Bài tập ôn tập Toán 11 Kết nối tri thức Chương 9 có đáp án
55 câu hỏi
Đạo hàm của hàm số \(y = \tan 2x\) \(\left( {x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right)\) là
\(y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}2x}}\).
\(y' = \frac{2}{{{{\cos }^2}2x}}\).
\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\cos }^2}2x}}\).
\(y' = \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}\).
\(y' = \frac{{{{\left( {2x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}2x}} = \frac{2}{{{{\cos }^2}2x}}\). Chọn B.
Hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} - 4x + 2023\) có đạo hàm là
\(y' = 3{x^2} + 4x + 2023\).
\(y' = 3{x^2} + 2x - 4\).
\(y' = 3{x^2} + 4x - 4\).
\(y' = {x^2} - 4x - 4\).
\(y' = 3{x^2} + 4x - 4\). Chọn C.
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{2x - 3}}\) trên tập xác định là
\(y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\).
\(y' = - \frac{1}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\).
\(y' = \frac{5}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\).
\(y' = \frac{1}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\).
Ta có \(y' = \frac{{2x - 3 - 2\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\). Chọn B.
Đạo hàm của hàm số \(y = \sin \left( {3x + 2} \right)\) là
\(y' = - 3\cos \left( {3x + 2} \right)\).
\(y' = 3\cos \left( {3x + 2} \right)\).
\(y' = 3\sin \left( {3x + 2} \right)\).
\(y' = \cos \left( {3x + 2} \right)\).
Ta có \(y' = {\left( {3x + 2} \right)^\prime }\cos \left( {3x + 2} \right) = 3\cos \left( {3x + 2} \right)\). Chọn B.
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^4} + 4\sqrt x \left( {x > 0} \right)\) là
\(y' = 4{x^3} + \frac{4}{{\sqrt x }}\).
\(y' = {x^3} + \frac{4}{{\sqrt x }}\).
\(y' = 4{x^3} + \frac{2}{{\sqrt x }}\).
\(y' = {x^3} + \frac{2}{{\sqrt x }}\).
Ta có \(y' = 4{x^3} + \frac{4}{{2\sqrt x }} = 4{x^3} + \frac{2}{{\sqrt x }}\). Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và đạo hàm \(f'\left( 3 \right) = - 6\). Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {3;f\left( 3 \right)} \right)\) bằng
\(2\).
\( - 6\).
\( - 10\).
\(10\).
Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {3;f\left( 3 \right)} \right)\) bằng \(f'\left( 3 \right) = - 6\). Chọn B.
Đạo hàm của hàm số \(y = 5x - \cos x\) là
\(5 + \sin x\).
\(1 - \sin x\).
\(\sin x\).
\(5 - \sin x\).
\(y' = 5 + \sin x\). Chọn A.
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^2}3x\) là
\(f'\left( x \right) = - 3\sin 6x\).
\(f'\left( x \right) = 2\sin 3x\).
\(f'\left( x \right) = 3\sin 6x\).
\(f'\left( x \right) = 2\cos 3x\).
Ta có \(f'\left( x \right) = 2 \cdot \sin 3x \cdot \cos 3x \cdot 3 = 3\sin 6x\). Chọn C.
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = {x^4} + 2x - 2023\) là
\(12{x^2}\).
\(4{x^3}\).
\(4{x^2}\).
\(12x\).
Ta có \(y' = 4{x^3} + 2;y'' = 12{x^2}\). Chọn A.
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \(y = {x^3}\) tại điểm \(\left( { - 1; - 1} \right)\).
\(y = - 3x - 4\).
\(y = - 1\).
\(y = 3x - 2\).
\(y = 3x + 2\).
Ta có \(y' = 3{x^2}\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(\left( { - 1; - 1} \right)\) là \(y'\left( { - 1} \right) = 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} = 3\).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = 3\left( {x + 1} \right) - 1 = 3x + 2\). Chọn D.
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} - 4\) tại điểm \(x = 1\) là
\(1\).
\(10\).
\(4\).
\(16\).
Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x;f''\left( x \right) = 6x - 2\).
Do đó \(f''\left( 1 \right) = 6 \cdot 1 - 2 = 4\). Chọn C.
Hàm số \(y = {x^2}\cos x\) có đạo hàm là
\(y' = 2x\sin x + {x^2}\cos x\).
\(y' = 2x\sin x - {x^2}\cos x\).
\(y' = 2x\cos x - {x^2}\sin x\).
\(y' = 2x\cos x + {x^2}\sin x\).
Ta có \(y' = 2x\cos x - {x^2}\sin x\). Chọn C.
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có \(f'\left( 1 \right) = 3;g'\left( 1 \right) = 4\). Đạo hàm của hàm số \(2f\left( x \right) - g\left( x \right)\) tại điểm \(x = 1\) bằng
\(2\).
