Bài tập ôn tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 1 có đáp án
55 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình dưới?
![Chọn D Đồ thị hàm số trên là đồ thị hàm bậc ba với \(a < 0\) nên \[y = - {x^3} + 3x - 1\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/1-1759413109.png)
\[y = {x^3} - 3x - 1\].
\[y = - {x^4} + 2{x^2} - 1\].
\[{x^4} - 2{x^2} - 1\].
\[y = - {x^3} + 3x - 1\].
Chọn D
Đồ thị hàm số trên là đồ thị hàm bậc ba với \(a < 0\) nên \[y = - {x^3} + 3x - 1\].
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( {3; + \infty } \right)\).
\(\left( {1;3} \right)\).
\(\left( { - \infty ;4} \right)\). \(\)
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
Chọn A
Căn cứ vào BBT ta thấy: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Khẳng định nào sau đây đúng về tính đơn điệu của hàm số \[y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\]?
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\]và \[\left( {1; + \infty } \right)\].
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\]\[ \cup \]\[\left( {1; + \infty } \right)\].
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\]và \[\left( {1; + \infty } \right)\].
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ; - 1} \right)\] và \[\left( { - 1; + \infty } \right)\].
Chọn A
Ta có \[y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\].
Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right)\].
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên đoạn \[\left[ { - 1;3} \right]\] và đồng biến trên khoảng \[\left( {1;3} \right)\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\[f\left( 0 \right) > f\left( 1 \right)\].
\[f\left( 2 \right) < f\left( 3 \right)\].
\[f\left( { - 1} \right) = f\left( 1 \right)\].
\[f\left( { - 1} \right) > f\left( 3 \right)\].
Chọn B
Hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( {1;3} \right)\] cho nên \[f\left( 2 \right) < f\left( 3 \right)\].
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau: ![Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/screenshot-3651-1759413328.png)
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
\[ - 8\].
\[5\].
\[3\].
\[1\].
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \[f\left( x \right)\].
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 3 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 5\].
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình dưới.![Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình dưới. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 3\,;3} \right]\) bằng A. \(0\). B. \(3\). C. \(1\). D. \(8\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/3-1759413380.png)
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 3\,;3} \right]\) bằng
\(0\).
\(3\).
\(1\).
\(8\).
Chọn D
Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 3\,;3} \right]\) bằng \(8\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Xác định số điểm cực trị của đồ thị \(y = f\left( x \right)\).
\(6\).
\(3\).
\(1\).
\(2\).
Chọn B
Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 4;2} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ.![Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 4;2} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ. Khi đó \(\mathop {\max }\lim (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/5-1759413461.png)
Khi đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4; - 1} \right]} f\left( x \right) + \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4;2} \right]} f\left( x \right)\) bằng
\(1\).
\(0\).
\(2\).
\(5\).
Chọn B
Dựa vào đồ thị ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4; - 1} \right]} f\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4;2} \right]} f\left( x \right) = - 2\) \( \Rightarrow \) \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4; - 1} \right]} f\left( x \right) + \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4;2} \right]} f\left( x \right) = 0\).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên tập \[\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\], liên tục trên các khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Đường thẳng \[x = 0\] và \[x = - 1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số có duy nhất đường tiệm cận đứng là \[x = 0\].
Đồ thị hàm số có duy nhất đường tiệm cận đứng là \[x = - 1\].
Chọn D
Dựa vào BBT ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = - \infty \) và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = + \infty \] nên \[x = - 1\] là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 2}}{{4 - x}}\) là:
\(y = 2\).
\(y = \frac{3}{4}\).
\(y = - 3\).
\(x = - 3\).
Chọn C
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{3x - 2}}{{4 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x\left( {3 - \frac{2}{x}} \right)}}{{x\left( {\frac{4}{x} - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\left( {3 - \frac{2}{x}} \right)}}{{\left( {\frac{4}{x} - 1} \right)}} = - 3 \Rightarrow \)Tiệm cận ngang: \(y = - 3\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình vẽ dưới?
\(y = \frac{{x + 2}}{{x - 2}}\).
\(y = - {x^3} + 3{x^2} - 1\).
\(y = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}\).
\(y = {x^4} - 3{x^2} + 2\).
Chọn A
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 1\), đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( { - 2\,;\,0} \right)\) và \(\left( {0\,;\, - 1} \right)\).
Vậy hàm số cần xác định là \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 2}}\).
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình dưới.
Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) = 2\) là
\(1\).
\(0\).
\(2\).
\(3\).
Chọn C
Ta có \(f\left( x \right) = 2\,\,\,\left( * \right)\).
Số nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 2\).
Dựa vào hình vẽ, hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm.
Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 2\) có hai nghiệm.
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y = \frac{{2x + 1}}{{2x - 1}}\] là:
\[y = 1\].
\[x = 1\].
\[x = \frac{1}{2}\].
\[y = \frac{1}{2}\].
Chọn C
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y = \frac{{2x + 1}}{{2x - 1}}\] là: \[2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\].
Cho hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\left( C \right)\) không có tiệm cận ngang.
\(\left( C \right)\) có hai tiệm cận đứng.
\(\left( C \right)\) không có tiệm cận đứng.
\(\left( C \right)\)có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.
Chọn D
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{1 + \frac{1}{x}}} = 2 \Rightarrow y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{2x}}{{x + 1}} = + \infty \Rightarrow x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(y' = {\left( {x - 1} \right)^2}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Chọn D
\(y' = {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đạt cực đại tại điểm nào trong các điểm sau đây?
\(x = 3\).
\[x = - 2\].
\(x = 4\).
\(x = - 1\).
Chọn D
Theo bảng biến thiên, dấu của đạo hàm đổi từ dương (+) sang âm (−) khi \(x\) đi qua \({x_0} = - 1\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:![Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau: Giá trị cực đại của hàm số đã cho là A. \[ - 1\]. B. \[4\]. C. \[ - 2\]. D. \[3\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/10-1759413867.png)
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
\[ - 1\].
\[4\].
\[ - 2\].
\[3\].
