Bài tập Tính độ dài đoạn thẳng bằng cách sử dụng tính chất đường trung bình lớp 8 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho hình vẽ, độ dài x trong hình là:
3;
6;
5;
4.
Đáp án đúng là: B
Ta có DE ⊥ AB, BC ⊥ AB, suy ra DE // BC.
Trong tam giác ABC có D là trung điểm AB (do AD = DB = 4), DE // BC.
Do đó E là trung điểm của AC (tính chất đường trung bình của tam giác).
Suy ra AE = EC = 6. Vậy x = 6.
Độ dài x trong hình vẽ dưới đây là:
4;
5;
6;
7.
Đáp án đúng là: C
Trong tam giác ABC có D là trung điểm của AC, E là trung điểm của BC.
Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra \({\rm{DE}} = \frac{1}{2}{\rm{AB}}\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Hay AB = 2DE = 2 ⋅ 3 = 6.
Vậy AB = 6.
Cho hình vẽ, biết DE = 13 cm. Độ dài y trong hình là:
5,5 cm;
7,5 cm;
6,5 cm;
10 cm.
Đáp án đúng là: C
Ta có DK = KF = 7 (cm), suy ra K là trung điểm của DF.
Lại có \(\widehat {{\rm{DHK}}} = \widehat {{\rm{DEF}}}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên HK // EF.
Trong tam giác DEF có K là trung điểm của DF, HK // EF.
Do đó H là trung điểm của DE (tính chất đường trung bình của tam giác).
Suy ra \({\rm{DH}} = \frac{1}{2}{\rm{DE}} = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6,5\) (cm). Vậy y = 6,5 cm.
Cho tam giác PQR, gọi I, K lần lượt là trung điểm của QR, QP. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\({\rm{IK}} = \frac{1}{2}{\rm{PR}}\);
\({\rm{IK}} = \frac{1}{2}{\rm{PQ}}\);
IK // PQ;
IK // QR .
Đáp án đúng là: A
Trong tam giác PQR có I là trung điểm của QR, K là trung điểm QP.
Do đó IK là đường trung bình của tam giác PQR.
Suy ra \({\rm{IK}} = \frac{1}{2}{\rm{PR}}\) và IK // PR (tính chất đường trung bình của tam giác).
Vậy A đúng.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AC và BC. Tính độ dài AC, biết DE = 5 cm.
5 cm;
9 cm;
15 cm;
10 cm.
Đáp án đúng là: D
Trong tam giác ABC có D là trung điểm của AC, E là trung điểm BC.
Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra \({\rm{DE}} = \frac{1}{2}{\rm{AB}}\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Hay AB = 2DE = 2 ⋅ 5 = 10 (cm).
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AC = AB = 10 cm.
Cho hình vẽ, biết DE = 8 cm, DF = 14 cm. Giá trị x + y bằng
22 cm;
12 cm;
11 cm;
18 cm.
Đáp án đúng là: C
Trong tam giác DEF có H là trung điểm của DE, I là trung điểm EF.
Do đó HI là đường trung bình của tam giác DEF.
Suy ra \({\rm{HI}} = \frac{1}{2}{\rm{DF}}\,{\rm{ = }}\frac{1}{2} \cdot 14 = 7\) (cm) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Lại có H là trung điểm DE nên \({\rm{HE}} = \frac{1}{2}{\rm{DE}} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\) (cm).
x + y = HE + HI = 4 + 7 = 11 (cm).
Cho hình vẽ, giá trị của x là:
1,75;
4,5;
3,5;
1,5.
Đáp án đúng là: A
Trong tam giác MNP có D là trung điểm của MP, E là trung điểm NP.
Do đó DE là đường trung bình của tam giác MNP.
Suy ra \({\rm{DE}} = \frac{1}{2}{\rm{MN = }}\frac{1}{2} \cdot 9 = 4,5\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Theo đề bài ta có DE = 2x + 1 nên 2x + 1 = 4,5.