\(7\).
\(6\).
\(1\).
Ta có \(y' = 2f'\left( x \right) - g'\left( x \right)\).
Khi đó \(y'\left( 1 \right) = 2f'\left( 1 \right) - g'\left( 1 \right) = 2 \cdot 3 - 4 = 2\). Chọn A.
Một chất điểm chuyển động có phương trình \(s = f\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - {t^2} + 4t + 5\) (\(s\) tính bằng mét, \(t\) tính bằng giây). Tìm gia tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 2\) giây.
\(4\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).
\(1\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).
\(3\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).
\(2\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).
\(v\left( t \right) = f'\left( t \right) = {t^2} - 2t + 4\); \(a\left( t \right) = f''\left( t \right) = 2t - 2\).
Gia tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 2\) giây là \(a\left( 2 \right) = 2 \cdot 2 - 2 = 2\) m/s2. Chọn D.
Cho hàm số \(y = {x^3} - 2x + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tính hệ số góc \(k\) của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( { - 1;2} \right)\).
\(k = - 5\).
\(k = 25\).
\(k = 3\).
\(k = 1\).
Ta có \(y' = 3{x^2} - 2\); \(y'\left( { - 1} \right) = 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 2 = 1\).
Hệ số góc \(k\) của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( { - 1;2} \right)\) là \(y'\left( { - 1} \right) = 1\). Chọn D.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} - 4x + 6\). Tìm nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\).
\(x = - 1;x = 4\).
\(x = 1;x = 4\).
\(x = 0;x = 3\).
\(x = - 1\).
Ta có \(f'\left( x \right) = {x^2} - 3x - 4\).
Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 1\end{array} \right.\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - 1;x = 4\). Chọn A.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2x + 4\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Hàm số \(y = f\left( {2x} \right)\) có đạo hàm là
\(4{x^2} + 8x\).
\(8x + 8\).
\(4x + 8\).
\(4x + 4\).
\(y' = 2f'\left( {2x} \right) = 2\left( {4x + 4} \right) = 8x + 8\). Chọn B.
Đạo hàm của hàm số \(y = {3^x}\) là
\(y' = {3^x}\).
\(y' = x \cdot {3^{x - 1}}\).
\(y' = {3^x}\ln 3\).
\(y' = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\).
Ta có \(y' = {3^x}\ln 3\). Chọn C.
Cho hàm số \(y = {\left( {\ln x} \right)^2}\). Đạo hàm của hàm số đã cho là
\(y' = \frac{2}{x}\).
\(y' = \frac{{2\ln x}}{x}\).
\(y' = \frac{{\ln x}}{x}\).
\(y' = 2\ln x\).
Ta có \(y' = 2\ln x \cdot {\left( {\ln x} \right)^\prime } = \frac{{2\ln x}}{x}\). Chọn B.
Với \(x > 0\), đạo hàm của hàm số \(y = {2^x} + {\log _5}x\) là
\(y' = {2^x} \cdot \ln 2 + \frac{1}{{x \cdot \ln 2}}\).
\(y' = {2^x} + \frac{1}{{x \cdot \ln 5}}\).
\(y' = {2^x} \cdot \ln 2 + \frac{1}{{\ln 2}}\).
\(y' = {2^x} \cdot \ln 2 + \frac{1}{{x \cdot \ln 5}}\).
\(y' = {\left( {{2^x} + {{\log }_5}x} \right)^\prime }\)\( = {2^x} \cdot \ln 2 + \frac{1}{{x \cdot \ln 5}}\). Chọn D.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(y = {x^3} - 2x\) tại điểm \(M\left( {2;4} \right)\) là
\(y = 12x - 20\).
\(y = 2x\).
\(y = 10x - 16\).
\(y = 10x + 4\).
Ta có \(y' = 3{x^2} - 2\).
Hệ số góc tiếp tuyến tại \(M\) là \(y'\left( 2 \right) = 10\).
Phương trình tiếp tuyến tại \(M\) là \(y = 10\left( {x - 2} \right) + 4 = 10x - 16\). Chọn C.
Đạo hàm của hàm số \(y = \sin 2x\) là
\(y' = - \cos 2x\).
\(y' = 2\cos 2x\).
\(y' = 2\cos x\).
\(y' = \cos 2x\).
Ta có \[y' = {\left( {2x} \right)^\prime } \cdot \cos 2x = 2\cos 2x\]. Chọn B.
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {{x^3} + 2{x^2}} \right)^{10}}\).
\(y' = 10\left( {3{x^2} + 2x} \right){\left( {{x^3} + 2{x^2}} \right)^9}\).
\(y' = 10{\left( {3{x^2} + 4x} \right)^9}\).
