Bài tập Tính tỉ số lượng giác trong tam giác vuông lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 2 cm, AC = 3 cm. Giá trị tan C là
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{3}{2}\).
\(\frac{2}{{\sqrt {13} }}\)
\(\frac{3}{{\sqrt {13} }}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: tan C = \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{2}{3}\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm và BC = \(5\sqrt 2 \) cm. Số đo của góc B là:
45°.
30°.
60°.
75°.
Đáp án đúng là: A
Ta có: cos B = \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{5}{{5\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Nhận thấy cos B = cos45°.
Suy ra \(\widehat B = 45^\circ \).
Cho tam giác MNP có MN = 5 cm, MP = 12 cm, NP = 13 cm. Khẳng định nào dưới đây là sai?
Tam giác MNP vuông tại M.
sin N = \(\frac{{12}}{{13}}\).
cos N = \(\frac{5}{{13}}\).
tan N = \(\frac{5}{{12}}\).
Đáp án đúng là: D
Áp dụng định lí pythagore đảo, ta có:
MN2 + MP2 = 52 + 122 = 169 = 132 = NP2.
Suy ra tam giác MNP vuông tại M.
Ta có: sin N = \(\frac{{12}}{{13}}\); cos N = \(\frac{5}{{13}}\), tan N = \(\frac{{12}}{5}\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm và BC = 17 cm. Mệnh đề nào dưới đây là sai?
sin B = \(\frac{{15}}{{17}}\).
cos B = \(\frac{8}{{17}}\).
tan B = \(\frac{{17}}{8}\).
cot C = \(\frac{8}{{15}}\).
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có:
AB2 + AC2 = BC2
AC2 = BC2 – AB2 = 172 – 82 = 225.
AC = 15 (cm).
Ta có: sin B = \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{15}}{{17}}\); cos B = \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{15}}{{17}}\); tan B = \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{15}}{8}\); cot B = \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{8}{{15}}\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 0,9 cm và AB = 1,2 cm. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
sin C = \(\frac{3}{5}\).
cos C = \(\frac{4}{5}\).
tan C = \(\frac{4}{3}\).
cot C = \(\frac{5}{4}\).
Đáp án đúng là: C
Xét
tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có:
AB2 + AC2 = BC2
BC2 = 1,22 + 0,92 = 2,25.
BC = 1,5 (cm).
Ta có: sin C = \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{1,2}}{{1,5}} = \frac{4}{5}\);
cos C = \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{0,9}}{{1,5}} = \frac{3}{5}\);
tan C = \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{1,2}}{{0,9}} = \frac{4}{3}\);
cot C = \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{0,9}}{{1,2}} = \frac{3}{4}\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
sin B = cos C = 0,8.
cos B = sin C = 0,6.
tan B = cot C = \(\frac{4}{3}\).
cot B = tan C = \(\frac{5}{3}\).
Đáp án đúng là: D
Áp
dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:
AB2 + AC2 = BC2, suy ra BC2 = 62 + 82 = 100, do đó BC = 10 cm.
Ta có: sin B = cos C = \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{8}{{10}} = 0,8\);
cos B = sin C = \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = 0,6\);
tan B = cot C = \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\);
cot B = tan C = \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\).
Cho tam giác ABC có AB = \(a\sqrt 5 \), BC = \(a\sqrt 3 \), AC = \(a\sqrt 2 \). Khẳng định nào dưới đây là sai?
Tam giác ABC vuông tại B.
sin A = \(\frac{{\sqrt {15} }}{5}\).
cos A = \(\frac{{\sqrt {10} }}{5}\).
tan A = \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
Đáp án đúng là: A
Áp dụng định lí Pythagore đảo, ta có:
AC2 + BC2 = 3a2 + 2a2 = 5a2 = AB2.
Do đó, tam giác ABC vuông tại C.
Ta có: sin A = \(\frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\);
cos A = \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\);
tan A = \(\frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 1,6 cm; AC = 1,2 cm. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
sin B = cos C = \(\frac{4}{5}\).
tan B = tan C = \(\frac{3}{4}\).
sin C = cot B = \(\frac{4}{5}\).
tan C = cot B = \(\frac{4}{3}\).
Đáp án đúng là: D
Áp
dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:
AB2 + AC2 = BC2
1,62 + 1,22 = BC2
Suy ra BC = 2 cm.
Ta có: sin B = cos C = \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{1,2}}{2} = \frac{3}{5}\);
tan B = cot C = \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{1,2}}{{1,6}} = \frac{3}{4}\);
sin C = cos B = \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{1,6}}{2} = \frac{4}{5}\);
tan C = cot B = \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{1,6}}{{1,2}} = \frac{4}{3}\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có cos B = 0,6. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
tan B = \(\frac{3}{4}\).
cot B = \(\frac{4}{3}\).
sin C = 0,6.
cos C = 0,4.
Đáp án đúng là: C
Ta
có: cos B = sin C = 0,6.
