Bài tập Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Rút gọn biểu thức \(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).\frac{{x - 4}}{{\sqrt x }}\) (x > 0, x ≠ 4).
Hướng dẫn giải
Với x > 0, x ≠ 4, ta có:
\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).\frac{{x - 4}}{{\sqrt x }}\)
\(A = \left[ {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right].\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x }}\)
\(A = \frac{{\left( {\sqrt x + 2 + \sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x }}\)
\(A = \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x }} = 2\).
Vậy với x > 0, x ≠ 4 thì A = 2.
Rút gọn biểu thức \(A = \left( {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a + 1}} + \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 1}}} \right).\left( {1 - \frac{2}{{a + 1}}} \right)\) (a ≥ 0, a ≠ 1).
Hướng dẫn giải
Với a ≥ 0, a ≠ 1, ta có:
\(A = \left( {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a + 1}} + \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 1}}} \right).\left( {1 - \frac{2}{{a + 1}}} \right)\)
\(A = \left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right].\frac{{a - 1}}{{a + 1}}\)
\(A = \frac{{\left( {a - 2\sqrt a + 1 + a + 2\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}.\frac{{\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)}}\)
\(A = \frac{{2\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)}} = 2\).
Vậy với a ≥ 0, a ≠ 1 thì a = 2.
Rút gọn biểu thức \(A = \left( {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 2}} - \frac{{\sqrt a + 2}}{{\sqrt a - 2}}} \right).\left( {\sqrt a - \frac{2}{{\sqrt a }}} \right)\) (a > 0, a ≠ 4).
Với a > 0, a ≠ 4, ta có:
\(A = \left( {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 2}} - \frac{{\sqrt a + 2}}{{\sqrt a - 2}}} \right).\left( {\sqrt a - \frac{2}{{\sqrt a }}} \right)\)
\(A = \left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{{{\left( {\sqrt a + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right].\left( {\frac{{a - 2}}{{\sqrt a }}} \right)\)
\(A = \frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt a + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}.\left( {\frac{{a - 2}}{{\sqrt a }}} \right)\)
\(A = \frac{{\left( {\sqrt a - 2 - \sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a - 2 + \sqrt a + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}.\left( {\frac{{a - 2}}{{\sqrt a }}} \right)\)
\(A = \frac{{ - 4.2\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}.\left( {\frac{{a - 2}}{{\sqrt a }}} \right)\)
\(A = \frac{{ - 8\left( {a - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\).
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{5\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{x + 2\sqrt x - 8}}{{x - 4}}\) (x ≥ 0, x ≠ 4).
Hướng dẫn giải
Với x ≥ 0, x ≠ 4, ta có:
\(A = \frac{{5\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{x + 2\sqrt x - 8}}{{x - 4}}\)
\(A = \frac{{\left( {5\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {3\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{x + 2\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(A = \frac{{5x + 7\sqrt x - 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{3x - 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{x + 2\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(A = \frac{{5x + 7\sqrt x - 6 + 3x - 5\sqrt x - 2 - x - 2\sqrt x + 8}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(A = \frac{{7x}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\).
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{5 - 5\sqrt x }}{{x - 16}} - \frac{2}{{4 - \sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x + 4}}\) (x ≥ 0, x ≠ 16).
Hướng dẫn giải
Với x ≥ 0, x ≠ 16, ta có:
\(A = \frac{{5 - 5\sqrt x }}{{x - 16}} - \frac{2}{{4 - \sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x + 4}}\)
\(A = \frac{{5 - 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}}\)
\(A = \frac{{5 - 5\sqrt x + 2\sqrt x + 8 + 3\sqrt x - 12}}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}}\)
\(A = \frac{1}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}} = \frac{1}{{x - 16}}\).
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{2\sqrt x + 3}} + \frac{{15 - 4\sqrt x }}{{9 - 4x}}\) (x ≥ 0, x ≠ \(\frac{9}{4}\)).