Chọn B
Nhìn vào bảng biến thiên
![Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau: Giá trị cực đại của hàm số đã cho là A. \[ - 1\]. B. \[4\]. C. \[ - 2\]. D. \[3\]. (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/screenshot-3653-1759413926.png)
Giá trị cực đại là: \[4\].
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau.
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
\(1\).
\( - 2\).
\(0\).
\( - 1\).
Chọn D
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng \( - 1\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ. Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\). Giá trị \(M - m\) bằng
\[2\].
\[1\].
\(4\).
\(\,5\).
Chọn C
Từ đồ thị suy ra \(M\, = \,4;\,m\, = \,0\) do đó \(\,M\, - \,m\, = \,4\).
Cho hàm số \(y = {x^3} + 1\). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Chọn A
Hàm số xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Đạo hàm \(y' = 3{x^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\), suy ra hàm số luôn đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:![Chọn A Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \[\left( {0\,;1} \right)\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/13-1759414103.png)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\[\left( {0\,;1} \right)\].
\[\left( { - 1;0} \right)\].
\[\left( {1; + \infty } \right)\].
\[\left( {0; + \infty } \right)\].
Chọn A
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \[\left( {0\,;1} \right)\].
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\] và có đồ thị như hình vẽ.![Chọn B Dựa vào hình vẽ ta thấy: Trên \[\left[ { - 1;3} \right]\] hàm số \[y = f\left( x \right)\] đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\), tại \(x = - 1\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/14-1759414182.png)
Giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên \[\left[ { - 1;3} \right]\] bằng
\( - 1\).
\(1\).
\( - 3\).
\(3\).
Chọn B
Dựa vào hình vẽ ta thấy: Trên \[\left[ { - 1;3} \right]\] hàm số \[y = f\left( x \right)\] đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\), tại \(x = - 1\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng nào dưới đây?
\(x = 2\).
\(x = 0\).
\(y = 1\).
\(x = 1\).
Chọn D
Dựa vào đồ thị ta có đường tiệm cận đứng là \(x = 1\).
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{1 - x}}{{x + 1}}\) cắt trục \[Oy\] tại điểm có tọa độ là:
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( {1;0} \right)\).
\(\left( {0; - 1} \right)\).
\(\left( {1;1} \right)\).
Chọn A
Cho \[x = 0 \Rightarrow y = 1\] suy ra đồ thị hàm số \(y = \frac{{1 - x}}{{x + 1}}\) cắt trục \[Oy\] tại điểm có tọa độ \(\left( {0;1} \right)\).
Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào?
\(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{3x - 1}}{{x + 1}}\).
Chọn A
Đồ thị có đường tiệm cận đứng \(x = - 1\) \( \Rightarrow \) Loại B, C.
Đồ thị có đường tiệm cận ngang \(y = 1\) \( \Rightarrow \) Loại D.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\) với mọi số thực \(x\). Số điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là
\(2.\)
\(3.\)
\[1.\]
\[4.\]
Chọn C
Ta có \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\).
Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0{\rm{ (b\^o i 2)}}\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\).
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho có 1 cực đại.
Hình dưới là đồ thị của một hàm số được liệt kê ở bốn phương án\({\bf{A}},{\bf{B}},{\bf{C}},{\bf{D}}\)dưới đây.
Hàm đó là
\(y = - {x^3} + 3x - 1\).
\(y = {x^3} + 3x + 1\).
\(y = {x^3} - 3x + 1\).
\(y = - {x^3} - 3x + 1\).
Chọn C
Nhận thấy: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên \(a > 0\). Do đó, ta loại phương án A, D.
Và đồ thị có hai cực trị nên phương trình \(y' = 0\) phải có hai nghiệm phân biệt.
Kiểm tra \(y'\) ở hai phương án còn lại ta chọn đáp án là C.
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{x - 3}}\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) là
\(5\).
\(\frac{1}{3}\).
\( - \frac{1}{3}\).
\( - 5\).
Chọn B
Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
\(y = \frac{{3{\rm{x}} - 1}}{{x - 3}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 8}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\), hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định.
Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 0 \right) = \frac{1}{3}\).
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) có tiệm cận xiên là đường thẳng:
\(y = x\).
\(y = x - 1\).
\(y = 2x - 1\).
\(y = x + 1\).
Chọn D
Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0\).
Vậy tiệm cận xiên là: \(y = x + 1\).
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) là
\(1\).
\(0\).
\( - \frac{4}{3}\).
\(\frac{4}{3}\).
Chọn D
Ta có \(y' = \frac{{2x\left( {x + 1} \right) - {x^2}.1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\,\,\end{array} \right.\). Loại \(x = - 2\) vì không thuộc đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).
\(y\left( 0 \right) = 0;\,\,y\left( 2 \right) = \frac{4}{3}\). Do đó GTLN của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) là \(\frac{4}{3}\) đạt được tại \(x = 2\).
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị.
b) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
c) \(f\left( 1 \right) > f\left( 2 \right) > f\left( 4 \right)\).
d) Trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\), giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(f\left( 1 \right)\).
Từ đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) như sau:
Khi đó dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
a) Sai. Hàm số có ba điểm cực trị.
b) Sai. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\).
c) Đúng. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;4} \right)\)nên \(f\left( 1 \right) > f\left( 2 \right) > f\left( 4 \right)\).
d) Đúng. Trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\), giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(f\left( 1 \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:
a) Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = - 3\) và đạt cực tiểu tại \(x = - 1\).
b) Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = - 2\) làm tiệm cận đứng.