Suy ra 2x = 3,5.
Vậy x = 1,75.
Cho tam giác ABC có đường cao BH = 5 cm. Gọi D, E lần lượt là trung điểm AB, BC và DE = 6 cm. Khi đó diện tích tam giác ABC bằng:
15 cm2;
30 cm2;
20 cm2;
60 cm2.
Đáp án đúng là: B
Trong tam giác ABC có D là trung điểm của AB, E là trung điểm BC.
Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra \({\rm{DE}} = \frac{1}{2}{\rm{AC}}\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Hay AC = 2DE = 2 ⋅ 6 = 12 (cm).
Diện tích tam giác ABC là:
\(\frac{1}{2} \cdot {\rm{BH}} \cdot {\rm{AC}} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30\) (cm2).
Cho tam giác ABC cân tại A, AB = 3 cm, BC = 4 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chu vi tứ giác BMNC bằng:
8 cm;
11 cm;
9 cm;
12 cm.
Đáp án đúng là: C
Vì tam giác ABC cân tại A nên AC = AB = 3 cm.
Lại có \({\rm{BM}} = \frac{1}{2}{\rm{AB}} = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5\,\,{\rm{(cm)}};{\rm{NC}} = \frac{1}{2}{\rm{AC}} = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5\,\,{\rm{(cm)}}\) (do M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC).
Trong tam giác ABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm AC.
Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra \({\rm{MN}} = \frac{1}{2}{\rm{BC = }}\frac{1}{2} \cdot 4 = 2\) (cm) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Chu vi tứ giác BMNC là:
BM + MN + NC + BC = 1,5 + 2 + 1,5 + 4 = 9 (cm).
Cho hình vẽ, giá trị của x là:
x = 7;
x = 14;
x = 5;
x = 12.
Đáp án đúng là: C
Trong tam giác ABC có D là trung điểm của AB, E là trung điểm AC.
Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra \({\rm{DE}} = \frac{1}{2}{\rm{BC}}\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Hay BC = 2DE = 2 ⋅ 7 = 14.
Mà BC = 3x – 1 nên 3x – 1 = 14, suy ra 3x = 15.
Vậy x = 5.
Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
MN song song với BC và MN = BC.
MN song song với BC và \(MN = \frac{{BC}}{2}\).
MN vuông góc với BC và \(MN = \frac{{BC}}{2}\).
MN song song với AB và \(MN = \frac{{AC}}{2}\).
Đáp án đúng: B
Theo định nghĩa và tính chất đường trung bình của tam giác, đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác là đường trung bình của tam giác đó. Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Do M, N là trung điểm AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN // BC và MN = \(\frac{{BC}}{2}\).
Cho tam giác DEF có DE = 8 cm, DF = 10 cm, EF = 12 cm. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của DE và DF. Độ dài đoạn thẳng IK là:
4 cm.
5 cm.
6 cm.
12 cm.
Đáp án đúng: C
Vì I và K lần lượt là trung điểm của DE và DF nên IK là đường trung bình của tam giác DEF.
Theo tính chất đường trung bình, ta có: \(IK = \frac{{EF}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6\) (cm).
Một chiếc thang chữ A (hai bên thang bằng nhau) có thanh ngang nối trung điểm hai chân thang. Biết khoảng cách giữa hai chân thang trên mặt đất là 1,4 mét. Độ dài thanh ngang của chiếc thang là:
0,7 mét.
2,8 mét.
1,4 mét.
0,35 mét.
Đáp án đúng: A
Mô hình chiếc thang chữ A tạo thành một tam giác, trong đó khoảng cách hai chân thang trên mặt đất là cạnh đáy, thanh ngang nối trung điểm hai cạnh bên chính là đường trung bình của tam giác.
Độ dài thanh ngang bằng một nửa khoảng cách giữa hai chân thang: \(\frac{{1,4}}{2} = 0,7\) mét.
