Bài tập ôn tập Toán 11 Cánh diều Chương 7 có đáp án
55 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và\(y = g\left( x \right)\) có \(f'\left( 2 \right) = 4\) và \(g'\left( 2 \right) = 5\). Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) tại điểm \(x = 2\) bằng
\( - 1\).
\(20\).
\(1\).
\(9\).
Đạo hàm của hàm số \(y = 2{x^3} + 1\) tại điểm \(x = - 2\) bằng
\(12\).
\(24\).
\( - 12\).
\( - 24\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = 2\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(f'\left( 2 \right) = 3\).
\(f\left( x \right) = 2\).
\(f\left( x \right) = 3\).
\(f'\left( 3 \right) = 2\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \tan 2x\) \(\left( {x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right)\) là
\(y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}2x}}\).
\(y' = \frac{2}{{{{\cos }^2}2x}}\).
\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\cos }^2}2x}}\).
\(y' = \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}\).
Hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} - 4x + 2023\) có đạo hàm là
\(y' = 3{x^2} + 4x + 2023\).
\(y' = 3{x^2} + 2x - 4\).
\(y' = 3{x^2} + 4x - 4\).
\(y' = {x^2} - 4x - 4\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{2x - 3}}\) trên tập xác định là
\(y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\).
\(y' = - \frac{1}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\).
\(y' = \frac{5}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\).
\(y' = \frac{1}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \sin \left( {3x + 2} \right)\) là
\(y' = - 3\cos \left( {3x + 2} \right)\).
\(y' = 3\cos \left( {3x + 2} \right)\).
\(y' = 3\sin \left( {3x + 2} \right)\).
\(y' = \cos \left( {3x + 2} \right)\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^4} + 4\sqrt x \left( {x > 0} \right)\) là
\(y' = 4{x^3} + \frac{4}{{\sqrt x }}\).
\(y' = {x^3} + \frac{4}{{\sqrt x }}\).
\(y' = 4{x^3} + \frac{2}{{\sqrt x }}\).
\(y' = {x^3} + \frac{2}{{\sqrt x }}\).
Hàm số \(y = {x^2}\cos x\) có đạo hàm là
\(y' = 2x\sin x + {x^2}\cos x\).
\(y' = 2x\sin x - {x^2}\cos x\).
\(y' = 2x\cos x - {x^2}\sin x\).
\(y' = 2x\cos x + {x^2}\sin x\).
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có \(f'\left( 1 \right) = 3;g'\left( 1 \right) = 4\). Đạo hàm của hàm số \(2f\left( x \right) - g\left( x \right)\) tại điểm \(x = 1\) bằng
\(2\).
\(7\).
\(6\).
\(1\).
Một chất điểm chuyển động có phương trình \(s = f\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - {t^2} + 4t + 5\) (\(s\) tính bằng mét, \(t\) tính bằng giây). Tìm gia tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 2\) giây.
\(4\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).
\(1\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).
\(3\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).
\(2\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).
Cho hàm số \(y = {x^3} - 2x + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tính hệ số góc \(k\) của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( { - 1;2} \right)\).
\(k = - 5\).
\(k = 25\).
\(k = 3\).
\(k = 1\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} - 4x + 6\). Tìm nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\).
\(x = - 1;x = 4\).
\(x = 1;x = 4\).
\(x = 0;x = 3\).
\(x = - 1\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2x + 4\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Hàm số \(y = f\left( {2x} \right)\) có đạo hàm là
\(4{x^2} + 8x\).
\(8x + 8\).
\(4x + 8\).
\(4x + 4\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {3^x}\) là
\(y' = {3^x}\).
\(y' = x \cdot {3^{x - 1}}\).
\(y' = {3^x}\ln 3\).
\(y' = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\).
Cho hàm số \(y = {\left( {\ln x} \right)^2}\). Đạo hàm của hàm số đã cho là
\(y' = \frac{2}{x}\).
\(y' = \frac{{2\ln x}}{x}\).
\(y' = \frac{{\ln x}}{x}\).
\(y' = 2\ln x\).
Với \(x > 0\), đạo hàm của hàm số \(y = {2^x} + {\log _5}x\) là
\(y' = {2^x} \cdot \ln 2 + \frac{1}{{x \cdot \ln 2}}\).
\(y' = {2^x} + \frac{1}{{x \cdot \ln 5}}\).
\(y' = {2^x} \cdot \ln 2 + \frac{1}{{\ln 2}}\).
\(y' = {2^x} \cdot \ln 2 + \frac{1}{{x \cdot \ln 5}}\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(y = {x^3} - 2x\) tại điểm \(M\left( {2;4} \right)\) là
\(y = 12x - 20\).
\(y = 2x\).
\(y = 10x - 16\).
\(y = 10x + 4\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \sin 2x\) là
\(y' = - \cos 2x\).
\(y' = 2\cos 2x\).
\(y' = 2\cos x\).
\(y' = \cos 2x\).
