Bài tập hình vuông
16 câu hỏi
Gọi M là điểm bất kì trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phái của AB các hình vuông AMCD, BMEF.
1. Chứng minh rằng
2. Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng hàng.
3. Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.
Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là hình vuông.
Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi E, F theo thứ tự là các hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng:
1. BM vuông góc với EF.
2. Các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy.
Cho hình vuông ABCD. Điểm E nằm trong hình vuông sao cho tam giác ECD cân có góc đáy bằng . Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều.
Cho tam giác ABC cân tại A, góc đáy và hình vuông BDEC (các điểm A, D, E nằm cùng phái đối với BC). Hãy xác định dạng của tam giác ADE.
Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng chu vi tam giác CEF bằng nửa chu vi hình vuông khi và chỉ khi
Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh AB. Tia phân giác của góc MCD cắt cạnh AD ở N. Cho biết BM = m, DN = n. Tính độ dài CM theo m và n.
Cho hình vuông A’B’C’D’ nằm trong hình vuông ABCD sao cho thứ tự các đỉnh theo cùng một chiều như nhau (tức là nếu vẽ hai đường tròn, mối đường tròn đi qua các đỉnh của một hình vuông, thì chiều đi trên đường tròn từ A lần lượt B, C, D và từ A’ lần lượt qua B’, C’, D’ là như nhau). Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ là đỉnh của một hình vuông.
(tính chất hai góc bằng nhau có cặp cạnh tương ứng vuông góc)
Chứng minh tương tự ta được GH = HE = EF = FG, từ đó suy ra EFGH là hình vuông.
Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AD, AB sao cho AE = AF. Gọi H là hình chiếu của A trên BE. Tính
Cho điểm M thuộc cạnh CD của hình vuông ABCD. Tia phân giác của góc ABM cắt AD ở I. Chứng minh .
Vẽ ra phái ngoài của một tam giác các hình vuông cạnh là cạnh của tam giác. Chứng minh rằng
1. Các đoạn thẳng nối trung điểm một cạnh của tam giác với tâm các hình vuông dựng trên hai cạnh kia bằng nhau và vuông góc với nhau.
2. Đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông bằng và vuông góc với đoạn thẳng nối tâm hình vuông thứ ba với đỉnh chung của hai hình vuông trước.
Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFG có tâm theo thứ tự M, N. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của EG, BC.
1. Chứng minh rằng KMIN là hình vuông
2. Nếu tam giác ABC có BC cố định và đường cao tương ứng bằng h không đổi thì I chuyển động trên đường tròn nào?
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F,G, H theo thứ tự là tâm các hình vuông có tạnh AB, BC, CD, DA dựng phía ngoài tứ giác. Chứng minh rằng
1. Tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.
2. Trung điểm các đường chéo của tứ giác ABCD, EFGH là đỉnh của một hình vuông.
1. Gọi k là trung điểm AC, ta có:
2. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của HF, EG thì KM, KN là các đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác trên
Gọi I là trung điểm của BD, chứng minh tương tự, tam giác IMN vuông cân tại I. Do đó IMKN là hình vuông.
Cho bốn điểm E, G, F, H. Dựng hình vuông ABCD có bốn đường thẳng chứa cạnh đi qua bốn điểm E, G, F, H.
Ta dựng được HK là đường thẳng chứa cạnh hình vuông.
Cách dựng:
- Dựng đường thẳng GI vuông góc với EF tại I.
- Dựng điểm K trên GI sao cho GK = EF
- Dựng đường thẳng AD, BC lần lượt qua E, F vuông góc với HK tại D, C.
- Dựng đường thẳng qua G vuông góc với AD, BD tại A, B
Biện luận: Qua G, có thể vẽ
Với mỗi cách trong ba cách trên, có hai cách chọn K (chẳng hạn trên đường thẳng , có hai điểm K và K’ sao cho GK = GK’ = EF)
Do đó bài toán có (nghiệm hình). Riêng trường hợp một trong hai điểm K hoặc K’ trùng với điểm thứ tư, bài toán có vô số nghiệm hình.
Cho ba điểm E, O, F. Dựng hình vuoongABCD nhận O là giao điểm đường chéo, E và F thứ tự thuộc
1. Các đường thẳng AB và CD
2. Các đường thẳng AB và BC
1. Dựng E’ đối xứng với E qua O, dựng F’ đối xứng với F qua O. Ta xác định được các đường thẳng AB và CD lần lượt đi qua E, F’ và D, E’.
Dựng các điểm M, N là hình chiếu của O lên AB và DC
Dựng các đỉnh A, B, C, D của hình vuông
2. Dựng điểm E’ đối xứng với E qua O, dựng F’ đối xứng F qua O. Đưa bài toán về dựng hình vuông biết bốn điểm thuộc bốn đường thẳng chứa cạnh hình vuông
Cho ba đường thẳng a, b, c. Dựng hình vuông ABCD có A thuộc a, C thuộc b còn B và D thuộc d.
Phân tích: Gọi C đối xứng với A qua d, mà A thuộc a nên C thuộc a’ đối xứng với a qua d. Mặt khác C thuộc b.
Cách dựng:
- Dựng đường thẳng a’ đối xứng với a qua d, a’ cắt b tại C
- Dựng A đối xứng với C qua d, sau đó dựng B, D.
Biện luận:
- Nếu d cắt các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng a và b, hoặc đường thẳng song song cách đều a và b, bài toán có một nghiệm hình.
- Nếu d song song (hoặc trùng) với một đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng a và b hoặc đường thẳng song song cách đều a và b, bài toán không có nghiệm hình (hoặc vô số nghiệm hình)
