Bài tập Nhị thức Newton cơ bản, nâng cao có lời giải (P2)

Biết rằng khi khai triển nhị thức Niutơn $$\begin{gathered} {\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt[4]{x}}\right)}^n=a_0\sqrt{x^n}+a_1\sqrt{x^{n-1}}\frac{1}{\sqrt[4]{x}} \\ +a_2\sqrt{x^{n-2}}{\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)}^2++a_3\sqrt{x^{n-3}}{\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)}^3... \end{gathered}$$(với n là số nguyên lớn hơn 1) thì ba số $a_0, a_1, a_2$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Hỏi trong khai triển trên, có bao nhiêu số hạng mà lũy thừa của x là một số nguyên.

Cho  n  là số  nguyên dương thỏa mãn $A_n^2-3C_n^{n-1}=11n$. Xét khai triển $P\left(x\right)={\left(x-2\right)}^n$. Hệ số chứa $x^{10}$ trong khai triển là:

Giả sử có khai triển $$\begin{gathered} {\left(1-2x\right)}^n=a_0+a_{1}x \\ +a_2{x}^2+...+a_n{x}^n \end{gathered}$$. 

Tìm $a_5$ biết $a_0+a_1+a_2=71$ 

Cho khai triển ${\left(1+2x\right)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n$, n$\ge$1. Tìm số giá trị nguyên  của  n với $n\le 2018$ sao cho tồn tại k $\left(0\le k\le n-1\right)$ thỏa mãn $a_k=a_{k+1}$

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ trong khai triển của biểu thức ${\left(3x^3-\frac{2}{x^2}\right)}^5$. 

Trong khai triển ${\left(1+3x\right)}^{20}$ với số mũ tăng dần, hệ số của số hạng đứng chính giữa là

Hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong khai triển thành đa thức của biểu thức A=${\left(1-x\right)}^{10}$ là:

Tìm hệ số của $x^3$ sau khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng của ${\left(\frac{1}{x}-x+2x^3\right)}^9$, x$\ne$0.

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong khai triển của ${\left(2x+\frac{1}{x^2}\right)}^9$ với x$\ne$0

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton ${\left(x-\frac{2}{x^2}\right)}^{21}$, (x$\ne$0)

Tính tổng $C=C_{10}^0+2C_{10}^1+2^2{C}_{10}^2+...+2^{10}{C}_{10}^{10}$

Cho $P\left(x\right)={\left(1+3x+x^2\right)}^{20}$. Khai triển P(x) thành đa thức ta được $$\begin{gathered} P\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2 \\ +...+a_{40}{x}^{40} \end{gathered}$$.

Tính $S=a_1+2a_2+...+40a_{40}$

Rút gọn tổng sau $S=C_{2018}^2+C_{2018}^5+C_{2018}^8+...+C_{2018}^{2018}$

Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho $$\begin{gathered} S=2+\left(C_1^0+C_2^0+...+C_n^0\right) \\ +\left(C_1^1+C_2^1+...+C_n^1\right) \\ +...+\left(C_{n-1}^{n-1}+C_n^{n-1}\right)+C_n^n \end{gathered}$$ là một số có 1000 chữ số.

Giả sử $$\begin{gathered} \left(1+x\right)\left(1+x+x^2\right)... \\ \left(1+x+x^2+...+x^n\right) \\ =a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_m{x}^m \end{gathered}$$. Tính $\sum _{r=0}^m{a}_r$.

Tổng $$\begin{gathered} S=1^2.C_{2018}^1.2^0+2^2.C_{2018}^2.2^1 \\ +3^2.C_{2018}^3.2^2+...+{2018}^2.C_{2018}^{2018}.2^{2017} \\ =2018.3^a.(2b+1) \end{gathered}$$,

với a, b là các số nguyên dương và (2b+1) không chia hết cho 3.

Tính a+b.