Cho tam giác MNP. Lấy điểm H là trung điểm của MN. Qua H kẻ đường thẳng song song với NP cắt MP tại K. Biết HK = 5 cm, độ dài cạnh NP là:
2,5 cm.
5 cm.
10 cm.
15 cm.
Đáp án đúng: C
Trong ∆MNP, đường thẳng đi qua trung điểm H của cạnh MN và song song với cạnh NP thì sẽ đi qua trung điểm của cạnh thứ ba MP. Do đó, K là trung điểm của MP và HK là đường trung bình của tam giác MNP.
Do đó NP = 2HK = 2 ∙ 5 = 10 (cm).
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 10 cm. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Độ dài đoạn thẳng DE là:
7 cm.
5 cm.
10 cm.
14 cm.
Đáp án đúng: B
Vì D, E là trung điểm của AB, AC nên DE là đường trung bình của ∆ABC.
Theo tính chất đường trung bình, ta có \(DE = \frac{{BC}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5\)(cm).
Cho tam giác ABC cân tại A, có chu vi là 36 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết đoạn thẳng MN = 5 cm. Khi đó:
MN là đường trung bình của tam giác ABC.
BC = 5 cm.
AB = AC = 13 cm.
Chu vi tứ giác BMNC bằng 26 cm.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của ∆ABC.
b) Sai. Vì MN là đường trung bình của ∆ABC nên BC = 2MN = 2 ∙ 5 = 10 cm.
c) Đúng. Chu vi ∆ABC là: AB + AC + BC = 36 cm.
Mà BC = 10 cm và AB = AC (do tam giác cân tại A), ta có:
2AB + 10 = 36, suy ra 2AB = 26, do đó AB = AC = 13 cm.
d) Sai. M, N là trung điểm của AB, AC nên:
\(BM = \frac{{AB}}{2} = 6,5\) (cm); \(CN = \frac{{AC}}{2} = 6,5\) (cm).
Chu vi tứ giác BMNC là:
BM + MN + NC + BC = 6,5 + 5 + 6,5 + 10 = 28 cm.
Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại E.
Đoạn thẳng DE là đường trung bình của tam giác ABC.
Điểm E là trung điểm của cạnh AC.
DE // BC.
\(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\) vì ở vị trí so le trong.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vì D là trung điểm của AB và DE // BC nên DE là đường trung bình của ∆ABC.
b) Đúng. Từ a) có DE là đường trung bình của ∆ABC nên E là trung điểm của AC.
c) Đúng. Theo tính chất đường trung bình của tam giác, DE // BC.
d) Sai. Vì DE // BC nên \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\) (đồng vị).
Một mảnh đất hình tam giác ABC có AB = 30 m, AC = 40 m và BC = 50 m. Người ta cần xây một hàng rào bao quanh tam giác AMN với MN là đoạn thẳng nối trung điểm M của AB và trung điểm N của AC. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
Hàng rào MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Độ dài của hàng rào MN cần xây dựng là 20 mét.
Chu vi của phần đất hình tam giác AMN là 50 mét.
Biết giá mỗi mét dài hàng rào là 160 000 đồng thì chi phí vật liệu để xây hàng rào là 9 600 000 đồng.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. M, N là trung điểm AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
b) Sai. MN là đường trung bình nên \(MN = \frac{{BC}}{2} = \frac{{50}}{2} = 25\) (m).
c) Sai. Ta có \(AM = \frac{{AB}}{2} = 15\) m; \(AN = \frac{{AC}}{2} = 20\) m; MN = 25 (m).
Chu vi tam giác AMN là:
AM + AN + MN = 15 + 20 + 25 = 60 (m).
d) Đúng. Chi phí vật liệu để xây dựng hàng rào đó là:
60 ∙ 160 000 = 9 600 000 (đồng).
