(tính chất hai góc bằng nhau có cặp cạnh tương ứng vuông góc)

Chứng minh tương tự ta được GH = HE = EF = FG, từ đó suy ra EFGH là hình vuông.

1. Gọi k là trung điểm AC, ta có:

2. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của HF, EG thì KM, KN là các đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác trên

Gọi I là trung điểm của BD, chứng minh tương tự, tam giác IMN vuông cân tại I. Do đó IMKN là hình vuông.

Ta dựng được HK là đường thẳng chứa cạnh hình vuông.

Cách dựng:

• Dựng đường thẳng GI vuông góc với EF tại I.
• Dựng điểm K trên GI sao cho GK = EF
• Dựng đường thẳng AD, BC lần lượt qua E, F vuông góc với HK tại D, C.
• Dựng đường thẳng qua G vuông góc với AD, BD tại A, B

Biện luận: Qua G, có thể vẽ

Với mỗi cách trong ba cách trên, có hai cách chọn K (chẳng hạn trên đường thẳng $GI\perp EH$, có hai điểm K và K’ sao cho GK = GK’ = EF)

Do đó bài toán có  (nghiệm hình). Riêng trường hợp một trong hai điểm K hoặc K’ trùng với điểm thứ tư, bài toán có vô số nghiệm hình.

1. Dựng E’ đối xứng với E qua O, dựng F’ đối xứng với F qua O. Ta xác định được các đường thẳng AB và CD lần lượt đi qua E, F’ và D, E’.

Dựng các điểm M, N là hình chiếu của O lên AB và DC

Dựng các đỉnh A, B, C, D của hình vuông

2. Dựng điểm E’ đối xứng với E qua O, dựng F’ đối xứng F qua O. Đưa bài toán về dựng hình vuông biết bốn điểm thuộc bốn đường thẳng chứa cạnh hình vuông

Phân tích: Gọi C đối xứng với A qua d, mà A thuộc a nên C thuộc a’ đối xứng với a qua d. Mặt khác C thuộc b.

Cách dựng:

• Dựng đường thẳng a’ đối xứng với a qua d, a’ cắt b tại C
• Dựng A đối xứng với C qua d, sau đó dựng B, D.

Biện luận:

• Nếu d cắt các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng a và b, hoặc đường thẳng song song cách đều a và b, bài toán có một nghiệm hình.
• Nếu d song song (hoặc trùng) với một đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng a và b hoặc đường thẳng song song cách đều a và b, bài toán không có nghiệm hình (hoặc vô số nghiệm hình)