Bài tập Một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \[y = \frac{{mx - 8}}{{x + 2}}\] có hai đường tiệm cận.
m ≠ 4;
m ≠ −4;
m = 4;
m = −4.
Đáp án đúng là: B
Với m = −4 thì \[y = \frac{{ - 4x - 8}}{{x + 2}} = - 4\] không thỏa mãn.
Do đó m ≠ −4 thì hàm số luôn có hai đường tiệm cận x = −2; y = m.
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}}.\) Tìm a, b để đồ thị hàm số có x = 1 là tiệm cận đứng và \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang.
a = −1; b = 2;
a = 4; b = 4;
a = 1; b = 2;
a = −1; b = −2.
Đáp án đúng là: C
+) b = 0 đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + 1}}{{ - 2}}\) không có tiệm cận.
+) b ≠ 0, tập xác định của hàm số \(y = \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}}\) là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{2}{b}} \right\}\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{a + \frac{1}{x}}}{{b - \frac{2}{x}}} = \frac{a}{b}\].
đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow b = 2a\).
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{2}{b}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{2}{b}}^ + }} \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}} = \left[ \begin{array}{l} + \infty \\ - \infty \end{array} \right.\].
đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng\(x = \frac{2}{b} \Rightarrow \frac{2}{b} = 1 \Leftrightarrow b = 2 \Rightarrow a = 1\).
Vậy a = 1; b = 2.
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}}\) có đúng hai đường tiệm cận.
m = −1;
m ∈ {1; 4};
m = 4;
m ∈ {−1; −4}.
Đáp án đúng là: D
\(y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{{x^2} + m}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\).
\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1 \Rightarrow \] y = 1 là đường tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}}\) có đúng hai đường tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng. Suy ra phương trình x2 + m = 0 nhận nghiệm x = 1 hoặc x = 2.
Khi đó: m = −1 hoặc m = −4.
Với m = −1 có một tiệm cận đứng x = 2.
Với m = −4 có một tiệm cận đứng x = 1.
Vậy m ∈ {−1; −4}.
Tìm tất cả giá trị của tham số m để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = 2mx + 3 - \frac{4}{{x + 1}}\) đi qua điểm M(1; 7).
m = 1;
m = 3;
m = 2;
m = −2.
Đáp án đúng là: C
Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - \left( {2mx + 3} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 4}}{{x + 1}} = 0\).
Vậy đường tiệm cận xiên có phương trình y = 2mx + 3.
Đường thẳng này qua điểm M(1; 7) nên 2m.1 + 3 = 7 m = 2.
Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = \frac{{\left( {n - 3} \right)x + n - 2017}}{{x + m + 3}}\) (m, n là các số thực) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung là tiệm cận đứng. Tính tổng m + n.
0;
−3;
3;
6.
Đáp án đúng là: A
Đồ thị hàm số nhận x = −m – 3 làm tiệm cận đứng −m – 3 = 0 m = −3.
Đồ thị hàm số nhận y = n – 3 làm tiệm cận ngang n – 3 = 0 n = 3.
Vậy m + n = 0.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 8x + m}}\] có 3 đường tiệm cận?
14;
8;
15;
16.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 8x + m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 8x + m}} = 0\) nên đồ thị hàm số có một tiện cận ngang y = 0.
Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng phương trình x2 – 8x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 16 - m > 0\\m - 7 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 16\\m \ne 7\end{array} \right.\).
Kết hợp với điều kiện m nguyên dương ta có m ∈ {1; 2; 3; …; 6; 8; …; 15}.
Vậy có 14 giá trị của m thỏa mãn đề bài.
Cho đồ thị hàm số y = f(x) có bảng biến thiên xác định như hình. Biết rằng đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x0, tiệm cận ngang là y = y0 và x0y0 = 16. Hỏi m bằng?
m = 8;
m = −16;
m = 1;
m = 2.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {m^ + }} y = - \infty \) nên x0 = m là tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 8\) nên y0 = 8 là tiệm cận ngang.
Suy ra 8m = 16 m = 2.
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên:
![Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ [−4; 4] để hàm số có 4 tiệm cận? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1742397066/1742397854-image3.png)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ [−4; 4] để hàm số có 4 tiệm cận?
5;
6;
7;
8.
