Bài tập ôn tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 10 có đáp án
55 câu hỏi
Gieo 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét biến cố \(E\): “Tổng số chấm trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 4”. Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(E\) bằng
\(n\left( E \right) = 2\).
\(n\left( E \right) = 4\).
\(n\left( E \right) = 3\).
\(n\left( E \right) = 1\).
Ta có \(E = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;2} \right);\left( {2;1} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( E \right) = 3\). Chọn C.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử thì gọi là
Không gian mẫu của phép thử.
Phép thử.
Biến cố.
Xác suất.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử thì gọi là không gian mẫu của phép thử. Chọn A.
Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần. Xét biến cố \(M\): “Hai lần xuất hiện như nhau”. Kí hiệu \(S,N\) tương ứng là đồng xu ra mặt sấp và đồng xu ra mặt ngửa. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(M = \left\{ {SS;NN} \right\}\).
\(M = \left\{ {SN;NS} \right\}\).
\(M = \left\{ {NN} \right\}\).
\(M = \left\{ {SS} \right\}\).
\(M = \left\{ {SS;NN} \right\}\). Chọn A.
Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc hai lần. Xét biến cố \(A\): “Lần thứ hai xuất hiện mặt ba chấm” thì biến cố \(A\) là
\(A = \left\{ {\left( {3;1} \right);\left( {3;2} \right);\left( {3;4} \right);\left( {3;5} \right);\left( {3;6} \right)} \right\}\).
\(A = \left\{ {\left( {3;1} \right);\left( {3;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {3;4} \right);\left( {3;5} \right);\left( {3;6} \right)} \right\}\).
\(A = \left\{ {\left( {1;3} \right);\left( {2;3} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;3} \right);\left( {5;3} \right);\left( {6;3} \right)} \right\}\).
\(A = \left\{ {\left( {3;3} \right)} \right\}\).
\(A = \left\{ {\left( {1;3} \right);\left( {2;3} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;3} \right);\left( {5;3} \right);\left( {6;3} \right)} \right\}\). Chọn C.
Cho \(A\) là một biến cố liên quan đến phép thử T. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(P\left( A \right) = 0 \Leftrightarrow A = \Omega \).
\(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\).
\(P\left( A \right)\) là số lớn hơn 0.
\(P\left( A \right)\) là số nhỏ hơn 1.
\(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\). Chọn B.
Gieo một đồng xu cân đối (gồm mặt S và N) liên tiếp 2 lần. Môt tả không gian mẫu W.
\(\Omega = \left\{ {SN;SS;NN} \right\}\).
\(\Omega = \left\{ {SN;NS} \right\}\).
\(\Omega = \left\{ {SN;NS;SS;NN} \right\}\).
\(\Omega = \left\{ {S;N} \right\}\).
\(\Omega = \left\{ {SN;NS;SS;NN} \right\}\). Chọn C.
Gieo một đồng xu cân đối liên tiếp bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là
\(\frac{4}{{16}}\).
\(\frac{2}{{16}}\).
\(\frac{6}{{16}}\).
\(\frac{1}{{16}}\).
Số phần tử của không gian mẫu là \({2^4} = 16\).
Số phần tử của biến cố bốn lần xuất hiện mặt sấp là 1.
Vậy xác suất của biến cố là \(P = \frac{1}{{16}}\). Chọn D.
Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp có 2 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Tính xác suất để chọn được 2 viên bi xanh.
\(\frac{7}{{10}}\).
\(\frac{3}{{10}}\).
\(\frac{3}{{25}}\).
\(\frac{2}{5}\).
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_5^2 = 10\).
Số phần tử của biến cố chọn được 2 viên bi xanh là \(C_3^2 = 3\).
Xác suất để chọn được 2 viên bi xanh là \(P = \frac{3}{{10}}\). Chọn B.
Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Xác suất để trong 4 học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ là
\(\frac{1}{{210}}\).
\(\frac{{209}}{{210}}\).
\(\frac{1}{{14}}\).
\(\frac{{13}}{{14}}\).
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^4 = 210\).
Gọi \(A\) là biến cố “Chọn được 4 học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ”.
\(\overline A \) là biến cố “Chọn được 4 học sinh không có học sinh nữ”.
Số phần tử của biến cố \(\overline A \) là \(n\left( {\overline A } \right) = C_6^4 = 15\)\( \Rightarrow n\left( A \right) = 210 - 15 = 195\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{195}}{{210}} = \frac{{13}}{{14}}\). Chọn D.
Xét phép thử “Gieo một xúc xắc cân đối và đồng chất”. Biến cố nào dưới đây là biến cố không thể?
“Mặt xuất hiện có số chấm không vượt quá 6”.
“Mặt xuất hiện có 7 chấm”.