\(y' = 10{\left( {{x^3} + 2{x^2}} \right)^9}\).
\(y' = 10\left( {3{x^2} + 4x} \right){\left( {{x^3} + 2{x^2}} \right)^9}\).
Ta có \(y' = 10\left( {3{x^2} + 4x} \right){\left( {{x^3} + 2{x^2}} \right)^9}\). Chọn D.
Hàm số \(y = {e^{2x}}\) có đạo hàm là
\({e^{2x}}\).
\(\left( {2 + x} \right){e^x}\).
\(2x{e^x}\).
\(2{e^{2x}}\).
\(y' = {\left( {{e^{2x}}} \right)^\prime } = 2{e^{2x}}\). Chọn D.
Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động là \(S = \frac{1}{2}g{t^2}\), trong đó \(t\) tính bằng giây, \(S\) tính bằng mét và \(g = 9,8\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\). Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 4\) giây là
\(v = 9,8\;{\rm{m/s}}\).
\(v = 78,4\;{\rm{m/s}}\).
\(v = 19,6\;{\rm{m/s}}\).
\(v = 39,2\;{\rm{m/s}}\).
Ta có \(v\left( t \right) = S' = gt\).
Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 4\) giây là \(v\left( 4 \right) = 9,8 \cdot 4 = 39,2\) m/s. Chọn D.
Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 3x + 2} \) là biểu thức có dạng \(\frac{{ax + 3}}{{2\sqrt {{x^2} + 3x + 2} }}\). Khi đó \(a\) bằng
\(4\).
\(1\).
\(2\).
\( - 2\).
Ta có \[y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} + 3x + 2} }} = \frac{{2x + 3}}{{2\sqrt {{x^2} + 3x + 2} }}\]. Suy ra \(a = 2\). Chọn C.
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sin x + \cos x\).
\(y' = \sin x - \cos x\).
\(y' = \sin x\cos x\).
\(y' = \cos x - \sin x\).
\(y' = \sin x + \cos x\).
\(y' = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^\prime } = \cos x - \sin x\). Chọn C.
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và\(y = g\left( x \right)\) có \(f'\left( 2 \right) = 4\) và \(g'\left( 2 \right) = 5\). Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) tại điểm \(x = 2\) bằng
\( - 1\).
\(20\).
\(1\).
\(9\).
Ta có \(y' = f'\left( x \right) + g'\left( x \right)\). Khi đó \(y'\left( 2 \right) = f'\left( 2 \right) + g'\left( 2 \right) = 4 + 5 = 9\). Chọn D.
Đạo hàm của hàm số \(y = 2{x^3} + 1\) tại điểm \(x = - 2\) bằng
\(12\).
\(24\).
\( - 12\).
\( - 24\).
Ta có \(y' = 6{x^2}\). Khi đó \(y'\left( { - 2} \right) = 6 \cdot {\left( { - 2} \right)^2} = 24\). Chọn B.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = 2\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(f'\left( 2 \right) = 3\).
\(f\left( x \right) = 2\).
\(f\left( x \right) = 3\).
\(f'\left( 3 \right) = 2\).
\(f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = 2\). Chọn D.
Một vật được thả rơi tự do ở độ cao 147 m có phương trình chuyển động \(S\left( t \right) = \frac{1}{2}g{t^2}\), trong đó \(g = 9,8\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\) và \(t\) tính bằng giây (s).
Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t\) giây được tính theo công thức \(V\left( t \right) = gt\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Thời gian từ khi vật được thả đến khi vật chạm đất là 5 giây (làm tròn đến hàng đơn vị giây).
Vận tốc của vật tại thời điểm chạm đất bằng 54 m/s (làm tròn đến hàng đơn vị m/s).
Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t\) giây \(a = g\;\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\).
a) \[V\left( t \right) = S'\left( t \right) = gt\] (m/s).
b) Thời gian từ khi vật được thả đến khi vật chạm đất là:
\(\frac{1}{2}g{t^2} = 147\)\( \Leftrightarrow 9,8{t^2} = 294 \Leftrightarrow {t^2} = 30 \Leftrightarrow t = \sqrt {30} \approx 5\) giây.
c) Vận tốc của vật tại thời điểm chạm đất là \[V\left( {\sqrt {30} } \right) = 9,8 \cdot \sqrt {30} \approx 54\] m/s.
d) Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t\) giây là \[a\left( t \right) = V'\left( t \right) = g\] (m/s2).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = - 4{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x + 3\), biết \(y' = a{x^2} + bx + c\). Khi đó:
\(a + b + c = - 10\).
Phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Đồ thị hàm số \(y'\) cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - 2} \right)\).
Đồ thị hàm số \(y'\) cắt đường thẳng \(y = 3\) tại hai điểm phân biệt.
a) Có \(y' = - 12{x^2} + x - 2\). Suy ra \(a = - 12;b = 1;c = - 2\).