Hướng dẫn giải
Với x ≥ 0, x ≠ \(\frac{9}{4}\), ta có:
\(A = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{2\sqrt x + 3}} + \frac{{15 - 4\sqrt x }}{{9 - 4x}}\)
\(A = \frac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {2\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}} - \frac{{15 - 4\sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}}\)
\(A = \frac{{2x + 3\sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{2x - 7\sqrt x + 6}}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}} - \frac{{15 - 4\sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}}\)
\(A = \frac{{2x + 3\sqrt x + 2x - 7\sqrt x + 6 - 15 + 4\sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}}\)
\(A = \frac{{4x - 9}}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}}\)
\(A = \frac{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}} = 1\).
Vậy với x ≥ 0, x ≠ \(\frac{9}{4}\), thì A = 1.
Cho biểu thức \(A = \frac{{x - 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{2x + \sqrt x - 4}}{{x + 2\sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}\) với x > 0. Rút gọn biểu thức \(P = \frac{A}{B}\).
Hướng dẫn giải
Với x > 0, ta có:
\(B = \frac{{2x + \sqrt x - 4}}{{x + 2\sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}\)
\(B = \frac{{2x + \sqrt x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(B = \frac{{2x + \sqrt x - 4 - x - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(B = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(B = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}\).
Ta có: \(P = \frac{A}{B}\)
Suy ra P = \(\frac{{x - 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\): \(\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}\) = \(\frac{{x - 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\).\(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\) = \(\frac{{x - 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\).
Vậy với x > 0 thì P = \(\frac{{x - 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\).
Rút gọn biểu thức \(B = \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{4 - \sqrt x }} - \frac{{x - 6\sqrt x }}{{x - 7\sqrt x + 12}}\) với x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 16.
Hướng dẫn giải
Với x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 16, ta có:
\(B = \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{4 - \sqrt x }} - \frac{{x - 6\sqrt x }}{{x - 7\sqrt x + 12}}\)
\(B = \frac{{\left( {2\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} - \frac{{x - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}\)
\(B = \frac{{2x - 5\sqrt x - 12}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} - \frac{{x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} - \frac{{x - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}\)
\(B = \frac{{2x - 5\sqrt x - 12 - x + 9 - x + 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}\)
\(B = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x - 4}}\).
Vậy với x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 16 thì B = \(\frac{1}{{\sqrt x - 4}}\).
Rút gọn biểu thức \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{7\sqrt x + 3}}{{9 - x}}\) (x > 0, x ≠ 9).
Hướng dẫn giải
Với x > 0, x ≠ 9, ta có:
\(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{7\sqrt x + 3}}{{9 - x}}\)
\(B = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\(B = \frac{{2x - 6\sqrt x - x - 4\sqrt x - 3 + 7\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\(B = \frac{{x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\).
Rút gọn biểu thức \(A = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{3x + 3}}{{9 - x}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)\)
(x > 0, x ≠ 9).
Hướng dẫn giải
Với x > 0, x ≠ 9, ta có:
\(A = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{3x + 3}}{{9 - x}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)\)
\(A = \left[ {\frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{3x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right]:\left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}} \right)\)
\(A = \left[ {\frac{{2x - 6\sqrt x + x + 3\sqrt x - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right].\left( {\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}} \right)\)
\(A = \left[ {\frac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right].\left( {\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}} \right)\)
\(A = \left[ {\frac{{ - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right].\left( {\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}} \right)\)
\(A = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\).
Vậy với x > 0, x ≠ 9 thì \(A = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\).
Điều kiện xác định của C là a > 0, a ≠ 16.
Rút gọn biểu thức được \(C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}\).
Biểu thức C luôn nhận giá trị nhỏ hơn 1 với mọi x thuộc tập xác định.
Giá trị của \(C = 9 - 4\sqrt 5 \) tại \(a = 9 - 4\sqrt 5 .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai.
Với mọi a ≥ 0, ta có:
• a – 16 ≠ 0 nên a ≠ 16.
• \(\sqrt a + 4 \ne 0\) (luôn đúng)
• \(\sqrt a - 4 \ne 0\) nên \(\sqrt a \ne 4\) suy ra a ≠ 16.
Vậy điều kiện xác định của C là \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16\).
b) Đúng.