“Mặt xuất hiện có 6 chấm”.
“Mặt xuất hiện có 1 chấm”.
“Mặt xuất hiện có 7 chấm” là biến cố không thể. Chọn B.
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con xúc xắc bằng 7 là
\(\frac{1}{6}\).
\(\frac{6}{7}\).
\(\frac{5}{6}\).
\(\frac{1}{7}\).
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 36\).
Gọi \(A\) là biến cố “Tổng số chấm trên hai mặt của hai con xúc xắc bằng 7”.
Khi đó \(A = \left\{ {\left( {1;6} \right);\left( {6;1} \right);\left( {2;5} \right);\left( {5;2} \right);\left( {3;4} \right);\left( {4;3} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 6\).
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\). Chọn A.
Tung một đồng xu ba lần liên tiếp. Xác suất của biến cố “Mặt sấp xuất hiện đúng một lần” bằng
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{3}{4}\).
\(\frac{1}{8}\).
\(\frac{3}{8}\).
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {2^3} = 8\).
Gọi \(A\) là biến cố “Mặt sấp xuất hiện đúng một lần”.
Khi đó \(A = \left\{ {SNN;NSN;NNS} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 3\).
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{3}{8}\). Chọn D.
Một hộp có 5 viên bi đỏ và 9 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu là:
\(\frac{{15}}{{22}}\).
\(\frac{{45}}{{91}}\).
\(\frac{{46}}{{91}}\).
\(\frac{{14}}{{45}}\).
Số phần tử của không gian mẫu là \(C_{14}^2 = 91\).
Số phần tử của biến cố “Chọn được 2 viên bi khác màu” là \(C_5^1 \cdot C_9^1 = 45\).
Vậy xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu là \(P = \frac{{45}}{{91}}\). Chọn B.
Gieo một đồng xu cân đối đồng chất 3 lần. Biến cố \(A\): “Ít nhất 2 lần xuất hiện mặt sấp”.
\(A = \left\{ {SSN;NSS;SNS;SSS} \right\}\).
\(A = \left\{ {SSN;SNS;SSS} \right\}\).
\(A = \left\{ {SSN;NSS;SNS} \right\}\).
\(A = \left\{ {SSN;NNS;SNS;SSS} \right\}\).
\(A = \left\{ {SSN;NSS;SNS;SSS} \right\}\). Chọn A.
Bạn Bình gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố \(B\): “Bạn Bình gieo được mặt có số chấm chia hết cho 3”.
\(P\left( B \right) = \frac{1}{6}\).
\(P\left( B \right) = \frac{2}{3}\).
\(P\left( B \right) = \frac{1}{3}\).
\(P\left( B \right) = \frac{1}{2}\).
Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = 6\).
\(B = \left\{ {3;6} \right\} \Rightarrow n\left( B \right) = 2\).
Do đó \(P\left( B \right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). Chọn C.
Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Khi đó số phần tử của không gian mẫu là
\(36\).
\(6\).
\(12\).
\(720\).
\(n\left( \Omega \right) = {6^2} = 36\). Chọn A.
Gieo ngẫu nhiên ba đồng xu cân đối và đồng chất. Khi đó xác suất để không đồng xu nào xuất hiện mặt sấp là
\(\frac{1}{8}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{7}{8}\).
Xác suất để không đồng xu nào xuất hiện mặt sấp là \(\frac{1}{8}\). Chọn A.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;4;5;8;9} \right\}\). Lấy ngẫu nhiên một số từ tập \(A\). Xác suất để lấy được một số chẵn là
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{2}{5}\).
\(\frac{1}{6}\).
Xác suất để lấy được một số chẵn là \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Chọn B.
Trong một chiếc hộp có 5 viên bi màu đỏ, 6 viên bi màu xanh. An lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tính xác suất để 3 viên bi lấy ra đều là màu đỏ.
\(\frac{2}{{33}}\).
\(\frac{5}{6}\).
\(\frac{5}{{11}}\).
\(\frac{{31}}{{33}}\).
Xác suất để 3 viên bi lấy ra đều là màu đỏ là \(P = \frac{{C_5^3}}{{C_{11}^3}} = \frac{2}{{33}}\). Chọn A.
Gieo một con xúc xắc và quan sát số chấm xuất hiện trên con xúc xắc. Gọi \(M\) là biến cố “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số nguyên tố”. Biến cố \(\overline M \) là tập con nào của không gian mẫu.
\(\overline M = \left\{ {4;6} \right\}\).
\(\overline M = \left\{ {2;3;5} \right\}\).
\(\overline M = \left\{ {1;4;6} \right\}\).
\(\overline M = \left\{ {2;4;6} \right\}\).
\(\overline M \): “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc không là số nguyên tố”.