Đáp án đúng là: C
+ Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty {\mkern 1mu} \) nên x = −2 là một tiệm cận đứng.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = - \infty {\mkern 1mu} \) nên x = 1 là một tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 4{\mkern 1mu} \) nên y = 4 là một tiệm cận ngang.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {m^2}\) nên y = m2 là một tiệm cận ngang.
+ Để hàm số có 4 tiệm cận thì m2 ≠ 4 m ≠ ±2 mà m ∈ [−4; 4] nên m ∈ {±4; ±3; ±1; 0}. Vậy có 7 giá trị m cần tìm.
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau:
Tìm tổng số các giá trị nguyên dương của tham số m ∈ (−10; 10) để đồ thị hàm số y = f(x) có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là 4.
42;
45;
−3;
0.
Đáp án đúng là: A
Từ bảng biến thiên ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right)\left( {2 - m} \right)\).
Suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là y = 0 và y = (m – 1)(2 – m).
Lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty \) suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) là x = −2.
Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = - \infty \) suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) là x = 2.
Để đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là 4 khi và chỉ khi \(\left( {m - 1} \right)\left( {2 - m} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right.\).
Vì m ∈ (−10; 10) và m là số nguyên dương nên m ∈ {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.
Vậy 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 42.
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Định tham số m để giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là điểm I(−1; 1).
Không có m;
m = 0;
m = −1;
m = 1.
Đáp án đúng là: D
Từ bảng biến thiên suy ra tiệm cận đứng là x = −m, tiệm cận ngang là y = m nên giao điểm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là I(−m; m).
Theo đề ta suy ra m = 1.
m > 0.
m < 0.
m = 0.
m ≠ 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có x2 – m = 0 Û \(x = \pm \sqrt m \).
Nếu m > 0 thì đồ thị có 2 tiệm cận đứng là \(x = \pm \sqrt m \).
Nếu m = 0 thì hàm số có dạng y = 1 không có tiệm cận.
Nếu m < 0 thì đồ thị hàm số không có tiệm cận.
y = 1.
y = m.
x = 0.
y = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{mx + 1}}{{{x^2} + 1}} = 0\). Do đó y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
m = 1.
m = 0.
m = 2.
m = 3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\left( {m + 1} \right)x - 5m}}{{2x - m}} = \frac{{m + 1}}{2}\).
Do đó \(y = \frac{{m + 1}}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Theo đề ta có \(\frac{{m + 1}}{2} = 1 \Leftrightarrow m = 1\).
\(m = \frac{7}{2}\).
m = 2.
m ≠ 2.
\(m \ne \frac{7}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Để đồ thị hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + 6x - 2}}{{x + 2}}\) có tiệm cận đứng thì x = −2 không là nghiệm của phương trình mx2 + 6x – 2 = 0.
Khi đó m×(−2)2 + 6×(−2) – 2 ≠ 0 Û\(m \ne \frac{7}{2}\).
Vậy với \(m \ne \frac{7}{2}\) thì đồ thị hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + 6x - 2}}{{x + 2}}\) có tiệm cận đứng.
\(m > \frac{3}{2}\).
\(m < \frac{3}{2}\).
m ∈ {−3; 1}.
\(m \in \left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right)\backslash \left\{ { - 3;1} \right\}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Đặt f(x) = x2 + 2(m – 1)x + m2 – 2.
Để hàm số có đúng 2 tiệm cận đứng thì phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 2} \right) > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\{m^2} + 2m - 3 \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\m \ne - 3;m \ne 1\end{array} \right.\).
Khi m = 0, tiệm cận đứng của hàm số là x = 2.
Khi m = 0, tọa độ giao điểm của tiệm cận đứng của đồ thị và đường thẳng x – y – 1 = 0 thuộc parabol: y = x2 .
Khi m = 0, lấy \(M\) là điểm bất kỳ trên đồ thị \(\left( C \right)\), gọi \({d_1}\) là khoảng cách từ M đến đường tiệm cận tiệm cận đứng, gọi \({d_2}\) là khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x + 2. Tích d1‧d2 = 7.