Với \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16\), ta có:
\(C = \frac{a}{{a - 16}} - \frac{2}{{\sqrt a - 4}} - \frac{2}{{\sqrt a + 4}}\)
\[ = \frac{a}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt a + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 4} \right)\left( {\sqrt a - 4} \right)}}\]
\[ = \frac{{a - 2\sqrt a - 8 - 2\sqrt a + 8}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}\]
\[ = \frac{{a - 4\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}\]
\[ = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}\]
\[ = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}.\]
Vậy với \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16\) có \[C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}.\]
c) Đúng.
Ta có \[C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}} < \frac{{\sqrt a + 4}}{{\sqrt a + 4}}\] với mọi \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16\).
Do đó, C < 1 với mọi x thuộc tập xác định.
b) Đúng.
Ta có: \(a = 9 - 4\sqrt 5 = 5 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt 5 + 4 = {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^2}\).
Thay vào \[C,\] ta được:
\[C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} + 4}} = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 2}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} = \frac{{9 - 4\sqrt 5 }}{{5 - 4}} = 9 - 4\sqrt 5 \].
Vậy giá trị của \(C = 9 - 4\sqrt 5 \) tại \(a = 9 - 4\sqrt 5 .\)
Điều kiện xác định của T là \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\].
Thu gọn biểu thức T được \[T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}\].
Giá trị của biểu thức T tại a = 1 bằng 0.
Với a = 3 thì giá trị của T là một số nguyên.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Với mọi a ≥ 0, ta có:
• \[a - \sqrt a \ne 0\] suy ra \[\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right) \ne 0\], do đó a ≠ 0 và a ≠ 1.
• \[a + \sqrt a \ne 0\] suy ra \[\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right) \ne 0\], do đó \[a \ne 0\].
• \[a - 1 \ne 0\] suy ra a ≠ 1.
Do đó, điều kiện xác định của T là \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\].
b) Đúng.
Với \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\], ta có:
\[T = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 1}}{{a - 1}}\]
\[ = \left[ {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]
\[ = \left[ {\frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{\left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]
\[ = \frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right) - \left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]
\[ = \frac{{{a^2} + a\sqrt a - \sqrt a - 1 - {a^2} + a\sqrt a - \sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]
\[ = \frac{{2a\sqrt a - 2\sqrt a }}{{\left( {a + 1} \right)\sqrt a }}\]
\[ = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}\].
Vậy với \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\] ta được \[T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}\].
c) Sai.
Vì biểu thức T có điều kiện xác định là \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\], tức là tại a = 1 thì biểu thức T không có giá trị.
d) Đúng.
Thay a = 3 (thỏa mãn điều kiện) vào T, ta được: \[T = \frac{{2\left( {3 - 1} \right)}}{{3 + 1}} = \frac{{2.2}}{4} = 1.\]
Điều kiện xác định của biểu thức P là a > 0, a ≠ 9.
Rút gọn biểu thức được \(P = 2\sqrt a + 6\).
Với \(a = 19 - 6\sqrt {10} \) khi đó \(P = 2\sqrt {10} \).
Với P = 20 khi đó a = 49.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai.
Điều kiện xác định của P là a ≥ 0 và \(\sqrt a - 3 \ne 0\).
Do đó, điều kiện xác định của P là a ≥ 0, a ≠ 9.
b) Đúng.
Với a ≥ 0, a ≠ 9, ta có:
\(P = \frac{{a + 6\sqrt a + 9}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{a - 9}}{{\sqrt a - 3}}\)
\( = \frac{{{{\left( {\sqrt a + 3} \right)}^2}}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}}{{\sqrt a - 3}}\)
\( = \left( {\sqrt a + 3} \right) + \sqrt a + 3\)
\( = 2\left( {\sqrt a + 3} \right) = 2\sqrt a + 6\).
c) Đúng.
Ta có: \(a = 19 - 6\sqrt {10} = 10 - 2.3\sqrt {10} + 9 = {\left( {\sqrt {10} - 3} \right)^2}\).
Do đó, \(P = 2\sqrt {{{\left( {\sqrt {10} - 3} \right)}^2}} + 6 = 2\left( {\sqrt {10} - 3} \right) + 6 = 2\sqrt {10} - 6 + 6 = 2\sqrt {10} \).
d) Đúng.