Vậy chọn C.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 13 cm, BH = 5 cm. Giá trị sin B là
\(\frac{5}{{13}}\).
\(\frac{5}{{12}}\).
\(\frac{{12}}{{13}}\).
\(\frac{{12}}{5}\).
Đáp án đúng là: A
Ta
có đường cao AH nên tam giác ABH vuông tại H.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABH, ta có:
AH2 + BH2 = AB2
52 + BH2 = 132
Suy ra BH = 12 cm.
Ta có sin B = \(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{5}{{13}}\).
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AC = 12 cm, BC = 13 cm.
Khi đó:
AB = 5 cm.
sin B = \(\frac{5}{{13}}\).
AH.BC = AB.AC.
\(\tan \widehat {BAH} = \frac{5}{{12}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:
AB2 + AC2 = BC2
AB2 = BC2 – AC2
\(AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} \)
\(AB = \sqrt {{{13}^2} - {{12}^2}} \)
AB = 5 (cm).
Vậy AB = 5 cm.
b) Sai.
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{13}}\).
c) Đúng.
Ta có tam giác ABC vuông tại A nên \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AC.AB\).
Lại có AH là đường cao trong tam giác ABC nên \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC\).
Từ đây, suy ra \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AC.AB = \frac{1}{2}.AH.BC\).
Suy ra AC.AB = AH.BC.
d) Đúng.
Có AC.AB = AH.BC nên \(AH = \frac{{AC.AB}}{{BC}} = \frac{{12.5}}{{13}} = \frac{{60}}{{13}}\).
Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:
\(\cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{60}}{{13}}:5 = \frac{{12}}{{13}}\).
Lại có \(\sin \widehat {BAH} = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\widehat {BAH}} = \frac{5}{{13}}\).
Do đó, \(\tan \widehat {BAH} = \frac{{\sin \widehat {BAH}}}{{\cos \widehat {BAH}}} = \frac{5}{{13}}:\frac{{12}}{{13}} = \frac{5}{{12}}.\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 6cm, CH = 8 cm.
Khi đó:
AH2 = HB.HC.
AH = 48 cm.
\(\sin \widehat {BAH} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\).
\(\sin \widehat {CAH} = \frac{{\sqrt 7 }}{7}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có \(\tan \widehat {BAH} = \cot \widehat {HAC}\) (hai góc phụ nhau).
Mà \(\tan \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AH}}\); \(\tan \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{HC}}\).
Suy ra \(\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{HC}}\), do đó AH2 = BH.HC.
b) Sai.
Vì AH2 = BH.HC = 6.8 = 48 nên \(AH = \sqrt {48} = 4\sqrt 3 \) (cm).
c) Đúng.
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABH, ta có:
AH2 + BH2 = AB2
48 + 36 = AB2
Suy ra AB = 84 nên \(AB = \sqrt {84} = 2\sqrt {21} \) (cm)
Do đó, \(\sin \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{6}{{2\sqrt {21} }} = \frac{{6\sqrt {21} }}{{42}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\).
d) Sai.
Có \(\cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{2\sqrt {21} }} = \frac{{2\sqrt {63} }}{{21}}\).
Vì \(\widehat {BAH}\) và \(\widehat {CAH}\) là hai góc phụ nhau nên \(\sin \widehat {CAH} = \cos \widehat {BAH}\).
Do đó, \(\sin \widehat {BAH} = \frac{{2\sqrt {63} }}{{21}}\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 26 cm, AB = 10 cm.
Khi đó:
AC = 24 cm.
\(\sin B = \frac{{12}}{{13}}\).
\(\tan C = \frac{{12}}{5}\).
Hiệu \(\widehat B - \widehat C\) lớn hơn 45°.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC, có:
AB2 + AC2 = BC2
Do đó, \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{26}^2} - {{10}^2}} = 24\,\,\left( {cm} \right)\)
b) Đúng.
Ta có: \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{24}}{{26}} = \frac{{12}}{{13}}\).
c) Sai.
Ta có: \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{10}}{{24}} = \frac{5}{{12}}\).
d) Sai.
Vì \(\sin B = \frac{{12}}{{13}}\) nên \(\widehat B \approx 67^\circ \).
Do đó, \(\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 67^\circ = 23^\circ \).
Do đó, \(\widehat B - \widehat C = 67^\circ - 23^\circ = 44^\circ \)
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 15 cm, AB = 12 cm. Khi đó:
AC = 9 cm.
\(\cos B = \frac{3}{5}\).
\(\tan C = \frac{3}{4}\).
Giá trị của biểu thức A = cos B.tan C + sin C.cot B bằng \(\frac{{32}}{{15}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC có:
AB2 + AC2 = BC2, do đó \(AC = \,\sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}} = 9\,\,\left( {cm} \right)\).
b) Sai.
Ta có: \(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}\).
c) Sai.
Ta có: \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{12}}{9} = \frac{4}{3}.\)
d) Đúng.
Vì hai góc B và C là hai góc phụ nhau nên ta có: cos B = sin C; tan C = cot B.