Khi đó \(\overline M = \left\{ {1;4;6} \right\}\). Chọn C.
Cho một phép thử có không gian mẫu \(\Omega \) và \(A\) là biến cố của phép thử đó. Mệnh đề nào sau đây là sai?
\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).
\(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\).
\(0 \le P\left( A \right) \le 1\).
\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( \Omega \right)}}{{n\left( A \right)}}\).
\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\). Chọn D.
Lấy ra 1 số tự nhiên bất kỳ trong đoạn \(\left[ {2025;2035} \right]\). Xác suất để lấy được số tự nhiên lẻ bằng
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{5}{{11}}\).
\(\frac{6}{{11}}\).
\(\frac{3}{5}\).
Trong đoạn \(\left[ {2025;2035} \right]\) có 11 số tự nhiên và 6 số tự nhiên lẻ.
Suy ra xác suất để lấy được số tự nhiên lẻ bằng \(\frac{6}{{11}}\). Chọn C.
Một chiếc hộp chứa 9 quả cầu gồm 4 quả màu xanh, 3 quả màu đỏ và 2 quả màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Gọi \(A\) là biến cố “3 quả cầu lấy được có ít nhất 1 quả màu đỏ”. Khi đó biến cố đối của biến cố \(A\) là
\(\overline A \) là biến cố “3 quả cầu lấy được có ít nhất 2 quả màu đỏ”.
\(\overline A \) là biến cố “3 quả cầu lấy được có 3 quả màu đỏ”.
\(\overline A \) là biến cố “3 quả cầu lấy được đúng một quả màu đỏ”.
\(\overline A \) là biến cố “3 quả cầu lấy được không có quả màu đỏ”.
\(\overline A \) là biến cố “3 quả cầu lấy được không có quả màu đỏ”. Chọn D.
Một hộp chứa 30 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Người ta lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp đó. Tính xác suất để thẻ lấy được mang số lẻ và không chia hết cho 3.
\(\frac{2}{5}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{3}{{10}}\).
\(\frac{4}{{15}}\).
Số phần tử không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = 30\).
Gọi \(A\) là biến cố “Thẻ lấy được là số lẻ và không chia hết cho 3”.
Khi đó \(A = \left\{ {1;5;7;11;13;17;19;23;25;29} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 10\).
Xác suất để thẻ lấy được mang số lẻ và không chia hết cho 3 là \(P\left( A \right) = \frac{{10}}{{30}} = \frac{1}{3}\). Chọn B.
Từ một nhóm gồm 6 học sinh nữ và 4 học sinh nam, chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Xác suất để chọn được 2 học sinh nữ và 1 học sinh nam bằng
\(\frac{3}{{10}}\).
\(\frac{1}{5}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{6}\).
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^3 = 120\).
Số cách chọn được 2 học sinh nữ và 1 học sinh nam bằng \(C_6^2 \cdot C_4^1 = 60\).
Vậy xác suất để chọn được 2 học sinh nữ và 1 học sinh nam bằng \(P = \frac{{60}}{{120}} = \frac{1}{2}\). Chọn C.
Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất một lần. Xác suất xuất hiện mặt hai chấm là
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{1}{6}\).
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{1}{2}\).
Xác suất để xuất hiện mặt hai chấm là \(P = \frac{1}{6}\). Chọn B.
Một tổ học sinh gồm có 5 học sinh nữ và 7 học sinh nam, chọn ngẫu nhiên 2 học sinh. Tính xác suất để hai học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ.
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{1}{6}\).
\(\frac{{35}}{{66}}\).
\(\frac{3}{{55}}\).
Số phần tử của không gian mẫu là \(C_{12}^2 = 66\).
Số cách chọn 2 học sinh có cả nam và nữ là \(C_5^1 \cdot C_7^1 = 35\).
Vậy xác suất để hai học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ là \(\frac{{35}}{{66}}\). Chọn C.
Cho tập \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\), chọn ngẫu nhiên một số từ tập \(A\). Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3.
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{3}{7}\).
\(\frac{2}{7}\).
\(\frac{5}{7}\).
Xác suất để số được chọn chia hết cho 3 là \(P = \frac{2}{7}\). Chọn C.
Một hộp chứa 2 loại bi xanh và đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 1 viên bi. Biết xác suất lấy được bi đỏ là 0,3. Xác suất lấy được bi xanh là
\(0,3\).
\(0,5\).
\(0,7\).
\(0,09\).
Xác suất lấy được bi xanh là \(P = 1 - 0,3 = 0,7\). Chọn C.
Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp ba lần. Tìm xác suất để trong ba lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp.
\(\frac{3}{8}\).
\(\frac{5}{8}\).
\(\frac{1}{8}\).
\(\frac{7}{8}\).