Do đó \(a + b + c = - 13\).
b) Có \(y' = 0 \Leftrightarrow - 12{x^2} + x - 2 = 0\).
Có \(\Delta = {1^2} - 4 \cdot \left( { - 12} \right) \cdot \left( { - 2} \right) < 0\) nên phương trình vô nghiệm.
c) Thay \(x = 0\) vào \(y'\) ta được \(y' = - 2\).
Suy ra đồ thị hàm số \(y'\) cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - 2} \right)\).
d) Có \(y' = 3 \Leftrightarrow - 12{x^2} + x - 2 = 3\)\( \Leftrightarrow - 12{x^2} + x - 5 = 0\).
Có \(\Delta = {1^2} - 4 \cdot \left( { - 12} \right) \cdot \left( { - 5} \right) < 0\) nên phương trình vô nghiệm.
Do đó đồ thị hàm số \(y'\) không cắt đường thẳng \(y = 3\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\) có đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\); \(y = g\left( x \right) = 1 - 2x\) có đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\).
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\).
Phương trình \({\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = 0\) có tập nghiệm \(T = \left\{ {0;2} \right\}\).
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) bằng \( - 1\).
Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) có phương trình là \(y = - 3x + 2\).
a) \(y' = f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\).
b) Có \({\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime }\)\( = {\left[ {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right)\left( {1 - 2x} \right)} \right]^\prime }\)\( = \left( {3{x^2} - 6x} \right)\left( {1 - 2x} \right) - 2\left( {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right)\)
\( = - 8{x^3} + 21{x^2} - 6x - 2\).
Khi đó \({\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = 0\)\( \Leftrightarrow - 8{x^3} + 21{x^2} - 6x - 2 = 0\).
Thay lần lượt \(x = 0;x = 2\) vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.
Vậy \(T = \left\{ {0;2} \right\}\) không là tập nghiệm của phương trình\({\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = 0\).
c) Có \(y' = g'\left( x \right) = - 2\).
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) bằng \( - 2\).
d) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) là \(f'\left( 1 \right) = 3 \cdot {1^2} - 6 \cdot 1 = - 3\).
Với \({x_0} = 1\) thì \({y_0} = - 1\).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = - 3\left( {x - 1} \right) - 1 = - 3x + 2\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + 1\) và \(g\left( x \right) = {e^x}\).
\(f'\left( x \right) = 2\).
\(g'\left( 0 \right) = 1\).
\({\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = \left( {x + 2} \right) \cdot {e^x}\).
\({\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right]^\prime } = \frac{{x + 1}}{{{e^x}}}\).
a) \(f'\left( x \right) = 1\).
b) \(g'\left( x \right) = {e^x}\). Khi đó \(g'\left( 0 \right) = {e^0} = 1\).
c) \[{\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = {\left[ {\left( {x + 1} \right) \cdot {e^x}} \right]^\prime } = {e^x} + \left( {x + 1} \right) \cdot {e^x} = \left( {x + 2} \right) \cdot {e^x}\].
d) \({\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right]^\prime } = {\left( {\frac{{x + 1}}{{{e^x}}}} \right)^\prime } = \frac{{{e^x} - \left( {x + 1} \right){e^x}}}{{{e^{2x}}}} = \frac{{ - x}}{{{e^x}}}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số \(y = x \cdot {e^{4x}}\).
Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc \(k = 5{e^4}\).
\(y' = {e^{4x}} + 4y\).
Phương trình \(y' = \left( {1 + 4x} \right)\left( {{e^{2x}} + 2} \right)\) có đúng 1 nghiệm dương.
Hàm số đã cho có đạo hàm cấp hai \(y'' = \left( {ax + b} \right) \cdot {e^{4x}}\) với \({a^2} + {b^2} = 41\).
a) Có \(y' = {e^{4x}} + 4x{e^{4x}}\).
Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc \(k = y'\left( 1 \right) = {e^4} + 4{e^4} = 5{e^4}\).
b) \(y' = {e^{4x}} + 4x{e^{4x}}\)\( = {e^{4x}} + 4y\).
c) \(y' = \left( {1 + 4x} \right)\left( {{e^{2x}} + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow {e^{4x}} + 4x{e^{4x}} = \left( {1 + 4x} \right)\left( {{e^{2x}} + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {1 + 4x} \right){e^{4x}} - \left( {1 + 4x} \right)\left( {{e^{2x}} + 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {1 + 4x} \right)\left( {{e^{4x}} - {e^{2x}} + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + 4x = 0\\{e^{4x}} - {e^{2x}} + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{4}\\{e^{4x}} - {e^{2x}} + 2 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - \frac{1}{4}\).
