Bài tập Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị có chứa tham số lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Tổng các giá trị nguyên của tham số m ∈ [−10; 10) để hàm số y = x3 − 3x2 +3(m + 2)x + 3m – 2025 đồng biến trên trên ℝ là:
27;
35;
44;
54.
Đáp án đúng là: C
y = x3 − 3x2 +3(m + 2)x + 3m – 2025
Hàm số đã cho xác định trên D = ℝ.
Để hàm số đồng biến trên ℝ y' = 3x2 – 6x + 3(m + 2) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0}\\{\Delta ' \le 0}\end{array}{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 > 0{\rm{ }}}\\{9 - 9(m + 2) \le 0}\end{array} \Leftrightarrow m \ge - 1{\rm{ }}} \right.} \right.\].
Vậy m ≥ −1 thì hàm số đồng biến trên ℝ.
Do m ∈ [−10; 10), m ∈ ℤ nên tổng các giá trị nguyên của tham số là 44.
Biết giá trị tham số \(m \in \left[ {a;\frac{b}{c}} \right]\) (với a, b, c ∈ ℤ và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản) thì hàm số y = x3 – (2m – 1)x2 + (2 – m)x + 2 đồng biến trên trên ℝ. Giá trị biểu thức \(P = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{c}.\)
\(P = \frac{9}{4}\);
\(P = \frac{{13}}{2}\);
P = 4;
\(P = \frac{{13}}{4}\).
Đáp án đúng là: B
Hàm số đã cho xác định trên D = ℝ.
Để hàm số đồng biến trên ℝ y' = 3x2 – 2(2m – 1)x + (2 – m) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 > 0\\\Delta ' = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 3\left( {2 - m} \right) = 4{m^2} - m - 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le m \le \frac{5}{4}\].
Vậy \[ - 1 \le m \le \frac{5}{4}\] thì hàm số đồng biến trên ℝ.
Do \(m \in \left[ {a;\frac{b}{c}} \right]\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 5\\c = 4\end{array} \right. \Rightarrow P = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{c} = \frac{{13}}{2}\).
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 – 3x2 + (4 – m)x đồng biến trên khoảng (2; +∞) là
(−∞; 1];
(−∞; 4];
(−∞; 1);
(−∞; 4).
Đáp án đúng là: B
Ta có y' = 3x2 – 6x + 4 – m.
Yêu cầu bài toán y' ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞)
3x2 – 6x + 4 – m ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞)
m ≤ 3x2 – 6x + 4, ∀x ∈ (2; +∞)
m ≤ \(\mathop {\min }\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} g\left( x \right)\) với g(x) = 3x2 – 6x + 4.
Ta có g'(x) = 6x – 6; g'(x) = 0 6x – 6 = 0 x = 1.
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m ≤ 4 thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy: m ∈ (−∞; 4] thì hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \(y = \frac{{ - 3}}{4}{x^4} + \frac{9}{2}{x^2} - \left( {2m + 15} \right)x - m + 3\) nghịch biến trên khoảng (0; +∞)?
2;
3;
4;
5.
Đáp án đúng là: C
Yêu cầu bài toán y' = −3x3 + 9x – 2m – 15 ≤ 0, ∀x ∈ (0; +∞) và dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc (0; +∞) 3x3 − 9x + 15 ≥ – 2m, ∀x ∈ (0; +∞).
Xét hàm số g(x) = 3x3 − 9x + 15 trên (0; +∞).
Ta có: g'(x) = 9x2 – 9; g'(x) = 0 x = 1 hoặc x = −1 (loại).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có: \( - 2m \le 9 \Leftrightarrow m \ge - \frac{9}{2}\).
Vậy m ∈ {−4; −3; −2; −1}.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \frac{{x + {m^2}}}{{x + 4}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
2;
3;
4;
5.
Đáp án đúng là: B
Tập xác định: D = ℝ\{−4}.
Ta có \(y' = \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.\)
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi \(y' > 0\;\forall x \in D \Leftrightarrow \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} > 0\;\forall x \ne - 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.\)
Vì m ∈ ℤ m ∈ {−1; 0; 1}.
Vậy có 3 giá trị m nguyên để bài toán thỏa mãn.
>
Với giá trị tham số m ∈ (a; b)\{c} (với a, b, c ∈ ℤ) thì hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx – 6 có 2 cực trị. Giá trị biểu thức P = a + b + c là:
P = −4;
P = 4;
P = −3;
P = −5.