Cho tam giác MNP vuông tại M, có MN = 9 cm, MP = 12 cm, NP = 15 cm. Gọi A, B lần lượt là trung điểm của MN và MP, kẻ đường cao MH. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
S∆MNP = 54 cm2.
MH = 7 cm.
AB // NP.
MI = 3 cm.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Diện tích tam giác MNP là: \({S_{\Delta MNP}} = \frac{1}{2}MN \cdot MP = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\) (cm2).
b) Sai. \({S_{\Delta MNP}} = \frac{1}{2}MH \cdot NP\) suy ra \(MH = \frac{{2{S_{\Delta MNP}}}}{{NP}} = \frac{{2 \cdot 54}}{{15}} = 7,2\) (cm).
c) Đúng. Xét tam giác MNP có A, B lần lượt là trung điểm của MN và MP, nên AB là đường trung bình của ∆MNP.
Suy ra AB // NP.
d) Sai. Gọi I là giao điểm của AB và MH.
Xét ∆MNH có A là trung điểm của MN và AI // NH nên I là trung điểm của MH.
Suy ra \(MI = IH = \frac{1}{2}MH = \frac{1}{2} \cdot 7,2 = 3,6\) (cm).
Cho tam giác ABC có E là trung điểm của AB, D là trung điểm của AC. Các đoạn thẳng BD và CE cắt nhau tại G. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BG và CG. Biết độ dài đoạn thẳng BC bằng 16 cm.
Đoạn thẳng ED là đường trung bình của tam giác ABC.
MN = 4 cm.
\(EM = \frac{{AG}}{2}\).
Nếu chu vi tứ giác EDNM là 26 cm thì độ dài khoảng cách từ đỉnh A đến trọng tâm G của tam giác ABC là 12 cm.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vì E, D lần lượt là trung điểm của AB, AC nên ED là đường trung bình của tam giác ABC.
b) Sai. Xét ∆GBC có M, N lần lượt là trung điểm của BG, CG nên MN là đường trung bình của tam giác GBC.
Do đó MN // BC và \(MN = \frac{{BC}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\)cm.
c) Đúng. Xét ∆ABG có E, M lần lượt là trung điểm của AB, BG nên EM là đường trung bình, suy ra \(EM = \frac{{AG}}{2}\).
d) Theo ý a), ED là đường trung bình của ∆ABC nên ED // BC và \(ED = \frac{{BC}}{2}\).
Tứ giác EDNM có ED // MN, ED = MN nên EDNM là hình bình hành.
Khi đó chu vi tứ giác EDNM là
\[P = 2\left( {MN + EM} \right) = 2\left( {8 + EM} \right)\] (cm).
Mà P = 26 cm nên 2(8 + EM) = 26
Suy ra 8 + EM = 13 cm nên EM = 5 (cm).
Như vậy, AG = 2EM = 2.5 = 10 (cm).
Cho tam giác ABC có BC = 36 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN. Đường thẳng AI cắt cạnh BC tại điểm K. Tính độ dài đoạn thẳng BK theo đơn vị cm.
Đáp án: 18.
Trong ∆ABC, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình, do đó MN // BC.
Xét ∆ABK có M là trung điểm AB và MI // BK nên I là trung điểm của AK và MI là đường trung bình của tam giác, do đó \(MI = \frac{{BK}}{2}\).
Tương tự, xét ∆ACK, N là trung điểm AC, NI // CK nên \(NI = \frac{{CK}}{2}\).
Lại có I là trung điểm của MN nên MI = NI.
Suy ra \(\frac{{BK}}{2} = \frac{{CK}}{2}\) nên BK = CK.
Khi đó, K là trung điểm của BC.
Vậy \(BK = \frac{{BC}}{2} = \frac{{36}}{2} = 18\) (cm).
Cho tam giác DEF. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của DE và DF. Lấy điểm M thuộc cạnh EF. Gọi I là giao điểm của HK và DM. Biết DM = 25 cm, tính độ dài đoạn thẳng DI theo đơn vị cm.