Gọi \(A\) là biến cố “Trong ba lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.
\(\overline A \) là biến cố “Trong ba lần gieo không có lần nào xuất hiện mặt sấp”.
Khi đó \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{8} \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\). Chọn D.
Trong hộp có chứa 6 bi xanh, 4 bi đỏ, 2 bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 5 viên bi.
Số phần tử của không gian mẫu bằng \(C_{12}^5\).
Xác suất của biến cố “5 viên bi lấy ra cùng màu” bằng \(\frac{{C_6^5}}{{C_{12}^5}}\).
Xác suất của biến cố “5 viên bi lấy ra không có bi vàng” bằng \(\frac{{15}}{{22}}\).
Xác suất của biến cố “5 viên bi lấy ra có ít nhất một bi vàng” bằng \(\frac{{15}}{{22}}\).
a) Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^5\).
b) Số phần tử của biến cố “5 viên bi lấy ra cùng màu” là \(C_6^5\).
Suy ra xác suất của biến cố “5 viên bi lấy ra cùng màu” bằng \(\frac{{C_6^5}}{{C_{12}^5}}\).
c) Số phần tử của biến cố “5 viên bi lấy ra không có bi vàng” là \(C_{10}^5\).
Suy ra xác suất của biến cố “5 viên bi lấy ra không có bi vàng” bằng \(\frac{{C_{10}^5}}{{C_{12}^5}} = \frac{7}{{22}}\).
d) Xác suất của biến cố “5 viên bi lấy ra có ít nhất một bi vàng” bằng \(1 - \frac{7}{{22}} = \frac{{15}}{{22}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên 5 thẻ. Khi đó:
Xác suất “Các thẻ ghi số 1; 2; 3 được rút” bằng \(\frac{5}{{42}}\).
Xác suất “Không thẻ nào trong 3 thẻ ghi số 1; 2; 3 được rút” bằng \(\frac{1}{{21}}\).
Xác suất “Có đúng 1 trong 3 thẻ ghi số 1; 2; 3 được rút” bằng \(\frac{6}{{11}}\).
Xác suất “Có ít nhất một trong 3 thẻ ghi số 1; 2; 3 được rút” bằng \(\frac{{20}}{{21}}\).
Số phần tử của không gian mẫu là \(C_9^5 = 126\).
a) Số phần tử của biến cố “các thẻ ghi số 1; 2; 3 được rút” là \(C_6^2 = 15\).
Vậy xác suất “Các thẻ ghi số 1; 2; 3 được rút” bằng \(\frac{{15}}{{126}} = \frac{5}{{42}}\).
b) Số phần tử của biến cố “Không thẻ nào trong 3 thẻ ghi số 1; 2; 3 được rút” là \(C_6^5 = 6\).
Vậy xác suất “Không thẻ nào trong 3 thẻ ghi số 1; 2; 3 được rút” bằng \(\frac{6}{{126}} = \frac{1}{{21}}\).
c) Số phần tử của biến cố “Có đúng 1 trong 3 thẻ ghi số 1; 2; 3 được rút” là \(3 \cdot C_6^4 = 45\).
Vậy xác suất “Có đúng 1 trong 3 thẻ ghi số 1; 2; 3 được rút” bằng \(\frac{{45}}{{126}} = \frac{5}{{14}}\).
d) Gọi \(A\) là biến cố “Có ít nhất một trong 3 thẻ ghi số 1; 2; 3 được rút” .
Khi đó \(\overline A \) là biến cố “Không thẻ nào trong 3 thẻ ghi số 1; 2; 3 được rút”.
Theo câu b, \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{{21}}\).
Vậy \(P\left( A \right) = 1 - \frac{1}{{21}} = \frac{{20}}{{21}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trên giá sách có 10 quyển tiểu thuyết, 8 quyển truyện ngắn và 2 quyển hồi kí. Một bạn chọn ra 3 quyển để đọc.
Xác suất của biến cố “Ba quyển được chọn đều là tiểu thuyết” bằng \(\frac{3}{{20}}\).
Xác suất của biến cố “Ba quyển được chọn thuộc ba thể loại khác nhau” bằng \(\frac{8}{{57}}\).
Xác suất của biến cố “Ba quyển được chọn thuộc cùng một thể loại” bằng \(\frac{{68}}{{95}}\).
Xác suất của biến cố “Ít nhất một quyển truyện ngắn được chọn” bằng \(\frac{{46}}{{57}}\).
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{20}^3 = 1140\).
a) Số phần tử của biến cố “Ba quyển được chọn đều là tiểu thuyết” là \(C_{10}^3 = 120\).
