Bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp - có lời giải chi tiết)

Ta có ${(A + B)}^3 = A^3 + 3A^{2}B + 3A{B}^2 + B^3$ nên phương án C sai, A đúng.

${(A - B)}^3 = A^3 - 3A^{2}B + 3A{B}^2 - B^3$ nên phương án B sai, D sai.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có ${(x – 2y)}^3 = x^3 – 3.x^2.2y + 3x.{\left(2y\right)}^2 – {\left(2y\right)}^3 = x^3 – 6x^{2}y + 12x{y}^2 – 8y^3$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có $$\begin{gathered} A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2) \\ và A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \end{gathered}$$

nên A, B đúng.

Vì A + B = B + A => ${(A + B)}^3 = {(B + A)}^3$ nên C đúng

Vì A – B = - (B – A) => ${(A – B)}^3 = -{(B – A)}^3$ nên D sai

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} 8 + 12y + 6y^2 + y^3 \\ = 2^3 + 3.2^{2}y + 3.2.y^2 + y^3 \\ = {(2 + y)}^3 \ne (8 + y^3) \end{gathered}$$

nên A sai

+ Xét

$$\begin{gathered} {(2x – y)}^3 = {\left(2x\right)}^3 – 3{\left(2x\right)}^2.y + 3.2x.y^2 – y^3 \\ = 8x^3 – 12x^{2}y + 6x{y}^2 – y^3 \\ \ne 2x^3 – 6x^{2}y + 6xy – y^3 \end{gathered}$$

nên C sai

+ Xét

$$\begin{gathered} {(3a + 1)}^3 = {\left(3a\right)}^3 + 3.{\left(3a\right)}^2.1 + 3.3a.1^2 + 1 \\ = 27a^3 + 27a^2 + 9a + 1 \ne 3a^3 + 9a^2 + 3a + 1 \end{gathered}$$

nên D sai

+ Xét $a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = {(a + 1)}^3$ nên B đúng

Đáp án cần chọn là: B

Ta có

$$\begin{gathered} {(-b – a)}^3 = [-{(a + b)}^3] = -{(a + b)}^3 = -(a^3 + 3a^{2}b + 3a{b}^2 + b^3) \\ = -a^3 - 3a^{2}b - 3a{b}^2 - b^3 \\ = -a^3 – 3ab(a + b) – b^3 \end{gathered}$$

nên A đúng

+ Xét $$\begin{gathered} {(c – d)}^3 = c^3 – 3c^{2}d + 3c{d}^2 + d^3 \\ = c^3 – d^3 + 3cd(d – c) \end{gathered}$$

nên B đúng

+ Xét $$\begin{gathered} {(y – 1)}^3 = y^3 – 3y^2.1 + 3y.1^2 – 1^3 \\ = y^3 – 1 – 3y(y – 1) \end{gathered}$$

nên D đúng

+ Xét

$$\begin{gathered} {(y – 2)}^3 = y^3 – 3y^2.2 +3y.2^2 – 2^3 \\ = y^3 – 6y^2 + 12y – 8 \\ = y^3 – 8 – 6y(y – 2) \ne y^3 – 8 – 6y(y + 2) \end{gathered}$$

nên C sai

Đáp án cần chọn là: C

Ta có $$\begin{gathered} x^3 + 12x^2 + 48x + 64 \\ = x^3 + 3x^2.4 + 3.x.4^2 + 4^3 \\ = {(x + 4)}^3 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có $$\begin{gathered} 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 \\ = {\left(2x\right)}^3 + 3{\left(2x\right)}^2.3 + 3.2x.3^2 + 3^3 \\ = {(2x + 3)}^3 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có $$\begin{gathered} x^3 – 6x^2 + 12x – 8 \\ = x^3 – 3.x^2.2 + 3.x.2^2 – 2^3 \\ = {(x – 2)}^3 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} 8x^3 – 12x^{2}y + 6x{y}^2 – y^3 \\ = {\left(2x\right)}^3 – 3.{\left(2x\right)}^{2}y + 3.2x.y^2 – y^3 \\ = (2x – y{)}^3 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có 

$$\begin{gathered} (x – 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2) \\ = (x – 3y)(x^2 + x.3y + {\left(3y\right)}^2) = x^3 – {\left(3y\right)}^3 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

