Bài tập ôn tập Toán 12 Cánh diều Chương 5 có đáp án
54 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 3y + z + 2 = 0\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?
Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 3y + z + 2 = 0\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?
A. \({\vec n_2}\left( {2;3;1} \right)\).
\({\vec n_3}\left( {2;3;2} \right)\).
\({\vec n_1}\left( {2;3;0} \right)\).
\({\vec n_4}\left( {2;0;3} \right)\).
Đáp án đúng: A
Vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \({\vec n_2}\left( {2;3;1} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z + 1 = 0\). Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)?\)
\(A\left( {1;1;3} \right).\)
\(B\left( {1;1; - 3} \right).\)
\(C\left( {3;1;1} \right).\)
\(D\left( { - 1; - 1;3} \right).\)
Đáp án đúng: A
Ta có: \(1 + 1 - 3 + 1 = 0 \Rightarrow \) điểm \(A\left( {1;1;3} \right) \in \left( P \right).\)
Trong không gian \[Oxyz\], mặt phẳng nào dưới đây nhận \[\overrightarrow n = \left( {3;1; - 7} \right)\] là một vectơ pháp tuyến?
\[3x + z + 7 = 0\].
\[3x - y - 7z + 1 = 0\].
\[3x + y - 7 = 0\].
\[3x + y - 7z - 3 = 0\].
Đáp án đúng: D
Phương trình mặt phẳng \[3x + y - 7z - 3 = 0\]có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {3;1; - 7} \right)\].
Trong không gian với hệ tọa độ \[\left( {Oxyz} \right)\]. Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]biết \[\left( \alpha \right)\]đi qua điểm \[M\left( { - 1;5;2} \right)\] đồng thời \[\left( \alpha \right)\] có cặp vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( {0;1;1} \right)\] và \[\overrightarrow v = \left( { - 3; - 5;1} \right)\] có phương trình là
\(y + z - 7 = 0\).
\(2x - y + z + 5 = 0\).
\( - x + 5y + 2z + 5 = 0\).
\(2x + y + z - 5 = 0\).
Đáp án đúng: B
Ta có \[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {6; - 3;3} \right) = 3\left( {2\,;\, - 1\,;\,1} \right)\]. Chọn \[\overrightarrow n = \left( {2; - 1;1} \right)\] là 1 vectơ pháp tuyến của \[\left( \alpha \right)\].
Phương trình mặt phẳng qua \[M\left( { - 1;5;2} \right)\]nhận \[\overrightarrow n = \left( {2; - 1;1} \right)\] làm 1 vectơ pháp tuyến là:
\(2\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 5} \right) + \left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + z + 5 = 0\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {2; - 3; - 2} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình là
\(z + 2 = 0\).
\(z - 2 = 0\).
\(2x - 3y = 0\).
\(2x - 3y - 2 = 0\).
Đáp án đúng: A
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cần tìm. Do \(\left( P \right){\rm{//}}\left( {Oxy} \right) \Rightarrow \) \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Và \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A \Rightarrow \left( P \right):0.\left( {x - 2} \right) + 0.\left( {y + 3} \right) + 1.\left( {z + 2} \right) = 0\)\( \Rightarrow \left( P \right):z + 2 = 0\).
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua 3 điểm \(M\left( { - 2\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(N\left( {0\,;\, - 1\,;\,0} \right)\)và \(P\left( {0\,;\,0\,;\,3} \right)\) là
\(3x + 6y - 2z - 6 = 0\).
\(2x + y - 3z - 1 = 0\).
\(3x + 6y - 2z = 0\).
\(3x + 6y - 2z + 6 = 0\).
Đáp án đúng: D
Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt \(\left( {MNP} \right)\) là
\(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{{ - 1}} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 3x + 6y - 2z + 6 = 0\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {2; - 1;3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z + 1 = 0\). Khoảng cách điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng
\(2\).
\(\frac{5}{3}\).
\(3\).
\(\frac{{10}}{3}\).
Đáp án đúng: D
Ta có: \(d\left[ {M,\left( P \right)} \right] = \frac{{\left| {2.2 - 2.\left( { - 1} \right) + 3 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{10}}{3}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt các trục \(Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz\) lần lượt tại \(3\) điểm \(A\left( {2;0;0} \right),{\rm{ }}B\left( {0;3;0} \right),{\rm{ }}C\left( {0;0; - 4} \right)\). Khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( \alpha \right)\) bằng
\(\frac{{\sqrt {61} }}{{12}}\).
\(4\).
\(\frac{{12\sqrt {61} }}{{61}}\).
\(3\).
Đáp án đúng: C
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có dạng: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{ - 4}} = 1 \Leftrightarrow 6x + 4y - 3z - 12 = 0\)
Khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( \alpha \right)\) bằng \(d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {6.0 + 4.0 - 3.0 - 12} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{12\sqrt {61} }}{{61}}.\)
Trong không gian \[Oxyz\], khoảng cách giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right):x + 2y + 2z - 10 = 0\] và \[\left( Q \right):x + 2y + 2z - 5 = 0\] bằng
\[\frac{5}{3}\].
\[\frac{7}{3}\].
\[5\].
\[\frac{5}{9}\].
Đáp án đúng: A
Cách 1: Ta có \[M\left( {10;0;0} \right) \in \left( P \right)\]. Vì \(\frac{1}{1} = \frac{2}{2} = \frac{2}{2} \ne \frac{{ - 10}}{{ - 5}}\) nên hai mặt phẳng \[\left( P \right)\]và \[\left( Q \right)\]song song.
Khi đó, \[d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\] \[ = \frac{{\left| {10 - 5} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{5}{3}\].
Cách 2: Dùng công thức khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \[\left( P \right):ax + by + cz - {d_1} = 0\] và \[\left( Q \right):ax + by + cz - {d_2} = 0\] bằng: \[d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {{d_1} - {d_2}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\]
Ta có: \[d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {10 - 5} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{5}{3}\].
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], vectơ nào là một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình 
?
.
.
.
.
Đáp án đúng: D
Ta có: 
.
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình là 
.
Cho điểm \(A\left( { - 1;1;0} \right)\).Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\), cắt trục \[Ox\], sao cho góc tạo bởi \(\Delta \) với hai trục \(Ox,\,Oy\) bằng nhau.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\).
Đáp án đúng: C
Nhận thấy \(A\left( { - 1;1;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\).
Nhận thấy đường thẳng \(\Delta \): \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\) đi qua \(A,O\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 1 = 0\) và \(\left( Q \right):2x + 2y - z - 3 = 0\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Tính \[\cos \alpha \].
\[ - \frac{4}{9}\].
\[\frac{4}{9}\].
\[\frac{2}{3}\].
\[ - \frac{2}{3}\].
Đáp án đúng: B
Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)\) và vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;2; - 1} \right)\).
Suy ra \[\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{4}{9}\].
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,x + y - z - 11 = 0\) và \(\left( P \right):\,\,2x + 2y - 2z + 7 = 0\) bằng
\[0^\circ \].
\[45^\circ \].
\[180^\circ \].
\[90^\circ \]
Đáp án đúng: A
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;\,1;\, - 1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;\,2;\, - 2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = 2\overrightarrow {{n_P}} \).
Do đó góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) là \(0^\circ \).
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1; - 2; - 3} \right)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {2;5; - 4} \right)\) có phương trình là:
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 4}}{{ - 3}}\).
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{5} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}\).
\(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 5}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{{ - 3}}\).
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{5} = \frac{{z + 3}}{{ - 4}}\).
Đáp án đúng: D
Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1; - 2; - 3} \right)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {2;5; - 4} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{5} = \frac{{z + 3}}{{ - 4}}\).
Trong không gian với hệ toạ độ \[Oxyz\], cho đường thẳng \[d\] có phương trình tham số \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = 6 + t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.\] và mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + 3z + 12 = 0\]. Tìm \[\sin \] của góc giữa \[d\] và \[\left( P \right)\]?
\[0^\circ {\rm{.}}\]
\[1.\]
\[0.\]
\[90^\circ \].
Đáp án đúng: B
Đường thẳng \[d\] có phương trình tham số \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = 6 + t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow d\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( { - 2;1; - 3} \right)\]. Mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + 3z + 12 = 0 \Rightarrow \left( P \right)\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)\].
Ta có \[\overrightarrow u = - \overrightarrow n \] nên \[d \bot \left( P \right) \Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) = 90^\circ \Rightarrow \sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = 1.\]
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai đường thẳng \[\Delta :\,\,\frac{x}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{4}\], \[d:\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\]. Gọi \[\left( P \right)\] là mặt phẳng chứa đường thẳng \[\Delta \] và song song với đường thẳng \[d\]. Tính khoảng cách từ điểm \[M\left( {3;\,0;\, - 1} \right)\] đến mặt phẳng \[\left( P \right)\].
\[3\].
\[\frac{2}{3}\].
\[\frac{5}{3}\].
\[1\].