Xác suất của biến cố “Ba quyển được chọn đều là tiểu thuyết” bằng \(\frac{{120}}{{1140}} = \frac{2}{{19}}\).
b) Số phần tử của biến cố “Ba quyển được chọn thuộc ba thể loại khác nhau” là \(C_{10}^1 \cdot C_8^1 \cdot C_2^1 = 160\).
Xác suất của biến cố “Ba quyển được chọn thuộc ba thể loại khác nhau” bằng \(\frac{{160}}{{1140}} = \frac{8}{{57}}\).
c) Số phần tử của biến cố “Ba quyển được chọn thuộc cùng một thể loại” là \(C_{10}^3 + C_8^3 = 176\).
Xác suất của biến cố “Ba quyển được chọn thuộc cùng một thể loại” bằng \(\frac{{176}}{{1140}} = \frac{{44}}{{285}}\).
d) Gọi \(A\) là biến cố “Ít nhất một quyển truyện ngắn được chọn” .
\(\overline A \) là biến cố “Không có quyển truyện ngắn được chọn”.
Khi đó \(n\left( {\overline A } \right) = C_{12}^3 = 220\). Khi đó \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{220}}{{1140}} = \frac{{11}}{{57}}\). Vậy \(P\left( A \right) = 1 - \frac{{11}}{{57}} = \frac{{46}}{{57}}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất hai lần. Gọi \(A\) là biến cố: “Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm”. Khi đó:
Phép thử ngẫu nhiên là “Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất hai lần”.
Biến cố \(A = \left\{ {\left( {6;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\).
Xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{1}{6}\).
Xác suất biến cố đối của biến cố \(A\) là \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{5}{{36}}\).
a) Phép thử ngẫu nhiên là “Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất hai lần”.
b) \(A = \left\{ {\left( {1;6} \right);\left( {2;6} \right);\left( {3;6} \right);\left( {4;6} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\).
c) Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 36\).
Số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = 6\).
Khi đó \(P\left( A \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).
d) \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = \frac{5}{6}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Xét phép thử là gieo một đồng xu gồm hai mặt sấp ngửa 3 lần liên tiếp. Khi đó:
\(n\left( \Omega \right) = 8\).
Gọi \(A\) là biến cố “Gieo được mặt sấp”. Khi đó \(n\left( {\overline A } \right) = 1\).
Gọi \(A\) là biến cố “Gieo được mặt sấp”. Khi đó \(P\left( A \right) = \frac{1}{8}\).
Gọi \(C\) là biến cố “Kết quả của lần gieo thứ hai và thứ 3 khác nhau”. Khi đó \(P\left( C \right) = \frac{1}{2}\).
a) Ta có không gian mẫu \(\Omega = \left\{ {SSS;SSN;SNS;NSS;SNN;NSN;NNS;NNN} \right\}\).
Số phần tử không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 8\).
b) Ta có \(n\left( A \right) = 7 \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = 1\).
c) \(P\left( A \right) = \frac{7}{8}\).
d) \(C = \left\{ {SSN;SNS;NNS;NSN} \right\} \Rightarrow n\left( C \right) = 4\).
Khi đó \(P\left( C \right) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Xét phép thử “Gieo một con xúc xắc hai lần liên tiếp”.
Số phần tử của không gian mẫu là 12.
Số phần tử của biến cố \(A\): “Số chấm trong hai lần gieo đều giống nhau” là 10.
\(B = \left\{ {\left( {6;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\) là biến cố “Số chấm trong lần gieo đầu tiên là 6”.
\(P\left( A \right) = \frac{1}{6}\).
a) Số phần tử của không gian mẫu là \({6^2} = 36\).
b) \(A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( A \right) = 6\).
c) \(B = \left\{ {\left( {6;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\) là biến cố “Số chấm trong lần gieo đầu tiên là 6”.
d) \(P\left( A \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Gieo con xúc xắc 2 lần. Xét các biến cố:\(A:\) “Số chấm ở hai lần gieo giống nhau”; \(B:\) “Tổng số chấm ở hai lần gieo không bé hơn 10”.
Số phần tử của không gian mẫu bằng 12.
\(A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\).
\(B = \left\{ {\left( {5;6} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\).
\(P\left( B \right) = \frac{1}{2}\).
a) Số phần tử của không gian mẫu là \({6^2} = 36\).
b) \(A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\).
c) \(B = \left\{ {\left( {5;5} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\).
d) \(P\left( B \right) = \frac{4}{{36}} = \frac{1}{9}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Tung một đồng xu có 2 mặt sấp (S) và ngửa (N) 3 lần liên tiếp.
Không gian mẫu của phép thử là \(\Omega = \left\{ {SSS;NNN;SNS;SSN;NSN;NNS} \right\}\).
Biến cố mặt ngửa xuất hiện đúng một lần là \(A = \left\{ {NSS;SNS;SSN} \right\}\).