Đáp án đúng là: A
Ta có y' = 3(m + 2)x2 + 6x + m
Hàm số có 2 cực trị y' = 0 có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 2\\{m^2} + 2m - 3 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 2\\ - 3 < m < 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m \in \left( { - 3;1} \right)\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
Vậy P = a + b + c = −4.
>
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m ∈ [−2020; 2020) để hàm số y = mx3 + 3mx2 – (m – 1)x – 1 có cực trị?
2038;
2020;
2018;
2021.
Đáp án đúng là: B
Có y' = 3mx2 + 6mx – (m – 1)
+ Khi m = 0 y' = 1 > 0 hàm số luôn đồng biến m = 0 không thỏa mãn.
+ Khi m ≠ 0 y' = 0 3mx2 + 6mx – (m – 1) = 0 (1).
Ta có ' = 9m2 + 3m(m – 1) = 12m2 – 3m.
Hàm số có cực trị ' > 0 12m2 – 3m > 0 m < 0 hoặc \(m > \frac{1}{4}\). </>
Suy ra có \(2020\) bao nhiêu giá trị nguyên âm .
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x4 – 12x2 + (m – 2)x có ba điểm cực trị?
47;
44;
46;
45.
Đáp án đúng là: D
Ta có: y' = 4x3 – 24x + m – 2
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình y' = 4x3 – 24x + m – 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt −4x3 + 24x + 2 = m (*) có 3 nghiệm phân biệt.
Xét hàm số g(x) = −4x3 + 24x + 2 ta có g'(x) = −12x2 + 24 = 0 x2 = 2 \(x = \pm \sqrt 2 \)
Bảng biến thiên:
Để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt thì \( - 16\sqrt 2 + 2 < m < 16\sqrt 2 + 2\).
Mà m là số nguyên \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 20; - 19;...;23;24} \right\}\) nên có 45 giá trị m thoả mãn.
>
Biết rằng hàm số y = (x + a)3 + (x + b)3 – x3 có hai điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
ab ≤ 0;
ab < 0;
>
ab > 0;
ab ≥ 0.
Đáp án đúng là: C
Ta có y = x3 + 3(a + b)x2 + 3(a2 + b2)x + a3 + b3.
Có y' = 3x2 + 6(a + b)x + 3(a2 + b2).
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có hai nghiệm phân biệt ' = 18ab > 0 ab > 0.
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = mx3 − 2mx2 + (m – 2)x + 1 không có cực trị
m ∈ (−∞; 6) ∪ (0; +∞);
m ∈ (−6; 0);
m ∈ [−6; 0);
m ∈ [−6; 0].
Đáp án đúng là: D
Ta có y' = 3mx2 – 4mx + (m – 2).
+ Nếu m = 0 y' = −2 < 0 nên hàm số không có cực trị.
Do đó m = 0 (chọn) (1).
+ Nếu m ≠ 0
Hàm số không có cực trị y' không đổi dấu
' ≤ 0 4m2 – 3m(m – 2) ≤ 0 m2 + 6m ≤ 0 −6 ≤ m < 0 (do m ≠ 0) (2).
Kết hợp (1) và (2) ta được −6 ≤ m ≤ 0.
>>
Cho hàm số y = x3 – 3mx + 1. Tìm m để hàm số có 2 cực trị.
m < 0.
m > 0.
m ≠ 0.
m ≥ 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Có y' = 3x2 – 3m.
Để hàm số có 2 cực trị thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó D' > 0 Û 9m > 0 Û m > 0.
Cho hàm số y = x3 – 3x + m. Tìm m để hàm số có giá trị cực đại bằng 4.
m = 4.
m = 5.
m = 2.
m = 1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Có y' = 3x2 – 3x = 0 Û x = 1 hoặc x = −1.
Bảng xét dấu của y'
Dựa vào bảng xét dấu y' ta có hàm số đạt cực đại tại x = −1.
Để y(−1) = 4 thì (−1)3 – 3×(−1) + m = 4 Û m = 2.
Cho hàm số y = x3 – (m + 1)x2 + m. Tìm m để hàm số đồng biến trên (0; +∞).
m < −1.
m = −1.
m > −1.
m ≤−1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có y' = 3x2 – 2(m + 1)x.
Có y' = 0 Û x = 0 hoặc \(x = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}\).