Để P = 20 thì \(2\sqrt a + 6 = 20\) hay \(2\sqrt a = 14\) do đó \(\sqrt a = 7\) suy ra a = 49 (thỏa mãn).
Điều kiện xác định của biểu thức P là a > 1.
Rút gọn biểu thức được P = \(\sqrt a \).
Với \(a = 4 - \sqrt {12} \), khi đó \(P = 1 - \sqrt 3 \).
Cho \(P \ge - 3\), khi đó 1 < a ≤ 9.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Điều kiện xác định của P là a ≥ 0 và \(a - 2\sqrt a + 1 \ne 0\).
Với \(a - 2\sqrt a + 1 \ne 0\) thì \({\left( {\sqrt a - 1} \right)^2} \ne 0\), do đó \(a \ne 1\).
Vậy điều kiện xác định của P là a ≥ 0 và \(a \ne 1\).
b) Sai.
Với a ≥ 0 và \(a \ne 1\), ta có: \(P = \frac{{a - \sqrt a }}{{a - 2\sqrt a + 1}} \cdot \left( {1 - \sqrt a } \right)\)
\( = \frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}{{{{\left( {1 - \sqrt a } \right)}^2}}} \cdot \left( {1 - \sqrt a } \right)\)
\( = \frac{{ - {{\left( {1 - \sqrt a } \right)}^2}\sqrt a }}{{{{\left( {1 - \sqrt a } \right)}^2}}} = - \sqrt a \).
c) Đúng.
Ta có: \(a = 4 - \sqrt {12} = 4 - 2\sqrt 3 = 3 - 2\sqrt 3 + 1 = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2}\).
Thay vào P, được \(P = - \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = - \left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 1 - \sqrt 3 \).
d) Sai.
Với \(P \ge - 3\) thì \( - \sqrt a \ge - 3\) suy ra \(\sqrt a \le 3\).
Do đó, \(0 \le a \le 9\).
Kết hợp điều kiện xác định của P là a ≥ 0 và \(a \ne 1\) được \(0 \le a \le 9\), a ≠ 1.
Điều kiện xác định của biểu thức P là x > 0 và x ≠ 4.
Rút gọn biểu thức được \(P = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\).
Với \(x = 6 - 2\sqrt 5 \) khi đó \(P = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\).
Với P = −1 thì khi đó x = 2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Với mọi x ≥ 0, điều kiện xác định của P là:
• \(x - 2\sqrt x \ne 0\), do đó x ≠ 0 và x ≠ 4.
• \(\sqrt x - 2 \ne 0\), do đó x ≠ 4.
• \(x - 4\sqrt x + 4 \ne 0\) hay \({\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} \ne 0\), do đó x ≠ 4.
Do đó, điều kiện xác định của P là x > 0, x ≠ 4.
b) Sai.
Với x > 0, x ≠ 4, ta có:
\(P = \left( {\frac{1}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{x - 4\sqrt x + 4}}\)
\( = \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}}\)
\( = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}\)
c) Đúng.
Với \(x = 6 - 2\sqrt 5 = 5 - 2\sqrt 5 + 1 = {\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^2}\), thay vào P được:
\(P = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} - 2}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 - 1 - 2}}{{\sqrt 5 - 1}} = \frac{{\sqrt 5 - 3}}{{\sqrt 5 - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt 5 - 3} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{4} = \frac{{2 - 2\sqrt 5 }}{4} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\).
d) Sai.
Với P = −1 thì \(\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = - 1\) hay \(\sqrt x - 2 = - \sqrt x \), do đó \(2\sqrt x = 2\) suy ra \(x = 1\) (thỏa mãn).
Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x > 0\) và \(x \ne 1.\) Biết rằng khi rút gọn P được biểu thức \(P = \frac{{\sqrt x + a}}{{\sqrt x }}\) (với a ∈ ℤ). Hỏi giá trị của a bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 1.
a) Với \(x > 0,{\rm{ }}x \ne 1\) ta có:
\(P = \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\)
\( = \left[ {\frac{{x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right] \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\)
\[ = \frac{{x - 2 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\]
\[ = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\].