Biến cố mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần là \(B = \left\{ {SNN;NSN;SNS;NNN} \right\}\).
\(P\left( B \right) = \frac{2}{3}\).
a) \(\Omega = \left\{ {SSS;NNN;SNS;SSN;NSN;NNS;NSS;SNN} \right\}\).
b) \(A = \left\{ {NSS;SNS;SSN} \right\}\).
c) \(B = \left\{ {SNN;NSN;NNS;SSN;SNS;NSS;SSS} \right\}\).
d) \(P\left( B \right) = \frac{7}{8}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Trên kệ sách có 4 quyển sách Toán khác nhau, 3 quyển sách Lý khác nhau và 2 quyển Hóa khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách để đọc
Số phần tử của không gian mẫu là 84.
Xác suất để lấy ra ba quyển khác môn bằng \(\frac{2}{7}\).
Xác suất để lấy ra ba quyển Toán bằng \(\frac{1}{{12}}\).
Xác suất để lấy ra ít nhất một quyển Toán bằng \(\frac{5}{{42}}\).
a) Số phần tử của không gian mẫu là \(C_9^3 = 84\).
b) Xác suất để lấy ra ba quyển khác môn là \(P = \frac{{4 \cdot 3 \cdot 2}}{{84}} = \frac{2}{7}\).
c) Xác suất để lấy ra ba quyển Toán là \(P = \frac{{C_4^3}}{{84}} = \frac{1}{{21}}\).
d) Gọi \(A\) là biến cố “Lấy ra ít nhất một quyển Toán”.
\(\overline A \) là biến cố “Không có quyển Toán nào được lấy ra”.
Khi đó \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{C_5^3}}{{84}} = \frac{5}{{42}}\). Suy ra \(P\left( A \right) = 1 - \frac{5}{{42}} = \frac{{37}}{{42}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Trong một lớp có 25 bạn nam và 21 bạn nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 bạn trong lớp để làm cán bộ lớp. Khi đó:
Số cách chọn ra ba bạn trong lớp là 15180 cách.
Xác suất của biến cố “Ba bạn được chọn đều là nam” bằng \(\frac{5}{{33}}\).
Xác suất của biến cố “Ba bạn được chọn đều là nữ” bằng \(\frac{{133}}{{1158}}\).
Xác suất của biến cố “Trong ba học sinh được chọn có hai bạn nam và một bạn nữ” bằng \(\frac{{105}}{{253}}\).
a) Số cách chọn ra ba bạn trong lớp là \(C_{46}^3 = 15180\).
b) Gọi \(A\): “Ba bạn được chọn đều là nam”.
Số cách chọn được 3 bạn nam từ 25 bạn nam là \(C_{25}^3 = 2300\) cách. Suy ra \(n\left( A \right) = 2300\).
Xác suất của biến cố \(A\) là\(P\left( A \right) = \frac{{2300}}{{15180}} = \frac{5}{{33}}\).
c) Gọi \(B\): “Ba bạn được chọn đều là nữ”.
Số cách chọn được 3 bạn nữ là \(C_{21}^3 = 1330\) cách. Suy ra \(n\left( B \right) = 1330\).
Xác suất của biến cố \(B\) là \(P\left( B \right) = \frac{{1330}}{{15180}} = \frac{{133}}{{1518}}\).
d) Số cách chọn được 2 bạn nam và 1 bạn nữ là \(C_{25}^2 \cdot C_{21}^1 = 6300\).
Suy ra xác suất của biến cố “Trong ba học sinh được chọn có hai bạn nam và một bạn nữ” bằng \(\frac{{6300}}{{15180}} = \frac{{105}}{{253}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;14;16;18;20} \right\}\). Chọn ngẫu nhiên 3 số từ \(A\). Xác suất của biến cố “3 số chọn ra có cả số chẵn và số lẻ” bằng bao nhiêu?
Số phần tử của không gian mẫu là \(C_{16}^3 = 560\).
Số phần tử của biến cố “3 số chọn ra có cả số chẵn và số lẻ” là \(C_{10}^1 \cdot C_6^2 + C_{10}^2 \cdot C_6^1 = 420\).
Khi đó xác suất của biến cố là \(P = \frac{{420}}{{560}} = \frac{3}{4} = 0,75\).
Gieo một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xác suất của biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo xúc xắc bằng 11” bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {6^2} = 36\).
Gọi \(A\) là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo xúc xắc bằng 11”.
Khi đó \(A = \left\{ {\left( {5;6} \right);\left( {6;5} \right)} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( A \right) = 2\).
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{2}{{36}} = \frac{1}{{18}} \approx 0,1\).
Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính số phần tử của biến cố \(B\): “3 viên bi lấy ra có đúng 1 bi màu đỏ”.