Do đó phương trình \(y' = \left( {1 + 4x} \right)\left( {{e^{2x}} + 2} \right)\) có đúng 1 nghiệm âm.
d) \(y'' = {\left( {{e^{4x}} + 4x{e^{4x}}} \right)^\prime } = 4{e^{4x}} + 4{e^{4x}} + 16x{e^{4x}} = \left( {8 + 16x} \right){e^{4x}}\).
Suy ra \(a = 16;b = 8\). Vậy \({a^2} + {b^2} = 320\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\).
\(f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f''\left( x \right) \ge 2,\forall x \in \mathbb{R}\).
Phương trình \(f'\left( x \right) = {e^x}\) có nghiệm duy nhất thuộc khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
\(f'\left( 1 \right) = 2\ln 2\).
a) \(f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2,\forall x \in \mathbb{R}\).
b) \(f''\left( x \right) = {2^x}{\left( {\ln 2} \right)^2} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
c) \(f'\left( x \right) = {e^x}\)\( \Leftrightarrow {2^x}\ln 2 = {e^x}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x} = \frac{1}{{\ln 2}}\)\[ \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{2}{e}}}\left( {\frac{1}{{\ln 2}}} \right) < 0\].
d) \(f'\left( 1 \right) = {2^1}\ln 2 = 2\ln 2\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \ln \frac{x}{{x + 1}} - 2025\).
Tập xác định của hàm số là \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
Đạo hàm của hàm số là \(y' = - \frac{1}{{{x^2} + x}}\).
Giá trị \(y'\left( 3 \right) = \frac{{13}}{{12}}\).
Tổng \(T = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2025} \right)\) bằng \(\frac{{2025}}{{2026}}\).
a) Điều kiện \(\frac{x}{{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 0\end{array} \right.\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
b) Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)}^\prime }}}{{\frac{x}{{x + 1}}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cdot \frac{{x + 1}}{x} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{{x^2} + x}}\).
c) \(y'\left( 3 \right) = \frac{1}{{{3^2} + 3}} = \frac{1}{{12}}\).
d) Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x}} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).
Do đó \(T = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2025} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2025}} - \frac{1}{{2026}}\)\( = 1 - \frac{1}{{2026}} = \frac{{2025}}{{2026}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\) có đồ thị là \(\left( C \right)\).
\(f'\left( 1 \right) = 0\).
Có đúng một tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với trục \(Ox\).
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {2;1} \right)\) của \(\left( C \right)\) là \(y = 3x - 5\).
Tập nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 3\) là \(S = \left\{ {0;2} \right\}\).
a) \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 3\). Khi đó \(f'\left( 1 \right) = 3 \cdot {1^2} - 6 \cdot 1 + 3 = 0\).
b) Vì tiếp tuyến song song với trục \(Ox\) nên \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Với \(x = 1 \Rightarrow y = 0\). Khi đó tiếp tuyến là \(y = 0\) (loại).
Vậy không có tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với trục \(Ox\).
c) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {2;1} \right)\) là \(f'\left( 2 \right) = 3 \cdot {2^2} - 6 \cdot 2 + 3 = 3\).
Do đó phương trình tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {2;1} \right)\) của \(\left( C \right)\) là \(y = 3\left( {x - 2} \right) + 1 = 3x - 5\).
d) Có \(f'\left( x \right) = 3\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3 = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {0;2} \right\}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{x}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 2 là \(y = - x + 4\).
Có đúng hai tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(y = - x\).
\(f''\left( 3 \right) = \frac{1}{4}\).
a) Điều kiện \(x \ne 1\).
Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
b) Ta có \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là \(y'\left( 2 \right) = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} = - 1\).
Với \(x = 2 \Rightarrow y = 2\).
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = - \left( {x - 2} \right) + 2 = - x + 4\).
c) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(y = - x\) nên −1x−12=−1⇔x−12=1⇔x=0x=2
Với \(x = 0 \Rightarrow y = 0\). Khi đó tiếp tuyến trùng với đường thẳng \(y = - x\) (loại).
Với \(x = 2 \Rightarrow y = 2\) thì tiếp tuyến là \(y = - x + 4\) (theo câu b).
d) Có \(f''\left( x \right) = \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\). Khi đó \(f''\left( 3 \right) = \frac{2}{{{{\left( {3 - 1} \right)}^3}}} = \frac{1}{4}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\).
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) tại điểm \(x = - 1\) bằng 5.
f'x=3x+22.