Đáp án đúng: A
Đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm \[M\left( {0;\, - 2;\,0} \right)\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2;\,3;\,4} \right)\].
Đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[N\left( {1;\,2;\,1} \right)\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;\,2} \right)\].
Khi đó: \[\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ;\,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( P \right):\,1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y + 2} \right) - 2\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2z + 4 = 0\].
Thử lại \[N \notin \left( P \right)\] nên thỏa mãn.
Vậy \[d\left( {M;\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 + 2.0 - 2\left( { - 1} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3\].
Cho hai đường thẳng \[{d_1}: \frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}; {d_2}: \frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 5}}{4}\]. Số đo góc giữa hai đường thẳng \({d_1}; {d_2}\) bằng
\(90^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
Đáp án đúng: A
Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \({\overrightarrow u _1}\left( {2; - 2;1} \right)\); \({d_2}\) có vectơ chỉ phương \({\overrightarrow u _2}\left( {1;3;4} \right)\)
\({\rm{cos}}\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {{{\overrightarrow u }_1},{{\overrightarrow u }_{_2}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\overrightarrow u }_1}.{{\overrightarrow u }_{_2}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_1}} \right|.\left| {{{\overrightarrow u }_{_2}}} \right|}} = \frac{{\left| 0 \right|}}{{3\sqrt {26} }} = 0\).
Vậy góc giữa hai đường thẳng là \(90^\circ \).
Trong không gian \[Oxyz,\] hãy tính số đo góc \[\alpha \] giữa đường thẳng \[\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\] và mặt phẳng \[\left( P \right):x - y + 2z + 1 = 0.\]
\[\alpha = 30^\circ .\]
\[\alpha = 60^\circ .\]
\[\alpha = 150^\circ .\]
\[\alpha = 120^\circ .\]
Đáp án đúng: A
Ta có: đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \({\vec u_\Delta } = \left( {1\,;\,2\,; - 1} \right)\); mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \({\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {1\,;\, - 1\,;\,2} \right)\).
Áp dụng công thức \[\sin \alpha = \sin \left( {{{\vec u}_\Delta },{{\vec n}_P}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec u}_\Delta }.{{\vec n}_P}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_\Delta }} \right|.\left| {{{\vec n}_P}} \right|}}\]
\[ \Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{{\left| {1.1 + 2.( - 1) + ( - 1).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{2}\] \[ \Leftrightarrow \alpha = 30^\circ \].
Với giá trị nào của \(m\) thì đường thẳng \[\left( D \right):\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{m} = \frac{{z - 1}}{{m - 2}}\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right):x + 3y + 2z = 2\].
5.
\[ - 7\].
1.
6.
Đáp án đúng: D
Vectơ chỉ phương của \[\left( D \right)\]: \[\vec a = \left( {2;m;m - 2} \right)\].
Vectơ pháp tuyến của \[\left( P \right)\]: \[\vec n = \left( {1;3;2} \right)\].
\[\left( D \right) \bot \left( P \right)\]\[ \Leftrightarrow \] \[\vec a\] và \[\overrightarrow n \] cùng phương: \[2 = \frac{m}{3} = \frac{{m - 2}}{2}\]\[ \Leftrightarrow m = 6\].
Cho phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 16\), bán kính \(R\) của mặt cầu là
\(R = 4\).
\(R = 16\).
\(R = 0\).
\(R = 2\).
Đáp án đúng: A
Phương trình tổng quát của mặt cầu trong không gian \(Oxyz\) là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)
Khi đó: \({R^2} = 16 \Rightarrow R = 4\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 2z - 2 = 0\). Xác định toạ độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).
\(I\left( {1;2; - 1} \right),R = 2\sqrt 2 .\)
\(I\left( { - 1; - 2;1} \right),R = 2\sqrt 2 .\)
\(I\left( {2;4; - 2} \right),R = \sqrt 2 .\)
\(I\left( {2;4;2} \right),R = 8.\)
Đáp án đúng: A
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 2} \right)} = 2\sqrt 2 \).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4\). Xác định toạ độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).
\(I\left( {3; - 1;2} \right),R = 2.\)
\(I\left( { - 3;1; - 2} \right),R = 2.\)
\(I\left( { - 3;1; - 2} \right),R = 4.\)
\(I\left( {3; - 1;2} \right),R = 4.\)
Đáp án đúng: A
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 1;2} \right)\) và bán kính \(R = 2.\)
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu?
\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} - {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\).
\(\left( S \right):{x^2} + 2{y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 10 = 0\).
\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0\).
\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z + 8 = 0\).
Đáp án đúng: C
Phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)\) là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
Ở đáp án A và B không đúng dạng phương trình mặt cầu vì hệ số của \({x^2},{y^2},{z^2}\) không bằng nhau nên phương trình ở đáp án A, B không là phương trình mặt cầu.
Trong đáp án D ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\\c = - 1\\d = 8\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = - 2 < 0\) nên phương trình ở đáp án D không là phương trình mặt cầu.
Trong đáp án C ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\\c = - 1\\d = 2\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 > 0\) nên phương trình ở đáp án C là phương trình mặt cầu.
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({\left( {x - a} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = 16\) đi qua hai điểm \(O\) và \(M\left( {1;0;1} \right)\). Tính \(a + c\).
\(a + c = 4\).
\(a + c = 16\).
\(a + c = 1\).
\(a + c = 0\).
Đáp án đúng: C
Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) nên: \({a^2} + {c^2} = 16\). \(\left( 1 \right)\)
Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua \(M\left( {1;0;1} \right)\) nên: \({\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - c} \right)^2} = 16\). \(\left( 2 \right)\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - 2\left( {a + c} \right) + 2 = 16\) \(\left( 3 \right)\).
Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 3 \right)\) \( \Rightarrow 16 - 2\left( {a + c} \right) + 2 = 16 \Leftrightarrow a + c = 1\)\( \Rightarrow a = 1 - c\).
Thay \(a = 1 - c\) vào \(\left( 1 \right)\) \( \Rightarrow {\left( {1 - c} \right)^2} + {c^2} = 16 \Rightarrow c = \frac{{1 \pm \sqrt {31} }}{2}\) \( \Rightarrow \) Có tồn tại mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa mãn đề bài. Vậy \(a + c = 1\).
Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\) và bán kính \(R = 3\) là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3\)
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9\).
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y + 6z + 5 = 0\).
Đáp án đúng: A
Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\) và bán kính \(R = 3\) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\) và \(B\left( {3\,;\,1\,;\,0} \right)\). Mặt cầu đường kính \(AB\) có phương trình là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 8\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 8\).
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 2\).
Đáp án đúng: B
Mặt cầu có tâm \(I\left( {2\,;\,1\,;\,1} \right)\). Mặt cầu có bán kính \(R = AI = \sqrt 2 \).
Vậy mặt cầu có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(I\left( {1;0; - 1} \right)\) và \(A\left( {2;2; - 3} \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\) và đi qua điểm \(A\) có phương trình là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 3\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 3\).
Đáp án đúng: A
Bán kính mặt cầu \(R = IA = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 3 + 1} \right)}^2}} = 3\).
Vậy mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\) và đi qua điểm \(A\) có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 16\) đi qua điểm nào dưới đây?
Điểm \(Q\left( { - 2; - 1; - 1} \right)\).
Điểm \(N\left( { - 2; - 1;3} \right)\).
Điểm \(M\left( {2;1; - 3} \right)\).
Điểm \(P\left( {2;1;1} \right)\).
Đáp án đúng: D
Thay tọa độ điểm \(P\left( {2;1;1} \right)\) vào phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 16\) (thỏa mãn). Ta có mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua điểm \(P\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \[\left( S \right)\] có phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\]. Trong ba điểm có tọa độ lần lượt là \[\left( {0;0;0} \right)\], \[\left( {1;2;3} \right)\], \[\left( {2;0;6} \right)\] thì có bao nhiêu điểm nằm trên mặt cầu \[\left( S \right)\]?
\(0\).
\(3\).
\(1\).
\(2\).
Đáp án đúng: D
Thay tọa độ ba điểm vào phương trình mặt cầu, ta có:
\[{0^2} + {0^2} + {0^2} - 2.0 - 4.0 - 6.0 = 0\](Đúng) \[ \Rightarrow O\left( {0;0;0} \right) \in \left( S \right)\].
\[{1^2} + {2^2} + {3^2} - 2.1 - 4.2 - 6.3 = 0\] (Sai) \[ \Rightarrow A\left( {1;2;3} \right) \notin \left( S \right)\].
\[{2^2} + {0^2} + {6^2} - 2.2 - 4.0 - 6.6 = 0\](đúng) \[ \Rightarrow B\left( {2;0;6} \right) \in \left( S \right)\].