Do đó, ta có: A = cos B.tan C + sin C.cot B
\( = \cos B.\tan C + \cos B.\tan C = 2\cos B.\tan C = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{{32}}{{15}}\)
BC = 40 cm.
\(\cos C = \frac{1}{2}\).
\(\cot B = \frac{1}{2}\).
Giá trị của biểu thức B = cos C.sin B + tan C.cot B là \(\frac{{13}}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:
AB2 + AC2 = BC2 hay \(BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{20}^2} + {{\left( {20\sqrt 3 } \right)}^2}} = 40\,\,\left( {cm} \right)\).
b) Đúng.
Ta có: \(\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{20}}{{40}} = \frac{1}{2}\).
c) Sai.
Ta có: \(\cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{20\sqrt 3 }}{{20}} = \sqrt 3 \).
d) Đúng.
Vì hai góc B và C là hai góc phụ nhau nên ta có cos C = sin B và tan C = cot B.
Suy ra B = cos C.sin B + tan C.cot B
\( = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} + \sqrt 3 .\sqrt 3 = \frac{1}{4} + 3 = \frac{{13}}{4}\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có \(AC = 5\sqrt 3 \,\,cm\), AB + BC = 15 cm. Khi đó, số đo góc B bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 60
Có AB + BC = 15 nên AB = 15 – BC
Áp dụng định lý Pythagore, ta có:
AB2 + AC2 = BC2
(15 – BC)2 + \({\left( {5\sqrt 3 } \right)^2}\) = BC2
225 – 30BC + BC2 + 75 – BC2 = 0
300 – 30BC = 0
30BC = 300
BC = 10 (cm)
Do đó, AB = 15 – 10 = 5 (cm)
Xét tam giác vuông ABC, có: tanB = \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{5} = \sqrt 3 \).
Suy ra số đo góc B bằng 60°.
Cho tam giác ABC vuông tại A, có \(AB = \frac{2}{3}BC\). Khi đó, cot C có giá trị bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến độ)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 42
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:
AB2 + AC2 = BC2
\(\frac{4}{9}B{C^2} + A{C^2} = B{C^2}\)
\(A{C^2} = \frac{5}{9}B{C^2}\).
Do đó, \(AC = \frac{{\sqrt 5 }}{3}BC\).
Xét tam giác ABC, có: \(\cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}BC:\frac{2}{3}BC = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
Suy ra \(\widehat C \approx 42^\circ \).
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 3a, AC = 4a.
Hỏi \(\tan \widehat {BAH}\) bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0,75
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có: AB2 + AC2 = BC2
Hay 9a2 + 16a2 = BC2 suy ra BC = 5a.
Vì \(\widehat {BAH};\,\,\widehat {ABH}\) là hai góc phụ nhau nên \(\tan \widehat {BAH} = \cot \widehat {ABH}\).
Mà \(\cot \widehat {ABH} = \cot \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{3a}}{{4a}} = \frac{3}{4}\).
Suy ra \(\tan \widehat {BAH} = \frac{3}{4} = 0,75\).
Cho tam giác ABC có AB = 21 cm, AC = 28 cm, BC = 35 cm. Kẻ đường cao AH trong tam giác ABC. Tính \(\cot \widehat {HAC}\) (Kết quả viết dưới dạng số thập phân)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0,75
Nhận thấy AB2 + AC2 = 212 + 282 = 1 225 = 352 hay AB2 + AC2 = BC2.
Do đó, tam giác ABC vuông tại A.
Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.AH.BC\), do đó AB.AC = AH.BC
Suy ra \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{21.28}}{{35}} = 16,8\,\,(cm)\).
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AHC, có:
\(HC = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{21}^2} - {{16,8}^2}} = 12,6\,\,\left( {cm} \right)\)
Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có: \(\tan \widehat {HAC} = \frac{{HC}}{{HA}} = \frac{{12,6}}{{16,8}} = \frac{3}{4} = 0,75\).
Cho tam giác MNP có MN = 28 cm, MP = 21 cm, NP = 35 cm. Kẻ đường cao MI trong tam giác MNP. Tính \(\sin \widehat {NMI}\) (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0,8
Nhận thấy MN2 + MP2 = 282 + 212 = 1 225 = 352 hay MN2 + MP2 = NP2.
Do đó, tam giác MNP vuông tại M.
Ta có: \({S_{MPN}} = \frac{1}{2}.MP.MN = \frac{1}{2}.MI.PN\) hay MP.MN = MI.PN
Do đó, \(MI = \frac{{MP.MN}}{{PN}} = \frac{{21.28}}{{35}} = 16,8\,\,(cm)\).
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác NIM, có:
\(NI = \sqrt {M{N^2} - M{I^2}} = \sqrt {{{28}^2} - {{16,8}^2}} = 22,4\,\,\left( {cm} \right)\)
Do đó, \(\sin \widehat {NMI} = \frac{{NI}}{{MN}} = \frac{{22,4}}{{28}} = \frac{4}{5} = 0,8\).