Số phần tử của biến cố \(B\) là \(n\left( B \right) = C_6^1 \cdot C_{18}^2 = 918\).
Một hộp có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9. Bạn A rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên 2 thẻ được rút bằng 8 (kết quả làm tròn đền hàng phần trăm).
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_9^2 = 36\).
Gọi \(A\) là biến cố “Tổng các số ghi trên 2 thẻ được rút bằng 8”.
Khi đó \(A = \left\{ {\left( {1;7} \right);\left( {2;6} \right);\left( {3;5} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 3\).
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{3}{{36}} \approx 0,08\).
Gieo 1 con xúc xắc cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất để tích 3 lần gieo là số lẻ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Số phần từ của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {6^3} = 216\).
Gọi \(A\) là biến cố “Tích 3 lần gieo là số lẻ”.
Để tích 3 lần gieo là số lẻ thì cả 3 số đều là số lẻ.
Các mặt lẻ của con xúc xắc là 1; 3; 5.
Do đó số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\).
Khi đó \(P\left( A \right) = \frac{{27}}{{216}} \approx 0,13\).
Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi trắng và 4 viên bi xanh. Hộp thứ hai chứa 7 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Người ta lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai rồi sau đó từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên ra hai viên bi. Xác suất để hai viên bi lấy được từ hộp thứ hai là hai viên bi trắng là phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) (\(a,b\) là các số tự nhiên). Khi đó \(b - a\) bằng bao nhiêu?
Lấy 1 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai có 9 cách.
Lấy 2 viên bi bất kì ở hộp thứ hai có \(C_{13}^2\) cách.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(9 \cdot C_{13}^2 = 702\) cách.
Gọi \(A\) là biến cố “Lấy được hai viên bi từ hộp thứ hai là bi trắng”.
TH1: Lấy được viên bi xanh từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai.
Số cách chọn được hai viên bi trắng từ hộp thứ hai là \(4 \cdot C_7^2 = 84\) cách.
TH2: Lấy được viên bi trắng từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai.
Số cách chọn được hai viên bi trắng từ hộp thứ hai là \(5 \cdot C_8^2 = 140\) cách.
Suy ra \(n\left( A \right) = 84 + 140 = 224\) cách.
Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{{224}}{{702}} = \frac{{112}}{{351}}\).
Do đó \(b - a = 239\).
Từ một hộp chứa 12 viên bi gồm 3 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh và 5 viên bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 viên bi. Tính xác suất để trong bốn viên bi được lấy không có viên bi đỏ nào (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^4 = 495\).
Biến cố \(A\): “Trong bốn viên bi được lấy không có viên bi đỏ”.
Suy ra \(n\left( A \right) = C_9^4 = 126\).
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{126}}{{495}} \approx 0,25\).
Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 14. Gọi \(A\) là biến cố “Số được chọn là số chia hết cho 3”. Biến cố \(\overline A \) có bao nhiêu phần tử?
\(\overline A = \left\{ {1;2;4;5;7;8;10;11;13} \right\} \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = 9\).
Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ. Xác suất để tổng số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ bằng \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(a + b\).
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{11}^3\).
Gọi \(A\) là biến cố “Tổng số ghi trên 3 tấm thẻ là một số lẻ”.
Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn. Để có tổng của 3 số là một số lẻ ta có 2 trường hợp.
TH1: Chọn được 1 thẻ mang số lẻ và 2 thẻ mang số chẵn có \(C_6^1 \cdot C_5^2 = 60\) cách.
TH2: Chọn được 3 thẻ mang số lẻ có \(C_6^3 = 20\) cách.
Do đó \(n\left( A \right) = 60 + 20 = 80\).
Suy ra \[P\left( A \right) = \frac{{16}}{{33}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 16\\b = 33\end{array} \right. \Rightarrow T = a + b = 49\].
Một hộp đựng 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ và nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau. Tính xác suất để tích hai số ghi trên hai thẻ là số lẻ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Số phần tử của không gian mẫu là \(C_9^2 = 36\).
Gọi \(A\) là biến cố “Rút được hai thẻ có tích là số lẻ”.
Từ 1 đến 9 có 5 số lẻ. Suy ra \(n\left( A \right) = C_5^2 = 10\).
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{5}{{18}} \approx 0,28\).
Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh tham gia lao động. Tính xác suất sao cho:
a) Chọn 5 học sinh có đúng 3 học sinh nam và 2 nữ.
b) Chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 nam.
a) Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{35}^5 = 324632\).
Gọi \(A\) là biến cố “Chọn 5 học sinh có đúng 3 học sinh nam và 2 nữ”.
Suy ra \(n\left( A \right) = C_{15}^3 \cdot C_{20}^2 = 86450\).