Vậy trong ba điểm đề cho, có hai điểm nằm trên mặt cầu \[\left( S \right)\].
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\]cho điểm \(M\left( {2; - 3;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z + 3 = 0\). Mặt phẳng đi qua điểm \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là:
\(2x - 2y + z - 11 = 0\).
\(2x - 2y + z + 1 = 0\).
\(2x - 2y - z - 11 = 0\).
\( - 2x - 2y + z - 11 = 0\).
Đáp án đúng: A
Gọi \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
\( \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z + m = 0\,\left( {m \ne 3} \right)\) .
Thay \(M(2; - 3;1)\) vào \(\left( Q \right)\) ta được: \(m = - 11\) (nhận).
\( \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z - 11 = 0.\)
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí \(I\left( {10;\,\,20;\,\,30} \right)\) với bán kính phủ sáng là \(3\)km.
( a) Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là
\({\left( {x - 10} \right)^2} + {\left( {y - 20} \right)^2} + {\left( {z - 30} \right)^2} = {3000^2}\).
(b) Người đi biển ở vị trí \(A\left( {50;20;0} \right)\) nhìn thấy được ánh sáng của ngọn hải đăng.
(c) Người đi biển ở vị trí \(B\left( {4030;\,\,50;\,\,40} \right)\) nhìn thấy được ánh sáng của ngọn hải đăng.
(d) Nếu hai người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng của ngọn hải đăng thì khoảng cách giữa hai người đó không quá \(6\)km.
a) Đúng. Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {10;\,\,20;\,\,30} \right)\), bán kính \(R = 3\)km = \(3000\)m có phương trình
\({\left( {x - 10} \right)^2} + {\left( {y - 20} \right)^2} + {\left( {z - 30} \right)^2} = {3000^2}\).
b) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {40;\,0;\, - 30} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{{40}^2} + {0^2} + {{30}^2}} = 50\,{\rm{m}} < \,R = 3000\,{\rm{m}}\)nên điểm \(A\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\) nên người đi biển ở vị trí \(A\left( {50;20;0} \right)\) nhìn thấy được ánh sáng của ngọn hải đăng.
c) Sai. Ta có \(\overrightarrow {IB} = \left( {4020;\,30;\,10} \right) \Rightarrow IB = \sqrt {{{4020}^2} + {{30}^2} + {{10}^2}} \approx 4020,12\,{\rm{m}} > R = 3000\,{\rm{m}}\)nên điểm \(B\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\) nên người đi biển ở vị trí \(B\left( {4030;\,\,50;\,\,40} \right)\) không nhìn thấy được ánh sáng của ngọn hải đăng.
d) Đúng. Vì bán kính phủ sáng là \(3\)km nên đường kính phủ sáng là \(6\)km nên nếu hai người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng của ngọn hải đăng thì hai người đó nằm trong mặt cầu, do đó khoảng cách giữa hai người đó không quá \(6\)km.
Bác An cần thiết kế một nhà vườn ngoài trời để trồng hoa. Bác đã thiết kế và vẽ mô hình nhà vườn trong hệ trục toạ độ \[Axyz\] như hình vẽ, với các cột nhà là các đoạn thẳng \[AA',\,BB',\,CC'\] và \[DD'\]. Phần mái là tứ giác \(A'B'C'D'\) và hình vuông \(ABCD\) nằm trên mặt đất. Biết độ dài các đoạn thẳng \(AB = 25\,{\rm{m}},AA' = BB' = 4\,{\rm{m}}\) và \(CC' = DD' = 3\,{\rm{m}}\).
(a) Toạ độ điểm \(A'\left( {0;\,0;\,4} \right)\).
(b) Đường thẳng \(A'D'\) có phương trình tham số là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 25t}\\{y = 0\,\,\,\,\,\,}\\{z = 4 - t}\end{array}\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{,t \in \mathbb{R}}\\{}\end{array}} \right.\].
(c) Bác An đặt một camera ở vị trí \(E\) trên cột \(AA'\) và cách mặt đất \(7\,{\rm{m}}\). Một vật ở vị trí \(M\left( {a;\,b;\,c} \right)\) thoả mãn \(MA = MB = MC = MD = \sqrt {\frac{{697}}{2}} \) thì cách camera \(\frac{{\sqrt {1266} }}{2}{\rm{m}}\).
(d) Gọi \(\alpha \) là góc hợp bởi đường thẳng \(A'D'\) và mặt đất. Khi đó \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {626} }}\,\).
a) Đúng. Ta có \[AA' = 4\,{\rm{m}}\] nên toạ độ \(A'\left( {0;\,0;\,4} \right)\).
b) Đúng. Toạ độ điểm \(D'\left( {25;\,0;\,3} \right)\) nên vectơ chỉ phương \[{\overrightarrow u _{A'D'}} = \overrightarrow {A'D'} = \left( {25;\,0;\, - 1} \right)\].
Phương trình đường thẳng \(A'D'\) có vectơ chỉ phương \[{\overrightarrow u _{A'D'}} = \left( {25;\,0;\, - 1} \right)\] và đi qua điểm \(A'\left( {0;\,0;\,4} \right)\)là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 25t}\\{y = 0\,\,\,\,\,\,}\\{z = 4 - t}\end{array}\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{,t \in \mathbb{R}}\\{}\end{array}} \right.\].
c) Sai. Điểm \[E\]nằm trên cột \(AA'\) và cách mặt đất 7 m suy ra toạ độ \(E\left( {0;\,0;\,7} \right)\).
Gọi \[I\]là giao điểm của \[AC\]và \[\;BD\]. Do \(ABCD\) là hình vuông có cạnh \(AB = 25\,{\rm{m}}\) nên điểm \[I\]có toạ độ \(I\left( {\frac{{25}}{2};\frac{{25}}{2};0} \right)\) mà \(MA = MB = MC = MD\), do đó \(I\) là hình chiếu của \(M\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Suy ra \(M\left( {\frac{{25}}{2};\frac{{25}}{2};c} \right)\) mà \(MA = \sqrt {\frac{{697}}{2}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2} + {c^2} = \frac{{697}}{2} \Leftrightarrow c = 6\)
\( \Rightarrow M\left( {\frac{{25}}{2};\frac{{25}}{2};6} \right)\) \( \Rightarrow ME = 17,706\).
d) Sai. Ta có \[\overrightarrow {A'D'} = \left( {25;\,0;\, - 1} \right)\] và vectơ pháp tuyến của mặt đất là \({\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} = \left( {0;\,0;\,1} \right)\) do đó góc hợp với đường thẳng \(A'D'\) và mặt đất là \(\sin \alpha = \frac{{\left| {25.0 + 0.0 + ( - 1).1} \right|}}{{\sqrt {{{25}^2} + {{( - 1)}^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {626} }}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), một cabin cáp treo xuất phát từ điểm \(A\left( {10;3;0} \right)\) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2; - 2;1} \right)\) với tốc độ \(4,5\)m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét).
(a) Phương trình tham số của đường cáp là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
(b) Giả sử sau thời gian \(t\)(s) kể từ lúc xuất phát \(\left( {t \ge 0} \right)\) thì cabin đến điểm \(M\). Khi đó tọa độ điểm \(M\) là \(M\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)\).
(c) Cabin dừng ở điểm \(B\) có hoành độ \({x_B} = 550\), khi đó quãng đường \(AB\) dài 800 m.
(d) Đường cáp \(AB\) tạo với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) một góc \(30^\circ \).
a) Đúng. Phương trình tham số của đường cáp là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
b) Đúng. Ta có \(AM = v.t = 4,5t\) và ta gọi \(M\left( {10 + 2m\,;\,\,3 - 2m\,;\,\,m} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\).
Khi đó: \(\overrightarrow {AM} = \left( {2m;\, - 2m;\,m} \right)\) và \(\overrightarrow {AM} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow u \) nên \(m\) dương.
Suy ra \(m = 1,5t\) nên \(M\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)\).
c) Sai. Từ câu trên suy ra \(M \equiv B \Leftrightarrow 10 + 3t = 550 \Leftrightarrow t = 180\).
Khi đó: \(AB = vt = 4,5.t = 4,5.180 = 810\)mét.
d) Sai. Ta có \(\overrightarrow {{u_{AB}}} = \left( {2;\, - 2;\,1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là \(z = 0\) nên ta có \(\overrightarrow n = \left( {0\,;\,0;\,1} \right)\).