Đáp án: 12,5.
Vì H, K lần lượt là trung điểm của DE và DF nên HK là đường trung bình của tam giác DEF, suy ra HK // EF.
Xét ∆DEM, có H là trung điểm cạnh DE và HI // EM nên I là trung điểm của đoạn thẳng DM.
Do đó, \(DI = \frac{{DM}}{2} = \frac{{25}}{2} = 12,5\)cm.
Để đo khoảng cách giữa hai điểm A và B bị ngăn cách bởi một dòng sông, một nhóm kỹ sư đã chọn một điểm C trên bờ sao cho có thể đo được khoảng cách từ C đến A và từ C đến B. Người ta đánh dấu điểm M là trung điểm của CA, điểm N là trung điểm của CB. Sau khi đo đạc, người ta thu được khoảng cách MN = 48,5 m. Hỏi khoảng cách thực tế giữa hai điểm A và B là bao nhiêu mét?
Đáp án: 97.
Xét ∆CAB, có M, N lần lượt là trung điểm CA, CB nên MN là đường trung bình của tam giác CAB.
Theo tính chất đường trung bình, AB = 2MN = 2 ∙ 48,5 = 97 (m).
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Biết độ dài các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC tỉ lệ với 3: 4: 5 và chu vi tam giác ABC là 81,6 cm. Tính độ dài cạnh lớn nhất của tam giác MNP theo đơn vị cm.
Đáp án: 17.
Vì độ dài các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC tỉ lệ với 3: 4: 5 nên ta có \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{BC}}{5} = x\) (x > 0).
Khi đó AB = 3x, AC = 4x, BC = 5x (cm).
Chu vi ∆ABC là:
AB + AC + BC = 3x + 4x + 5x = 12x (cm).
Theo bài, chu vi tam giác ABC bằng 81,6 cm nên ta có:
12x = 81,6, suy ra x = 6,8.
Suy ra AB = 3x = 3.6,8 = 20,4 cm;
AC = 4x = 4.6,8 = 27,2 cm;
BC = 5x = 5.6,8 = 34 cm.
Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC nên ta có MN, NP, PM đều là đường trung bình của tam giác ABC.
Khi đó \(MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 34 = 17\) cm;
\(NP = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 20,4 = 10,2\) cm;
\(PM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 27,2 = 13,6\) cm.
Do đó, cạnh lớn nhất của tam giác MNP là cạnh MN bằng 17 cm.
Cho tam giác ABC có BC = 26 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Gọi D là trung điểm của MB, E là trung điểm của NC. Nối D với E, tính độ dài đoạn thẳng DE theo đơn vị cm.
Đáp án: 19,5.
Xét ∆ABC có M, N là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác. Suy ra MN // BC và \(MN = \frac{{BC}}{2} = \frac{{26}}{2} = 13\) (cm).
Ta có \(BD = \frac{1}{2}BM = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}AB = \frac{1}{4}AB\) (vì M, D lần lượt là trung điểm của AB, MB). Khi đó \(\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{1}{4}.\)
Tương tự, \[EC = \frac{1}{4}AC\]. Khi đó \[\frac{{EC}}{{AC}} = \frac{1}{4}\].
Như vậy, \[\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{AC}} = \frac{1}{4}.\]
Theo định lí Thalès đảo, ta có DE // BC.
Gọi P là giao điểm của MC và DE.
Xét ∆MBC, D là trung điểm của MB và DP // BC nên DP là đường trung bình của tam giác, do đó \(DP = \frac{{BC}}{2} = \frac{{26}}{2} = 13\) (cm).
Tương tự, đối với ∆MNC, PE là đường trung bình của ∆MNC.
Suy ra \(PE = \frac{{MN}}{2} = \frac{{13}}{2} = 6,5\) (cm).
Ta có DE = DP + PE = 13 + 6,5 = 19,5 (cm).