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\).
d) Đồ thị hàm số không có điểm chung với trục hoành.
a) Đúng. Từ bảng biến thiên có: Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = - 3\) và đạt cực tiểu tại \(x = - 1\).
b) Đúng. Từ bảng biến thiên ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} f\left( x \right) = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ - }} f\left( x \right) = - \infty \) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = - 2\) làm tiệm cận đứng.
c) Sai. Từ bảng biến thiên ta có: Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; - 1} \right)\). Hàm số không xác định tại \(x = - 2\).
d) Đúng. Từ bảng biến thiên ta có: \(f\left( x \right) = 0\) vô nghiệm nên đồ thị hàm số không có điểm chung với trục hoành.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3x\).
a) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
b) \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 3\).
c) \(f'\left( x \right) < 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\), \(f'\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( { - 1;1} \right)\).
d) Hàm số đã cho có đồ thị như hình dưới đây.
a) Đúng. Tập xác định: \(\mathbb{R}\).
b) Sai. \(y' = 3{x^2} - 3\) và \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\).
c) Sai. Bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1,{y_{{\rm{CD}}}} = 2\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1,{y_{{\rm{CT}}}} = - 2\).
d) Đúng.
- Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( {0;0} \right)\).
- Giao điểm của đồ thị với trục hoành tại \(x = 0\) hoặc \(x = \pm \sqrt 3 \). Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại ba điểm \(\left( {0;0} \right),\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) và \(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\).
Vậy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3x\) được cho ở hình vẽ trên.
Bác Lâm muốn gò một cái thùng bằng tôn dạng hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông và đựng đầy được 32 lít nước. Gọi độ dài cạnh đáy của thùng là \(x\left( {{\rm{dm}}} \right)\), chiều cao của thùng là \(h\left( {{\rm{dm}}} \right)\).
a) Thể tích của thùng là \(V = {x^2} \cdot h\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
b) Tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của thùng là: \(S = 4xh + {x^2}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
c) Đạo hàm của hàm số \(S\left( x \right) = \frac{{128}}{x} + {x^2}\) là \(S'\left( x \right) = \frac{{128}}{{{x^2}}} + 2x\).
d) Để làm được cái thùng mà tốn ít nguyên liệu nhất thì độ dài cạnh đáy của thùng là 4 dm.
a) Đúng. Thể tích của thùng: \(V = x.x.h = {x^2}h\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
b) Đúng. Tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy là:
S = 4 ∙ Diện tích một mặt bên + Diện tích đáy
\( = 4.h.x + x.x = 4hx + {x^2}{\rm{\;}}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
c) Sai. Ta có: \(V = 32 = {x^2}h \Leftrightarrow h = \frac{{32}}{{{x^2}}}\).
Do đó \(S\left( x \right) = 4hx + {x^2} = 4.\frac{{32}}{{{x^2}}}.x + {x^2} = \frac{{128}}{x} + {x^2}\).
Suy ra \(S'\left( x \right) = - \frac{{128}}{{{x^2}}} + 2x\).
d) Đúng. Để làm được cái thùng ít tốn nguyên liệu nhất thì \(S\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có \(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - \frac{{128}}{{{x^2}}} + 2x = 0 \Leftrightarrow - 128 + 2{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 4\).
Bảng biến thiên:
\(S\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = 4\).
Nhân ngày quốc tế Phụ nữ 20 – 10 năm 2024. Ông M đã mua tặng vợ một món quà và đặt nó trong một chiếc hộp chữ nhật có thể tích là 32 (đvtt) có đáy là hình vuông và không nắp. Để món quà trở nên đặc biệt và xứng tầm với giá trị của nó, ông quyết định mạ vàng chiếc hộp, biết rằng độ dày của lớp mạ trên mọi điểm của chiếc hộp là không đổi và như nhau. Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là \[h\] và \[x\].
a) Công thức tính thể tích chiếc hộp là \[V = {x^2}h\].
b) Diện tích các mặt ngoài của chiếc hộp là \[S = 2{x^2} + 4xh\].
c) Diện tích tất cả các mặt được mạ vàng là \[{S_{MV}} = 2{x^2} + 4xh\].
d) Khi cạnh đáy của chiếc hộp \(x\) lớn hơn \(4\) thì \[x\] càng lớn, lượng vàng được mạ càng tăng.
a) Đúng. Thể tích khối hộp chữ nhật \[V = x.x.h = {x^2}h\].
b) Sai. Chiếc hộp có \(1\) mặt đáy là hình vuông cạnh \(x\) và có \(4\) mặt bên là hình chữ nhật kích thước \(x\) và \(h\). Vậy diện tích các mặt ngoài của chiếc hộp là: \[{S_{xq}} = {x^2} + 4xh\].
c) Sai. Vì mạ vàng trên mọi điểm của chiếc hộp nên mạ cả mặt trong và mặt ngoài.
Vậy \[{S_{MV}} = 2S = 2\left( {{x^2} + 4xh} \right) = 2{x^2} + 8xh\].
d) Đúng. Ta có thể tích chiếc hộp: \[V = {x^2}h = 32\] (đvtt), với \[x,h > 0\]. Suy ra \[h = \frac{{32}}{{{x^2}}}\].
Phần mạ vàng của chiếc hộp: \[S = 2{x^2} + 8xh\] \[ = 2{x^2} + 8x.\frac{{32}}{{{x^2}}}\]\[ = 2{x^2} + \frac{{256}}{x}\].
Xét hàm số \[f\left( x \right) = 2{x^2} + \frac{{256}}{x}\] với \[x > 0\].
Ta có \[f'\left( x \right) = 4x - \frac{{256}}{{{x^2}}} = \frac{{4{x^3} - 256}}{{{x^2}}}\], \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 256 \Leftrightarrow x = 4\];\[f\left( 4 \right) = 96\].
BBT
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy khi \(x > 4\) hàm số \(f\left( x \right)\) tăng. Vậy lượng vàng được mạ tăng.
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + 8t + 1\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(s\left( t \right)\) tính bằng mét.
a) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = 3\left( {\rm{s}} \right)\) bằng \(8{\rm{\;m}}/{\rm{s}}\).
b) Tại thời điểm mà chất điểm di chuyển được 13 m, vận tốc khi đó bằng \(8{\rm{\;m}}/{\rm{s}}\).
c) Vận tốc nhỏ nhất của chất điểm là \(5{\rm{\;m}}/{\rm{s}}\).
d) Gia tốc tại thời điểm chất điểm đạt vận tốc nhỏ nhất bằng \(2{\rm{\;m}}/{{\rm{s}}^2}\).
a) Sai. Ta có: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 8\).