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số không có tiệm cận đứng. Số phần tử của S là 1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Khi m = 0 hàm số có dạng \(y = \frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}}\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( 2 \right)}^ + }} \frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( 2 \right)}^ - }} \frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}} = - \infty \) nên tiệm cận đứng của hàm số là x = 2.
b) Sai. Khi m = 0 hàm số có dạng \(y = \frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}}\)
Tọa độ giao điểm của tiệm cận đứng và đường thẳng x – y – 1 = 0 là nghiệm hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x - y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\) không thỏa mãn phương trình parabol y = x2.
c) Sai. Lấy \(M\left( {0; - \frac{3}{2}} \right) \in \left( C \right)\). Ta có \({d_1} \cdot {d_2} = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{1} \cdot \frac{{\left| { - \frac{3}{2} - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}\).
d) Sai. Hàm số không có tiệm cận đứng khi \(x = 2\) là nghiệm của phương trình \( - {x^2} + 4x + 3 + m = 0\)hay \( - 4 + 8 + 3 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 7\). Vậy \(S = \emptyset \).
Khi m = 2 thì (d) có phương trình là y = 2x + 3.
Khi m = 1 thì (d) đi qua A(1; 4).
Có 2 đường thẳng (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 9.
Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) bằng \(\sqrt 3 \) thì \(m = \sqrt 5 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
Ta có \(y = mx + 3 + \frac{{{m^2} + 1}}{{x - 1}}\), do đó (C) có tiệm cận xiên là (d): y = mx + 3 (m ≠ 0).
a) Đúng. Với m = 2 thì (d) có phương trình là y = 2x + 3.
b) Đúng. Ta có A(1; 4) Î d nên 4 = m + 3 Û m = 1.
c) Đúng. Giao điểm của (d) với hai trục tọa độ là \(M\left( {0;\,3} \right);\,N\left( { - \frac{3}{m};0} \right)\).
Diện tích tam giác vuông OMN là \(S = \frac{1}{2}OM \cdot ON = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \left| {\frac{3}{m}} \right| = \frac{9}{{2\left| m \right|}}\)
Ta có \(S = 9 \Leftrightarrow \frac{9}{{2\left| m \right|}} = 9 \Leftrightarrow \left| m \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}\) (nhận).
Vậy có 2 đường thẳng (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 9.
d) Sai. Ta có \(d\left( {O,\left( d \right)} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} + 1} = \sqrt 3 \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2 \).
Đồ thị luôn có tiệm cận đứng x = m.
Đồ thị có tiệm cận xiên y = x + m.
Đồ thị có 1 tiệm cận ngang.
Với m = 5 thì tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {m^ - }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - m}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {m^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - m}} = - \infty \) nên x = m là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
b) Đúng. Có \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - m}} = x + m + \frac{{1 + {m^2}}}{{x - m}}\).
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + m} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 + {m^2}}}{{x - m}} = 0\).
Do đó y = x + m là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
c) Sai. Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{x - m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{x} - \frac{m}{{{x^2}}}}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{x - m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{x} - \frac{m}{{{x^2}}}}} = - \infty \) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
d) Sai. Tiệm cận xiên y = x + m giao với Ox tại A(−m; 0) và giao với Oy tại B(0; m).
Do đó để SDAOB = 3 thì \(\frac{1}{2}\left| { - m} \right| \cdot \left| m \right| = 3\)\( \Leftrightarrow {m^2} = 6 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 6 \).
Đồ thị hàm số luôn có hai tiệm cận đứng là x = 1; x = −1.
Có 2 giá trị của m để đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng.
Tổng các giá trị của m để đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng là 0.
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Đặt f(x) = x2 + mx + 1.
Để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 1; x = −1 thì x = 1; x = −1 không là nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) \ne 0\\f\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + m + 1 \ne 0\\1 - m + 1 \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m \ne - 2\end{array} \right.\).
Vậy m ≠ 2; m ≠ −2 thì đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng x = 1; x = −1.
b) Đúng. Để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng thì x = 1 hoặc x = −1 là nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Khi đó \(\left[ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( { - 1} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 2\end{array} \right.\). Vậy có 2 giá trị của m.
c) Đúng. Theo câu b, ta có m = 2; m = −2 thì đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng.
Do đó tổng các giá trị của m bằng 0.
d) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{{x^2} - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 + \frac{m}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}} = 1\).
Do đó y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0.
Khi m = 1 đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1.