Để hàm số đồng biến trên (0; +∞) thì y' ≥ 0, ∀x ∈ (0; +∞).
Û \(\frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3} \le 0\)\( \Leftrightarrow m + 1 \le 0 \Leftrightarrow m \le - 1\).
m < 2.
m = 2.
m > −2.
Mọi m.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Có \(y' = \frac{{m + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}},\forall x \ne - 1\).
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì y' > 0 Û m + 2 > 0 Û m > −2.
Cho hàm số y = −x3 + mx + 1. Tìm m để hàm số nghịch biến trên ℝ.
m < 0.
m = 0.
m ≥ 0.
m ≤ 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Có y' = −3x2 + m.
Để hàm số nghịch biến trên ℝ thì y' ≤ 0, ∀x ∈ ℝ Û m ≤ 0.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {m - 3} \right)x + 2\).
y' = −x2 + 2(m – 1)x + m – 3.
Khi m = 0, hàm số nghịch biến trên ℝ.
Có ít nhất một giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên ℝ.
Có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên ℝ.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Có y' = −x2 + 2(m – 1)x + m – 3.
b) Đúng. Khi m = 0 thì y' = −x2 − 2x – 3 = −(x + 1)2 – 2 < 0, ∀x Î ℝ.
Do đó hàm số nghịch biến trên ℝ.
c) Sai. Không có giá trị nào của tham số m để hàm số đồng biến trên ℝ vì a = −1 < 0.
d) Sai. Để hàm số nghịch biến trên ℝ thì y' ≤ 0, ∀x Îℝ ÛD' = (m – 1)2 + (m – 3) ≤ 0
Û m2 – m – 2 ≤ 0 Û −1 ≤ m ≤ 2 .
mà m Î ℤ nên m Î {−1; 0; 1; 2}.
Có 4 giá trị nguyên của tham số m.
Với m = 0, hàm số có dạng y = x3 – 3x + 1.
Với m = 0, điểm cực đại của đồ thị hàm số là (−1; 2).
Hàm số y = f(x) = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = 0 khi \(m = \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Thay m = 0 vào hàm số ta được y = x3 – 3x + 1.
b) Sai. Có y' = 3x2 – 3; y' = 0 Û x = 1 hoặc x = −1.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có (−1; 3) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
c) Đúng. Ta có y' = 3x2 – 6mx + 3(2m – 1).
Có x = 0 là điểm cực đại của hàm số thì y'(0) = 0 Û 2m – 1 = 0 Û\(m = \frac{1}{2}\).
Thử lại ta thấy \(m = \frac{1}{2}\) thì hàm số có cực đại là x = 0.
d) Đúng. Có y' = 3x2 – 6mx + 3(2m – 1).
Có D' = (−3m)2 – 3∙3∙(2m – 1) = 9m2 – 18m + 9.
Để hàm số luôn đồng biến trên ℝ thì D' ≤ 0
Û 9m2 – 18m + 9 < 0 Û 9(m – 1)2 ≤ 0 Û m = 1.
m > −2, hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
m < −2, hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
m = −2, hàm số trở thành hằng số.
Với m = 0 thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác đinh.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Có \(y' = \frac{{m + 2}}{{\left( {x + 1} \right)}},\forall x \ne - 1\).
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì y' > 0 Û m + 2 > 0 Û m > −2.
b) Đúng. Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định thì y’ < 0 Û m < −2.
c) Đúng. Với m = −2, hàm số có dạng \(y = \frac{{ - 2x - 2}}{{x + 1}} = - 2\).
d) Sai. Với m = 0 thì hàm số có dạng \(y = \frac{{ - 2}}{{x + 1}}\).
Có \(y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1\). Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Cho hàm số y = x3 – 3mx + 2.
Hàm số có hai cực trị khi m > 0.
Với m = 2, giá trị cực đại của hàm số bằng 4.
Với m = 2, giá trị cực tiểu của hàm số bằng −2.
Có đúng một giá trị nguyên của m để giá trị cực tiểu của hàm số bằng 5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Có y' = 3x2 – 3m = 3(x2 – m).