Từ đó: \(\sin \alpha = \left| {\frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow n }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}} \right| = \frac{1}{3}\) nên \(\alpha \ne 30^\circ \).
Trong không gian \[Oxyz\] (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí \[I\left( {1;\,3;\,7} \right)\]. Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3 km.
(a) Phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là \[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 9\].
(b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí điểm \[A\left( {2;\,2;\,7} \right)\] thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
(c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ \[B\left( {5;\,6;\,7} \right)\] thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
(d)Tính theo đường chim bay, khoảng cách lớn nhất để một người ở vị trí có toạ độ \[B\left( {5;\,6;\,7} \right)\] di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị ki-lô-mét là \[8\,\]km.
a) Sai. Phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] tâm \[I\left( {1;\,3;\,7} \right)\] bán kính 3 km mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 9\].
b) Đúng. Ta có: \[IA = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}} = \sqrt 2 < 3\] nên điểm \[A\] nằm trong mặt cầu. Vì điểm \[A\] nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ \[A\left( {2;\,2;\,7} \right)\] có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
c) Đúng. Ta có: \[IB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}} = 5 > 3\] nên điểm \[B\] nằm ngoài mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ \[B\left( {5;\,6;\,7} \right)\] không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
d) Đúng. Ta có: \[\overrightarrow {IB} \left( {4;\,3;\,0} \right);\] \[IB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}} = 5 > 3\] nên điểm \[B\] nằm ngoài mặt cầu. Phương trình đường thẳng \[BI\] dạng: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 3 + 3t\\z = 7\end{array} \right.\].
Gọi mặt cầu \[\left( S \right) \cap BI \equiv E\]suy ra tọa độ \[E\] là nghiệm của hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 3 + 3t\\z = 7\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}t = \frac{3}{5}\\x = \frac{{17}}{5}\\y = \frac{{24}}{5}\\z = 7\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {\frac{{17}}{5};\,\frac{{24}}{5};7} \right) \Rightarrow EB \approx 1,7\\\left\{ \begin{array}{l}t = - \frac{3}{5}\\x = - \frac{7}{5}\\y = \frac{6}{5}\\z = 7\end{array} \right. \Rightarrow E\left( { - \frac{7}{5};\,\frac{6}{5};7} \right) \Rightarrow EB = 8\end{array} \right.\]
Vậy khoảng cách lớn nhất để một người ở vị trí có toạ độ \[B\left( {5;\,6;\,7} \right)\] di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị kilômét là \[8\,\]km.
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right): - x + 2y + z - 3 = 0\).
( a) Điểm \(A\left( {1;\, - 1;\, - 2} \right)\) nằm trên đường thẳng \(d\).
(b) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với đường thẳng \(d\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1;\,1;\, - 1} \right)\).
(c)Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(30^\circ \).
(d) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( { - 3;\,1;\,2} \right)\), song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt đường thẳng \(d\) tại điểm \(N\left( {a;\,b;\,c} \right)\). Giá trị \(a + b + c\) bằng 3.
a) Sai. Điểm \(A\left( {1;\, - 1;\, - 2} \right)\) không nằm đường thẳng \(d\) vì \(\frac{{1 - 1}}{2} = \frac{{ - 1 + 1}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 2 - 2}}{1}\).
b) Đúng.Đường thẳng \(d\) có 1 vectơ chỉ phương là \({\overrightarrow u _d} = \left( {2;\, - 1;\,1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( { - 1;\,2;\,1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},\,{{\overrightarrow u }_d}} \right] = \left( {1;\,1;\, - 1} \right)\).
c) Đúng. Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {{{\overrightarrow u }_d} \cdot {{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_d}} \right| \cdot \left| {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}} = \frac{3}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt 6 }} = \frac{1}{2}\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = 30^\circ \).
d) Sai. \(N = \Delta \cap d\).
\(N \in d \Rightarrow N\left( {1 + 2t;\, - 1 - t;\,2 + t} \right)\).
\(\Delta \) có 1 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {MN} = \left( {2t + 4;\, - t - 2;\,t} \right)\).
Ta có \(\Delta \)song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\)
Suy ra \(\overrightarrow {MN} \bot {\overrightarrow n _{\left( P \right)}}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} \cdot {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = 0\)\( \Rightarrow \left( {2t + 4} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - t - 2} \right) \cdot 2 + t \cdot 1 = 0\)
Suy ra \(t = - \frac{8}{3}\).
Vậy \(N\left( { - \frac{{13}}{3};\frac{5}{3};\, - \frac{2}{3}} \right)\).
Suy ra \(a + b + c = - \frac{{13}}{3} + \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = - \frac{{10}}{3}\).
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], một viên đạn được bắn ra từ vị trí \(A\left( {1;2;3} \right)\) hướng đến vị trí \(B\left( {0;1; - 6} \right)\), bia chắn là mặt phẳng \(\left( P \right):4x - y + 2z + 13 = 0\), đơn vị là kilômét.
(a) Điểm \(B\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).
(b) Giả sử viên đạn chuyển động thẳng đều theo hướng vectơ \(\vec v = \left( { - 2; - 2; - 18} \right)\) với vận tốc 800 m/s (bỏ qua mọi lực cản và chướng ngại vật), sau một phút viên đạn bắn ra đi qua điểm \(B\).
(c) Góc giữa đường thẳng \[AB\] và mặt phẳng \(\left( P \right)\) (làm tròn đến hàng đơn vị) là \(60^\circ \).
(d) Hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \[\left( {Oxy} \right)\] là \(H\left( {0;2;3} \right)\).
a) Đúng. Ta có: \(4.0 - 1 + 2.\left( { - 6} \right) + 13 = 0\) \( \Rightarrow B \in \left( P \right)\).
b) Đúng. \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1; - 9} \right)\).
Ta thấy \(\overrightarrow v = 2\overrightarrow {AB} \) \( \Rightarrow \) Hướng chuyển động theo vectơ \(\overrightarrow v \) chính là hướng chuyển động từ \(A\) đến \(B\).
\(AB = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {9^2}} = \sqrt {83} \left( {{\rm{km}}} \right) = 1000\sqrt {83} \left( {\rm{m}} \right)\).
Suy ra thời gian viên đạn bay từ \(A\) đến \(B\) là: \(\frac{{AB}}{{800}} = \frac{{5\sqrt {83} }}{4} \approx 11,39\) giây.
Do đó sau 1 phút viên đạn đã đi qua điểm \(B\).
c) Sai. \(\overrightarrow {BA} = \left( {1;1;9} \right)\); \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {4; - 1;2} \right)\).
\[\sin \left( {AB,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|}} = \frac{{\left| {4 - 1 + 18} \right|}}{{\sqrt {83} .\sqrt {21} }} = \frac{{\sqrt {1743} }}{{83}}\]\( \Rightarrow \widehat {\left( {AB,\left( P \right)} \right)} \approx 30^\circ \).
d) Sai. Hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(\left( {Oxy} \right)\) là \(H\left( {1;2;0} \right)\).
Trong không gian hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí \(O\left( {0;0;0} \right)\) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa \(600\,{\rm{km}}\). Một máy bay đang chuyển động với vận tốc \(900\,\)km/h theo đường thẳng \(d\) có phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 1000 + 100t\\y = - 300 + 80t\\z = 100\sqrt {11} \end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\] và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ).
(a) Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng \(300\,\,{\rm{km}}\).
(b) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 360000\).
(c) Máy bay đang chuyển động theo đường thẳng \(d\) đến vị trí điểm \(M\left( { - 500\,;\,100\,;\,100\sqrt {11} } \right)\). Vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.
(d) Thời gian kể từ khi đài kiểm soát không lưu phát hiện máy bay đến khi máy bay ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là \(\frac{4}{3}\)giờ.
a) Sai. Vì đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí \(O\left( {0;0;0} \right)\) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa \(600\)km nên ranh giới vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng \(600\)km.
b) Đúng. Ranh giới vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu tâm \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\) có bán kính bằng \(R = 600\,\)có phương trình là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 360000\).
c) Đúng. Ta có \(OM = \sqrt {{{\left( { - 500} \right)}^2} + {{\left( {100} \right)}^2} + {{\left( {100\sqrt {11} } \right)}^2}} \approx 608 > 600 = R\).