$$\begin{gathered} (3x – 4)(9x^2 + 12x + 16) \\ = (3x – 4)({\left(3x\right)}^2 + 3x.4 + 4^2) \\ = {\left(3x\right)}^3 – 4^3 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} (x^2 + 3)(x^4 – 3x^2 + 9) \\ = (x^2 + 3)\left({\left(x^2\right)}^2-3x^2+3^2\right) \\ ={\left(x^2\right)}^3+3^3 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có 

$$\begin{gathered} \left(\frac{y}{2}+6\right)\left(\frac{y^2}{4}-3y+36\right) \\ =\left(\frac{y}{2}+6\right)\left({\left(\frac{y}{2}\right)}^2-\frac{y}{2}.6+6^2\right) \\ ={\left(\frac{y}{2}\right)}^3-6^3 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B

$\begin{array}{l}{x}^3+3x^2+3x+1=0\\ {\left(x+1\right)}^3=0\\ x+1=0\\ x=-1\end{array}$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} x^3 – 12x^2 + 48x – 64 = 0 \\ {x}^3 – 3.x^2.4 + 3.x.4^2 – 4^3 = 0 \\ {(x – 4)}^3 = 0 \end{gathered}$$

x – 4 = 0

x = 4

Vậy x = 4

Đáp án cần chọn là: B

Ta có

$$\begin{gathered} (x + 2) (x^2 – 2x + 4) – x(x^2 – 2) = 14 \\ {x}^3 + 2^3 – (x^3 – 2x) = 14 \\ {x}^3 + 8 – x^3 + 2x = 14 \end{gathered}$$

2x = 6

x = 3

Vậy x = 3

Đáp án cần chọn là: C

Ta có ${(a + b + c)}^2$ + 12 = 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca)

$a^2 + b^2 + c^2$ + 2(ab + bc + ca) + 12 = 4(a + b + c) + 2(ab + ac + bc)

$a^2 + b^2 + c^2$ – 4a – 4b – 4c + 12 = 0

$(a^2 – 4a + 4) + (b^2 – 4b + 4) + (c^2 – 4c + 4)$= 0

${(a – 2)}^2 + {(b – 2)}^2 + {(c – 2)}^2$= 0

Mà ${(a – 2)}^2$ ≥ 0; ${(b – 2)}^2$ ≥ 0; ${(c – 2)}^2$ ≥ 0 với mọi a, b, c

Dấu “=” xảy ra khi  óa = b = c = 2

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} {(x + 1)}^3 – x^2(x + 3) = 2. \\ {x}^3 + 3x^2 + 3x + 1 – x^3 – 3x^2 = 2 \end{gathered}$$

3x = 1

$x=\frac{1}{3}$

Vậy $x=\frac{1}{3}$.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} A = x^3 – 3x^2 + 3x \\ = x^3 – 3x^2 + 3x – 1 + 1 \\ = {(x – 1)}^3 + 1 \end{gathered}$$

Thay x = 1001 vào $A = {(x – 1)}^3 + 1$ ta được

$A = {(1001 – 1)}^3 + 1$ suy ra A = 1000³ + 1

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} B = x^3 – 6x^2 + 12x + 10 \\ = x^3 – 3x^2.2 + 3x.2^2 – 8 + 18 \\ = {(x – 2)}^3 + 18 \end{gathered}$$

Thay x = 1002 vào B = ${(x – 2)}^3$ + 18 ta được:

$B = {(1002 – 2)}^3 + 18$ = 1000³ + 18      

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

$$\begin{gathered} M = (2x + 3)(4x^2 – 6x + 9) – 4(2x^3 – 3) \\ = (2x + 3)[{\left(2x\right)}^2 – 2x.3 + 3^2] – 8x^3 + 12 \\ = {\left(2x\right)}^3 + 3^3 – 8x^3 + 12 \\ = 8x^3+ 27 – 8x^3 + 12 =39 \end{gathered}$$

Vậy giá trị của M là một số lẻ.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} H = (x + 5)(x^2 – 5x + 25) – {(2x + 1)}^3 + 7{(x – 1)}^3 – 3x(-11x + 5) \\ = x^3 + 5^3 – (8x^3 + 3.{\left(2x\right)}^2.1 + 3.2x.1^2 + 1) + 7(x^3 – 3x^2 + 3x – 1) + 33x^2 – 15x \\ = x^3 + 125 – 8x^3 – 12x^2 – 6x – 1 + 7x^3 – 21x^2 + 21x – 7 + 33x^2 – 15x \\ = (x^3 – 8x^3 + 7x^3) + (-12x^2 – 21x^2 + 33x^2) + (-6x + 21x – 15x) + 125 – 1 – 7 \end{gathered}$$

