\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + ax + 5} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ax + 5}}{{\sqrt {{x^2} + ax + 5} - x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ax + 5}}{{ - x\sqrt {1 + \frac{a}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} - x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{a + \frac{5}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{a}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} - 1}} = - \frac{a}{2}\).

Suy ra \( - \frac{a}{2} = 5 \Leftrightarrow a = - 10\).

Ta có \(\lim {\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} = 0\) vì \(\frac{2}{5} < 1\). Chọn B.

Ta có \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = \lim {u_n} - \lim {v_n} = a - b\). Chọn B.

\(\lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\)\( = \lim \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = 0\). Chọn A.

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 3x - 4} \right) = 6\]. Chọn B.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 - 5x - {x^3}}}{{{x^3} - x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{1}{{{x^3}}} - \frac{5}{{{x^2}}} - 1}}{{1 - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}}} = - 1\). Chọn A.

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)\). Chọn C.

Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Do đó hàm số liên tục tại \(x = 1\). Chọn D.

Hàm số \(y = 3{x^3} - 4{x^2} + 1\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Chọn C.

Hàm số \(f\left( x \right) = \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Chọn C.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{3{x^2} - 10x + 3}}{{x - 3}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {3x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {3x - 1} \right) = 8\). Chọn C.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1} }}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {3 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = - \sqrt 3 \). Chọn A.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {10 - {x^2}} - 3}}{{1 - {x^2}}}\)\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - {x^2}}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {\sqrt {10 - {x^2}} + 3} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {10 - {x^2}} + 3}} = \frac{1}{6}\]. Chọn B.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} - {x^2} + 1}} - \sqrt {{x^2} + 3} } \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x\sqrt[3]{{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}}} - \left| x \right|\sqrt {1 + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x\sqrt[3]{{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}}} + x\sqrt {1 + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\left( {\sqrt[3]{{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}}} + \sqrt {1 + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right) = - \infty \). Chọn B.

Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\) nên

\(S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\). Chọn A.

Hàm số đã cho liên tục tại \({x_0} = 1\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\). Chọn B.

\(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = 1 + 2 = 3\). Chọn B.

Ta có \({S_n} = 3 \cdot \frac{{1 - {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \left( { - \frac{2}{3}} \right)}}\)\( = \frac{9}{5} \cdot \left[ {1 - {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^n}} \right]\).

Suy ra \(\lim {S_n}\)\( = \lim \frac{9}{5} \cdot \left[ {1 - {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^n}} \right] = \frac{9}{5}\). Chọn A.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 3}}{{\sqrt {5{x^2} - 4x + 2} + x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 3}}{{\left| x \right|\sqrt {5 - \frac{4}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{3}{x}}}{{ - \sqrt {5 - \frac{4}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1}}\)\( = \frac{2}{{1 - \sqrt 5 }}\). Chọn B.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{5x - {x^2}}}{{\sqrt {{x^4} + 4{x^2}} }}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{x\left( {5 - x} \right)}}{{ - x\sqrt {{x^2} + 4} }}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left( {5 - x} \right)}}{{ - \sqrt {{x^2} + 4} }}\)\( = - \frac{5}{2}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {m + \frac{{2x - 3}}{{x + 2}}} \right) = m - \frac{3}{2} = f\left( 0 \right)\).

Để hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 0\) thì \(m - \frac{3}{2} = - \frac{5}{2} \Leftrightarrow m = - 1\). Chọn A.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{7x + 1}} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{7x}}{{x\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {7x + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{7x + 1}} + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{7}{{\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {7x + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{7x + 1}} + 1} \right)}} = \frac{7}{3}\). Chọn A.

Ta có \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\). Chọn B.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{x - {x^2}}}{{\left| x \right|}}\)\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{x\left( {1 - x} \right)}}{{ - x}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x - 1} \right) = - 1\]. Chọn D.

a) \(\lim {u_n} = \lim \frac{{2{n^2} - 4n + 7}}{{8{n^2} + 3n + 10}}\)\( = \lim \frac{{2 - \frac{4}{n} + \frac{7}{{{n^2}}}}}{{8 + \frac{3}{n} + \frac{{10}}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{4}\).

b) \(\lim {v_n} = \lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 5} }}{{8n}} = \lim \frac{{\sqrt {4 + \frac{5}{{{n^2}}}} }}{8} = \frac{1}{4}\). Suy ra \(\lim \left( {{v_n} - \frac{1}{4}} \right) = 0\).

c) \(\lim \left( {2{u_n} - 4{v_n}} \right) = 2 \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}\).

d) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{2{v_n}}} = \frac{1}{4}:\left( {2 \cdot \frac{1}{4}} \right) = \frac{1}{2}\).

Đáp án: a) Sai;     b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.

a) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left| {x - 2} \right|}}\)\( = \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left| {x - 2} \right|}}\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left| {x - 2} \right|}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} x = 2\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left| {x - 2} \right|}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{ - \left( {x - 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( { - x} \right) = - 2\).

d) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại giới hạn của hàm số khi \(x \to 2\).

