Bài tập Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(−1; 2; 0) và mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 1 = 0. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
\( - \frac{5}{3}\);
\(\frac{7}{3}\);
\(\frac{5}{3}\);
5.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 2.2 + 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{5}{3}\).
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ M(1; 2; −3) đến (P): x + 2y + 2z – 10 = 0 là
3;
\(\frac{2}{3}\);
\(\frac{4}{3}\);
\(\frac{{11}}{3}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 + 2.\left( { - 3} \right) - 10} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{11}}{3}\).
Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm A(3; 1; −2) đến mặt phẳng z = 0.
\(\sqrt 5 \);
\(\sqrt {14} \);
2;
3.
Đáp án đúng là: C
Khoảng cách từ điểm A(3; 1; −2) đến mặt phẳng z = 0 bằng 2.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; −1; 3) và mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 1 = 0. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng
2;
\(\frac{5}{3}\);
3;
\(\frac{{10}}{3}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 2.\left( { - 1} \right) + 3 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{10}}{3}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm M(0; 3; −1) đến mặt phẳng (α): 2x + y – 2z – 2 = 0.
1;
\(\frac{4}{3}\);
\(\frac{1}{3}\);
3.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 3 - 2.\left( { - 1} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 1\).
Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 10 = 0 và (Q): x + 2y + 2z – 5 = 0 bằng
\(\frac{5}{3}\);
\(\frac{7}{3}\);
5;
\(\frac{5}{9}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có M(10; 0; 0) (P) và (P) // (Q) nên
\(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {10 - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{3}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0 và mặt phẳng (Q): 2x – y + 2z + 4 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đã cho bằng
1;
\(\frac{1}{3}\);
3;
\(\frac{1}{5}\).
Đáp án đúng là: A
Dễ thấy (P) // (Q) \( \Rightarrow d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\) với M(0; 1; 0) (P).
Suy ra \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 - 1 + 2.0 + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng song song (P): x + y + z – 2 = 0; (Q): x + y + z + 4 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng
\(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\);
\(\sqrt 3 \);
6;
\(2\sqrt 3 \).
Đáp án đúng là: D
Có (P) // (Q) nên d((P), (Q)) = d(M, (Q)) với M(0; 0; 2) (P).
Do đó \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \).
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 12 = 0 bằng
12;
1;
\(\frac{4}{3}\);
4.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 - 0 + 2.0 + 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 4\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng song song (P): 2x + y – 2z – 1 = 0, (Q): 6x + 3y – 6z + 15 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P), (Q) bằng
2;
\(\frac{4}{3}\);
\(\frac{{16}}{9}\);
\(\frac{{16}}{3}\).
Đáp án đúng là: A
(Q): 6x + 3y – 6z + 15 = 0 2x + y – 2z + 5 = 0.
Lấy M(0; 1; 0) ∈ (P).
Khi đó \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 2\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 0) và mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
\(\frac{1}{{\sqrt 6 }}\).
\(\frac{1}{6}\).
6.
\(\sqrt 6 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có d(M, (P) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\).
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ M(1; 2; 3) đến mặt phẳng (P): x + y + z + 1 = 0.
7.
\(\frac{7}{{\sqrt 3 }}\).
\(\frac{7}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 7 }}{3}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có d(M, (P)) = \(\frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{7}{{\sqrt 3 }}\).
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(3; 2; −2) đến mặt phẳng z = 0.
0.
3.
2.
−2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Khoảng cách từ điểm A(3; 2; −2) đến mặt phẳng z = 0 bằng 2.
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(0; 2; −1) đến mặt phẳng (P): x + y – z – 2 = 0.
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có d(M, (P)) = \(\frac{{\left| {0 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ gốc toạ độ O đến mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 10 = 0.
\(\frac{{10}}{3}\).
\(\frac{{10}}{{\sqrt 3 }}\).
\(\frac{{\sqrt {10} }}{3}\).
10.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có d(O, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot \left( { - 2} \right) + 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{3}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – y – 2z + 2025 = 0 và (Q): x – y + z + 1 = 0.
Khi đó:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), (Q) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
Mặt phẳng (P) đi qua gốc toạ độ.
Khoảng cách từ điểm M(2; 1; 1) đến mặt phẳng (Q) bằng 3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), (Q) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
b) Đúng. \(\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} = 1 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 1 = 0\)
Do đó mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
c) Sai. Thay O(0; 0; 0) vào phương trình mặt phẳng (P): x – y – 2z + 2025 = 0.
Ta có: 0 – 0 − 2∙0 + 2025 = 2025.
Vậy mặt phẳng (P) không đi qua gốc toạ độ.
d) Sai. Ta có d(M, (Q)) = \(\frac{{\left| {1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 3 \).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(−1; 3; 4) và mặt phẳng (P): 3x – 4y + z + 1 = 0.
Khi đó:
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P là \(\frac{{5\sqrt {26} }}{{13}}\).
Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến mặt phẳng (P) là \(\frac{{\sqrt {29} }}{{29}}\).
Mặt phẳng (Q): 6x − 8y + 2z + 13 = 0 cách mặt phẳng (P) một khoảng \(\frac{{\sqrt {11} }}{{104}}\)
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 4;1} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Ta có d(M, (P)) = \(\frac{{\left| {\left( { - 1} \right) \cdot 3 + 3 \cdot \left( { - 4} \right) + 4 \cdot 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {26} }} = \frac{{5\sqrt {26} }}{{13}}\).
b) Sai. Ta có d(O, (P)) = \(\frac{{\left| {0 \cdot 3 + 0 \cdot \left( { - 4} \right) + 0 \cdot 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {26} }}\).
c) Sai. Chọn A(0; 0; −1) thuộc mặt phẳng (P).