Vậy, tại vị trí điểm \(M\left( { - 500\,;\,100\,;\,100\sqrt {11} } \right)\) máy bay nằm ngoài vùng kiểm soát không không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.
d) Sai. Thay \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1000 + 100t\\y = - 300 + 80t\\z = 100\sqrt {11} \end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\] vào phương trình mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 360000\):
\(\begin{array}{l}{\left( {100t - 1000} \right)^2} + {\left( {80t - 300} \right)^2} + {\left( {100\sqrt {11} } \right)^2} = 360000\\ \Leftrightarrow 164{t^2} - 2480t + 8400 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10 \Rightarrow B\left( {0\,;\,500\,;\,100\sqrt {11} } \right)\\t = \frac{{210}}{{41}} \Rightarrow C\left( { - \frac{{20000}}{{41}}\,;\,\frac{{4500}}{{41}}\,;\,100\sqrt {11} } \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Quãng đường máy bay di chuyển trong vùng kiểm soát không lưu là:
\(BC = \sqrt {{{\left( { - \frac{{20000}}{{41}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{4500}}{{41}} - 500} \right)}^2} + {{\left( {100\sqrt {11} - 100\sqrt {11} } \right)}^2}} \approx 625\,\)km.
Vậy thời gian máy bay di chuyển theo đường thẳng \(d\) và trong phạm vi kiểm soát không lưu của sân bay là: \(\frac{{625}}{{900}} = \frac{{25}}{{36}}\) giờ.
Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là \[8{\rm{m}},\,9{\rm{m}},\,10{\rm{m}}\]. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 8 m. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với \(B \in Ox\), \(C \in Oy\), tia \(Oz\) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {AA'} \). Chọn gốc tọa độ \(O\) trùng với trung điểm của \(AC\) và mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1m (xem hình vẽ).
(a) Tọa độ các điểm \(A'\left( {0; - 4;10} \right),B'\left( {4\sqrt 3 ;0;9} \right),C'\left( {0;4;8} \right)\).
(b) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nhận \(\overrightarrow k = \left( {0;\,1;\,1} \right)\)làm vectơ pháp tuyến.
(c) Mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {0;1;4} \right)\)làm vectơ pháp tuyến.
(d) Biết độ dốc của mái nhà đạt mức tiêu chuẩn khoảng từ \(27^\circ \) đến \(35^\circ \) thì mái nhà trên có độ dốc ở mức tiêu chuẩn.
a) Đúng . \(A\left( {0; - 4;0} \right),B\left( {4\sqrt 3 ;0;0} \right),C\left( {0;4;0} \right)\) và \(A'\left( {0; - 4;10} \right),B'\left( {4\sqrt 3 ;0;9} \right),C'\left( {0;4;8} \right)\).
b) Sai . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\overrightarrow k = \left( {0;\,0;\,1} \right).\)
c) Đúng. \[\overrightarrow {A'B'} = \left( {4\sqrt 3 ;4; - 1} \right);\overrightarrow {A'C'} = \left( {0;8; - 2} \right)\], khi đó vectơ pháp tuyến của \(\left( {A'B'C'} \right)\) là:
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;\,8\sqrt 3 ;\,32\sqrt 3 } \right) = 8\sqrt 3 \left( {0;\,1;\,4} \right)\).
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) là: \(\overrightarrow n = \left( {0;1;4} \right)\).
d) Sai. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(\overrightarrow k = \left( {0;\,0;\,1} \right)\).
Khi đó: \[\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| 4 \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt {17} }}{{17}}\] nên \(\left( {\left( {ABC} \right),\,\left( {A'B'C'} \right)} \right) \approx 14^\circ \) nên mái nhà không ở mức tiêu chuẩn.
Một khu bảo tồn thiên nhiên có hai trạm kiểm lâm và một trạm quan sát. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\) (đơn vị độ dài trên mỗi trục là kilômét), hai trạm kiểm lâm và trạm quan sát có vị trí lần lượt là \(A\left( {10;5;0} \right)\), \(B\left( {70;85;0} \right)\) và \(I\left( {20;65;0,2} \right)\). Một thiết bị bay không người lái (drone) được thiết kế bay trên đường thẳng đi qua hai điểm \(C\left( {10;5;0,1} \right)\) và \(D\left( {70;85;0,1} \right)\) để truyền tín hiệu và dữ liệu về trạm quan sát \(I\).
(a)Khi tín hiệu gửi về trạm quan sát nhanh nhất thì vị trí của drone là \[K\left( {\frac{{212}}{5};\frac{{241}}{5};0,1} \right)\].
(b)Cùng một thời điểm, một xe máy xuất phát từ \(A\) đi đến \(B\) với vận tốc \(40\)km/h và một ô tô xuất phát từ \(B\) đi đến \(A\) với vận tốc \(60\)km/h, sau đó gặp nhau tại \(M\). Drone phải di chuyển trước đến vị trí \(H\) có hình chiếu trên \[AB\] là \(M\)để truyền dữ liệu về trạm quan sát \(I\). Khi đó vị trí của drone là \[\left( {34;37;0,1} \right)\].
(c)Trạm quan sát \(I\) nhìn đoạn thẳng \(AB\) dưới một góc nhỏ hơn \(65^\circ \).
(d)Phương trình đường thẳng mô tả cho tuyến đường bay của drone là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10 + 3t}\\{y = 5 + 4t}\\{z = 0,1}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
a) Đúng. \(\overrightarrow {CD} = \left( {60;80;0} \right) = 20.\left( {3;4;0} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(CD:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 3t\\y = 5 + 4t\\z = 0,1\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
Gọi \[K\] là hình chiếu của \(I\) lên đường thẳng \(CD\).
Ta có: \[K\left( {10 + 3t;5 + 4t;0,1} \right) \in CD\]
\(\overrightarrow {IK} = \left( {3t - 10;4t - 60; - 0,1} \right)\)
\(\overrightarrow {CD} \overrightarrow {.IK} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{54}}{5}\) nên \[K\left( {\frac{{212}}{5};\frac{{241}}{5};0,1} \right)\].
Vậy khi tín hiệu gửi về trạm quan sát nhanh nhất thì \(K\) là hình chiếu của \(I\) lên \(CD\) nên \[K\left( {\frac{{212}}{5};\frac{{241}}{5};0,1} \right)\].
b) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {60;80;0} \right)\)\( \Rightarrow AB = 100\left( {{\rm{km}}} \right)\).
Gọi \(h\) (giờ) là thời gian hai xe xuất phát đến lúc gặp nhau.
Ta có \(40h + 60h = 100\)\( \Leftrightarrow h = 1\) (giờ).
Quảng đường \(AM = 40\,\left( {{\rm{km}}} \right)\) nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} \) suy ra \(M\left( {34;37;0} \right)\).
\[H\left( {10 + 3t;5 + 4t;0,1} \right) \in CD\] và \(\overrightarrow {MH} = \left( {3t - 24;4t - 32;0,1} \right)\).
Do \(M\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) nên \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {AB} = 0 \Leftrightarrow t = 8\).
Vậy \[H\left( {34;37;0,1} \right)\].
c) Sai. Ta có \(AB = 100\), \(IA = \frac{{\sqrt {92501} }}{5}\), \(IB = \frac{{\sqrt {72501} }}{5}\).
Xét tam giác \(IAB\) có: \(\cos \widehat {AIB} = \frac{{I{A^2} + I{B^2} - A{B^2}}}{{2.IA.IB}} \approx - 0,51896\) nên \(\widehat {AIB} \approx 121^\circ \).
d) Đúng. \(\overrightarrow {CD} = \left( {60;80;0} \right) = 20\left( {3;4;0} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(CD:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 3t\\y = 5 + 4t\\z = 0,1\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
Nên phương trình đường thẳng mô tả cho tuyến đường bay của drone là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10 + 3t}\\{y = 5 + 4t}\\{z = 0,1}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), có hai trục \(Ox,\;Oy\) đặt trên mặt đất (coi mặt đất là một mặt phẳng); tia \(Oz\) hướng lên phía trên; đơn vị trên các trục tính bằng mét. Một thiết bị phát sóng \(M\)đặt tại điểm \(A\left( {80;60;60} \right)\). Vùng phủ sóng của thiết bị \(M\) có bán kính \(500\) mét. Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua điểm \(B\left( {0; - 490;0} \right)\) và song song với trục \(Ox.\)
(a) Một thiết bị thu sóng \(N\)(coi như một điểm) di chuyển trên trục \(Oy\)từ vị trí \(B\) theo hướng của vectơ \(\overrightarrow {BO} \). Thiết bị thu sóng \(N\)phải di chuyển một đoạn đường ngắn nhất bằng \[60,3\]mét thì vào được vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
(b) Điểm \[B\] không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
(c) Một thiết bị thu sóng \(N\)(coi như một điểm) di chuyển trên đường thẳng \(d\) thì có thể vào được vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
(d) Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 490\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].
a) Sai. Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của thiết bị phát sóng \(M\) trong không gian là mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(A\left( {80;60;60} \right)\), bán kính \(500\) có phương trình \({\left( {x - 80} \right)^2} + {\left( {y - 60} \right)^2} + {\left( {z - 60} \right)^2} = {500^2}\).