\(v\left( 3 \right) = {3.3^2} - 6.3 + 8 = 17\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
b) Đúng. Ta có: \(s\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + 8t + 1 = 13\)\( \Leftrightarrow {t^3} - 3{t^2} + 8t - 12 = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
Khi \(t = 2\), vận tốc của chất điểm là \(v\left( 2 \right) = {3.2^2} - 6.2 + 8 = 8\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
c) Đúng. Xét \(v\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 8,t \ge 0\)
\( \Rightarrow v'\left( t \right) = 6t - 6 \Rightarrow v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1\).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của \(v\left( t \right)\) là \(5\left( {{\rm{m}}/{\rm{s}}} \right)\) đạt tại \(t = 1\).
d) Sai. Ta có: \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 6t - 6\).
Vận tốc nhỏ nhất của chất điểm đạt tại \(t = 1\).
Khi đó gia tốc là \(a\left( 1 \right) = 0\left( {{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}} \right)\).
Nhà máy\(A\) chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy \(B\). Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng \(A\) cung cấp cho \(B\) số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của \(B\) (tối đa \(100\) tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm được biểu diễn bởi công thức: \(P\left( x \right) = 45 - 0,001{x^2}\) (triệu đồng). Chi phí để \(A\) sản xuất \(x\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( x \right) = 100 + 30x\) triệu đồng (gồm \(100\)triệu đồng chi phí cố định và \(30\) triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm).
a) Chi phí để \(A\) sản xuất \(10\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(400\)triệu đồng.
b) Số tiền \(A\) thu được khi bán \(10\) tấn sản phẩm cho \(B\) là \(600\)triệu đồng.
c) Lợi nhuận mà \(A\) thu được khi bán \(x\) tấn sản phẩm \(\left( {0 \le x \le 100} \right)\) cho \(B\) được biểu diễn bởi công thức \(H\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\).
d) Bên \(A\) bán cho \(B\) khoảng \(70,7\) tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất.
a) Đúng. Chi phí để \(A\) sản xuất \(10\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( {10} \right) = 100 + 30.10 = 400\)triệu đồng.
b) Sai. Số tiền \(A\) thu được khi bán \(10\) tấn sản phẩm cho \(B\) là
\(R\left( {10} \right) = 10.P\left( {10} \right) = 10.\left( {45 - 0,{{001.10}^2}} \right) = 449\) triệu đồng.
c) Đúng. Lợi nhuận mà \(A\) thu được là: \(H\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = xP\left( x \right) - C\left( x \right)\)
\(P\left( x \right) = 45x - 0,001{x^3} - \left( {100 + 30x} \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\).
d) Đúng. Xét hàm số \(H\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\), \(\left( {0 \le x \le 100} \right)\).
Ta có: \(H'\left( x \right) = - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow x = 50\sqrt 2 \) (chọn).
Khi đó: \(H\left( 0 \right) = - 100\); \[H\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2 - 100\]; \(H\left( {100} \right) = 400\).
Vậy \(A\) bán cho \(B\) khoảng \(50\sqrt 2 \approx 70,7\) tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất bằng \[H\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2 - 100\].
Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng \(30\;{\rm{cm}}\). Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh \[EF\] và \(GH\) cho đến khi \(AD\) và \(BC\) trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy.
![Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng \(30\;{\rm{cm}}\). Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh \[EF\] và \(GH\) cho đến khi \(AD\) và \(BC\) trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/28-1759414889.png)
a) Thể tích khối trụ được tính bằng công thức \(V = 30S\) trong đó \(S\) là diện tích của tam giác \(AEG\).
b) Diện tích của tam giác \(AEG\) bằng: \(\sqrt {30} .\sqrt {{{\left( {15 - x} \right)}^2}\left( {2x - 15} \right)} \).
c) Giá trị của \(x\) để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là \(x = 10\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
d) Thể tích khối lăng trụ lớn nhất bằng \(1250\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
![Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng \(30\;{\rm{cm}}\). Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh \[EF\] và \(GH\) cho đến khi \(AD\) và \(BC\) trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/29-1759414935.png)
a) Đúng. Đường cao lăng trụ là \(AD = AB = 30{\rm{cm}}\) không đổi. Để thể tích lăng trụ lớn nhất chỉ cần diện tích đáy lớn nhất.
Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(EG\) \( \Rightarrow AI \bot EG\) trong tam giác \[AEG\]\( \Rightarrow IG = 15 - x,\) \(\left( {0 < x < 15} \right)\).
Ta có:\[AI = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{{30 - 2x}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} - {{\left( {15 - x} \right)}^2}} \] \[ = \sqrt {30x - 225} ,\,x \in \left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\].
b) Sai. \[{S_{\Delta AEG}} = \frac{1}{2}AI.EG = \frac{1}{2}\left( {30 - 2x} \right)\sqrt {30x - 225} \] \( = \sqrt {15} .\sqrt {{{\left( {15 - x} \right)}^2}\left( {2x - 15} \right)} \).
Vậy ta cần tìm \(x \in \left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\) để \(f\left( x \right) = {\left( {15 - x} \right)^2}\left( {2x - 15} \right)\) lớn nhất.
\(f'\left( x \right) = - 2\left( {15 - x} \right)\left( {2x - 15} \right) + 2{\left( {15 - x} \right)^2} = 2\left( {15 - x} \right)\left( {30 - 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15\\x = 10\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
![Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng \(30\;{\rm{cm}}\). Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh \[EF\] và \(GH\) cho đến khi \(AD\) và \(BC\) trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. (ảnh 3)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/30-1759414924.png)
c) Đúng. Vậy thể tích lăng trụ lớn nhất khi \(x = 10\).
d) Sai. Thể tích lớn nhất của lăng trụ bằng \[125.30 = 3750\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\].