Vậy với \(x > 0,{\rm{ }}x \ne 1\) ta có \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.\)
Vậy a = 1.
Hướng dẫn giải
Đáp án: −2
a) Với \(a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\), ta có:
\[A = \left( {\frac{{\sqrt a }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\left( {\frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right)\]
\[ = \left( {\frac{a}{{2\sqrt a }} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\left[ {\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right]\]
\[ = \frac{{a - 1}}{{2\sqrt a }}\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]\]
\[ = \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{2\sqrt a }} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a - {{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}\]
\[ = \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a - {{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{2\sqrt a }}\]
\[ = \frac{{\left( {a - 2\sqrt a + 1} \right)\sqrt a - \left( {a + 2\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}{{2\sqrt a }}\]
\[ = \frac{{a\sqrt a - 2a + \sqrt a - a\sqrt a - 2a - \sqrt a }}{{2\sqrt a }}\]
\[ = \frac{{ - 4a}}{{2\sqrt a }}\]
\[ = - 2\sqrt a \].
Cho biểu thức \(A = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left( {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a - 3}}{{2 - \sqrt a }} - \frac{{9 - a}}{{a + \sqrt a - 6}}} \right)\) với \(a \ge 0,\) a ≠ 4 và \(a \ne 9.\) Biết rằng sau khi thu gọn biểu thức A có dạng \[A = \frac{m}{{\sqrt a + n}}\] với m, n ∈ ℤ. Tính giá trị của biểu thức T = m.n.
Hướng dẫn giải
Đáp án: −6
Với \(a \ge 0,\,\,a \ne 4,\,\,a \ne 9\), ta có:
\(A = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left( {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a - 3}}{{2 - \sqrt a }} - \frac{{9 - a}}{{a + \sqrt a - 6}}} \right)\)
\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt a - 3} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{9 - a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)
\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{a - 9}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{9 - a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)
\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4 - a + 9 - 9 + a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)
\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)
\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\)
\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}} \cdot \frac{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{3}{{\sqrt a - 2}}\).
Vậy với \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 4,{\rm{ }}a \ne 9\) ta được \(P = \frac{3}{{\sqrt a - 2}}\).
Do đó, m = 3 và n = −2.
Vậy P = 3.(−2) = −6.
Cho biểu thức \(A = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\) với x ≥ 0, x ≠ 1. Biết rằng thu gọn biểu thức A có dạng \(A = \frac{{a\sqrt x + b}}{{\sqrt x - 1}}\) (a, b ∈ ℤ). Tính giá trị của a.b.
Hướng dẫn giải
Đáp án: −2
Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có:
\(A = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\)
\( = \frac{{x + 2\sqrt x + 1 + x - 2\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\)
\( = \frac{{x + 2\sqrt x + 1 + x - 2\sqrt x + 1 - 3\sqrt x - 1}}{{x - 1}}\)
\( = \frac{{2x - 3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\)
\( = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\).
Do đó, a = 2 và b = −1.
Vậy a.b = −2.
Cho các biểu thức \(M = \frac{{x\sqrt x - 8}}{{3 + {{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}};\,\,N = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^3} - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^3}}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {3x + 1} \right)}};\,\,P = \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}\). Biết rằng trong trường hợp các biểu thức M, N và P xác định thì biểu thức Q = MN + P, khi thu gọn Q được Q = a (a ∈ ℤ). Hỏi giá trị của a bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 1
Ta có \(M = \frac{{x\sqrt x - 8}}{{3 + {{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}{{x + 2\sqrt x + 4}} = \sqrt x - 2\).
\(\,N = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^3} - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^3}}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {3x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 1 - \sqrt x + 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) + {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} \right]}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {3x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{2\left[ {x + 2\sqrt x + 1 + x - 1 + x - 2\sqrt x + 1} \right]}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {3x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{2\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {3x + 1} \right)}} = \frac{2}{{x - 4}}\).
Do đó, Q = M.N + P = \(\frac{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{x - 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} = \frac{2}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}} = 1\).
Vậy Q = 1.
Do đó, a = 1.