Gọi \[E\left( {0;t;0} \right)\] là giao điểm của \(Oy\) và \(\left( S \right)\). Khi đó
\[{\left( { - 80} \right)^2} + {\left( {t - 60} \right)^2} + {60^2} = {500^2} \Leftrightarrow {\left( {t - 60} \right)^2} = 240000 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_1} = 60 + 200\sqrt 6 \\{t_2} = 60 - 200\sqrt 6 \end{array} \right.\].
Ta có:
\[{t_1} = 60 + 200\sqrt 6 \Rightarrow {E_1}\left( {0;60 + 200\sqrt 6 ;0} \right) \Rightarrow {E_1}B = 550 + 200\sqrt 6 > 60,3\].
\[{t_2} = 60 - 200\sqrt 6 \Rightarrow {E_2}\left( {0;60 - 200\sqrt 6 ;0} \right) \Rightarrow {E_2}B = 550 - 200\sqrt 6 \approx 60,1\].
Thiết bị thu sóng \(N\)phải di chuyển một đoạn đường ngắn nhất bằng \[60,1\]mét thì vào được vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
b) Đúng. Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 80\,;\,550\,;\, - 60} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 80} \right)}^2} + {{550}^2} + {{\left( { - 60} \right)}^2}} > 500 = R\).
Vậy điểm \[B\] nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\) nên điểm \[B\] không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
c) Sai. Đường thẳng \[d\] đi qua điểm \(B\left( {0; - 490;0} \right)\) và song song với trục \(Ox\) có VTCP \[\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\] có PTTS là \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 490\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].
Suy ra: \(\left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {0\,;\,60\,;\, - 550} \right)\).
Khoảng cách ngắn nhất từ \(A\left( {80;60;60} \right)\) đường thẳng \(d\) là:
\(d\left( {A;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{{\sqrt {{0^2} + {{60}^2} + {{\left( { - 550} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} > 500 = R\).
Vì vậy thiết bị thu sóng \(N\)(coi như một điểm) di chuyển trên đường thẳng \(d\) thì không thể vào được vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
d) Sai. Đường thẳng \[d\] đi qua điểm \(B\left( {0; - 490;0} \right)\) và song song với trục \(Ox\) có VTCP \[\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\] có PTTS là \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 490\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt \[OAGD.BCFE\] có hai đáy song song với nhau. Mặt sân \(OAGD\) là hình chữ nhật và được gắn hệ trục \[Oxyz\] như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân \[OAGD\] có chiều dài \[OA = 100\]m, chiều rộng \[OD = 60\]m và tọa độ điểm \[B\left( {10;10;8} \right)\]. Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng \[\left( {OACB} \right)\] có dạng \[ax + y + cz + d = 0\]. Tính giá trị biểu thức \[a + c + d\].
Gắn hình chóp cụt vào hệ trục \[Oxyz\] ta có:
\[O\left( {0;0;0} \right),\,\,\,A\left( {100;0;0} \right),\,\,\,G\left( {100;60;0} \right),\,\,\,D\left( {0;60;0} \right),\,\,\,B\left( {10;10;8} \right)\].
Do \[\overrightarrow {OA} = \left( {100;0;0} \right),\,\,\overrightarrow {OB} = \left( {10;10;8} \right)\] nên \[\vec n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {0; - 100;1000} \right)\].
Suy ra mặt phẳng \[\left( {OACB} \right)\] có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_1}\,} = \left( {0;1; - 10} \right)\].
Phương trình tổng quát của mặt phẳng \[\left( {OACB} \right)\] là \[y - 10z = 0\].
Do đó \[a = 0,\,c = - 10,\,d = 0\]. Vậy \[a + c + d = 0 - 10 + 0 = - 10\].
Đáp án: −10.
Một phần sân trường được định vị bởi các điểm \(A,B,C,D\) như hình vẽ:
Bước đầu chúng được lấy “thăng bằng” để có cùng độ cao, biết \(ABCD\) là hình thang vuông ở \(A\) và \(B\) với độ dài \(AB = 25\,{\rm{m}}\), \(AD = 15\,{\rm{m}}\), \(BC = 18\,{\rm{m}}\). Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phàn sân trường phải thoát nước về góc sân ở \(C\) nên người ta lấy độ cao ở các điểm \(B\), \(C\), \(D\) xuống thấp hơn so với độ cao ở \(A\) là \(10\,{\rm{cm}}\), \(a\,\,{\rm{cm}}\), \(6\,{\rm{cm}}\) tương ứng. Giá trị của \(a\) bằng bao nhiêu?
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \[O \equiv A\], tia \[Ox \equiv AD\]; tia \(Oy \equiv AB\).
Khi đó: \(A\left( {0;\,0;\,0} \right)\); \(B\left( {0;\,2500;\,0} \right)\); \(C\left( {1800;\,2500;\,0} \right)\); \(D\left( {1500;\,0;\,0} \right)\).
Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm \(B\), \(C\), \(D\) xuống thấp hơn so với độ cao ở \(A\) là \(10\,{\rm{cm}}\), \(a\,\,{\rm{cm}}\)\(6\,{\rm{cm}}\) tương ứng ta có các điểm mới \(B'\left( {0\,;\,2500\,;\, - 10} \right)\); \(C'\left( {1800\,;\,2500\,;\, - a} \right)\); \(D'\left( {1500\,;\,0\,;\, - 6} \right)\). Theo bài ra có bốn điểm \(A\); \(B'\); \(C'\); \(D'\) đồng phẳng.
Phương trình mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right):x + y + 250z = 0\).
Do \(C'\left( {1800\,;\,\,2500\,;\, - a} \right) \in \left( {AB'D'} \right)\) nên ta có \(1800 + 2500 - 250a = 0 \Leftrightarrow a = 17,2\).
Vậy \(a = 17,2\,{\rm{cm}}\).
Đáp án: 17,2.
Manhattanhenge (Hình 1) là một sự kiện diễn ra khi Mặt Trời mọc hoặc khi Mặt Trời lặn nằm thẳng hàng với các tuyến phố Đông - Tây thuộc mạng lưới đường phố chính tại quận Manhattan của thành phố New York. Khi mặt trời lặn, tia sáng song song mặt đất lệch một góc khoảng \(38^\circ \) so với hướng tây (Hình 2).
Giả sử mặt tiền các tòa nhà hai bên đường nằm trong 2 mặt phẳng song song cách nhau \(30\)m và vuông góc với mặt đất. Biết rằng mặt phẳng phía bắc đi qua gốc \(O\) của hệ trục \(Oxyz\), với tia \(Oz\) vuông góc với mặt đất và hướng lên trên. Phương trình mặt phẳng thứ hai có dạng \(\left( Q \right):x + ay + bz + c = 0\) với \(c = \frac{m}{{\sin n^\circ }}\). Tính \(m + n\).
Gọi \(A,B\) là giao điểm của mp \(\left( Q \right)\) với trục \(Ox\) và \(Oy\), \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(AB\).
Vì khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng \(30\)m nên \(OH = 30\).
Theo giả thiết ta có góc \(\widehat {OAH} = 38^\circ \) nên khi đó \(OA = \frac{{OH}}{{\sin 38^\circ }} = \frac{{30}}{{\sin 38^\circ }}\).
\({x_H} = - OH.\cos 52^\circ = - 30.\cos 52^\circ \), \({y_H} = - OH\cos 38^\circ = - 30\cos 38^\circ \).
Tọa độ điểm \(A\left( { - \frac{{30}}{{\sin 38^\circ }};\,0\,;\,0} \right)\), \(H\left( { - 30\cos 52^\circ ;\, - 30\cos 38^\circ ;0} \right)\) và chọn một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\,\frac{{\cos 38^\circ }}{{\cos 52^\circ }}\,;\,0} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\) vuông góc \(OH\) nhận \(\overrightarrow n \) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình:
\(\left( {x + \frac{{30}}{{\sin 38^\circ }}} \right) + \frac{{\cos 38^\circ }}{{\cos 52^\circ }}y = 0 \Leftrightarrow x + \frac{{\cos 38^\circ }}{{\cos 52^\circ }}y + \frac{{30}}{{\sin 38^\circ }} = 0\).
Vậy \(m + n = 68\).
Đáp án: 68.
Biết góc quan sát ngang của một camera là \(116^\circ \). Trong không gian \(Oxyz\), camera được đặt tại điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z + 13 = 0\). Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) của camera là hình tròn có đường kính bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng chục).
