Bài tập Một số bài toán thực tế ứng dụng đường tiệm cận của đồ thị hàm số lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số F(x) = 60000 + 250x. Gọi F(x) là hàm số biểu thị chi phí trung bình (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm (x ≥ 0), khi đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số bằng
250;
\(y = \frac{1}{{240}}\);
y = 240;
y = 250.
Đáp án đúng là: D
Chi phí trung bình để sản xuất x sản phẩm là \(F\left( x \right) = \frac{{60000 + 250x}}{x}\) (nghìn đồng).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{60000 + 250x}}{x} = 250\).
Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức \(f\left( t \right) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}\); f(t) được tính bằng nghìn người. Xem f(t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0; +∞). Đồ thị hàm số y = f(t) có đường tiệm cận ngang y = a. Giá trị của a là bao nhiêu?
20;
36;
10;
26.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{26t + 10}}{{t + 5}} = 26\). Nên đồ thị hàm số f(t) có đường tiệm cận ngang là y = 26.
Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử thống kê được rằng trung bình một tổ sản xuất với x người thì số sản phẩm sản xuất được trong một thời gian cố định được tính bằng công thức \(P\left( x \right) = \frac{{5000x}}{{4x + 25}}\). Xem y = P(x) là một hàm số xác định trên [0; +∞), khi đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:
y = 25;
x = 25;
x = 1250;
y = 1250.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5000x}}{{4x + 25}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5000}}{{4 + \frac{{25}}{x}}} = 1250\).
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 1250.
Số lượng sản phẩm của công ty bán được trong x tháng được tính bởi công thức \(S\left( x \right) = 300\left( {2 + \frac{4}{{x + 2}}} \right)\) với x ≥ 1. Xem y = S(x) là một hàm số xác định trên [1; +∞). Khi đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
y = 600;
x = 600;
x = 300;
y = 2400.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 300\left( {2 + \frac{4}{{x + 2}}} \right) = 600\).
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 600.
Dân số P (nghìn người) của một khu nghỉ dưỡng được cho bởi hàm số \(P\left( t \right) = \frac{{400t}}{{2{t^2} + 7}},t \ge 0\), với t là thời gian tính theo tháng. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = P(t).
y = 0;
y = 200;
x = 0;
\(y = \frac{{400}}{7}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } P\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{400t}}{{2{t^2} + 7}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{\frac{{400}}{t}}}{{2 + \frac{7}{t}}} = 0\).
Do vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = P(t) là đường thẳng y = 0.
Người ta thống kê được chi phí sửa chữa, vận hành máy móc trong một năm của một xưởng sản xuất được tính bởi công thức \(f\left( x \right) = \frac{{2000x - 1500}}{{35x + 5}}\)(triệu đồng). Biết x là số năm kể từ lúc máy móc vận hành lần đầu tiên, số năm càng nhiều thì chi phí càng cao. Khi số năm x đủ lớn thì chi phí vận hành máy móc trong một năm gần với số nào? (làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy).
57,1;
51,7;
42,9;
400.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2000x - 1500}}{{35x + 5}} = \frac{{2000}}{{35}} = \frac{{400}}{7}\).
Do đó đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng \(y = \frac{{400}}{7}\) làm tiệm cận ngang, tức là khi số năm x càng lớn thì chi phí vận hành máy móc trong một năm càng tiến gần đến \(\frac{{400}}{7} \approx 57,1\) (triệu đồng).
Để thiết kế một bể cá không nắp có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao là 80 cm, thể tích là 12800 cm3. Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70000 VNĐ/m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100000 VNĐ/m2. Gọi x là chiều dài của đáy bể cá với (x > 0, x (m)); f(x) là hàm số xác định chi phí để hoàn thành bể cá. Đồ thị hàm số f(x) có bao nhiêu đường tiệm cận?
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: B
Gọi y là chiều rộng của đáy bể cá (y > 0, m).
Ta có :\[0,8xy = 0,0128 \Rightarrow y = \frac{{0,016}}{x}\left( m \right)\].
Giá thành bể cá được xác định theo hàm số:
\[f\left( x \right) = 2.0,8\left( {x + \frac{{0,016}}{x}} \right).70000 + 100000.x.\frac{{0,016}}{x}\] (VNĐ)
\[ \Rightarrow f\left( x \right) = 112000\left( {x + \frac{{0,016}}{x}} \right) + 1600\](VNĐ)
\[ \Rightarrow f\left( x \right) = 112000x + 1600 + \frac{{1792}}{x}\](VNĐ).