Khi đó \(P\left( A \right) = \frac{{86450}}{{324632}} \approx 0,266\).
b) Gọi \(B\) là biến cố “Chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 nam”.
Khi đó \(\overline B \) là biến cố “Chọn được 5 học sinh nữ” nên \[n\left( {\overline B } \right) = C_{20}^5 = 15504\].
Khi đó \(P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - \frac{{C_{20}^5}}{{C_{35}^5}} \approx 0,95\).
Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất 9 lần. Tính xác suất để số lần xuất hiện mặt sấp nhiều hơn số lần xuất hiện mặt ngửa.
Số phần tử không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = {2^9}\).
Gọi \(A\) là biến cố “Số lần xuất hiện mặt sấp nhiều hơn số lần xuất hiện mặt ngửa”.
Các trường hợp có thể xảy ra:
Số lần xuất hiện mặt sấp | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Số lần xuất hiện mặt ngửa | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
Khi đó \(n\left( A \right) = C_9^5 + C_9^6 + C_9^7 + C_9^8 + C_9^9 = 256\).
Khi đó \(P\left( A \right) = \frac{{256}}{{512}} = \frac{1}{2}\).
Trong một đề thi trắc nghiệm môn Toán có loại câu hỏi trả lời dạng đúng sai. Một câu hỏi có 4 ý hỏi, mỗi ý hỏi học sinh chỉ cần trả lời đúng hoặc chỉ trả lời sai. Nếu không trả lời đúng ý nào thì được 0,0 điểm, nếu 1 ý trả lời đúng đáp án thì được 0,1 điểm, đúng đáp án 2 ý được 0,25 điểm, đúng đáp án 3 ý được 0,5 điểm và đúng đáp án cả 4 ý được 1 điểm. Giả sử một thí sinh làm bài bằng cách chọn phương án ngẫu nhiên để trả lời cho 2 câu hỏi loại đúng sai này. Tính xác suất để học sinh đó được 1 điểm ở phần trả lời 2 câu hỏi này.
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {2^8}\).
Gọi \(A\) là biến cố “Học sinh được 1 điểm ở phần trả lời 2 câu hỏi”.
TH1: Mỗi câu 3 ý đúng có \(C_4^3 \cdot C_4^3\).
TH2: 1 câu 4 ý đúng, 1 câu 0 ý đúng là \(C_4^4 \cdot 1 + 1 \cdot C_4^4\).
Suy ra \(n\left( A \right) = C_4^3 \cdot C_4^3 + C_4^4 \cdot 1 + 1 \cdot C_4^4 = 18\).
Khi đó \(P\left( A \right) = \frac{{18}}{{{2^8}}} = \frac{9}{{128}}\).
Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Tính xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ.
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 10!\).
Gọi \(A\) là biến cố “Xếp 10 học sinh vào 10 ghế sao cho mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ”.
Giả sử đánh số vị trí ngồi như bảng sau
A1 | A2 | A3 | A4 | A5 |
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 |
Xét vị trí A1 có 10 cách, mỗi cách xếp A1 có 5 cách xếp vị trí B1.
Mỗi cách xếp vị trí A1, B1 có 8 cách xếp vị trí A2, tương ứng có 4 cách xếp vị trí B2.
Cứ làm như vậy ta có \(n\left( A \right) = 10 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 = 460800\).
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{460800}}{{10!}} = \frac{8}{{63}}\).
Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn \(\left[ {1;17} \right]\). Tính xác suất để ba số được viết ra có tổng là số chia hết cho 3.
Số phần tử của không gian mẫu là \({17^3}\).
Các số tự nhiên từ 1 đến 17 chia thành 3 nhóm:
Nhóm I gồm các số tự nhiên chia hết cho 3 gồm 5 số.
Nhóm II gồm các số tự nhiên chia cho 3 dư 1 gồm 6 số.
Nhóm III gồm các số tự nhiên chia cho 3 dư 2 gồm 6 số.
Để ba số có tổng chia hết cho 3 thì xảy ra các trường hợp sau:
Cả ba bạn viết được số thuộc nhóm I có \({5^3}\) cách.
Cả ba bạn viết được số thuộc nhóm II có \({6^3}\) cách.
Cả ba bạn viết được một số thuộc nhóm III có \({6^3}\) cách.
Mỗi bạn viết được một số thuộc một nhóm có \(3! \cdot \left( {5 \cdot 6 \cdot 6} \right)\).
Vậy có tất cả \({5^3} + {6^3} + {6^3} + 3! \cdot \left( {5 \cdot 6 \cdot 6} \right) = 1637\) kết quả thuận lợi cho biến cố.
Vậy xác suất cần tìm là \(P = \frac{{1637}}{{{{17}^3}}} = \frac{{1637}}{{4913}}\).