= 117

Vậy giá trị của M là một số lẻ

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

$x^3 + y^3= {(x + y)}^3 – 3xy(x + y)$

 $x^2 + y^2 = {(x + y)}^2 – 2xy$

Khi đó

$P = -2(x^3 + y^3) + 3(x^2 + y^2) = -2[{(x + y)}^3 – 3xy(x + y\left)\right] + 3[{(x + y)}^2 – 2xy]$

Vì x + y = 1 nên ta có:

P = -2(1 – 3xy) + 3(1 – 2xy) = -2 + 6xy + 3 – 6xy = 1

Vậy P = 1.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: ${(a + b)}^3 = a^3 + 3a^{2}b + 3a{b}^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$

Suy ra $a^3 + b^3 = {(a + b)}^3 – 3ab(a + b)$

Hay $Q = {(a + b)}^3 – 3ab(a + b)$

Thay a + b = 5 và a.b = -3 vào $Q = {(a + b)}^3 – 3ab(a + b)$ ta được

$Q = 5^3 – 3.(-3).5 = 170$

Vậy Q = 170.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} P = {(4x + 1)}^3 – (4x + 3)(16x^2 + 3) \\ P = {\left(4x\right)}^3 + 3.{\left(4x\right)}^2.1 + 3.4x.1^2 + 1^3 – (64x^3 + 12x + 48x^2 + 9) \\ P = 64x^3 + 48x^2 + 12x + 1 – 64x^3 – 12x – 48x^2 – 9 \\ P = -8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Q = {(x – 2)}^3 – x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3) + 5x \\ Q = x^3 – 3.x^2.2 + 3x.2^2 – 2^3 – x(x^2 – 1) + 6x^2 – 18x + 5x \\ Q = x^3 – 6x^2 + 12x – 8 – x^3 + x + 6x^2 – 18x + 5x \\ Q = -8 \end{gathered}$$

Vậy P = Q.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

M = 8(x – 1)($x^2$ + x + 1) – (2x – 1)(4$x^2$ + 2x + 1)

= 8($x^3$ – 1) – (${\left(2x\right)}^3$ – 1)

= 8$x^3$ – 8 – 8$x^3$ + 1 = -7 nên M = -7

N = x(x + 2)(x – 2) – (x + 3)($x^2$ – 3x + 9) – 4x

= x($x^2$ – 4) – ($x^3$ + $3^3$) + 4x

= $x^3$ – 4x – $x^3$– 27 + 4x = -27

=> N = -27

Vậy M = N + 20

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} E= (x + 1)(x^2 – x + 1) – (x – 1)(x^2 + x + 1) \\ E= x^3 + 1 – (x^3 – 1) \\ E= x^3 + 1 – x^3 + 1 \\ E= 2 \end{gathered}$$

Vậy E = 2.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} A = (x^2 – 3x + 9)(x + 3) – (54 + x^3) \\ A = (x^2 – 3x + 3^2)(x + 3) – (54 + x^3) \\ A = x^3 + 3^3 – 54 – x^3 \end{gathered}$$

A = 27 – 54 = -27

Vậy A = -27.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có

$$\begin{gathered} {(a + b)}^3 = a^3 + 3a^{2}b + 3a{b}^2 + b^3 \\ = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) \\ => a^3 + b^3 = {(a + b)}^3 – 3ab(a + b) \end{gathered}$$

Từ đó

$$\begin{gathered} B = a^3 + b^3 + c^3 – 3abc \\ = {(a + b)}^3 – 3ab(a + b) + c^3 – 3abc \\ = [{(a+b)}^3 + c^3] – 3ab(a + b +c) \\ = (a + b + c)[{(a + b)}^2 – (a + b)c + c^2] – 3ab(a + b + c) \end{gathered}$$

Mà a + b + c = 0 nên

$$\begin{gathered} B = 0.[{(a + b)}^2 – (a + b)c + c^2] – 3ab.0 \\ = 0 \end{gathered}$$

Vậy B = 0

Đáp án cần chọn là: A