Bài tập Tích vô hướng và ứng dụng lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {2; - 4; - 2} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) bằng
8;
−8;
12;
−12.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right) + 1.\left( { - 2} \right) = 8\).
Trong không gian Oxyz, côsin của góc tạo bởi hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 1;2;0} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {0; - 2;1} \right)\) là
\(\frac{4}{5}\);
\( - \frac{4}{5}\);
\(\frac{4}{{25}}\);
\( - \frac{4}{{25}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\left( { - 1} \right).0 + 2.\left( { - 2} \right) + 0.1}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = - \frac{4}{5}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3; - 2;m} \right),\overrightarrow b = \left( {2;m; - 1} \right)\) với m là tham số nhận giá trị thực. Tìm giá trị của m để hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc với nhau.
m = 1;
m = 2;
m = −1;
m = −2.
Đáp án đúng là: B
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)
\( \Leftrightarrow 3.2 + \left( { - 2} \right).m + m.\left( { - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 6 - 3m = 0 \Leftrightarrow m = 2\).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {0; - 1;1} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( { - 1;0; - m} \right)\). Có bao nhiêu giá trị thực của m để góc giữa vectơ \(\overrightarrow a \) và vectơ \(\overrightarrow b \) bằng 60°?
1;
0;
2;
3.
Đáp án đúng là: A
Ta có:\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} \Leftrightarrow \cos 60^\circ = \frac{{ - m}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {m^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{ - m}}{{\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2}} }}\).
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{m^2} - 1 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow m = - 1\).
</>
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(−1; −2; 3), B(0; 3; 1), C(4; 2; 2). Cosin của góc \(\widehat {BAC}\) là
\(\frac{9}{{\sqrt {35} }}\);
\( - \frac{9}{{\sqrt {35} }}\);
\( - \frac{9}{{2\sqrt {35} }}\);
\(\frac{9}{{2\sqrt {35} }}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;5; - 2} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {5;4; - 1} \right)\).
Ta có \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{5 + 20 + 2}}{{\sqrt {30} .\sqrt {42} }} = \frac{9}{{2\sqrt {35} }}\).
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;2;3} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 2;1;0} \right)\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)\).
14;
16;
22;
10.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow a + 2\overrightarrow b = \left( { - 3;4;3} \right)\).
Do đó \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) = 1.\left( { - 3} \right) + 2.4 + 3.3 = 14\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; −1; 2), B(5; 2; 1) và C(2; 0; 3). M(x; 0; 0) trên trục Ox sao cho AM BC. Tìm x.
x = −5;
x = 1;
x = 2;
x = −1.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;1; - 2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 3; - 2;2} \right)\).
Ta có AM BC \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = 0\)
(x – 1).(−3) + 1.(−2) + (−2).2 = 0 x – 1 = −2 x = −1.
Trong không gian Oxyz, cho điểm I(2; 3; −4). Khoảng cách từ I đến trục Ox bằng
2;
5;
\(\sqrt {13} \);
\(2\sqrt 5 \).
Đáp án đúng là: B
Gọi H là hình chiếu của I trên trục Ox. Khi đó H(2; 0; 0).
Khi đó khoảng cách từ I đến trục Ox bằng IH \( = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} = 5\).
A. Bài 9. Cho tam giác ABC biết A(2; −1; 3) và trọng tâm của tam giác có tọa độ là G(2; 1; 0). Khi đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) có tọa độ là
A. (0; −9; 9);
B. (0; 6; 9);
C. (0; 9; −9);
D. (0; 6; −9).
Đáp án đúng là: D
B. Gọi I là trung điểm của BC.
C. Khi đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AI} = 2.\frac{3}{2}\overrightarrow {AG} = 3\overrightarrow {AG} = \left( {0;6; - 9} \right)\).
D. Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;m + 1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {1; - 3;2} \right)\). Với giá trị nào của m sau đây thì \(\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| = 3\)?
A. 4;
B. 0;
C. 2;
D. −3.
Đáp án đúng là: B
A. Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.1 + \left( {m + 1} \right).\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).2 = - 3\left( {m + 1} \right)\).
B. Để \(\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| = 3\)\( \Leftrightarrow 3\left| {m + 1} \right| = 3\)\( \Leftrightarrow \left| {m + 1} \right| = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 1\\m + 1 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 2\end{array} \right.\).
(0; −9; 9);
(0; 6; 9);
(0; 9; −9);
(0; 6; −9).
Đáp án đúng là: D
Gọi I là trung điểm của BC.
Khi đó .
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ và . Với giá trị nào của m sau đây thì ?
4;
0;
2;
−3.
Đáp án đúng là: B
Ta có .
Để .
8.
6.
0.
−6.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 6\).
5.
1.
2.
−2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow u = \overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 2\overrightarrow k \) ⇒ \(\overrightarrow u = \left( {1;3;2} \right)\).
Do đó:\(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 1 \cdot 2 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) + 2 \cdot 3 = 5\).
12.
2.
11.
10.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( { - 1; - 1;5} \right)\).
Nên \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow b = - 1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 11\).
4.
2.
3.
5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 1\) ⇔ 3 – m = 1 ⇔ m = 2.
\[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{ - 2}}{{25}}\].
\[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{ - 2}}{5}\].
\[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{2}{{25}}\].
\[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{2}{5}\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 2}}{5}\].
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;1; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 4; - 2;6} \right)\).
Khi đó:
\(\overrightarrow b = - 2\overrightarrow a \).
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\).
\(\overrightarrow a \)ngược hướng với \(\overrightarrow b \).
\(\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. \(\overrightarrow b = \left( { - 4; - 2;6} \right)\)
\( - 2\overrightarrow a = \left( { - 4; - 2;6} \right)\).
