Bài tập Sử dụng dấu của đạo hàm để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số lớp 12 (có lời giải)
12 câu hỏi
Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
(1; +∞);
(−∞; 1);
(−1; +∞);
(−∞; −1).
Đáp án đúng là: D
Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−∞; −1) và (−1; 1).
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−∞; −1).
Cho hàm số y = f(x)có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
(−∞; 0);
(2; +∞);
(0; +∞);
(−1; 2).
Đáp án đúng là: B
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)?
\(y = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}\);
y = x3 + x;
y = −x3 – 3x;
\(y = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}\).
Đáp án đúng là: B
y = x3 + x y' = 3x2 + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ.
Cho hàm số \[y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞);
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; +∞);
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1);
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1).
Đáp án đúng là: D
Tập xác định: ℝ\{−1}.
Ta có \[y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\], ∀x ∈ ℝ\{−1}.
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (−∞; +∞)?
y = x4 + 3x2;
\(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\);
y = 3x3 + 3x – 2;
y = 2x3 – 5x + 1.
Đáp án đúng là: C
Hàm số y = 3x3 + 3x – 2 có tập xác định D = ℝ.
Có y' = 27x2 + 3 > 0, ∀x ∈ ℝ, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞).
Hàm số \(y = \frac{2}{{{x^2} + 1}}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
(−∞; +∞);
(0; +∞);
(−∞; 0);
(−1; 1).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(y' = \frac{{ - 4x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow x > 0\).</>
Cho hàm số \[y = \sqrt {2{x^2} + 1} \]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞);
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0);
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞);
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1).
Đáp án đúng là: A
Tập xác định : D = ℝ.
Có \(y' = \frac{{2x}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }}\); y' > 0 x > 0.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có đạo hàm f'(x) = (1 – x)2(x + 1)3(3 – x). Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
(−∞; 1);
(−∞; −1);
(1; 3);
(3; +∞).
Đáp án đúng là: C
Ta có: f'(x) = (1 – x)2(x + 1)3(3 – x) = 0 x = 1 hoặc x = −1 hoặc x = 3.
Bảng xét dấu:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 3).
Hàm số \(y = \sqrt {2018x - {x^2}} \) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
(1010; 2018);
(2018; +∞);
(0; 1009);
(1; 2018).
Đáp án đúng là: A
Tập xác định: [0; 2018].
\(y' = {\left( {\sqrt {2018x - {x^2}} } \right)^\prime } = \frac{{2018 - 2x}}{{2\sqrt {2018x - {x^2}} }} = \frac{{1009 - x}}{{\sqrt {2018x - {x^2}} }};\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 1009\)
Có y' < 0 x ∈ (1009; 2018), suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1009; 2018), suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1010; 2018).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \frac{{x + {m^2}}}{{x + 4}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
5;
3;
1;
2.
Đáp án đúng là: B
Tập xác định: D = ℝ\{−4}. Ta có \(y' = \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\).
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó thì 4 – m2 > 0 −2 < m < 2.
Do đó có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Xét dấu y' rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = −2x2 + 4x + 3.
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.
Ta có y' = −4x + 4; y' = 0 ⇔ x = 1.
Ta có bảng xét dấu của y' như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1); nghịch biến trên khoảng (1; +∞).
Chứng minh rằng hàm số \(g(x) = \frac{x}{{x - 1}}\) nghịch biến trên khoảng (1; +∞).
Hàm số xác định trên (1; +∞).
Ta có \(g'(x) = - \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0\) với mọi x ∈ (1; +∞).
Vậy g(x) nghịch biến trên khoảng (1; +∞).