Để làm một cửa sổ có dạng một hình bán nguyệt và một hình chữ nhật ghép lại như hình vẽ bên dưới, người ta dùng \(8 {\rm{m}}\) dây thép để làm các đường viền. Gọi \(x, y\) là độ dài cạnh của khung hình chữ nhật.
a) Chiều dài dây để uốn ra bán nguyệt là \(\frac{{\pi x}}{2}\).
b) Giá trị của \(y\) tính theo \(x\) là \(4 - \frac{{x\left( {4 + \pi } \right)}}{4}\).
c) Diện tích của cửa sổ là \(S = 4x - {x^2}\).
d) Khi diện tích của cửa sổ lớn nhất thì \(y = \frac{{16}}{{8 + \pi }}\).
a) Đúng. Bán kính của hình bán nguyệt là \(\frac{x}{2}\) nên nửa chu vi bán nguyệt là \(\frac{{\pi x}}{2}\).
b) Đúng. Ta có \(2\left( {x + y} \right) + \frac{{\pi x}}{2} = 8 \Leftrightarrow y = 4 - \frac{{x\left( {4 + \pi } \right)}}{4}\).
c) Sai. Diện tích của cửa sổ:\(S = xy + \frac{1}{2}\pi {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = x\left( {4 - x - \frac{{\pi x}}{4}} \right) + \frac{{\pi {x^2}}}{8} = 4x - {x^2} - \frac{{\pi {x^2}}}{8}\).
d) Đúng. \(S\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \frac{4}{{2 + \frac{\pi }{4}}} = \frac{{16}}{{8 + \pi }}\) nên \(y = 4 - x - \frac{{\pi x}}{4} = \frac{{16}}{{8 + \pi }}\).
Tại một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nhân viên phụ trách sản xuất cho biết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất \(x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\) nước tinh khiết thì phải chi phí các khoản sau: 5 triệu đồng chi phí cố định; \(0,15\) triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; \(0,0005{x^2}\)chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là \(200\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\). Gọi \(C\left( x \right)\) là chi phí sản xuất \(x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\) sản phẩm mỗi ngày và \(\overline c \left( x \right)\) là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm.
a) \(C\left( x \right) = 0,0005{x^2} + 0,15x + 5\).
b) Chi phí sản xuất \(100\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nước tinh khiết là 20 triệu đồng.
c) \(\overline c \left( x \right) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}\).
d) Chi phí trung bình giảm xuống khi sản lượng nước tính khiết trong ngày không vượt quá 100 \({{\rm{m}}^3}\).
a) Đúng. Chi phí mỗi ngày là tổng các chi phí nên \(C\left( x \right) = 0,0005{x^2} + 0,15x + 5\) (triệu đồng).
b) Sai. Khi \(x = 100\), ta có \(C\left( {100} \right) = 0,0005 \times {100^2} + 0,15 \times 100 + 5 = 25\).
c) Sai. Chi phí trung bình trên mỗi khối sản phẩm là:
\(\overline c \left( x \right) = \frac{{0,0005{x^2} + 0,15x + 5}}{x} = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}\).
d) Đúng. Xét hàm số \(\overline c \left( x \right) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}\), \(0 < x \le 200\).
Ta có \({\overline c ^{\,\prime }}\left( x \right) = \frac{5}{{{{10}^4}}} - \frac{5}{{{x^2}}}\), \({\overline c ^\prime }\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {10^4} \Rightarrow x = 100\) (do \(x \in \left( {0;200} \right]\).
Bảng biến thiên:
Vậy chi phí trung bình giảm khi hàm số \(\overline c \left( x \right)\)nghịch biến, tức là \(x \in \left( {0;100} \right)\).
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho \[a \ne 0\], \[{b^2} - 3ac > 0\]. Hàm số \[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\] có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có \[y' = 3a{x^2} + 2bx + c\], vì \[a \ne 0\], \[{b^2} - 3ac > 0\] nên \[y' = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},\,\,{x_2}\] (giả sử \[{x_1} < \,{x_2}\]). Khi đó, với cả hai trường hợp \[a > 0\] và \[a < 0\] hàm số đã cho đều có hai điểm cực trị.
Đáp án: 2.
Số dân của một thị trấn sau \[t\] năm kể từ năm \[1970\] được ước tính bởi công thức \[f\left( t \right) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}\] (\[f\left( t \right)\] được tính bằng nghìn người) (Nguồn: Giải tích 12 nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Xem \[y = f\left( t \right)\] là một hàm số xác định trên nửa khoảng \[\left[ {0;\, + \infty } \right)\]. Đồ thị hàm số \[y = f\left( t \right)\] có đường tiệm cận ngang là \[y = a\]. Giá trị của \[a\] là bao nhiêu?
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{26t + 10}}{{t + 5}} = 26\]. Nên đồ thị hàm số \[f\left( t \right)\] có đường tiệm cận ngang là \[y = 26\]. Vậy \[a = 26\].
Đáp án: 26.
Cho đồ thị hàm số \[f\left( x \right) = 5x - 1 + \frac{8}{{x - 1}}\] có tâm đối xứng là \[I\left( {a;\,b} \right)\]. Giá trị của biểu thức \[C = a + 3b\] là bao nhiêu?
Đồ thị hàm số \[f\left( x \right) = 5x - 1 + \frac{8}{{x - 1}}\] có tiệm cận đứng là \(x = 1\) và tiệm cận xiên \(y = 5x - 1\).
Do đó, tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \(I\left( {1;4} \right)\).
Ta có \[a = 1\], \[b = 4\]. Vậy \[C = a + 3b = 13\].
Đáp án: 13.
Trong khoảng thời gian từ ngày 01/01/2024 đến hết ngày 30/09/2024, nhóm nghiên cứu đã quan sát sự phát triển của một quần thể sinh vật X. Kết quả nghiên cứu chỉ ra rằng, tại ngày thứ t của năm 2024 (tính từ ngày 01/01/2024) số cá thể sinh vật X trong quần thể được ước lượng bởi hàm số \(f\left( t \right) = - \frac{1}{{300}}{t^3} + b{t^2} + ct + 12000\)(con), \(0 \le t \le 365\) và ngày 26/09/2024 là ngày có số lượng cá thể sinh vật X nhiều nhất với 55740 con. Ngày 26/10/2024 số lượng cá thể sinh vật X được ước lượng khoảng bao nhiêu nghìn con? (kết quả làm tròn tới hàng phần chục)
Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{ - 1}}{{100}}{t^2} + 2bt + c\).
