehat{A}=\widehat{C_1}$ và $\widehat{E}=\widehat{C_2}$.

Trình bày lời giải

Ta có $\widehat{AC\text{E}}=\frac{\widehat{C_1}+\widehat{C_2}}{2}\Rightarrow \widehat{C_1}+\widehat{C_2}=2\widehat{ACE}$.

Mặt khác $\widehat{C_1}+\widehat{C_2}+\widehat{AC\text{E}}=360°$ nên $2\widehat{ACE}+\widehat{AC\text{E}}=360°\Rightarrow \widehat{AC\text{E}}=120°$.

Do đó $\widehat{C_1}+\widehat{C_2}=360°-120°=240°$ mà $\widehat{C_1}-\widehat{C_2}=20°$ nên $\widehat{C_1}=130°;\widehat{C_2}=110°$.

Ta có $\widehat{AC\text{E}}=\frac{\widehat{A}+\widehat{E}}{2}\Rightarrow \widehat{A}+\widehat{E}=2\widehat{AC\text{E}}=240°$.

Lại có $\widehat{A}-\widehat{E}=20°$ nên $\widehat{A}=130°;\widehat{E}=110°$.

Ta có $\widehat{A}=\widehat{C_1}\left(=130°\right)\Rightarrow AB//CD;\widehat{E}=\widehat{C_2}\left(=110°\right)\Rightarrow C\text{D}//EF$ vì có cặp góc so le trong bằng nhau.

Vận dụng cặp góc đồng vị

Ta có $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=180°$ mà $\widehat{A_2}=\frac{2}{7}\widehat{A_1}$ nên $\widehat{A_2}=\frac{180°.2}{9}=40°$.

$\widehat{B_1}+\widehat{B_2}=180°$ mà $\widehat{B_1}-\widehat{B_2}=100°$ nên $\widehat{B_2}=40°$.

Vậy $\widehat{A_2}=\widehat{B_2}=40°\Rightarrow Ax//By$ vì có cặp góc đồng vị bằng nhau

Ta có $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{B_2}=a°\Rightarrow \widehat{B_2}=a°-180°$    (1)

$\widehat{B_1}+\widehat{B_2}+\widehat{A_1}=b°\Rightarrow \widehat{A_1}=b°-180°$              (2)

Từ (1) và (2), suy ra: $\widehat{B_2}+\widehat{A_1}=\left(a°+b°\right)-360°=540°-360°=180°$.

Mặt khác $\widehat{A_2}+\widehat{A_1}=180°$ (kề bù) nên $\widehat{B_2}+\widehat{A_1}=\widehat{A_2}+\widehat{A_1}\left(=180°\right)$.

Suy ra $\widehat{B_2}=\widehat{A_2}$. Do đó a // b vì có cặp góc đồng vị bằng nhau

Tìm cách giải

Trong hình vẽ đã có những cặp góc đồng vị, cặp góc trong cùng phía. Từ điều kiện trong đề bài, ta có thể suy ra được tổng của hai góc trong cùng phía bù nhau, từ đó suy ra được hai đường thẳng song song.

Trình bày lời giải

Ta có $\widehat{A_2}-\widehat{A_1}=\widehat{B_2}-\widehat{B_1}$, suy ra $\widehat{A_2}+\widehat{B_1}=\widehat{B_2}+\widehat{A_1}$.

Mặt khác $\widehat{A_2}+\widehat{B_1}+\widehat{B_2}+\widehat{A_1}=360°$ nên $\widehat{A_2}+\widehat{B_1}=180°$.

Suy ra a // b vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau

Đặt $\widehat{AC\text{E}}=m°$ thì $\widehat{C_2}=m°+10°$ và $\widehat{C_1}=m°+20°$.

Ta có $\widehat{AC\text{E}}+\widehat{C_1}+\widehat{C_2}=360°$ do đó

$m°+\left(m°+10°\right)+\left(m°+20°\right)=360°\Rightarrow 3m°+30°=360°\Rightarrow m°=110°$.

Vậy $\widehat{C_2}=120°;\widehat{C_1}=130°$.

Ta có $\widehat{A}+\widehat{C_1}=50°+130°=180°\Rightarrow AB//C\text{D};\widehat{E}+\widehat{C_2}=60°+120°=180°\Rightarrow C\text{D}//EF$; vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau.

Vận dụng nhiều dấu hiệu song song

Ta có $\widehat{D_2}=\widehat{D_1}=105°$ (đối đỉnh); $\widehat{C_2}=\widehat{C_1}=75°$ (đối đỉnh).

Vậy $\widehat{A_1}=\widehat{D_2}\left(=105°\right)\Rightarrow AB//CD$ vì có cặp góc đồng vị bằng nhau.

$\widehat{C_2}+\widehat{D_2}=75°+105°=180°\Rightarrow BC//A\text{D}$ vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau

Ta có $\widehat{B_1}=\widehat{C_1}=\frac{1}{3}\widehat{A_1}$. Suy ra $B\text{x}//C\text{z}$ vì có cặp góc so le trong bằng nhau.

Ta có $\widehat{B_1}=\widehat{C_1}=45°\Rightarrow \widehat{A_1}=135°$. Vậy $\widehat{B_1}+\widehat{A_1}=45°+135°=180°$.

Suy ra $B\text{x}//Ay$ vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau.

Ta có $\widehat{C_1}$ và $\widehat{C_2}$ kề bù $\Rightarrow \widehat{C_2}=180°-\widehat{C_1}=135°$. Vậy $\widehat{C_2}=\widehat{A_1}=135°$.

$\Rightarrow Ay//C\text{z}$ vì có cặp góc đồng vị bằng nhau

Ta có $\widehat{BM\text{x}}=\widehat{B}=55°$. Suy ra $M\text{x}//BC$ vì có cặp góc so le trong bằng nhau.

Ta có $\widehat{CAM}+\widehat{CAB}=180°$ (hai góc kề bù)

$\widehat{CAM}=180°-70°=110°$.

Tia Ay là tia phân giác của góc CAM

$\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_2}=55°$, do đó $\widehat{A_1}=\widehat{B}=55°$.

Suy ra $Ay//BC$ vì có cặp góc đồng vị bằng nhau