Gọi \(A,B,C\) là các điểm như hình vẽ bên dưới và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Hình vẽ minh hoạ
Theo đề \(\widehat {BAC} = 116^\circ \Rightarrow \widehat {BAH} = 58^\circ \). Khi đó \(AH = {\rm{d}}\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 2 - 1 - 2 \cdot 5 + 13} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 2\) (đvđd).
Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), ta có: \(\tan \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AH}} \Rightarrow BH = \tan 58^\circ \cdot 2 = 2\tan 58^\circ \) (đvđd).
Suy ra \(BC = 2BH = 2 \cdot 2\tan 58^\circ \approx 6,4\)(đvđd).
Vậy vùng quan sát của camera trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) là hình tròn có đường kính khoảng \(6,4\) (đvđd).
Đáp án: 6,4.
Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật trong không gian. Cách thức hoạt động của GPS như sau: Trong cùng một thời điểm, vị trí \(M\) của một vật sẽ được xác định bằng 4 vệ tinh cho trước, các vệ tinh này có gắn máy thu tín hiệu, bằng cách so sánh thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận tín hiệu phản hồi thì sẽ xác định được khoảng cách từ các vệ tinh đến vị trí \(M\). Như vậy, vị trí \(M\) là giao điểm của 4 mặt cầu có tâm là 4 vệ tinh đã cho. Giả sử trong không gian \(Oxyz\), 4 vệ tinh có tọa độ là \(A\left( { - 1;6;3} \right)\), \(B\left( {4;8;1} \right)\), \(C\left( {9;6;7} \right)\), \(D\left( { - 15;18;7} \right)\). Biết khoảng cách từ \(M\) đến các vệ tinh lần lượt là \(MA = 6\), \(MB = 7\), \(MC = 12\), \(MD = 24\). Khi đó tọa độ điểm \(M\left( {{x_M};\,{y_M};\,{z_M}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = {x_M} + {y_M} + {z_M}\).
Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\). Khi đó ta có:
\({\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = 36 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2a - 12b - 6c + 10 = 0\) \(\left( 1 \right)\)
\({\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b - 8} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = 49 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 8a - 16b - 2c + 32 = 0\) \(\left( 2 \right)\)
\({\left( {a - 9} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 144 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 18a - 12b - 14c + 22 = 0\) \(\left( 3 \right)\)
\({\left( {a + 15} \right)^2} + {\left( {b - 18} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 576 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 30a - 36b - 14c + 22 = 0\) \(\left( 4 \right)\)
Giải hệ gồm 4 phương trình trên ta được \(a = 1;b = 2;c = - 1\) nên \(M\left( {1;2; - 1} \right)\).
Vậy \(T = 1 + 2 + \left( { - 1} \right) = 2\).
Đáp án: 2.
Tại một nút giao thông có \[2\] con đường khác mức. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz hai con đường đó thuộc hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\); \({d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{{ - 3}}\).
Người ta muốn tạo một con đường \(\Delta \) cắt \({d_1},\,{d_2}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho \(AB\) nhỏ nhất. Tính độ dài \(AB\), kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.
Ta có \(AB\) ngắn nhất khi \(AB\) là đoạn vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\).
Gọi \(A\left( {2 + a;2 + a; - a} \right) \in {d_1};\,\,B\left( {2 + b; - 1 + 2b; - 3b} \right) \in {d_2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \left( {b - a;2b - a - 3; - 3b + a} \right)\).
\({d_1},\,{d_2}\) lần lượt có các véc tơ chỉ phương là \({\vec u_{{d_1}}} = \left( {1;1; - 1} \right)\) và \({\vec u_{{d_2}}} = \left( {1;2; - 3} \right)\)
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .{{\vec u}_{{d_1}}} = 0\\\overrightarrow {AB} .{{\vec u}_{{d_2}}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1\left( {b - a} \right) + 1\left( {2b - a - 3} \right) - 1\left( { - 3b + a} \right) = 0\\1\left( {b - a} \right) + 2\left( {2b - a - 3} \right) - 3\left( { - 3b + a} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6b - 3a - 3 = 0\\14b - 6a - 6 = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;1;1} \right)\\B\left( {2; - 1;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 1} \right)\]
Do đó \[\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt 6 \approx 2,45\].
Đáp án: 2,45.
Để xác định vị trí của máy bay khi đang bay, người ta gắn một hệ trục toạ độ \(Oxyz\) với gốc toạ độ đặt tại một sân bay để xác định toạ độ của sân bay. Biết rằng cao độ của toạ độ máy bay chính là độ cao của máy bay đối với mặt đất. Đơn vị độ dài trên mỗi trục toạ độ là 100 m.
Một máy bay đang bay với quỹ đạo là một đường thẳng trong không gian với vận tốc bay không đổi. Tại một thời điểm nào đó, máy bay đang ở vị trí có toạ độ \(\left( {200;70;118} \right)\). Sau 50 giây, độ cao của máy bay so với mặt đất giảm 400 m. Hỏi sau 25 giây nữa, khoảng cách từ sân bay tới máy bay là bao nhiêu kilomet, biết rằng trong suốt quá trình bay này, máy bay có đi qua điểm có toạ độ \(\left( {80;105;113} \right)\)?
Do máy bay bay trên đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {200;70;118} \right)\) và \(\left( {80;105;113} \right)\) nên quỹ đạo bay của máy bay là đường thẳng có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 200 - 24t}\\{y = 70 + 7t}\\{z = 118 - t}\end{array}} \right.\)
Sau 50 giây, độ cao của máy bay giảm 400 m, tức là cao độ của máy bay giảm đi 4. Do máy bay bay với vận tốc không đổi nên sau 25 giây, độ cao của máy bay sẽ giảm đi thêm 200 m, tức là cao độ giảm đi thêm 2. Khi đó, tại thời điểm này, cao độ của máy bay là \(118 - 4 - 2 = 112\).
Xét phương trình \(118 - t = 112 \Leftrightarrow t = 6\). Khi đó, sau 75 giây, toạ độ của máy bay là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 200 - 24.6 = 56}\\{{y_0} = 70 + 7.6 = 112}\\{{z_0} = 118 - 6 = 112}\end{array}} \right.\).
Khoảng cách từ sân bay đến máy bay khi đó là
\(S = \sqrt {{{5600}^2} + {{11200}^2} + {{11200}^2}} = 16800\,{\rm{(m)}} = 16,8\,\,{\rm{(km)}}\).
Đáp án: 16,8.
Hệ thống định vị toàn cầu GPS hiện tại có 24 vệ tinh, mỗi vệ tinh cách trái đất 20000 km, ta coi Trái đất là một khối cầu có bán kính \(R = 6\)(nghìn km). Với hệ tọa độ \(Oxyz\) đã chọn, \(O\) là tâm trái đất và đơn vị trên mỗi trục là nghìn km, hai vệ tinh có tọa độ \(A\left( {26;0;0} \right)\), \(B\left( {0;26;0} \right)\). Xét điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc bề mặt Trái Đất. Tính giá trị nhỏ nhất của \(MA + MB\) theo đơn vị nghìn km (làm tròn đến hàng đơn vị).
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} = 36\).
Ta có \(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x - 26} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 26} \right)}^2} + {z^2}} \).
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:
\(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x - 26} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 26} \right)}^2} + {z^2}} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2} + 4{z^2}} \)
\( \ge \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \).
Điều kiện để \(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \) là khi \(z = 0\), khi đó \(\,{x^2} + {y^2} = 36\)
Mặt khác, vì \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc mặt cầu tâm \(O\), bán kính bằng 6 nên \( - 6 \le x;y;z \le 6\) dó đó \(x + y > - 12\).
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có \(x + y \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} = \sqrt {2.36} = 6\sqrt 2 \).
Đặt \(t = x + y \Rightarrow - 12 < t \le 6\sqrt 2 \), khi đó \(f\left( t \right) = MA + MB = \sqrt {{{\left( {t - 52} \right)}^2} + {t^2}} = \sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} \).
\(f'\left( t \right) = \frac{{2t - 52}}{{\sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} }}\).
Dễ thấy hàm số \[f'\left( t \right) \le 0\,\]khi \( - 12 < t \le 6\sqrt 2 \). Do đó \(f\left( t \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên \( - 12 < t \le 6\sqrt 2 \) khi \(t = 6\sqrt 2 \) và bằng \(f\left( {6\sqrt 2 } \right) = \sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} = \sqrt {2776 - 624\sqrt 2 } \approx 44\).
Đáp án: 44 .
