Bài tập Sử dụng dấu của đạo hàm để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
(1; +∞);
(−∞; 1);
(−1; +∞);
(−∞; −1).
Đáp án đúng là: D
Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−∞; −1) và (−1; 1).
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−∞; −1).
Cho hàm số y = f(x)có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
(−∞; 0);
(2; +∞);
(0; +∞);
(−1; 2).
Đáp án đúng là: B
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)?
\(y = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}\);
y = x3 + x;
y = −x3 – 3x;
\(y = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}\).
Đáp án đúng là: B
y = x3 + x y' = 3x2 + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ.
Cho hàm số \[y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞);
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; +∞);
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1);
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1).
Đáp án đúng là: D
Tập xác định: ℝ\{−1}.
Ta có \[y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\], ∀x ∈ ℝ\{−1}.
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (−∞; +∞)?
y = x4 + 3x2;
\(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\);
y = 3x3 + 3x – 2;
y = 2x3 – 5x + 1.
Đáp án đúng là: C
Hàm số y = 3x3 + 3x – 2 có tập xác định D = ℝ.
Có y' = 27x2 + 3 > 0, ∀x ∈ ℝ, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞).
Hàm số \(y = \frac{2}{{{x^2} + 1}}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
(−∞; +∞);
(0; +∞);
(−∞; 0);
(−1; 1).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(y' = \frac{{ - 4x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow x > 0\).</>
Cho hàm số \[y = \sqrt {2{x^2} + 1} \]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞);
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0);
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞);
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1).
Đáp án đúng là: A
Tập xác định : D = ℝ.
Có \(y' = \frac{{2x}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }}\); y' > 0 x > 0.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có đạo hàm f'(x) = (1 – x)2(x + 1)3(3 – x). Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
(−∞; 1);
(−∞; −1);
(1; 3);
(3; +∞).
Đáp án đúng là: C
Ta có: f'(x) = (1 – x)2(x + 1)3(3 – x) = 0 x = 1 hoặc x = −1 hoặc x = 3.
Bảng xét dấu:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 3).
Hàm số \(y = \sqrt {2018x - {x^2}} \) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
(1010; 2018);
(2018; +∞);
(0; 1009);
(1; 2018).
Đáp án đúng là: A
Tập xác định: [0; 2018].
\(y' = {\left( {\sqrt {2018x - {x^2}} } \right)^\prime } = \frac{{2018 - 2x}}{{2\sqrt {2018x - {x^2}} }} = \frac{{1009 - x}}{{\sqrt {2018x - {x^2}} }};\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 1009\)
Có y' < 0 x ∈ (1009; 2018), suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1009; 2018), suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1010; 2018).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \frac{{x + {m^2}}}{{x + 4}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
5;
3;
1;
2.
Đáp án đúng là: B
Tập xác định: D = ℝ\{−4}. Ta có \(y' = \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\).
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó thì 4 – m2 > 0 −2 < m < 2.
Do đó có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x ≠ 2 và có bảng xét dấu f'(x) như hình dưới đây. Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
(−1; +∞).
(−2; 5).
(−∞; −4).
(−∞; 2).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (4; +∞). Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −4).
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn f'(x) < 0, ∀x ∈ (0; 2) và f'(x) > 0, ∀x ∈ (4; 8). Tìm khẳng định đúng?
f(x) nghịch biến trên khoảng (0; 1).
f(x) nghịch biến trên khoảng (0; 9).
f(x) nghịch biến trên khoảng (4; 10).
f(x) đồng biến trên khoảng (0; 2).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Do f'(x) < 0, ∀x ∈ (0; 2) nên hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0; 2). Do đó hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0; 1).
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = 4, ∀x ∈ ℝ. Khẳng định nào đúng?
f(3) < f(−2).
f(−3) < f(−2).
f(2) < f(0).
f(2) > f(3).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vì f'(x) = 4 > 0, ∀x ∈ ℝ. Do đó hàm số y = f(x) đồng biến trên ℝ.
Do đó −3 < −2 thì f(−3) < f(−2).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1).
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Có \[y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1\].
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x2 + 1, ∀x ∈ ℝ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1).
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì f'(x) = x2 + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ nên hàm số đồng biến trên ℝ.
Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Khi đó:
Hàm số đồng biến trên khoảng (−3; 0).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 3).