Ta có d((P), (Q)) = d(A, (Q)) = \(\frac{{\left| {6 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 13} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {104} }}\).
d) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 4;1} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt có phương trình là (P): x – 2y + 3z + 1 = 0 và (Q): x – 2y + 3z + 10 = 0.
Khi đó:
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
Hai mặt phẳng (P) và (Q) đều đi qua điểm M(1; 1; 2).
Khoảng cách M(1; 1; 2) đến mặt phẳng (P) bằng \(\frac{{\sqrt {14} }}{{14}}\).
Mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) song song với nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án:
a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
b) Sai. Thay M(1; 1; 2) vào phương trình mặt phẳng (P): x – 2y + 3z + 1 = 0:
Ta có: 1 − 2∙1 + 3∙2 + 1 = 6.
Thay M(1; 1; 2) vào phương trình mặt phẳng (Q): x – 2y + 3z + 10 = 0:
Ta có 1− 2∙1 + 3∙2 + 10 = 15.
Vậy hai mặt phẳng (P) và (Q) đều không đi qua điểm M(1; 1; 2).
c) Sai. Ta có d(M, (P) = \(\frac{{\left| {1 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 2} \right) + 2 \cdot 3 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {14} }}\).
d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 2;3} \right)\) và 1 ≠ 10 nên (P) // (Q).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(−1; 2; 0) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {4;0; - 5} \right)\).
Khi đó:
Mặt phẳng (P) có phương trình là 4x – 5z + 4 = 0.
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; −1; 5).
Mặt phẳng (Q): 4x – 5z + 4 = 0 song song với (P).
Cho điểm A(−2; 1; 3). Khi đó d(A, (P)) = \(\frac{{19}}{{\sqrt {41} }}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(−1; 2; 0) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {4;0; - 5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
4(x + 1) + 0(y – 2) – 5(z – 0) = 0 hay 4x – 5z + 4 = 0.
b) Sai. Thay A(2; −1; 5) vào phương trình mặt phẳng (P): 4x – 5z + 4 = 0.
Ta có: 2∙4 + 5∙(−5) + 4 = − 13.
c) Sai. Ta có \(\frac{4}{4} = \frac{{ - 5}}{{ - 5}} = \frac{4}{4}\) nên mặt phẳng (P) ≡ (Q).
d) Đúng. d(A, (P)) = \(\frac{{\left| {4 \cdot \left( { - 2} \right) - 5 \cdot 3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{19}}{{\sqrt {41} }}\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và ba điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục toạ độ. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C .
Khi đó:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (6; 3; 2).
Phương trình của mặt phẳng (P) là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 0\).
Điểm M(3; 0; −2) thuộc mặt phẳng (P).
Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến mặt phẳng (P) bằng \(\frac{6}{7}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; 2; 3) lên Ox, Oy, Oz nên A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3).
Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là:
\(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0\).
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (6; 3; 2).
b) Sai. Phương trình mặt phẳng (P) là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\).
c) Sai. Thay M(3; 0; −2) vào phương trình mặt phẳng (P): 6x + 3y + 2z – 6 = 0.
Ta có 3∙6 + 3∙0 + 2∙(−2) – 6 = 8.
Vậy M không thuộc mặt phẳng (P).
d) Đúng. Ta có d(O, (P)) = \(\frac{{\left| {6 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 6} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{7}\).
Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách d từ A(1; 2; 3) đến mặt phẳng (Oxy).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0.
Nên d(A, (Oxy)) = \(\frac{{\left| 3 \right|}}{{\sqrt 1 }} = 3\).
Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách d từ A(1; 3; −2) đến mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Ta có d(A, (P)) = \(\frac{{\left| {1 + 6 + 4 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 4\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + 4 = 0. Gọi M là điểm thuộc trục Ox có hành độ a (a > 1) và có khoảng cách đến mặt phẳng (P) bằng 2. Tính độ dài đoạn thẳng IM (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1,7
Do M thuộc trục Ox nên M(a; 0; 0).
Ta có d(M, (P)) = \(\frac{{\left| {a + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {a + 4} \right|}}{3} = 2 \Leftrightarrow \left| {a + 4} \right| = 6 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{a = - 10}\end{array}} \right.\).
Do a > 1 nên M(2; 0; 0).
\(\overrightarrow {IM} = \left( {1; - 1; - 1} \right) \Rightarrow IM = \sqrt 3 \) ≈ 1,7.
Trong không gian Oxyz, gọi A và B là hai điểm phân biệt thuộc trục Ox và có khoảng cách đến mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + 4 = 0. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 12
Gọi M(a; 0; 0) thuộc Ox.
Ta có Ta có d(M, (P)) = \(\frac{{\left| {a + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {a + 4} \right|}}{3} = 2 \Leftrightarrow \left| {a + 4} \right| = 6 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{a = - 10}\end{array}} \right.\).
Chọn A(2; 0; 0), B(−10; 0; 0) nên \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 12;0;0} \right)\).
Vậy \(AB = \sqrt {{{12}^2} + {0^2} + {0^2}} = 12\)
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + 3z + 1 = 0 và (Q): x + y + 3z + 5 = 0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1,2
Dễ thấy (P) // (Q).
Chọn M(−1; 0; 0) ∈ (P).
d((P), (Q)) = d(M, (Q)) = \(\frac{{\left| { - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {11} }}\) ≈ 1,2.
Bạn có thích hoạt động này không?