Đáp án: a) Sai;     b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.

a) Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\), hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\) liên tục trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}\).

c) Với \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\), hàm số \(f\left( x \right) = - \frac{x}{2}\) liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

Hàm số \(y = \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(y = \sin x\) liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right) + \sin x\)liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

d) Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \frac{x}{2}\;\;} \right) = - \frac{1}{2} = f\left( 1 \right)\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{f\left( x \right)}} = 0\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x - 3} \right) = 0\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{{x - 3}} = \infty \) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x - 3} \right) = 0\).

c) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = - \infty \] vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\left( {x - 3} \right)^2} = 0\) và \({\left( {x - 3} \right)^2} > 0\) khi \(x \to 3\).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{f\left( x \right)}} = 0\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\left( {x - 3} \right)^2} = 0\).

Đáp án: a) Sai;      b) Sai;   c) Đúng;    d) Đúng.

a) Hàm số mô tả số tiền phí theo thời gian trông giữ là \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}30\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;0 < x \le 1\\30 + 20\left( {x - 1} \right)\;\;{\rm{khi}}\;x > 1\end{array} \right.\) hay \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}30\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;0 < x \le 1\\10 + 20x\;\;{\rm{khi}}\;x > 1\end{array} \right.\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {10 + 20x} \right) = 30\).

c) Số tiền phải trả trong 2,5 giờ đầu là \(f\left( {2,5} \right) = 10 + 20 \cdot 2,5 = 60\) nghìn đồng.

d) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {10 + 20x} \right) = 30 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\).

Do đó hàm số liên tục tại \(x = 1\).

Với \(x \in \left( {0;1} \right)\), \(f\left( x \right) = 30\) liên tục trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = 10 + 20x\) liên tục trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.

a) Với \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right]\), \(f\left( x \right) = {x^2} + x + 1\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\).

Suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \(x = - 2\).

b) Với \(x \in \left( { - 1;1} \right)\), \(f\left( x \right) = x + 2\) liên tục trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).

Suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = 0\).

c) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 1 = f\left( { - 1} \right)\); \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x + 2} \right) = 1\].

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \(x = - 1\).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 3} \right) = 5\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \(x = 1\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;   c) Sai;    d) Sai.

a) \(f\left( 2 \right) = 2a + 2024\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x + 2} \right) = 4\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {ax + 2024} \right) = 2a + 2024\).

d) Để tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\) thì \(2a + 2024 = 4 \Leftrightarrow a = - 1010\).

Đáp án: a) Sai;     b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.

a) \(\lim {v_n} = \lim \left( {3 - \frac{5}{{{2^n}}}} \right) = 3\).

b) \(\lim {u_n} = \lim \frac{{2{n^2} - n + 1}}{{a{n^2} + n + 2}}\)\( = \lim \frac{{2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{a + \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}}\)\( = \frac{2}{a}\).

Với \(a = 1\) thì \(\lim {u_n} = 2\).

c) \(\lim {u_n} = 1\) thì \(\frac{2}{a} = 1 \Leftrightarrow a = 2\).

Theo câu a, ta có \(b = 3\). Do đó \(a \cdot b = 6\).

d) Với \(a = 0\) thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn vô cực.

Đáp án: a) Sai;     b) Đúng;   c) Đúng;    d) Sai.

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} - x - 1} \right) = 1\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 1} \right) = 1\).

c) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) nên hàm số liên tục tại điểm \(x = 2\).

d) Với \(x \in \left( { - \infty ;2} \right)\), hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\);

Với \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 1\) liên tục trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Theo câu c, hàm số liên tục tại \(x = 2\).

Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.

a) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\).

b) \(f\left( 0 \right) = m \cdot {0^2} + 2m + \frac{1}{4} = 2m + \frac{1}{4}\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{{x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 4} + 2}} = \frac{1}{4}\).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {m{x^2} + 2m + \frac{1}{4}} \right) = 2m + \frac{1}{4}\).

Để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0\) thì \(2m + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Đúng;   c) Sai;    d) Sai.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x - 1}}{2} = \frac{1}{2}\).

Để hàm số liên tục tại \(x = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow m = 0,5\).

Trả lời: 0,5.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} + 5} - 3}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right)}} = \frac{2}{3}\).

Suy ra \(a = 2;b = 3\). Vậy \(a + b = 5\).

Trả lời: 5.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}} - 1}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + {x^2}}} + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + {x^2}}} + 1} \right)}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra \(a = 1;b = 3\). Do đó \(S = 4\).

Trả lời: 4.

Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{100x\left( {\sqrt {9{x^2} + 18x + 12} - 3x} \right)}}{x}\)\( = 100\left( {\sqrt {9{x^2} + 18x + 12} - 3x} \right)\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 100\left( {\sqrt {9{x^2} + 18x + 12} - 3x} \right)\)\( = 100\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{18x + 12}}{{\sqrt {9{x^2} + 18x + 12} + 3x}}\)\( = 100\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {18 + \frac{{12}}{x}} \right)}}{{x\left( {\sqrt {9 + \frac{{18}}{x} + \frac{{12}}{{{x^2}}}} + 3} \right)}}\)\( = 100\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{18 + \frac{{12}}{x}}}{{\sqrt {9 + \frac{{18}}{x} + \frac{{12}}{{{x^2}}}} + 3}} = 300\).