\(f''\left( x \right) = - \frac{6}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\) là \(\mathbb{R}\).
a) \(f'\left( x \right) = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\). Khi đó \(f'\left( { - 1} \right) = \frac{5}{{{{\left( { - 1 + 2} \right)}^2}}} = 5\).
b) \(f'\left( x \right) = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
c) \(f''\left( x \right) = - \frac{{10\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^4}}} = - \frac{{10}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}\).
d) Có \(f'\left( x \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\)\( \Leftrightarrow x \ne - 2\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình \(h\left( t \right) = 50 - \frac{1}{2}g{t^2}\), trong đó \(h\) là độ cao của vật so với mặt đất tính bằng mét, thời gian \(t\) tính bằng giây và \(g = 9,8\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\) là gia tốc rơi tự do. Khi đó, vận tốc của vật khi vật vừa chạm đất là \({v_1}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Tìm \(\left| {{v_1}} \right|\) (làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có \(v'\left( t \right) = - gt\).
Thời điểm mà vật vừa chạm đất thì \(h\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 50 - \frac{1}{2} \cdot 9,8{t^2} = 0\)\( \Leftrightarrow t = \frac{{10\sqrt 5 }}{7}\).
Khi đó \({v_1} = v'\left( {\frac{{10\sqrt 5 }}{7}} \right) = - 9,8 \cdot \frac{{10\sqrt 5 }}{7} = - 14\sqrt 5 \approx - 31\).
Vậy \(\left| {{v_1}} \right| = 31\).
Trả lời: 31.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt {x + 1} \). Khi đó \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{m}{n}\)(\(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản). Tính \(m + n\).
\(f'\left( x \right) = \sqrt {x + 1} + \frac{x}{{2\sqrt {x + 1} }}\).
Có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} + \frac{x}{{2\sqrt {x + 1} }} = 0\)\[ \Leftrightarrow \frac{{2\left( {x + 1} \right) + x}}{{2\sqrt {x + 1} }} = 0\]\[ \Leftrightarrow \frac{{3x + 2}}{{2\sqrt {x + 1} }} = 0\]\[ \Leftrightarrow 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{2}{3}\].
Suy ra \(m = 2;n = 3 \Rightarrow m + n = 5\).
Trả lời: 5.
Cho hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1. Tính diện tích tam giác tạo bởi \(d\) và hai trục tọa độ.
Có \(y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
Với \(x = 1 \Rightarrow y = 1\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 là \(y'\left( 1 \right) = \frac{2}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}\).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 là \(y = \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right) + 1 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\).
Khi đó \(d\) cắt trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( { - 1;0} \right),B\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).
Khi đó \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) và có diện tích là \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0,25\).
Trả lời: 0,25.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f''\left( x \right) > 0\) có bao nhiêu giá trị nguyên dương \(x \le 2024\).
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\);
\(f''\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 2} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2} - 2\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}\)\( = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\).
Có \(f''\left( x \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} > 0 \Leftrightarrow x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1\).
Mà \(x \in \mathbb{Z},x \le 2024\) nên \(x \in \left\{ {0;1;2;...;2024} \right\}\).
Vậy có 2025 giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu của đề.
Trả lời: 2025.
Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức \(S\left( t \right) = 15 + 2\sqrt 3 \sin \left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)\) trong đó \(s\) tính bằng centimet và \(t\) tính bằng giây. Vận tốc cực đại của hạt bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Vận tốc của hạt sau \(t\) giây là
\(v\left( t \right) = S'\left( t \right) = {\left( {15 + 2\sqrt 3 \sin \left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)} \right)^\prime }\)\( = 2\sqrt 3 \cos \left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right) \cdot {\left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)^\prime }\)\( = 6\sqrt 3 \pi \cos \left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)\).
Vì \(\left| {\cos \left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)} \right| \le 1\) nên \(\left| {6\sqrt 3 \pi \cos \left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)} \right| \le 6\sqrt 3 \pi \) hay \(\left| {v\left( t \right)} \right| \le 6\sqrt 3 \pi \).
Do đó vận tốc cực đại của hạt là \(6\sqrt 3 \pi \approx 32,6\).
Trả lời: 32,6.
Cho hàm số fx=x2018+x2017+...+x3+x2+x+1,x≠1. Biết \(f'\left( 2 \right) = a \cdot {2^b} + 1\). Tính \(a + b\).
Với \(x \ne 1\) thì \(f\left( x \right)\) là tổng của 2019 số hạng đầu của cấp số nhân với \({u_1} = 1;q = x\) nên ta được:
\(f\left( x \right) = \frac{{1 - {x^{2019}}}}{{1 - x}} = \frac{{{x^{2019}} - 1}}{{x - 1}}\).
Khi đó \(f'\left( x \right) = \frac{{2019{x^{2018}}\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^{2019}} - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
Suy ra \(f'\left( 2 \right) = \frac{{2019 \cdot {2^{2018}}\left( {2 - 1} \right) - \left( {{2^{2019}} - 1} \right)}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} = 2017 \cdot {2^{2018}} + 1\).