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {{x^3} + 2{x^2}} \right)^{10}}\).
\(y' = 10\left( {3{x^2} + 2x} \right){\left( {{x^3} + 2{x^2}} \right)^9}\).
\(y' = 10{\left( {3{x^2} + 4x} \right)^9}\).
\(y' = 10{\left( {{x^3} + 2{x^2}} \right)^9}\).
\(y' = 10\left( {3{x^2} + 4x} \right){\left( {{x^3} + 2{x^2}} \right)^9}\).
Hàm số \(y = {e^{2x}}\) có đạo hàm là
\({e^{2x}}\).
\(\left( {2 + x} \right){e^x}\).
\(2x{e^x}\).
\(2{e^{2x}}\).
Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động là \(S = \frac{1}{2}g{t^2}\), trong đó \(t\) tính bằng giây, \(S\) tính bằng mét và \(g = 9,8\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\). Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 4\) giây là
\(v = 9,8\;{\rm{m/s}}\).
\(v = 78,4\;{\rm{m/s}}\).
\(v = 19,6\;{\rm{m/s}}\).
\(v = 39,2\;{\rm{m/s}}\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 3x + 2} \) là biểu thức có dạng \(\frac{{ax + 3}}{{2\sqrt {{x^2} + 3x + 2} }}\). Khi đó \(a\) bằng
\(4\).
\(1\).
\(2\).
\( - 2\).
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sin x + \cos x\).
\(y' = \sin x - \cos x\).
\(y' = \sin x\cos x\).
\(y' = \cos x - \sin x\).
\(y' = \sin x + \cos x\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và đạo hàm \(f'\left( 3 \right) = - 6\). Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {3;f\left( 3 \right)} \right)\) bằng
\(2\).
\( - 6\).
\( - 10\).
\(10\).
Đạo hàm của hàm số \(y = 5x - \cos x\) là
\(5 + \sin x\).
\(1 - \sin x\).
\(\sin x\).
\(5 - \sin x\).
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^2}3x\) là
\(f'\left( x \right) = - 3\sin 6x\).
\(f'\left( x \right) = 2\sin 3x\).
\(f'\left( x \right) = 3\sin 6x\).
\(f'\left( x \right) = 2\cos 3x\).
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = {x^4} + 2x - 2023\) là
\(12{x^2}\).
\(4{x^3}\).
\(4{x^2}\).
\(12x\).
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \(y = {x^3}\) tại điểm \(\left( { - 1; - 1} \right)\).
\(y = - 3x - 4\).
\(y = - 1\).
\(y = 3x - 2\).
\(y = 3x + 2\).
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} - 4\) tại điểm \(x = 1\) là
\(1\).
\(10\).
\(4\).
\(16\).
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\) có đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\); \(y = g\left( x \right) = 1 - 2x\) có đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\).
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\).
Phương trình \({\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = 0\) có tập nghiệm \(T = \left\{ {0;2} \right\}\).
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) bằng \( - 1\).
Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) có phương trình là \(y = - 3x + 2\).
Cho hàm số \(y = x \cdot {e^{4x}}\).
Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc \(k = 5{e^4}\).
\(y' = {e^{4x}} + 4y\).
Phương trình \(y' = \left( {1 + 4x} \right)\left( {{e^{2x}} + 2} \right)\) có đúng 1 nghiệm dương.
Hàm số đã cho có đạo hàm cấp hai \(y'' = \left( {ax + b} \right) \cdot {e^{4x}}\) với \({a^2} + {b^2} = 41\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\).
\(f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f''\left( x \right) \ge 2,\forall x \in \mathbb{R}\).
Phương trình \(f'\left( x \right) = {e^x}\) có nghiệm duy nhất thuộc khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
\(f'\left( 1 \right) = 2\ln 2\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \ln \frac{x}{{x + 1}} - 2025\).
Tập xác định của hàm số là \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
Đạo hàm của hàm số là \(y' = - \frac{1}{{{x^2} + x}}\).
Giá trị \(y'\left( 3 \right) = \frac{{13}}{{12}}\).
Tổng \(T = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2025} \right)\) bằng \(\frac{{2025}}{{2026}}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\) có đồ thị là \(\left( C \right)\).
\(f'\left( 1 \right) = 0\).
Có đúng một tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với trục \(Ox\).
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {2;1} \right)\) của \(\left( C \right)\) là \(y = 3x - 5\).
Tập nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 3\) là \(S = \left\{ {0;2} \right\}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{x}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 2 là \(y = - x + 4\).
Có đúng hai tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(y = - x\).
\(f''\left( 3 \right) = \frac{1}{4}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\).
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) tại điểm \(x = - 1\) bằng 5.
\(f'\left( x \right) = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
\(f''\left( x \right) = - \frac{6}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\) là \(\mathbb{R}\).
Một vật được thả rơi tự do ở độ cao 147 m có phương trình chuyển động \(S\left( t \right) = \frac{1}{2}g{t^2}\), trong đó \(g = 9,8\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\) và \(t\) tính bằng giây (s).
Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t\) giây được tính theo công thức \(V\left( t \right) = gt\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Thời gian từ khi vật được thả đến khi vật chạm đất là 5 giây (làm tròn đến hàng đơn vị giây).
Vận tốc của vật tại thời điểm chạm đất bằng 54 m/s (làm tròn đến hàng đơn vị m/s).
Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t\) giây \(a = g\;\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Cho hàm số \(y = - 4{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x + 3\), biết \(y' = a{x^2} + bx + c\). Khi đó:
\(a + b + c = - 10\).
Phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Đồ thị hàm số \(y'\) cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - 2} \right)\).
Đồ thị hàm số \(y'\) cắt đường thẳng \(y = 3\) tại hai điểm phân biệt.
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1. Tính diện tích tam giác tạo bởi \(d\) và hai trục tọa độ.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f''\left( x \right) > 0\) có bao nhiêu giá trị nguyên dương \(x \le 2024\).
Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức \(S\left( t \right) = 15 + 2\sqrt 3 \sin \left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)\) trong đó \(s\) tính bằng centimet và \(t\) tính bằng giây. Vận tốc cực đại của hạt bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^{2018}} + {x^{2017}} + ... + {x^3} + {x^2} + x + 1,\left( {x \ne 1} \right)\). Biết \(f'\left( 2 \right) = a \cdot {2^b} + 1\). Tính \(a + b\).
Cho hàm số \(y = {e^{ - x}} \cdot \sin x\). Số nghiệm của phương trình \(y'' + 2y' = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;4\pi } \right]\) là bao nhiêu?
Cho hàm số \(y = \frac{{ax - 1}}{{bx - 1}}\) (trong đó \(a,b\) là các số nguyên và \(a \ne b,b \ne 0\)) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Biết rằng \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\) có hệ số góc là một số nguyên dương. Tìm giá trị của biểu thức \(T = a + 5b\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^2}2x + \cos 3x\). Tính \(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\).
Một ô tô đang chạy thì gặp chướng ngại vật. Người lái xe đã phanh gấp và rất may chỉ xảy ra va chạm nhẹ. Chiếc ô tô để lại vết trượt dài 15,5 m (được tính từ lúc bắt đầu đạp phanh cho đến khi xảy ra va chạm). Trong quá trình đạp phanh, ô tô chuyển động theo phương trình \(s\left( t \right) = - \frac{3}{2}{t^2} + 15t\), trong đó \(s\)(đơn vị: m) là độ dài quãng đường đi được sau khi phanh và \(t\)(đơn vị: giây) là thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh \(\left( {0 \le t \le 5} \right)\). Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm là bao nhiêu? (đơn vị: m/s) (chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười).
Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình \(h\left( t \right) = 50 - \frac{1}{2}g{t^2}\), trong đó \(h\) là độ cao của vật so với mặt đất tính bằng mét, thời gian \(t\) tính bằng giây và \(g = 9,8\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\) là gia tốc rơi tự do. Khi đó, vận tốc của vật khi vật vừa chạm đất là \({v_1}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Tìm \(\left| {{v_1}} \right|\) (làm tròn đến hàng đơn vị).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt {x + 1} \). Khi đó \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{m}{n}\)(\(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản). Tính \(m + n\).
B. Tự luận
Tính đạo hàm
a) \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 2} \);
b) \(y = \tan 2x - \frac{1}{3}\cot 4x + \sqrt {\sin x} \);
c) \(y = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\).
Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là \(S\left( t \right)\) (km) là hàm số phụ thuộc theo biến \(t\) (giây) theo biểu thức \(S\left( t \right) = {e^{{t^2} + 3}} + 2t{e^{3t + 1}}\) (km). Tính vận tốc của tên lửa sau 1 giây?
Một dao động điều hòa có phương trình dao động là \(x\left( t \right) = 4\cos \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right)\), trong đó \(t > 0\) là thời gian dao động và được tính bằng giây; \(x\left( t \right)\) là li độ của dao động và được tính bằng centimet. Tại thời điểm lần đầu tiên vât đạt vận tốc bằng \(\frac{\pi }{2}\) (cm/s) thì gia tốc của vật bằng bao nhiêu?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - 3{x^2} + 8x - 2\) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\).
a) Tính \(f'\left( x \right)\) và giải bất phương trình \(f'\left( x \right) \le 0\).
b) Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của \(\left( C \right)\) biết rằng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(d:y = - \frac{1}{3}x + 2\) và tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ lớn hơn 2.
Cho hàm số \(y = x\cos x\). Chứng minh đẳng thức \(y'' + y + 2\sin x = 0\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + 1\) và \(g\left( x \right) = {e^x}\).
\(f'\left( x \right) = 2\).
\(g'\left( 0 \right) = 1\).
\({\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = \left( {x + 2} \right) \cdot {e^x}\).
\({\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right]^\prime } = \frac{{x + 1}}{{{e^x}}}\).