Trả lời: 300.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{9 - {x^2}}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{ - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - x - 3} \right) = - 6\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {1 - x} \right) = - 2\).

Suy ra \(a = - 6;b = - 2\). Vậy \({a^2} + {b^2} = 40\).

Trả lời: 40.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{a{x^2} + bx - 2}}{{x - 2}} = 5\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 2} \right) = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {a{x^2} + bx - 2} \right) = 0\) hay \(4a + 2b - 2 = 0 \Leftrightarrow b = 1 - 2a\).

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{a{x^2} + bx - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{a{x^2} + \left( {1 - 2a} \right)x - 2}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {a{x^2} - 2ax} \right) + \left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {ax + 1} \right)}}{{x - 2}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {ax + 1} \right) = 2a + 1 = 5 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow b = - 3\).

Vậy \(S = - 4\).

Trả lời: −4.

Từ giả thiết ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {f\left( x \right) - 20} \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 20\).

\(T = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} - 5}}{{{x^2} + x - 6}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{6f\left( x \right) + 5 - 125}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} + 25} \right]}}\)

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{6\left[ {f\left( x \right) - 20} \right]}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} + 25} \right]}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{6\left[ {f\left( x \right) - 20} \right]}}{{\left( {x - 2} \right)}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} + 25} \right]}}\]

\[ = 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{{5 \cdot \left( {25 + 25 + 25} \right)}} \approx 0,2\].

Trả lời: 0,2.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x}}{{5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} - x}}{{5x}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} - 1}}{5} = - \frac{3}{5}\].

Suy ra \(a = - 3;b = 5\). Do đó \(P = a + b = 2\).

Trả lời: 2.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {f\left( x \right) + 4x - 1} \right]\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {4x - 1} \right)\)\( = - 2 + 11 = 9\).

Trả lời: 9.

Ta có \(\overline C \left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\).

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \overline C \left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 55}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + \frac{{55}}{x}} \right) = 2\).

Trả lời: 2.

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 1} \right) = - 3\).

b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x - 3} - 2}}{{{x^2} - 49}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{x - 7}}{{\left( {{x^2} - 49} \right)\left( {\sqrt {x - 3} + 2} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{1}{{\left( {x + 7} \right)\left( {\sqrt {x - 3} + 2} \right)}} = \frac{1}{{56}}\].

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2\sqrt {5 - x} + \sqrt {7 - 3x} }}{{3{x^2} + 2x - 5}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2 + 4 - 2\sqrt {5 - x} + \sqrt {7 - 3x} - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{4 - 2\sqrt {5 - x} }}{{3{x^2} + 2x - 5}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {7 - 3x} - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {3x + 5} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)}} + 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {3x + 5} \right)\left( {2 + \sqrt {5 - x} } \right)}} - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {3x + 5} \right)\left( {\sqrt {7 - 3x} + 2} \right)}} = 0\).

a) \(\lim \frac{{{n^2} + 5n}}{{3{n^2} - 2n + 1}}\)\( = \lim \frac{{1 + \frac{5}{n}}}{{3 - \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{3}\).

b) \(\lim \frac{{{3^n} - 2 \cdot {4^n}}}{{5 \cdot {4^n} + {3^n}}}\)\( = \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} - 2}}{{5 + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}} = - \frac{2}{5}\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có:

Trên khoảng \(( - \infty ;1)\): \(f\left( x \right) = 2x + 4\) là hàm đa thức nên \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(( - \infty ;1)\).

Trên khoảng \((1; + \infty )\): \(f\left( x \right) = {x^3} + x + 1\) là hàm đa thức nên \(f\left( x \right)\) liên tục trên \((1; + \infty )\).

Tại điểm\({x_0} = 1\), ta có: \(f(1) = {1^3} + 1 + 1 = 3\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x + 4) = 6\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} ({x^3} + x + 1) = 3\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\). Vậy hàm số không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Tóm lại \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(( - \infty ;1)\)và \((1; + \infty )\) và gián đoạn tại điểm \({x_0} = 1.\)

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{1 - \sqrt {2x - 3} }}{{2 - x}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2\left( {2 - x} \right)}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {1 + \sqrt {2x - 3} } \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{2}{{1 + \sqrt {2x - 3} }}\]\[ = 1\].

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 1\) nên hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

Ta có cạnh của hình vuông thứ nhất là \(\frac{1}{2}\) nên diện tích \({S_1} = \frac{1}{4}\).

Cạnh hình vuông thứ hai là \(\frac{1}{4}\) nên diện tích \({S_2} = \frac{1}{{16}}\),…

Cứ tiếp tục như vậy thì ta có được \({S_1};\,{S_2};\,{S_3};...\) lập thành cấp số nhân lùi vô hạn có \({S_1} = \frac{1}{4}\), \(q = \frac{1}{4}\) nên ta có tổng diện tích chuột Mickey cần tô màu là \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3}\) (đvdt).