Vậy \(a = 2017,b = 2018 \Rightarrow a + b = 4035\).
Trả lời: 4035.
Cho hàm số \(y = {e^{ - x}} \cdot \sin x\). Số nghiệm của phương trình \(y'' + 2y' = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;4\pi } \right]\) là bao nhiêu?
Ta có y'=−e−x⋅sinx+e−xcosx ; y''=e−xsinx−e−xcosx−e−xcosx−e−xsinx=−2e−xcosx
Khi đó \(y'' + 2y' = 0\)\( \Leftrightarrow - 2{e^{ - x}}\cos x + 2\left( { - {e^{ - x}} \cdot \sin x + {e^{ - x}}\cos x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow - 2{e^{ - x}} \cdot \sin x = 0\)\( \Leftrightarrow \sin x = 0\)\( \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vì \(x \in \left[ {0;4\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ {0;\pi ;2\pi ;3\pi ;4\pi } \right\}\) hay phương trình đã cho có 5 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;4\pi } \right]\).
Trả lời: 5.
Cho hàm số \(y = \frac{{ax - 1}}{{bx - 1}}\) (trong đó \(a,b\) là các số nguyên và \(a \ne b,b \ne 0\)) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Biết rằng \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\) có hệ số góc là một số nguyên dương. Tìm giá trị của biểu thức \(T = a + 5b\).
Vì \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) nên \(3 = \frac{{a - 1}}{{b - 1}} \Leftrightarrow a - 1 = 3\left( {b - 1} \right) \Leftrightarrow a = 3b - 2\).
Có \(y' = \frac{{ - a + b}}{{{{\left( {bx - 1} \right)}^2}}}\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(A\left( {1;3} \right)\) là \(k = \frac{{ - a + b}}{{{{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3b + 2 + b}}{{{{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{b - 1}}\).
Vì hệ số góc nguyên dương nên \(b - 1\) thuộc vào các ước âm của −2.
Khi đó \(\left[ \begin{array}{l}b - 1 = - 1\\b - 1 = - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = - 1\end{array} \right.\). Vì \(b \ne 0\) nên \(b = - 1 \Rightarrow a = - 5\).
Do đó \(T = a + 5b = - 5 + 5 \cdot \left( { - 1} \right) = - 10\).
Trả lời: −10.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^2}2x + \cos 3x\). Tính \(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\).
Ta có \(f'\left( x \right) = 4\sin 2x\cos 2x - 3\sin 3x\).
Ta có \(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 4\sin \pi \cos \pi - 3\sin \frac{{3\pi }}{2} = 3\).
Trả lời: 3.
Một ô tô đang chạy thì gặp chướng ngại vật. Người lái xe đã phanh gấp và rất may chỉ xảy ra va chạm nhẹ. Chiếc ô tô để lại vết trượt dài 15,5 m (được tính từ lúc bắt đầu đạp phanh cho đến khi xảy ra va chạm). Trong quá trình đạp phanh, ô tô chuyển động theo phương trình \(s\left( t \right) = - \frac{3}{2}{t^2} + 15t\), trong đó \(s\)(đơn vị: m) là độ dài quãng đường đi được sau khi phanh và \(t\)(đơn vị: giây) là thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh \(\left( {0 \le t \le 5} \right)\). Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm là bao nhiêu? (đơn vị: m/s) (chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười).
Ta có \(v\left( t \right) = - 3t + 15\).
Thời điểm xảy ra va chạm thì ô tô đi được quãng đường 15,5 m.
Khi đó \( - \frac{3}{2}{t^2} + 15t = 15,5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{15 + 2\sqrt {33} }}{3}\\t = \frac{{15 - 2\sqrt {33} }}{3}\end{array} \right.\).
Vì \(0 \le t \le 5\) nên \(t = \frac{{15 - 2\sqrt {33} }}{3}\).
Khi đó vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm là
\(v\left( {\frac{{15 - 2\sqrt {33} }}{3}} \right) = - 3 \cdot \frac{{15 - 2\sqrt {33} }}{3} + 15 = 2\sqrt {33} \approx 11,5\) (m/s).
B. Tự luận
Cho hàm số \(y = x\cos x\). Chứng minh đẳng thức \(y'' + y + 2\sin x = 0\).
Ta có \(y' = {\left( {x\cos x} \right)^\prime } = \cos x - x\sin x\);
\[y'' = {\left( {\cos x - x\sin x} \right)^\prime } = - \sin x - \left( {\sin x + x\cos x} \right) = - 2\sin x - x\cos x\].
Khi đó \(y'' + y + 2\sin x = - 2\sin x - x\cos x + x\cos x + 2\sin x = 0\).