Nên \(\overrightarrow b = - 2\overrightarrow a \)
b) Sai. \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 2 \cdot \left( { - 4} \right) + 1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot 6 = - 28\) .
c) Đúng. Ta có: \(\overrightarrow b = - 2\overrightarrow a \)
⇒ \(\overrightarrow a \) ngược hướng với \(\overrightarrow b \).
d) Đúng. \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {6^2}} = 2\sqrt {14} \); \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {14} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Trong không gian với hệ toạ Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;3} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Khi đó:
\(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 2\).
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 4\).
\(\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 5\).
\(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 1 + 4} = 3\).
b) Đúng. \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 1 \cdot 1 + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) = 1 - 2 - 3 = - 4\).
c) Đúng. \(\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {0 + 9 + 16} = 5\).
d) Sai. \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 1 \cdot 1 + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) = - 4 \ne 0\)
Do đó \(\overrightarrow a \) không vuông góc với \(\overrightarrow b \).
Biết \(\overrightarrow c = \left( {x;y;z} \right)\) khác \(\overrightarrow 0 \) và vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;3;4} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 1;2;3} \right)\).
Khi đó:
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 15\).
\(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5\).
\(\overrightarrow {{b^2}} = 14\).
7x + y = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 1 \cdot \left( { - 1} \right) + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 17\).
b) Sai. \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {4^2}} = \sqrt {26} \).
c) Đúng. \(\overrightarrow {{b^2}} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {2^2} + {3^2} = 14\).
d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow c = \left( {x;y;z} \right)\) và vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;3;4} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 1;2;3} \right)\) nên:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow c \cdot \overrightarrow a = 0}\\{\overrightarrow c \cdot \overrightarrow b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1x + 3y + 4z = 0}\\{ - 1x + 2y + 3z = 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y + 4z = 0}\\{5y + 7z = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y + 4 \cdot \frac{{ - 5}}{7}y = 0}\\{z = \frac{{ - 5}}{7}y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x + y = 0}\\{5y + 7z = 0}\end{array}} \right.\).
Cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 1;1;0} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right)\).
Khi đó:
\(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\).
\(\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt 3 \).
\[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right) = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\].
\(\overrightarrow b \bot \overrightarrow c \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai. \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \).
b) Đúng. \(\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \).
c) Sai. \[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow c }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow c } \right|}} = 0\].
d) Sai. \(\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 2\) nên \(\overrightarrow b \) không vuông góc với \(\overrightarrow c \).
Cho hai vectơ \[\overrightarrow u = \left( {0;2;3} \right)\] và \(\overrightarrow v = \left( {m - 1;2m;3} \right)\).
Khi đó;
\(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {13} \).
Có một giá trị của m để \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right|\).
\(\overrightarrow u = \overrightarrow v \) ⇔ m = 1.
\(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \Leftrightarrow m = \frac{9}{4}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{0^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \).
b) Sai. \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right| \Leftrightarrow \sqrt {13} = \sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 4{m^2} + 9} \) ⇔ 5m2 – 2m – 3 = 0 ⇔ m = 1 hoặc \(m = \frac{{ - 3}}{5}\).
c) Đúng. Khi m = 1 thì \(\overrightarrow v = \left( {0;2;3} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \).
d) Sai. \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \) ⇔ 4m + 9 = 0 ⇔ m = \(\frac{{ - 9}}{4}\).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;\frac{1}{4}} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( { - 2;1;1} \right)\). Biết \[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{ - m\sqrt n }}{p}\] với \(\frac{m}{n}\) tối giản và p > 0. Tính giá trị của biểu thức m + n + p?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 29
Ta có: \[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + \frac{1}{4}}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{ - 5\sqrt 6 }}{{18}}\].
Vậy m + n + p = 5 + 6 + 18 = 29.
Trong hệ toạ độ Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;5;4} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {6;0; - 3} \right)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 90
Ta có: \[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{2 \cdot 6 + 5 \cdot 0 + 4 \cdot \left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2} + {4^2}} \cdot \sqrt {{6^2} + {0^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 0\].
Vậy \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ \).
Trong hệ toạ độ Oxyz cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;3; - 1} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1; - 2;3} \right)\), \(\overrightarrow c = \left( {2; - 1;1} \right)\), \(\overrightarrow u = \left( {x;y;z} \right)\). Biết rằng: \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow a \), \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow b \), \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow c = - 6\). Tính giá trị của biểu thức x + y + z.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Ta có: \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow b \), \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow a \), \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow c = - 6\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow a = 0}\\{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow b = 0}\\{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow c = - 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3y - z = 0}\\{x - 2y + 3z = 0}\\{2x - y + z = - 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 3}\\{y = 3}\\{z = 3}\end{array}} \right.\).
Vậy x + y + z = −3 + 3 + 3 =3.
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(−1; −2; 3), B(0; 3; 1) và C(4; 2; 2). Tính cosin của góc \(\widehat {BAC}\)(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,76
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;5; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {5;4; - 1} \right)\).
\[\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{5 + 20 + 2}}{{\sqrt {30} \cdot \sqrt {42} }} = \frac{9}{{2\sqrt {35} }} \approx 0,76\].
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm M(2; 3; −1), N(−1; 1; 1) và P(1; m – 1; 2). Tìm m để tam giác MNP vuông tại N.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 3; - 2;2} \right)\), \(\overrightarrow {NP} = \left( {2;m - 2;1} \right)\).
Tam giác MNP vuông tại N khi
\(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {NP} = 0\)⇔−6 −2(m – 2) + 2 = 0 ⇔ m – 2 = −2 ⇔ m = 0.
Vậy với m = 0 thì tam giác MNP vuông tại N.
Bạn có thích hoạt động này không?