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −3).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai. Dựa vào bảng xét dấu, ta có f'(x) < 0 với x (−3; 0) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; 0).
b) Đúng. Dựa vào bảng xét dấu, ta có f'(x) < 0 với x (0; 3) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 3).
c) Sai. Dựa vào bảng xét dấu, ta có f'(x) > 0 với x (−∞; −3) nên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −3).
d) Sai. Dựa vào bảng xét dấu, ta có f'(x) > 0 với x (−∞; −3) nên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −3).
Cho hàmsốf(x) = lnx – x. Khi đó:
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1).
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (1; +∞).
Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
Tập xác định: D = (0; +∞).
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{{1 - x}}{x}\); f'(x) = 0 x = 1.
Ta có bảng xét dấu f'(x) như sau:
a) Đúng. Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1).
b) Sai. Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1).
c) Sai. Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1).
d) Sai. Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞).
Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ và có bảng xét dấu của f'(x) như sau:
Phương trình f'(x) = 0 nhận x = 0 làm nghiệm.
Hàm số đồng biến trên khoảng (3; 4).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞).
f(5) < f(4).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Dựa vào bảng xét dấu của f'(x), ta có f'(x) = 0 x = 2 hoặc x = 3 hoặc x = 4.
b) Đúng. Có f'(x) > 0 với mọi x ∈ (3; 4). Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (3; 4).
c) Sai. Dựa vào bảng xét dấu của f'(x), ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng (2; 3) và (4; +∞).
d) Đúng. Vì hàm số nghịch biến trên khoảng (4; +∞) nên với 4 < 5 thì f(5) < f(4).
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x - 1\).
Hàm số trên có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Đạo hàm của hàm số đã cho là y' = x2 – 4x + 3.
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Hàm số trên có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
b) Đúng. y' = x2 – 4x + 3.
c) Đúng. Có y' > 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 3\end{array} \right.\).
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞).
d) Sai. Có y' < 0 1 < x < 3. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3).
Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = x2(x2 – 1)(x – 2), ∀x ∈ ℝ.
f'(x) = 0 khi x = 0; x = 1; x = 2.
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0).
f'(x) > 0 khi x ∈ (2; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Sai. f'(x) = 0 x2(x2 – 1)(x – 2) = 0 x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = −1 hoặc x = 2.
b) Sai. Bảng xét dấu của f'(x)
Dựa vào bảng xét dấu, hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 1) và (2; +∞).
c) Sai.f'(x) > 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\x > 2\end{array} \right.\).
d) Sai. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; 2).
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ và có bảng xét dấu của đạo hàm f'(x) như sau:
Biết hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a; b). Tính giá trị b – 2a.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 7
Dựa vào bảng xét dấu, ta có f'(x) > 0 với x (−2; 3) nên hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 3) .
Suy ra a = −2; b = 3. Suy ra b – 2a = 7.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x – 1)(x – 3), ∀x ∈ ℝ. Biết hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b). Tính ba.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Có f'(x) = 0 (x – 1)(x – 3) = 0 x = 1 hoặc x = 3.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3).
Suy ra a = 1; b = 3. Do đó ba = 3.
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên ℝ, có bảng đạo hàm f'(x) thỏa mãn:
Có mấy khoảng hàm số y = f(x) nghịch biến?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (0; 1).
Vậy có 2 khoảng hàm số y = f(x) nghịch biến.
Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + 1. Hàm số nghịch biến trên (a; b) với a, b là các nghiệm nguyên của phương trình y' = 0. Tính a + b.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Có y' = 3x2 – 6x – 9; y' = 0 x = −1 hoặc x = 3.
Có y' < 0 với mọi x ∈ (−1; 3) nên hàm số nghịch biến trên (−1; 3).
Do đó a = −1 và b = 3. Do đó a + b = 2.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = −x(2x – 5), ∀x ∈ ℝ. Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
1) f(−2) < f(−1).
2) f(0) > f(2).
3) f(3) > f(5).
4) f(3) > f(2).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Có f'(x) = 0 x = 0 hoặc \(x = \frac{5}{2}\).
Ta có bảng xét dấu của f'(x)
Dựa vào bảng xét dấu của f'(x), ta có hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và \(\left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\) nên với 3 < 5 thì f(3) > f(5).