Tính đạo hàm
a) \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 2} \);
b) \(y = \tan 2x - \frac{1}{3}\cot 4x + \sqrt {\sin x} \);
c) \(y = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\).
a) \(y' = \frac{{{{\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2{x^2} - 5x + 2} }} = \frac{{4x - 5}}{{2\sqrt {2{x^2} - 5x + 2} }}\).
b) \(y' = {\left( {\tan 2x} \right)^\prime } - \frac{1}{3}{\left( {\cot 4x} \right)^\prime } + {\left( {\sqrt {\sin x} } \right)^\prime } = \frac{2}{{{{\cos }^2}2x}} + \frac{4}{{3{{\sin }^2}4x}} + \frac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x} }}\).
c) \(y' = \frac{{{{\left[ {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}} \right]}^\prime }{{\left( {x - 1} \right)}^3} - {{\left( {2x + 1} \right)}^2}{{\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^3}} \right]}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^6}}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{4\left( {2x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^3} - {{\left( {2x + 1} \right)}^2}3{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^6}}} = \frac{{4\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) - {{\left( {2x + 1} \right)}^2}3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\\ = \frac{{ - 4{x^2} - 16x - 7}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}.\end{array}\)
Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là \(S\left( t \right)\) (km) là hàm số phụ thuộc theo biến \(t\) (giây) theo biểu thức \(S\left( t \right) = {e^{{t^2} + 3}} + 2t{e^{3t + 1}}\) (km). Tính vận tốc của tên lửa sau 1 giây?
Ta có \(v\left( t \right) = S'\left( t \right) = 2t \cdot {e^{{t^2} + 3}} + 2{e^{3t + 1}} + 6t \cdot {e^{3t + 1}}\).
Vận tốc của tên lửa sau 1 giây là \(v\left( 1 \right) = 2 \cdot 1 \cdot {e^{{1^2} + 3}} + 2{e^{3 \cdot 1 + 1}} + 6 \cdot 1 \cdot {e^{3 \cdot 1 + 1}} = 10{e^4}\) (km/s).
Một dao động điều hòa có phương trình dao động là \(x\left( t \right) = 4\cos \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right)\), trong đó \(t > 0\) là thời gian dao động và được tính bằng giây; \(x\left( t \right)\) là li độ của dao động và được tính bằng centimet. Tại thời điểm lần đầu tiên vât đạt vận tốc bằng \(\frac{\pi }{2}\) (cm/s) thì gia tốc của vật bằng bao nhiêu?
Vận tốc tức thời của vật là \(v\left( t \right) = x'\left( t \right) = - \pi \sin \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right)\) (cm/s).
Gia tốc tức thời của vật là \(a\left( t \right) = x''\left( t \right) = - \frac{{{\pi ^2}}}{4}\cos \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right)\) (cm/s2).
Ta có \(v\left( t \right) = \frac{\pi }{2}\left( {{\rm{cm/s}}} \right)\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8k\\t = \frac{{16}}{3} + 8k\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Với \(t = 8k\). Do \(t > 0 \Rightarrow 8k > 0 \Rightarrow k > 0\).
Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \ge 1 \Rightarrow t \ge 8\) (1).
Với \(t = \frac{{16}}{3} + 8k\). Do \(t > 0 \Rightarrow \frac{{16}}{3} + 8k > 0 \Rightarrow k > - \frac{2}{3}\).
Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \ge 0 \Rightarrow t \ge \frac{{16}}{3}\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra lần đầu tiên vật đạt vận tốc \(\frac{\pi }{2}\left( {{\rm{cm/s}}} \right)\) tại thời điểm \(t = \frac{{16}}{3}\) (giây).
Suy ra \(a\left( {\frac{{16}}{3}} \right) = \frac{{{\pi ^2}\sqrt 3 }}{8}\left( {{\rm{cm/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - 3{x^2} + 8x - 2\) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\).
a) Tính \(f'\left( x \right)\) và giải bất phương trình \(f'\left( x \right) \le 0\).
b) Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của \(\left( C \right)\) biết rằng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(d:y = - \frac{1}{3}x + 2\) và tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ lớn hơn 2.
a) Ta có \(f'\left( x \right) = {x^2} - 6x + 8\).
Ta có \(f'\left( x \right) \le 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 \le 0\)\( \Leftrightarrow 2 \le x \le 4\).
b) Tiếp tuyến \(\Delta \) của \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d:y = - \frac{1}{3}x + 2\) nên \(k \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) = - 1 \Leftrightarrow k = 3\).
Khi đó \(f'\left( x \right) = 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 1\end{array} \right.\).
D tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ lớn hơn 2 nên \(x = 5 \Rightarrow y = \frac{{14}}{3}\).
Vậy phương trình tiếp tuyến của \(\Delta \) là \(y = 3\left( {x - 5} \right) + \frac{{14}}{3} = 3x - \frac{{31}}{3}\).