Để hàm số có hai cực trị thì y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m > 0.
b) Sai. Với m > 0, y' = 0 Û \(x = - \sqrt m \) hoặc \(x = \sqrt m \).
ta có bảng xét dấu của y'
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - \sqrt m \). Khi đó \(y\left( { - \sqrt m } \right) = 4\)\( \Leftrightarrow {\left( { - \sqrt m } \right)^3} - 3m\left( { - \sqrt m } \right) + 2 = 4\) \( \Leftrightarrow 2m\left( {\sqrt m } \right) + 2 = 4\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{m^3}} = 1\)\( \Leftrightarrow m = 1\).
c) Sai. Dựa vào câu b, ta có \(y\left( {\sqrt m } \right) = - 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt m } \right)^3} - 3m\left( {\sqrt m } \right) + 2 = 4\)
\( \Leftrightarrow - 2{\left( {\sqrt m } \right)^3} = 2\) (loại).
Vậy không có giá trị của m.
d) Sai. \(y\left( {\sqrt m } \right) = 5\)\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt m } \right)^3} - 3m\left( {\sqrt m } \right) + 2 = 5\)\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt m } \right)^3} = - \frac{3}{2}\)(loại)
Vậy không có giá trị nguyên nào của m.
m = 0 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
m = 1 hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Có 1 giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0).
Có vô số giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
Có \(y' = \frac{{m + 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}},\forall x \ne - m\).
a) Đúng. Với m = 0, thì \(y' = \frac{1}{{{x^2}}} > 0,\forall x \ne 0\).
Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
b) Sai. Với m = 1 thì \(y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1\).
Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng xác đinh.
c) Sai. Để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) thì
\(\left\{ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\ - m \notin \left( { - \infty ;0} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < - 1\\ - m \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m < - 1\).
Vậy có vô số số nguyên.
d) Đúng. Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì m + 1 > 0 Û m > −1.
Vậy có vô số số nguyên.
Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (5 – m)x. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ (−2010; 2010) để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2024
Có y' = 3x2 – 4x + 5 – m.
Để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞) thì y' ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞)
Û 3x2 – 4x + 5 – m ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞)
Û m ≤ 3x2 – 4x + 5, ∀x ∈ (1; +∞)
\( \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} \left( {3{x^2} - 4x + 5} \right)\).
\( \Leftrightarrow m \le 4\).
Mà m ∈ (−2010; 2010), m ∈ ℤ nên m ∈ {−2019; −2018; …; 0; 1; 2; 3; 4}.
Vậy có 2024 số nguyên thỏa mãn.
Cho hàm số y = x3 – 3mx2 – 3. Tìm m để hàm số có giá trị cực đại bằng 1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −1
Có y' = 3x2 – 6mx; Có y' = 0 Û x = 0 hoặc x = 2m.
TH1: Nếu m < 0 ta có bảng xét dấu của y' như sau
Khi đó hàm số đạt cực đại tại x = 2m.
Để yCĐ = 1 thì (2m)3 – 3m×(2m)2 – 3 = 1 Û m = −1 (thỏa mãn).
TH2: Nếu m > 0 ta có bảng xét dấu của y' như sau
Khi đó hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Để yCĐ = 0 thì 03 – 3m×02 – 3 = 1 (loại).
Vậy m = −1.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng (3; +∞)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Tập xác định D = ℝ\{−m}.
Ta có \(y' = \frac{{2m - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}},\forall x \ne - m\).
Hàm số nghịch biến trên (3; +∞) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 < 0\\ - m \notin \left( {3; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{1}{2}\\m \ge - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le m \le \frac{1}{2}\).
mà m Î ℤ nên m Î {−3; −2; −1; 0}.
Vậy có 4 giá trị nguyên m thỏa mãn.
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \frac{m}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {3m + 6} \right)x + 2020\) đồng biến trên ℝ?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 7
Ta có y' = mx2 – 4mx + 3m + 6.
TH1: Nếu m = 0 thì y' = 6 > 0, ∀x Î ℝ nên hàm số đồng biến trên ℝ.
TH2: Nếu m ≠ 0, hàm số đã cho đồng biến trên ℝ khi y' ≥ 0, ∀x Î ℝ
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{\left( {2m} \right)^2} - m\left( {3m + 6} \right) \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{m^2} - 6m \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\0 \le m \le 6\end{array} \right.\).
Mà m Î ℤ nên m Î {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Vậy có tất cả có 7 giá trị của m.
Tìm m để hàm số y = x3 – 2mx2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Tập xác định D = ℝ.
Có y' = 3x2 – 4mx + m.
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 thì y'(1) = 0 Û 3 – 4m +m = 0 Û m = 1.
Thử lại với m = 1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
Bạn có thích hoạt động này không?
