Bài tập Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho hàm số y = f(x) có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1\] và\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - 1\]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 1 và x = −1.
Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = −1.
Đáp án đúng là: D
Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta chọn đáp án D.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) là
y = −2;
y = 1;
x = −1;
x = 2.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1\).
Suy ra y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{5x + 1}}{{x - 1}}\) là
y = 1;
\(y = \frac{1}{5}\);
\(y = - 1\);
y = 5.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x + 1}}{{x - 1}} = 5;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x + 1}}{{x - 1}} = 5\).
Suy ra y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}}\) là
x = 2;
x = −2;
x = 1;
x = −1.
Đáp án đúng là: C
Tập xác định D = ℝ\{1}.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \,\infty \,;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \,\infty \), suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là x = 1.
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}}\) là:
x = 2;
x = 0;
x = 1;
x = −1.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}} = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}} = + \infty \).
Vậy tiệm cận đứng là: x = −1.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) có tiệm cận xiên là đường thẳng:
y = x;
y = x – 1;
y = 2x – 1;
y = x + 1.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0\).
Vậy tiệm cận xiên là: y = x + 1.
Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây có tiệm cận xiên?
y = x2;
y = x3 – 3x + 4;
\[y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\];
\[y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\].
Đáp án đúng là: D
Hàm số đa thức bậc hai và ba không có tiệm cận nên loại phương án A và B.
Hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) chỉ có tiệm cận đứng và ngang nên loại phương án C.
Ta có: \[y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = x + \frac{1}{{x - 1}}\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0.\]
Vậy hàm số \[y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\] có tiệm cận xiên y = x.
Cho hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}}\). Tọa độ giao điểm của các đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:
(−2; 3);
(2; 1);
(2; −1);
(3; 2).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}\).
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right) = 0\].
Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = −x + 1.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - \infty \).
Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = 2.
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là (2; −1).
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}}\) là
0;
2;
1;
0.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[y = \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}}\] \[ = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\]
Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = 2\] nên tiệm cận ngang của đồ thi hàm số là đường thẳng y = 2.
Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = - \infty \] và
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = - \infty \] nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = −2. Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận.
Cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}}\) có đồ thị (C).
Chọn câu sai?
Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của (C);
Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của (C);
Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}}\) đồng biến trong khoảng (−∞; −10) và (10; +∞);
Đường thẳng x = −2 là tiệm cận đứng của (C).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{2 + \frac{4}{x}}} = \frac{2}{2} = 1\).
y = 1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}} = + \infty \) nên x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Có \(y' = \frac{{10}}{{{{\left( {2x + 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 2\). Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2 ) và (−2 ; +∞). Do đó hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}}\) đồng biến trong khoảng (−∞; −10) và (10; +∞).
y =\[\frac{1}{3}\].
y = 3.
y = 0.
Không có tiệm cận ngang.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{3{x^2} - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{3 - \frac{5}{{{x^2}}}}} = \frac{1}{3}\].
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y =\[\frac{1}{3}\].
Hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang?
\[y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\].
\[y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\].
\[y = \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 1}}\].
\[y = \frac{5}{x}\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}} = \pm \infty \]. Suy ra hàm số \[y = \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 1}}\] không có tiệm cận ngang.
Cho hàm số f(x) có tập xác định là D = (−3; 3)\{−1; 1}, liên tục trên các khoảng của tập D và có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = + \infty \).
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận đứng là x = −3 và x = 3.
Đồ thị hàm số có 4 tiệm cận đứng là x = ±1 và x = ±3.
Đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận đứng là x = −1 và x = 1.
Đồ thị hàm số có 6 tiệm cận đứng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = + \infty \) nên x = −1 và x = 1 là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của hàm số nào sau đây?
\(y = \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\).
\(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 4x + 3}}\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có x2 + 1 > 0, ∀x. Vậy hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\) không có tiệm cận đứng.
\(y = \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\) không có tiệm cận đứng là x = −1.
\(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 4x + 3}} = \frac{1}{{x + 3}}\) không có tiệm cận đứng là x = −1.
\(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) có tiệm cận đứng là x = −1.
(−2; 3).
(2; 1).
(2; −1).
(3; 2).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}\).
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right) = 0\].
Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = −x + 1.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - \infty \).
Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = 2.
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là (2; −1).
Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
Hàm số \[y = \frac{1}{x}\] có tiệm cận ngang.
Hàm số \[y = \frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^2} - 3}}\] có tiệm cận ngang y = 2.
Hàm số \[y = \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 1}}\] có tiệm cận ngang.
Một hàm số có thể có hai tiệm cận ngang.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{x} = 0\] nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0.
b) Đúng. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^2} - 3}} = 2\] nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 2.
c) Sai. Hàm số có bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 1}} = \pm \infty \]. Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
d) Đúng. Một hàm số có thể có hai tiệm cận ngang. Ví dụ hàm số y = arctan x có hai tiệm cận ngang là y =\[ \pm \frac{\pi }{2}\].
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2.
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1.
Đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận.