Với m ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞) thì đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.
Có 4039 giá trị nguyên của m ∈ [−2020; 2020] để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}} = 0\) nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b) Đúng. Với m = 1 thì hàm số có dạng \(y = \frac{{x - 3}}{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}} = \frac{{x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\).
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} = + \infty \). Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
c) Sai. Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}} = 0\).
Suy ra y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đặt f(x) = x3 – 3mx2 + (2m2 + 1)x – m = (x – m)(x2 − 2mx + 1).
Để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khác 3.
Có f(x) = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - m = 0\\{x^2} - 2mx + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\g\left( x \right) = {x^2} - 2mx + 1 = 0\end{array} \right.\).
Để phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khác 3 thì m ≠ 3 và phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3
Khi đó có \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\\Delta ' = {m^2} - 1 > 0\\10 - 6m \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right.\\m \ne 3\\m \ne \frac{5}{3}\end{array} \right.\).
d) Sai. Vì m ∈ ℤ và m ∈ [−2020; 2020] nên m ∈ {−2020; −2019; …; −2; 2; 4; …; 2020}.
Vậy có tất cả 4037 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = m,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {m^4}\). Có tất cả bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số y = f(x) có duy nhất một tiệm cận ngang.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Để đồ thị hàm số y = f(x) có duy nhất một tiệm cận ngang thì
m = m4 Û m(m3 – 1) = 0 Û m = 0 hoặc m = 1.
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu của bài.
Cho hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{m{x^2} - 2x + 4}}\). Tính tổng các giá trị của m để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,25
Nếu m = 0 thì \(y = \frac{{x - 2}}{{ - 2x + 4}} = - \frac{1}{2}\). (không thỏa mãn).
Nếu m ≠ 0.
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 2}}{{m{x^2} - 2x + 4}} = 0\) nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng. Khi đó f(x) = mx2 – 2x + 4 = 0 có nghiệm duy nhất khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 2.
TH1: f(x) = 0 có nghiệm duy nhất khác 2.
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 16m = 0\\f\left( 2 \right) \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{1}{4}\\4m \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn).
TH2: f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 2.
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 16m > 0\\f\left( 2 \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{1}{4}\\m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m = 0\) (loại vì m ≠ 0).
Vậy tổng các giá trị của m là 0,25.
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + \left( {1 - m} \right)x - 2}}{{x + 1}}\) (Cm). Tìm m < 0 để tiệm cận xiên của (Cm) tạo với các trục tọa độ thành một tam giác có diện tích bằng 18.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −6
Có \(y = \frac{{{x^2} + \left( {1 - m} \right)x - 2}}{{x + 1}} = x - m + \frac{{m - 2}}{{x + 1}}\).
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - m} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{m - 2}}{{x + 1}} = 0\).
Do đó tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = x – m.
Giả sử đường tiệm cận xiên cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B.
Suy ra B(0; −m) và A(m; 0) Þ OB = |−m|; OA = |m|.
Do đó \({S_{AOB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2}\left| { - m} \right| \cdot \left| m \right| = 18 \Leftrightarrow m = \pm 6\).
Mà m < 0 nên m = −6.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m Î [−2020; 2020] để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 3}}\) có đúng hai đường tiệm cận đứng?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2022
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 3}}\) có đúng hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình f(x) = x2 + 2(m – 1)x + m2 – 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 3} \right) > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + 4 > 0\\1 + 2\left( {m - 1} \right) + {m^2} - 3 \ne 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\{m^2} + 2m - 4 \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m \ne - 1 + \sqrt 5 \\m \ne - 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.\).
Mà m ∈ ℤ và m Î [−2020; 2020] nên m Î {−2020; −2019; …; 0; 1}.
Vậy có 2022 số nguyên m thỏa mãn.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{mx - 1}}{{2x + m}}\) có tiệm cận đứng qua điểm \(M\left( { - 1;4\sqrt 2 } \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Ta có \(y' = \frac{{{m^2} + 2}}{{{{\left( {2x + m} \right)}^2}}} > 0\).
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = - \frac{m}{2}\).
Vì tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua \(M\left( { - 1;\sqrt 2 } \right)\) nên \( - 1 = - \frac{m}{2} \Leftrightarrow m = 2\).
Bạn có thích hoạt động này không?