Ta có:\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {112000x + 1600 + \frac{{1792}}{x}} \right) = + \infty \].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - (112000x + 1600)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1792}}{x} = 0\].
Nên đồ thị hàm f(x) có tiệm cận đứng là x = 0; tiệm cận xiên là y = 112000x + 1600.
Số lượng sản phẩm bán được của một cửa hàng quần áo trong t tháng được cho bởi công thức: \(S\left( t \right) = 200\left( {\frac{2}{3} - \frac{8}{{2 + t}}} \right)\) với t ≥ 1. Xem y = S(t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [1; +∞), biết rằng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có dạng \(\frac{a}{b}\,,\,a\,,\,b \in \mathbb{N}*\,,\,\left( {a\,,\,b} \right) = 1\). Tính P = a – 2b.
400;
3;
394;
406.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 200\left( {\frac{2}{3} - \frac{8}{{2 + t}}} \right) = 200.\frac{2}{3} = \frac{{400}}{3}\) a = 400; b = 3.
Vậy P = a – 2b = 400 – 6 = 394.
Từ một tấm tôn hình chữ nhật có các kích thước là x (m), y (m) với x > 1, y > 1 và diện tích bằng 4 m2, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một cái thùng dạng hình hộp chữ nhật không nắp (như hình vẽ) có chiều cao bằng 0,5 m. Thể tích của thùng là hàm số V(x) trên khoảng (1; +∞). Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: B
Do tấm tôn có diện tích bằng 4 m2 nên \(xy = 4 \Leftrightarrow y = \frac{4}{x}\)
Thùng có chiều cao là 0,5 m và các kích thước còn lại của thùng là: x – 1 và y – 1.
Thể tích của thùng là \(V\left( x \right) = 0,5.\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{4}{x} - 1} \right) = \frac{1}{2}\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}}{x}\)
Suy ra: \(y = \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}}\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}} = - \infty \)
Suy ra đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}} = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}} = + \infty \)
Suy ra đường thẳng x = 4 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}\).
Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}\) có 2 đường tiệm cận đứng.
Người ta muốn làm một cái bể dạng hình hộp chữ nhật không nắp (như hình vẽ) có thể tích bằng 1 m3. Chiều cao của bể là 5 dm, các kích thước khác là x (m), y (m) với x > 0 và y > 0. Diện tích toàn phần của bể (không kể nắp) là hàm số S(x) trên khoảng (0; +∞). Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số S(x) là đường thẳng y = ax + b. Tính giá trị của biểu thức P = a2 + b2 .
5;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: A
Do thể tích của bể là 1 m3 nên 0,5xy = 1 xy = 2 .
Diện tích toàn phần của bể là \(S\left( x \right) = xy + 2.0,5.x + 2.0,5.y = 2 + x + \frac{2}{x},\,\,\,\,\left( {x > 0} \right)\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {S\left( x \right) - \left( {x + 2} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{x} = 0\).
Suy ra đồ thị hàm số S(x) có đường tiệm cận xiên là y = x + 2 a = 1; b = 2.
Vậy P = a2 + b2 = 5.
y = x + 190.
y = x + 200.
y = x + 210.
y = x + 220.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
\(C\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 200x + 500}}{{x + 10}} = x + 190 - \frac{{1400}}{{x + 10}}\).
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {C\left( x \right) - \left( {x + 190} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ - 1400}}{{x + 10}}} \right) = 0\).
Do đó y = x + 190 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số C(x).
18.
19.
20.
21.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
\(N\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 20t + 30}}{{t + 2}} = t + 18 - \frac{6}{{t + 2}}\).
Có \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left[ {N\left( t \right) - \left( {t + 18} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left( { - \frac{6}{{t + 2}}} \right) = 0\).
Do đó y = t + 18 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số N(t).
Suy ra tung độ gốc là 18.
35 lần/ phút.
38 lần/phút.
40 lần/phút.
42 lần/phút.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } B\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{40{t^2}}}{{{t^2} + 4}} = 40\) nên nhịp thở trung bình của người vận động lâu dài sẽ không vượt quá 40 lần/phút.
450 W.
480 W.
500 W.
520 W.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Có \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } E\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{500t}}{{t + 20}} = 500\). Do đó lượng điện tiêu thụ trung bình sẽ tiền dần đến 500 W.
y = 0.
y = 1.
y = 100.
Không có tiệm cận ngang.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Có \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } M\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } 100 \cdot {e^{ - 0,05t}} = 0\).
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 0.
Một bể chứa 5000 lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng độ 30 gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ 25 lít/phút.