Đồ thị hàm số có giao điểm I của hai đường tiệm cận nằm trên đường thẳng D: x + 2y – 3 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = 2\) nên y = 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b) Sai. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = - \infty \) nên x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
c) Đúng. Đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận.
d) Đúng. Giao điểm của hai đường tiệm cận là I(−1; 2) thỏa mãn đường thẳng D.
Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là x = 1 và x = 2.
Điểm x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Tại x = 2 hàm số không có giới hạn hữu hạn nên x = 2 là tiệm cận đứng.
Tổng các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng 3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
Tập xác định: D = ℝ\{1; 2}.
Có \(y = \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}\)\( = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)\( = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\).
a) Sai. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \).
Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
b) Đúng. Theo câu a, x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
c) Sai. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = 5\) nên x = 2 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
d) Sai. Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
Đường tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
Giao điểm của hai tiệm cận nằm trên trục hoành.
Đường tiệm cận xiên của đồ thị song song với đường thẳng x + y = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Có \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}} = x - 1 + \frac{2}{{x - 1}}\).
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{2}{{x - 1}} = 0\) nên y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}} = + \infty \]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}} = - \infty \] nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
b) Đúng. Giao điểm của tiệm cận xiên y = x – 1 với hai trục tọa độ lần lượt tại A(1; 0) và B(0; −1).
Vì OA = OB = 1 nên tam giác OAB vuông cân.
c) Đúng. Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = x - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\). Điểm này nằm trên trục hoành.
d) Sai. x + y = 0 Û y = −x có hệ số góc a = −1 và đường tiệm cận xiên y = x – 1 có hệ số góc a' = 1.
Vì a‧a' = −1 nên hai đường thẳng này vuông góc với nhau.
Giao điểm của D và trục Ox có hoành độ lớn hơn 2.
Giao điểm của D và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có tọa độ là (−3; −9).
Gọi A = DÇ Ox; B = DÇ Oy thì SOAB > 3.
Giá trị lớn nhất của hàm số y = ax + b trên [0; 3] là 4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai. Có \(y = f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 3}} = 2x - 3 + \frac{4}{{x + 3}}\).
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{4}{{x + 3}} = 0\).
Suy ra D: y = 2x – 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Tọa độ giao điểm của D và trục Ox là \(\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) có hoành độ nhỏ hơn 2.
b) Đúng. Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 3}} = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 3}} = + \infty \) nên x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Do đó giao điểm của hai đường tiệm cận là (−3; −9).
c) Sai.\(A\left( {\frac{3}{2};0} \right),B\left( {0; - 3} \right)\). Khi đó \({S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{4} < 3\).
d) Sai.D: y = 2x – 3 là hàm đồng biến nên giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0; 3] đạt được tại x = 3 và y(3) = 3.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + c}}{{x + d}}\) có tiệm cận đứng x = 2 và đi qua điểm A(0; −2). Tính giá trị của biểu thức M = c2 + d2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 20
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −d. Suy ra −d = 2 Þ d = −2.
Vì đồ thị hàm số đi qua A(0; −2) nên \(\frac{c}{d} = - 2 \Rightarrow c = - 2d = 4\).
Do đó M = c2 + d2 = 42 + (−2)2 = 20.
Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - \sqrt {5x - 4} }}{{{x^2} - 3x + 2}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Tập xác định: \(D = \left[ {\frac{4}{5}; + \infty } \right)\backslash \left\{ {1;2} \right\}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - \sqrt {5x - 4} }}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + \sqrt {5x - 4} } \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + \sqrt {5x - 4} } \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + \sqrt {5x - 4} } \right)}} = \frac{3}{2}\).
Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \frac{3}{2}\)nên x = 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - \sqrt {5x - 4} }}{{{x^2} - 3x + 2}} = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x - \sqrt {5x - 4} }}{{{x^2} - 3x + 2}} = + \infty \) nên x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.
Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 9}}{{x + 3}}\) cắt đường thẳng y = 3x – 1 tại điểm có tung độ bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Có \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 9}}{{x + 3}} = x + 1 + \frac{6}{{x + 3}}\).
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{6}{{x + 3}} = 0\).
Suy ra y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Tọa độ giao điểm của tiệm cận xiên và đường thẳng y = 3x – 1 là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}y = x + 1\\y = 3x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\).
Vậy tung độ giao điểm là 2.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 3}}\) có tâm đối xứng là I(a; b). Tính a + b.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −12
\(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 3}}\)\( = x - 6 + \frac{{20}}{{x + 3}}\).
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 6} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{20}}{{x + 3}} = 0\) nên y = x – 6 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 3}} = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 3}} = + \infty \) nên x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Suy ra tọa độ điểm I là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = x - 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 9\end{array} \right.\).
Do đó a = −3; b = −9. Vậy a + b = −12.
Đồ thị hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 2x + 2} \) có bao nhiêu đường tiệm cận xiên?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Ta có \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{1} = 1\);
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} - x} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} + x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{2}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1}} = 1\).
Suy ra y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ta có \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{1} = - 1\);
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} + x} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} - x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{2}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} - 1}} = - 1\).
Suy ra y = −x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận xiên.
Bạn có thích hoạt động này không?