Ngày 26/09/2024 là ngày thứ 270 trong năm nên \(t = 270\).
Từ giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {270} \right) = 55740\\f'\left( {270} \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1,2\\c = 81\end{array} \right. \Rightarrow f\left( t \right) = - \frac{1}{{300}}{t^3} + 1,2{t^2} + 81t + 12000\).
Ngày 26/10/2024 là ngày thứ 300 trong năm nên \(t = 300\)\( \Rightarrow f\left( {300} \right) = 54300\) con \( = 54,3\) nghìn con.
Đáp án: 54,3.
Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh \(x\left( {{\rm{cm}}} \right)\), chiều cao là \(h\left( {{\rm{cm}}} \right)\) và thể tích là \(4000{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.\) Tìm độ dài cạnh hình vuông \(x\) sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.
Thể tích khối hộp \(V = x.x.h = {x^2}h = 4000 \Rightarrow h = \frac{{4000}}{{{x^2}}}.\)
Để chiếc hộp làm ra ít tốn bìa các tông nhất khi và chỉ khi diện tích toàn phần của hộp là nhỏ nhất. Diện tích toàn phần của hộp (không nắp) \({S_{{\rm{tp}}}} = {S_{{\rm{day}}}} + {S_{{\rm{xung quanh}}}} = x.x + 4.hx = {x^2} + 4hx\)
\( = {x^2} + 4x.\frac{{4000}}{{{x^2}}} = {x^2} + \frac{{16000}}{x}\)
Xét hàm \(f\left( x \right) = {x^2} + \frac{{16000}}{x}\) với \(x > 0\) có \(f'\left( x \right) = 2x - \frac{{16000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow 2x - \frac{{16000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 20\).
Bảng biến thiên:
Vậy độ dài cạnh hình vuông \(x = 20\)cm thì chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.
Đáp án: 20.
Hai thành phố \(A\) và \(B\) cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu \(EF\) bắc qua sông biết rằng thành phố \(A\) cách con sông một khoảng là \(4\)km và thành phố \(B\) cách con sông một khoảng là \(6\)km (hình vẽ), biết \(HE + KF = 20\)km và độ dài \(EF\) không đổi. Hỏi xây cây cầu cách thành phố \(A\) là bao nhiêu kilomet để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường \(AEFB\))? (kết quả làm tròn đến phần chục)
Đặt \[HE = {x_{}}{,_{}}FK = y\], với \[x,\,y > 0\].
Ta có: \[HE + KF = 20 \Rightarrow x + y = 20\], \[\left\{ \begin{array}{l}AE = \sqrt {16 + {x^2}} \\BF = \sqrt {36 + {y^2}} = \sqrt {36 + {{\left( {20 - x} \right)}^2}} \end{array} \right.\].
Nhận xét: Vì \[EF\] không đổi nên \[AB\] ngắn nhất khi \[AE + BF\] nhỏ nhất.
Ta có \[AE + BF\]\[ = \sqrt {{x^2} + 16} + \sqrt {{{\left( {20 - x} \right)}^2} + 36} = \sqrt {{x^2} + 16} + \sqrt {{x^2} - 40x + 436} = f\left( x \right)\].
Đạo hàm \[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} + \frac{{x - 20}}{{\sqrt {{x^2} - 40x + 436} }} = 0 \Rightarrow x = 8,\,\forall x \in \left( {0;20} \right)\].
Bảng biến thiên
Vậy \(AE = \sqrt {{8^2} + 16} \approx 8,94\)km.
Đáp án: 8,94.
Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được \(x\) mét vải lụa \(\left( {1 \le x \le 18} \right)\). Tổng chi phí sản xuất \(x\) mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí:
\(C\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 20x + 500\).
Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá \(220\) nghìn đồng/mét. Gọi \(L\left( x \right)\) là lợi nhuận thu được khi bán \(x\) mét vải lụa. Hỏi lợi nhuận tối đa của hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm trong một ngày?
Số tiền thu về khi bán \(x\) mét vải lụa là: \(220x\). Lợi nhuận thu được khi bán \(x\) mét vải lụa là:
\(L\left( x \right) = 220x - \left( {{x^3} - 3{x^2} - 20x + 500} \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\).
Xét hàm số \(L\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\) với \(x \in \left[ {1;18} \right]\).
\(L'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 240 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10 \in [1;18]\\x = - 8 \notin [1;18]\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Vậy hộ làm nghề dệt này thu được lợi nhuận tối đa trong một ngày là \(1200\) nghìn đồng khi sản xuất \(10\) mét vải lụa trong một ngày.
Đáp án: 1200.
Giả sử doanh số bán hàng (đơn vị triệu đồng) của một sản phẩm mới trong vòng một số năm nhất định tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số \(f\left( t \right) = 500\left( {{t^2} + m{e^{ - t}}} \right)\), với \(t \ge 0\) là thời gian tính bằng năm kể từ khi phát hành sản phẩm mới, \(m \le 0\) là tham số. Khi đó đạo hàm \(f'\left( t \right)\) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Biết rằng tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm, khi đó giá trị nhỏ nhất của \(m\) bằng bao nhiêu?
Ta có \(f'\left( t \right) = 500\left( {2t - m{e^{ - t}}} \right)\) và \[f''\left( t \right) = 500\left( {2 + m{e^{ - t}}} \right)\].
Tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm \( \Leftrightarrow f'\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ {0\,;\,10} \right]\) \( \Leftrightarrow f''\left( t \right) \ge 0\), \(\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]\)\( \Leftrightarrow \)\[500\left( {2 + m{e^{ - t}}} \right) \ge 0\,,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]\]
\( \Leftrightarrow \)\[2 + m{e^{ - t}} \ge 0\,,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]\]\( \Leftrightarrow \)\[m{e^{ - t}} \ge - 2\,,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]\]\( \Leftrightarrow m \ge - 2{e^t}\,,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]\)
\( \Leftrightarrow m \ge - 2{e^0} = - 2\) (do hàm số \(y = - 2{e^t}\) nghịch biến trên \(\left[ {0\,;\,10} \right]\)).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(m\) là \( - 2\).
Đáp án: −2.
Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là \(100\)km. Vận tốc dòng nước là \(5\)(km/h). Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là \(v\) (km/h), \(\left( {v > 5} \right)\) thì năng lượng tiêu hao của cá trong \(t\) giờ được cho bởi công thức \(E\left( v \right) = c.{v^3}.t\), trong đó \(c\) là hằng số dương, \(E\) được tính bằng Jun. Biết rằng vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng \(\left( {a\,;\,b} \right)\) thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Hãy tính giá trị lớn nhất của \(b - a\) (kết quả làm tròn tới hàng phần mười).
Khi bơi ngược dòng vận tốc của cá là \(v - 5\)(km/h).
Thời gian để cá vượt khoảng cách \(100\)km là \(t = \frac{{100}}{{v - 5}}\,\left( {v > 5} \right)\).
Năng lượng tiêu hao của cá khi vượt khoảng cách \(100\)km là \(E\left( v \right) = c.{v^3}.\frac{{100}}{{v - 5}} = 100c.\frac{{{v^3}}}{{v - 5}}\).
Xét hàm số \(y = E\left( v \right)\) ta có \(E'\left( v \right) = 100c.\frac{{3{v^2}\left( {v - 5} \right) - {v^3}}}{{{{\left( {v - 5} \right)}^2}}} = 100c.\frac{{{v^2}\left( {2v - 15} \right)}}{{{{\left( {v - 5} \right)}^2}}}\).
Giải phương trình \(E'\left( v \right) = 0 \Leftrightarrow v = 7,5\)(do \(v > 5\)). Ta có bảng biến thiên
Vậy vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng \(\left( {5\,;\,7,5} \right)\) thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Khi đó giá trị lớn nhất của \(b - a\) là 2,5.
Đáp án: 2,5.
Cho hai vị trí \(A,B\) cách nhau \(615{\rm{\;m}}\), cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ.
Khoảng cách từ \(A\) và từ \(B\) đến bờ sông lần lượt là \(118{\rm{\;m}}\) và \(487{\rm{\;m}}\). Một người đi từ \(A\) đến bờ sông để lấy nước mang về \(B\). Đoạn đường ngắn nhất là số nguyên dương mà người đó có thể đi là bao nhiêu?
Giả sử người đó đi từ \(A\) đến \(M\) để lấy nước và đi từ \(M\) về \(B\).
Dễ dàng tính được \(BD = 369,EF = 492\).
Ta đặt \(EM = x\), khi đó ta được: \(MF = 492 - x;\,AM = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} \,;\,BM = \sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} {\rm{.}}\)
Như vậy ta có hàm số \(f\left( x \right)\) được xác định bằng tổng quãng đường \(AM\) và \(MB\):
Xét hàm \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} + \sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} {\rm{\;}}\) với\(x \in \left[ {0;492} \right]\).
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm \(M\).
Đạo hàm: \[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} - \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} }}{\rm{ = 0}}\]
\( \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} = \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} }} \Leftrightarrow x\sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} = \left( {492 - x} \right)\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}\left[ {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} \right] = {{\left( {492 - x} \right)}^2}\left( {{x^2} + {{118}^2}} \right)}\\{0 \le x \le 492}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {487x} \right)}^2} = {{\left( {58056 - 118x} \right)}^2}}\\{0 \le x \le 492}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{58056}}{{605}}{\rm{\;hay\;}}x = - \frac{{58056}}{{369}} \Leftrightarrow x = \frac{{58056}}{{605}}}\\{0 \le x \le 492}\end{array}} \right.\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;492} \right]\).
So sánh các giá trị của \(f\left( 0 \right)\,;\,f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right)\,;\,f\left( {492} \right)\) ta có giá trị nhỏ nhất \(f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right) \approx 779,8{\rm{\;m}}\).
Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ \(779,8{\rm{\;}} \approx {\rm{780m}}\).
Đáp án: 780.
B. Tự luận
Độ bền \(S\) của dầm gỗ hình chữ nhật tỉ lệ với tích của chiều rộng \(w\) và bình phương chiều sâu \(d\) của nó (xem hinh vẽ). Tìm kích thước của dầm gỗ bền nhất có thể được cắt từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính bằng 12 inch.
Từ đề bài suy ra công thức tính độ bền của dầm gỗ có dạng \(S = kw{d^2}\) với hằng số \(k > 0\) cố định nào đó (là hệ số tỉ lệ). Mặt khác, do \({d^2} + {w^2} = 144\) nên ta có \(S = kw\left( {144 - {w^2}} \right) = k\left( {144w - {w^3}} \right)\), \(0 < w < 12\).
Ta có: \(S' = k\left( {144 - 3{w^2}} \right);S' = 0 \Leftrightarrow w = 4\sqrt 3 \) (do \(w > 0\)).
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Vậy dầm gỗ có độ bền lớn nhất khi có chiều rộng \(w = 4\sqrt 3 \) inch và chiều sâu \(d = 4\sqrt 6 \) inch.
Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích \(300\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\), lề trái và lề phải là 2 cm, lề trên và lề dưới là 3 cm. Gọi \(x\left( {{\rm{cm}}} \right)\) là chiều rộng của tờ giấy.
a) Tính diện tích của tờ giấy theo \(x\).
b) Kí hiệu diện tích tờ giấy là \(S\left( x \right)\). Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(y = S\left( x \right)\).
c) Tìm kích thước của tờ giấy sao cho nguyên liệu giấy được sử dụng là ít nhất.