Giả sử $$\begin{gathered} {\left(1-x+x^2\right)}^n=a_0+a_{1}x \\ +a_2{x}^2+...+a_{2n}{x}^{2n} \end{gathered}$$. Đặt $s=a_0+a_2+a_4+...+a_{2n}$, khi đó, s bằng

Giả sử có khai triển $$\begin{gathered} {\left(1-2x\right)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2 \\ +...+a_n{x}^n \end{gathered}$$. 

Tìm $a_5$ biết $a_0+a_1+a_2=71$

Tập hợp A gồm n phần tử $\left(n\ge 4\right)$. Biết rằng số tập hợp con chứa 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con chứa 2 phần tử của A. Tìm số $k\in \left\{1;2;...;n\right\}$ sao cho số tập hợp con chứa k phần tử của A là lớn nhất.

Biết rằng trong khai triển nhị thức Newton của ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^n$ tổng các hệ số của hai số hạng đầu bằng 24. Gọi S là tổng các hệ số của số hạng chứa $x^k \left(k>0\right)$. Hỏi S có tính chất gì trong các tính chất sau?

Khai triển và rút gọn biểu thức $$\begin{gathered} 1-x+2{\left(1-x\right)}^2 \\ +...+n{\left(1-x\right)}^n \end{gathered}$$ thu được đa thức $P\left(x\right)=a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n$. Tính hệ số $a_8$ biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn $\frac{1}{C_n^2}+\frac{7}{C_n^3}=\frac{1}{n}$

Tìm số các số hạng hữu tỉ trong khai triển ${\left(\sqrt{3}+\sqrt[4]{5}\right)}^n$ biết n thỏa mãn $$\begin{gathered} C_{4n+1}^1+C_{4n+1}^2+C_{4n+1}^3 \\ +...+C_{4n+1}^{2n}=2^{496}-1 \end{gathered}$$

Tìm số nguyên dương n sao cho $$\begin{gathered} C_{2n+1}^1-2.2.C_{2n+1}^2+3.2^2.C_{2n+1}^3 \\ -4.2^3.C_{2n+1}^4+...+(2n+1)2^{2n}.C_{2n+1}^{2n+1} \\ =2019 \end{gathered}$$

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn các điều kiện sau $\left\{\begin{array}{l}{C}_{n-1}^4-C_{n-1}^3<\frac{5}{4}{A}_{n-2}^2\\ C_{n+1}^{n-4}\ge \frac{7}{15}{A}_{n+1}^3\end{array}\right.$

(Ở đây $A_n^k, C_n^k$ lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử).

Tìm $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ sao cho

$$\begin{gathered} C_n^1+3C_n^2+7C_n^3+... \\ +(2^n-1)C_n^n=3^{2n}-2^n-6480 \end{gathered}$$.

Tìm hệ số của x trong khai triển $P\left(x\right)={\left(1+\frac{n}{4}\sqrt{x}-\frac{3n}{8}\sqrt[3]{x}\right)}^{n-4}$ với $x>0$ . Biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện $A_n^2+3C_n^{n-2}-C_{n+1}^3=A_{n+1}^2-2n$ .

Cho khai triển nhị thức: ${\left(\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\frac{b^2\sqrt[3]{b^2}}{a\sqrt[3]{a^2}}\right)}^{3n}$ với $a\ne 0, b\ne 0$. Hãy xác định hệ số của số hạng có tỉ số lũy thừa của a và b bằng $-\frac{1}{2}$ biết rằng

$$\begin{gathered} 3C_{2n}^0-\frac{1}{2}{C}_{2n}^1+C_{2n}^2-\frac{1}{4}{C}_{2n}^3 \\ +...+\frac{3}{2n+1}{C}_{2n}^{2n}=\frac{10923}{5} \end{gathered}$$

Cho tập hợp A gồm n phần tử $\left(n>4\right)$. Tìm n biết rằng trong số các phần tử của A có đúng 16n tập con có số phần tử là lẻ. 

Cho khai triển $$\begin{gathered} {\left(1-2x\right)}^{20}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2 \\ +...+a_{20}{x}^{20} \end{gathered}$$. Giá trị của $a_0+a_1+a_2+...+a_{20}$ bằng