Sau 1 phút, lượng muối bơm vào bể là 750 gam.
Sau t phút, khối lượng muối trong bể là 1500t gam.
Gọi f(t) là hàm số mô tả nồng độ muối trong bể sau t phút. Khi đó đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó là y = 750.
Khi thời gian t càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ lớn hơn nồng độ muối ở trong nước bơm vào.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Sau t phút, khối lượng muối trong bể là 25‧30‧t = 750t (gam).
Do đó sau 1 phút khối lượng muối trong bể là 750‧1 = 750 gam.
b) Sai. Sau t phút, khối lượng muối trong bể là 25‧30‧t = 750t (gam).
c) Sai. Thể tích của lượng nước trong bể là 5000 + 25t (lít).
Nồng độ muối sau t phút là \(f\left( t \right) = \frac{{750t}}{{5000 + 25t}} = \frac{{30t}}{{200 + t}}\) (gam/lít).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{200 + t}} = 30\).
Suy ra tiệm cận ngang của đồ thị là y = 30.
d) Sai. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{200 + t}} = 30\) nên suy ra khi t càng lớn thì nồng độ muối trong nước bể sẽ tiến dần đến 30 gam/lít, không thể lớn hơn 30 gam/lít.
Đồ thị hàm số C(p) có tiệm cận đứng là đường thẳng p = 100.
Để xử lí hoàn toàn 100% rác thải nhựa thì chi phí bỏ ra là hữu hạn.
Đồ thị hàm số C(p) có tâm đối xứng là điểm I(100; −60).
Với điểm M bất kì thuộc đồ thị hàm số C(p), tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị là 60.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} C\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} \frac{{60p}}{{100 - p}} = + \infty \).
Suy ra đồ thị hàm số C(p) có tiệm cận đứng là đường thẳng p = 100.
b) Sai. Do \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} C\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} \frac{{60p}}{{100 - p}} = + \infty \) nên khi p tiến đến 100 thì chi phí bỏ ra là C(p) tăng lên gần tới vô cùng.
Suy ra để loại bỏ 100% rác thải nhựa thì chi phí bỏ ra là vô cùng lớn.
c) Đúng. Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } C\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } \frac{{60p}}{{100 - p}} = - 60\).
Suy ra C = −60 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Do đó I(100; −60) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
d) Sai. Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số lần lượt là (d1): p = 100 và d2: C = −60.
Lấy điểm \(M\left( {{p_0};\frac{{60{p_0}}}{{100 - {p_0}}}} \right)\).
Khi đó \(d\left( {M,{d_1}} \right) \cdot d\left( {M,{d_2}} \right) = \left| {{p_0} - 100} \right| \cdot \left| {\frac{{60{p_0}}}{{100 - {p_0}}} + 60} \right|\)\( = \left| {{p_0} - 100} \right| \cdot \left| {\frac{{6000}}{{100 - {p_0}}}} \right| = 6000\).
Đồ thị hàm số y = H(x) có tiệm cận ngang là y = 500.
Khi x càng lớn, số lượng khách hàng tiến dần đến 500.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2.
Khi x = 5, số lượng khách hàng là 100.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } H\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 500\left( {1 - \frac{4}{{x + 2}}} \right) = 500\).
Vậy y = 500 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b) Đúng.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } H\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 500\left( {1 - \frac{4}{{x + 2}}} \right) = 500\).
Vậy khi x càng lớn, số lượng khách hàng tiến dần đến 500.
c) Sai. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} H\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} 500\left( {1 - \frac{4}{{x + 2}}} \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} H\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} 500\left( {1 - \frac{4}{{x + 2}}} \right) = + \infty \).
Vậy x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
d) Sai.\(H\left( 5 \right) = 500\left( {1 - \frac{4}{{5 + 2}}} \right) \approx 214\).
Đồ thị hàm số y = P(t) có tiệm cận ngang là y = 80.
Khi số tuần đào tạo t càng lớn thì năng suất trung bình tiến dần đến 80 sản phẩm/giờ.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là t = 0.
Khi t = 2 thì năng suất trung bình khoảng 7 sản phẩm/giờ (kết quả đã được làm tròn đến hàng đơn vị).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } P\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{80{t^2}}}{{40 + {t^2}}} = 80\).
Do đó y = 80 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b) Đúng. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } P\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{80{t^2}}}{{40 + {t^2}}} = 80\) nên khi số tuần đào tạo t càng lớn thì năng suất trung bình tiến dần đến 80 sản phẩm/giờ.
c) Sai. Vì t2 + 40 > 0. Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
d) Đúng.\(P\left( 2 \right) = \frac{{80 \cdot {2^2}}}{{40 + {2^2}}} \approx 7\).
Chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là \(C\left( x \right) = \frac{{T\left( x \right)}}{x} = 15 + \frac{{60000}}{x}\).
Đồ thị hàm số y = C(x) có tiệm cận ngang là y = 15.
Khi số lượng sản phẩm x càng lớn, chi phí trung bình tiến dần đến 15 nghìn đồng/sản phẩm.
Hàm số C(x) giảm dần trên khoảng (0; +∞).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. \(C\left( x \right) = \frac{{T\left( x \right)}}{x} = 15 + \frac{{60000}}{x}\).
b) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } C\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {15 + \frac{{60000}}{x}} \right) = 15\).
Vậy đồ thị hàm số y = C(x) có tiệm cận ngang là y = 15.
c) Đúng. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } C\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {15 + \frac{{60000}}{x}} \right) = 15\) nên khi số lượng sản phẩm x càng lớn, chi phí trung bình tiến dần đến 15 nghìn đồng/sản phẩm.
d) Đúng. Có \(C'\left( x \right) = - \frac{{60000}}{{{x^2}}} < 0\). Do đó hàm số C(x) giảm dần trên khoảng (0; +∞).
Tốc độ truyền dữ liệu trung bình của một hệ thống mạng sau t phút khởi động được mô tả bởi \(V\left( t \right) = \frac{{400t}}{{t + 8}},t > 0\). Khi thời gian khởi động đủ lâu, tốc độ truyền dữ liệu không vượt quá bao nhiêu MB/phút?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 400
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } V\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{400t}}{{t + 8}} = 400\) nên khi thời gian khởi động đủ lâu, tốc độ truyền dữ liệu không vượt quá 400 MB/phút.
Nhịp tim trung bình của một người khi luyện tập sau t phút được mô tả bởi \(H\left( t \right) = \frac{{180{t^2}}}{{{t^2} + 25}},t > 0\). Khi thời gian tập luyện đủ lâu, nhịp tim trung bình của người đó không vượt quá bao nhiêu nhịp/phút?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 180
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } H\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{180{t^2}}}{{{t^2} + 25}} = 180\) nên khi thời gian tập luyện đủ lâu, nhịp tim trung bình của người đó không vượt quá 180 nhịp/phút.
Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất x (sản phẩm) là C(x) = 150x + 900 (nghìn đồng). Khi sản xuất càng nhiều sản phẩm thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm không vượt quá t (nghìn đồng). Tìm giá trị nhỏ nhất của t.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 150
Chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm là \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{150x + 900}}{x}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{150x + 900}}{x} = 150\).
Vậy khi sản xuất càng nhiều sản phẩm thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm càng giảm, nhưng không dưới \(150\) nghìn đồng.
Giả sử số lượng của một quần thể vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bởi hàm số f(t) = a + be−0,5t trong đó t (giờ) là thời gian nuôi cấy. Biết rằng tại thời điểm ban đầu t = 0, quần thể có 30 tế bào và tăng với tốc độ 10 tế bào/giờ. Hỏi theo mô hình này, về lâu dài số lượng tế bào của quần thể không vượt quá bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 50
Có f'(t) = −0,5be−0,5t.
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 30\\f'\left( 0 \right) = 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 30\\ - 0,5b = 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 50\\b = - 20\end{array} \right.\).
Suy ra f(t) = 50 – 20e−0,5t.
Có \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left( {50 - 20{e^{ - 0,5t}}} \right) = 50\).
Vậy về lâu dài, số lượng tế bào của quần thể vi khuẩn tăng dần và tiến gần đến 50 tế bào nhưng không vượt quá giá trị này.
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích bằng 144 m2. Biết chiều dài của mảnh đất x (m). Gọi chu vi của mảnh đất là P(x). Hỏi đồ thị hàm số P(x) có bao nhiêu đường tiệm cận?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Chiều rộng của mảnh đất là \(\frac{{144}}{x}\) (m) (x > 0).
Chu vi mảnh đất là \(P\left( x \right) = 2\left( {x + \frac{{144}}{x}} \right) = 2x + \frac{{288}}{x},x > 0\).
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {2x + \frac{{288}}{x}} \right) = + \infty \) nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x + \frac{{288}}{x}} \right) = + \infty \) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {P\left( x \right) - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{288}}{x} = 0\) nên y = 2x là tiệm cận xiên.
Vậy đồ thị hàm số P(x) có 2 đường tiệm cận.
Bạn có thích hoạt động này không?