Gọi \(y\,(\;{\rm{cm}})\) là chiều dài của tờ giấy. Theo giả thiết, ta có \(\left( {x - 4} \right)\left( {y - 6} \right) = 300\).
Suy ra \(y = 6 + \frac{{300}}{{x - 4}}\).
a) Diện tích của tờ giấy được thiết kế là: \(S\left( x \right) = xy = \frac{{x\left( {6x + 276} \right)}}{{x - 4}}.\)
b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(S\left( x \right)\):
Tập xác định: \(\left( {4; + \infty } \right)\).
Sự biến thiên: Ta có \(S\left( x \right) = 6x + 300 + \frac{{1200}}{{x - 4}}\).
\(S'\left( x \right) = \frac{{6{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 1200}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}},S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} = 4 + 10\sqrt 2 \).
- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {4 + 10\sqrt 2 ; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {4;4 + 10\sqrt 2 } \right)\).
- Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 4 + 10\sqrt 2 \).
- Giới hạn vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} S\left( x \right) = + \infty \), giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( x \right) = + \infty \).
- Bảng biến thiên:
c) Kích thước của tờ giấy để nguyên liệu sử dụng ít nhất là:
Chiều rộng \(x = 4 + 10\sqrt 2 \approx 18,14(\;{\rm{cm}})\), Chiều dài \(y = 6 + \frac{{300}}{{x - 4}} = 6 + \frac{{30}}{{\sqrt 2 }} \approx 27,21(\;{\rm{cm}})\).
Doanh thu \(R\) (USD) từ việc cho thuê \(x\) căn hộ có thể được mô hình hoá bằng hàm số:
\(R = 2x\left( {900 + 32x - {x^2}} \right).\)
a) Tìm hàm doanh thu biên.
b) Tìm doanh thu biên khi \(x = 14\) và giải thích ý nghĩa thực tiễn của nó.
c) Tìm lượng doanh thu tăng thêm khi số căn hộ cho thuê tăng từ 14 lên 15.
a) Hàm doanh thu biên là \(R' = 1800 + 128x - 6{x^2}\).
b) Ta có doanh thu biên khi \(x = 14\) là \(R'\left( {14} \right) = 2416\). Điều này nghĩa là, doanh thu tăng lên khi cho thuê thêm một căn hộ nữa (tức là cho thuê căn hộ thứ 15) là khoảng 2416 USD.
c) Ta có: \(R\left( {14} \right) = 32256;R\left( {15} \right) = 34650\) suy ra \(R\left( {15} \right) - R\left( {14} \right) = 2394\).
Vậy khi số căn hộ cho thuê tăng từ 14 lên 15 thì doanh thu tăng thêm 2394 USD, giá trị này xấp xỉ với mức đã ước tính ở câu b.
Một xưởng mộc dùng gỗ gụ để sản xuất 5 chiếc bàn mỗi ngày. Chi phí cho mỗi lần vận chuyển nguyên liệu là 5000 USD, chi phí để lưu trữ một đơn vị nguyên liệu là 10 USD mỗi ngày, trong đó một đơn vị là lượng nguyên liệu cần thiết để sản xuất 1 chiếc bàn. Hỏi mỗi lần xưởng mộc nên đặt mua bao nhiêu đơn vị nguyên liệu và bao lâu đặt giao nguyên liệu một lần để chi phí trung bình hằng ngày (bao gồm chi phí vận chuyển và chi phí lưu trữ) trong chu kì sản xuất giữa các lần giao hàng là ít nhất?
Giả sử nguyên liệu được giao sau mỗi \(x\) ngày \((x > 0)\). Để đảm bảo đủ nguyên liệu cho mỗi chu kì sản xuất, xưởng mộc phải đặt \(5x\) đơn vị nguyên liệu cho mỗi lần giao hàng.
Trong mỗi ngày của chu kì sản xuất, lượng nguyên liệu cần được lưu trữ trung bình là \(\frac{{5x}}{2}\) đơn vị nguyên liệu.
Do đó, chi phí để lưu trữ nguyên liệu trong \(x\) ngày của chu kì sản xuất là \(10 \cdot \frac{{5x}}{2} \cdot x = 25{x^2}\) (USD).
Từ đây, chi phí cần bỏ ra cho mỗi chu kì sản xuất là \(C\left( x \right) = 5000 + 25{x^2}\). Do đó, ta có hàm chi phí trung bình hằng ngày trong một chu kì sản xuất là \(c\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{5000}}{x} + 25x.\)
Ta có: \(c'\left( x \right) = - \frac{{5000}}{{{x^2}}} + 25;\) \(c'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 10\sqrt 2 \approx 14,14\).
Lập bảng biến thiên:
Vậy để chi phí trung bình hằng ngày trong một chu kì sản xuất là ít nhất thì xưởng mộc nên đặt giao nguyện liệu sau mỗi 14 ngày và mỗi lần giao \(5 \cdot 14 = 70\) đơn vị nguyên liệu.
Một bác nông dân có ba tấm lưới B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc theo bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như hình vẽ dưới đây biết rằng bờ sông là đường thẳng CD không phải rào lưới. Hỏi bác nông dân đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?
Gọi \(M,\,N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\,B\) lên \(CD\).
Đặt \(x = MD\), \(\left( {0 < x < a} \right)\) suy ra \(AM = \sqrt {A{D^2} - M{D^2}} = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \).
Diện tích của mảnh vườn hình thang cân là \(S\left( x \right) = \frac{{\left( {AB + CD} \right)AM}}{2} = \left( {a + x} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} \).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {a + x} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} \)trên khoảng \(\left( {0 < x < a} \right)\).
Đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 2{x^2} - ax + {a^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - a \notin \left( {0 < x < a} \right)\\x = \frac{a}{2} \in \left( {0 < x < a} \right)\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0\,;\,a} \right)\).
Từ bảng biến thiên suy ra \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( {0;\,a} \right)} f\left( x \right) = f\left( {\frac{a}{2}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\).
Vậy bác nông dân có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là \(\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\)\({{\rm{m}}^2}\).