Với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(O\) nằm trên mặt nước, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là mặt nước, trục \(Oz\) hướng lên trên (đơn vị đo: mét), một con chim bói cá đang săn mồi ở vị trí \[C\] cách mặt nước \[5\,\,{\rm{m,}}\] cách mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right),\left( {Oyz} \right)\) lần lượt là \(6\,\,{\rm{m}}\) và \(2\,{\rm{m}}\), từ vị trí này nó phóng thẳng xuống vị trí con cá ở vị trí \[A\], biết con cá cách mặt nước \(50\,\,{\rm{cm,}}\)cách mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right),\left( {Oyz} \right)\) lần lượt là \(1\,{\rm{m}}\) và \(1,5\,{\rm{m}}\) (tham khảo hình vẽ).
Giả sử vận tốc của con chim bói cá là \(4\,\,{\rm{m/s}}\), hỏi sau bao nhiêu giây thì nó chạm tới mặt nước (làm tròn đến hàng phần trăm)?
Gọi vị trí của con chim bói cá ban đầu là \(C\) và vị trí của con cá là \(A\).
Khi đó ta có \(C\left( {2;6;5} \right)\) và \(A\left( {1,5\,;1\,; - 0,5} \right).\)
Điểm \(B\) lúc chim bói cá tiếp xúc với mặt nước là giao điểm của đường thẳng \(AC\) và \(\left( {Oxy} \right)\).
Đường thẳng \(AC\) đi qua điểm \(C\left( {2;6;5} \right)\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 0,5;\, - 5; - 5,5} \right),\) chọn \(\vec u = \left( { - 1; - 10; - 11} \right).\)
Khi đó phương trình của \(AC:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 6 - 10t\\z = 5 - 11t\end{array} \right.\).
Phương trình của \(\left( {Oxy} \right)\) là \(z = 0.\)
Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm \(\left( {x;y;z} \right)\)của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 6 - 10t\\z = 5 - 11t\\z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{5}{{11}}\\x = \frac{{17}}{{11}}\\y = \frac{{16}}{{11}}\\z = 0\end{array} \right.\).
Suy ra \(B\left( {\frac{{17}}{{11}};\frac{{16}}{{11}};0} \right)\) , độ dài đoạn \(CB = \frac{{5\sqrt {222} }}{{11}}\).
Thời gian đi quãng đường \[BC\]là \[t = \frac{{BC}}{v} = \frac{{\frac{{5\sqrt {222} }}{{11}}}}{4} = \frac{{5\sqrt {222} }}{{44}} \approx 1,69\,\left( {\rm{s}} \right)\].
Vậy sau 1,69 giây thì chim bói cá chạm tới mặt nước.
Đáp án: 1,69.
Hai chiếc flycam bay lên từ cùng một địa điểm. Sau một thời gian chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát 300 m về phía Nam và 100 m về phía Đông, đồng thời cách mặt đất 100 m. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 200 m về phía Bắc và 100 m về phía Tây, đồng thời cách mặt đất 50 m. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất quan sát thấy hai chiếc flycamnói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát trên mặt đất, vị trí người đứng có tổng khoảng cách đến hai chiếc flycam là nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm xuất phát của hai chiếc flycam(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).
Chọn hệ trục Oxyz với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát của hai flycam, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía Nam, trục Oy hướng về phía Đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo mét.
Gọi \(A,B,M\) lần lượt là vị trí của flycam thứ nhất, flycam thứ hai và người quan sát.
Khi đó \(A\left( {300;100;100} \right),B\left( { - 200; - 100;50} \right),M\left( {a;b;0} \right)\).
Gọi \(B'\) là điểm đối xứng của \(B\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Suy ra \(B'\left( { - 200; - 100; - 50} \right)\).
Ta có \(MA + MB = MA + MB' \ge AB'\).
Do đó \(MA + MB\) nhỏ nhất khi bằng \(AB'\) hay \(M\) là giao điểm của \(AB'\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Suy ra \(A,B',M\) thẳng hàng hay \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB'} \) cùng phương.
Có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AM} = \left( {a - 300;b - 100; - 100} \right)}\\{\overrightarrow {AB'} \left( { - 500; - 200; - 150} \right)}\end{array}} \right.\).
\( \Rightarrow \frac{{a - 300}}{{ - 500}} = \frac{{b - 100}}{{ - 200}} = \frac{{ - 100}}{{ - 150}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - \frac{{100}}{3}}\\{b = - \frac{{100}}{3}}\end{array}} \right.\).
Suy ra \(M\left( { - \frac{{100}}{3}; - \frac{{100}}{3};0} \right)\).
Vậy khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm xuất phát của hai chiếc flycam là: \(OM = \frac{{100\sqrt 2 }}{3} \approx 47\).
Đáp án : 47.
B. Tự luận
Trong không gian \(Oxyz\)(đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 5 = 0\) và \(\left( Q \right):\,\,x - 2y - 3{\rm{z}} + 20 = 0\). Hỏi là chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn nhà lên nóc nhà (điểm cao nhất của mái nhà) là bao nhiêu?
Những điểm thuộc đường nóc nhà có tọa độ thỏa mãn hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y + 5 = 0}\\{x - 2y - 3z + 20 = 0}\end{array}} \right.\,\).
Từ phương trình thứ nhất chọn \(x = - 5 \Rightarrow y = 0\). Thay vào phương trình còn lại ta được \(z = 5\).
Vậy điểm \(A\left( { - 5;0;5} \right)\) là một điểm thuộc đường nóc nhà. Khi đó chiều cao cần tìm của ngôi nhà là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và bằng 5 mét.
Trong không gian \(Oxyz\), một viên đạn được bắn ra từ điểm \(A\left( {1;\,3\,;4} \right)\) và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi, vectơ vận tốc (trên giây) là \[\overrightarrow v = \left( {2;1;6} \right).\] Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?
(a) Mục tiêu đặt tại điểm \(M\left( {7;\frac{7}{2};21} \right)\).
(b) Mục tiêu đặt tại điểm \(N\left( { - 3;\,1;\, - 8} \right)\).
Phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\z = 4 + 6t\end{array} \right.\).
a) Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình chuyển động ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}7 = 1 + 2t\\\frac{7}{2} = 3 + t\\21 = 4 + 6t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t = \frac{1}{2}\\t = \frac{{17}}{6}\end{array} \right.\).
Ta thấy các giá trị \(t\) này đều khác nhau do đó điểm \(M\) không nằm trên quỹ đạo chuyển động của viên đạn nên viên đạn không bắn trúng mục tiêu đặt tại điểm \(M\).
b) Thay tọa độ điểm \(N\) vào phương trình chuyển động của viên đạn ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 3 = 1 + 2t\\1 = 3 + t\\ - 8 = 4 + 6t\end{array} \right. \Leftrightarrow t = - 2\)
Suy ra điểm \(N\) nằm trên quỹ đạo chuyển động của viên đạn. Do đó viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu đặt tại điểm \(N\).
Bác An dự định làm bốn mái nhà của một ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp tứ giác đều và các mái kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng đó có làm được không?
Giả sử mái nhà của ngôi nhà được minh họa như hình vẽ trên. Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Gọi các cạnh đáy của hình chóp có độ dài là \(a\) và các cạnh bên có độ dài là \(b\).
Vì \(ABCD\)là hình vuông cạnh \(a\) nên \(OA = OB = OC = OD = a\sqrt 2 \).
Vì \(SO\) là đường cao của tam giác \(SOC\)nên \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} \).
Khi đóta có: \(O\left( {0;0;0} \right);\,A\left( {\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),B\left( {0;\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2};0} \right);D\left( {0;\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\) và \(S\left( {0;0;\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {SC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right);\,\overrightarrow {DC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\); \(\,\overrightarrow {BC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\).
Mặt khác: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ;\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right] = \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\);
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ;\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} \) làm một vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_2}} \) làm một vectơ pháp tuyến.
Vì \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = \frac{{ - {a^2}}}{2} \ne 0\) do đó hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\)không vuông góc với nhau.
Do đó ý tưởng trên không thực hiện được.
Trên một cánh đồng điện năng lượng mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ \(Oxyz\). Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2z + 1 = 0\) và \(\left( {P'} \right):x + z + 7 = 0\).
(a) Tính góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\).
(b) Tính góc hợp bởi \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) với mặt đất \(\left( Q \right)\) có phương trình \(z = 0\).
a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {2;0;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {P'} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \({\vec n^{\rm{'}}} = \left( {1;0;1} \right)\) nên \({\rm{cos}}\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 0.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{4} = 1\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = 0^\circ \).
b) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;0;1} \right)\).
\({\rm{cos}}\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 0.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{2}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)\( \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 45^\circ \).
\({\rm{cos}}\left( {\left( {P'} \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 0.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)\( \Rightarrow \left( {\left( {P'} \right),\left( Q \right)} \right) = 45^\circ \).
