Bài tập Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° có đáp án

Để mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn cho góc từ 0° đến 180° ta thực hiện như sau:

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Gọi (x₀; y₀) là tọa độ của điểm M, ta có:

+ sin của góc α là tung độ y₀ của điểm M, được kí hiệu là sinα;

+ côsin của góc α là hoành độ x₀ của điểm M, được kí hiệu là cosα;

+ tang của α là tỉ số  (x₀ ≠ 0), được kí hiệu là tanα = y0x0;

+ côtang của α là tỉ số (y₀ ≠ 0), được kí hiệu là cotα = x0y0.

Trong tam giác HOM vuông tại H có cạnh huyền OM = 1:

Ta có, sinα= sinHOM^= MHOM = y01=y0;

cosα = cosHOM^ =OHOM = x01=x0;

tanα = MHOH = y0x0;

cotα = OHMH = x0y0.

Vậy sinα = y₀; cosα = x₀ ; tanα = y0x0 ; cotα=x0y0 .

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao choxOM^=135o . Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Vì  xOM^=135onên MOP^=45o, MON^=45o.

Tam giác MOP là tam giác vuông cân với cạnh huyền OM = 1.

cos MOP^ = cos45° = OPOM=OP1=OP

Mà cos45° = 22.

Do đó: OP = 22 .

Tam giác MON vuông tại N có góc MON^=45o và cạnh huyền OM = 1

cos MON^ = cos 45° = ONOM=ON1=ON

Mà cos45° = 22. Do đó: ON = 22 .

Mặt khác, do điểm M nằm bên trái trục tung nên M−22;22.

Vậy theo định nghĩa ta có:

sin135° = 22 ;

cos135° = −22;

tan135° =  – 1;

cot135° =  – 1.

Gọi đường kính của nửa đường tròn đơn vị là AB như hình dưới.

Do NM // Ox nên hai cung bị chắn giữa dây cung NM và đường kính AB bằng nhau, tức là AN⏜=MB⏜

⇒ NOA^=xOM^=α (hai góc ở tâm bằng nhau).

Mặt khác  xON^+ NOA^ = 180° (hai góc kề bù).

⇒ xON^ + xOM^ = 180°.

Vậy xON^ + xOM^  = 180°.

Ta có sin120° = sin(180° – 60°) = sin60° = 32;

cos150° = cos(180° – 30°) = – cos30° = −32 ;

cot135° = cot(180° – 45°) = – cot45° = –1.

Trên trục Oy của nửa đường tròn đơn vị lấy điểm H0;  12.

Từ điểm H kẻ đường thẳng song song với trục Ox, cắt nửa đường tròn tại hai điểm M và M’.

Ta có góc αcần tìm là : xOM^ và xOM'^.

Với α= xOM^ và sinα= 12 ⇒α = 30°.

Mặt khác sin30° = sin(180° – 30°), tức là sin30° = sin150°.

Suy ra xOM'^=150o .

Vậy α = 30° hoặc α = 150°.

Ta có A = sin150° + tan135° + cot45° = 12+(−1)+1= 12.

B = 2cos30° – 3tan150° + cot135° = 2.32−3.−33+(−1)= 23−1.

Vậy A = 12 ; B = 23−1 .

Từ bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt ta có:

a) sinα  = 32 ⇒α  = 60° hoặc α  = 120°.

Vậy α  = 60° hoặc α  = 120°.

b) cosα  = −22⇒α  = 135°.

Vậy α  = 135°.

c) tanα  =  –1 ⇒α  = 135°.

Vậy α  = 135°.

d) cotα  = −3 ⇒α  = 150°.

Vậy α  = 150°.

Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được:

a) cos80°43'51" ≈ 0,161072728

tan147°12'25'' ≈  – 0,644284494

Để tính cot99°9'19" ta tính tan99°9'19" trước.

Ta có: tan99°9'19" ≈– 6,204869911

Suy ra: cot99°9'19" =  1tan99°9'19"≈  – 0,1611637334.

b) α  ≈ 136°18'10".

Ta có E = 2cos30° + sin150° + tan135°

= 2sin(90° – 30°) + sin(180° – 30°) + tan(180° – 45°)

= 2sin60° + sin30° – tan 45° = 2.32+12−1= 23−12.

a) Ta có sin20° = sin(180° – 20°) = sin160° (hai góc bù nhau).

Vậy sin20° = sin160°.

b) Ta có: cos50° = – cos(180° – 50°) = – cos130°   (hai góc bù nhau).

Vậy cos50° = – cos 130°.

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

a) cosα  = −22 ⇒α  = 135°;

Vậy α  = 135°.

b) sinα  = 0 ⇒α  = 0° hoặc α  = 180°;

Vậy α  = 0° hoặc α  = 180°.

c) tanα  = 1 ⇒α  = 45°;

Vậy α  = 45°.

d) cotα  không xác định ⇒ sinα  = 0 ⇒  α  = 0° hoặc α  = 180°;

Vậy α  = 0° hoặc α  = 180°.

a) Trong tam giác ABC ta có:

A^+B^+C^=180o⇒B^+C^=180o−A^.

Khi đó sinA = sin(180°  –  A) = sin(B + C).

Vậy sinA = sin(B + C).

b) cosA = – cos(180° – A) = – cos(B + C).

Vậy cosA = – cos(B + C).

a) Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α.

Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác OPM vuông tại P có cạnh huyền OM = 1.

Ta có: OP² + MP² = OM²

Mà OP = |x₀| ; MP = OQ = y₀ và OM = 1

Suy ra : |x₀|² + y₀² = 1 tức là x₀² + y₀² = 1 (vì |x₀|² = x₀²)

Mặt khác, theo định nghĩa giá trị lượng giác của một góc ta có:

sinα = y₀

cosα = x₀

Suy ra cos² α + sin ² α = x₀² + y₀² = 1

Vậy sin ² α+ cos² α = 1.

b) Với mỗi góc α (0° < α  < 180°, α  ≠ 90°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α .

Khi đó tanα  = y0x0 ; cotα = x0y0;

Suy ra tanα  . cotα  = y0x0. x0y0 = 1.

Vậy tanα  . cotα  = 1 (0° < α  < 180°, α  ≠ 90°).

c) Với α  ≠ 90° ; tanα = và x₀² + y₀² = sin ²α+ cos²α = 1 ; cosα = x₀ ⇒ cos²α = x₀².

Ta có: 1 + tan²α =

1+y0x02=1+y02x²0=x02+y02x²0=1x²0=1cos2α.

Vậy 1 + tan²α = 1cos2α (α ≠ 90°).

d) Với 0° < α < 180° ta có cotα = x0y0 và sinα = y₀ ⇒ sin² α = y₀².

Ta có : 1 + cot²α=

1+x0y02=1+x02y02=x02+y02y02=1y02=1sin2α.

Vậy 1 + cot² α = 1sin2α (0^o < α < 180°).

Ta có A = 2sin²α + 5cos²α 

= 2sin²α + 2cos²α + 3cos²α 

= 2(cos²α  + sin²α ) + 3cos²α

= 2 . 1 + 3. −222= 2 + 3. 12 = 72.

Vậy A = 72 .

a) Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được:

sin168°45'33" ≈ 0,1949334051;

cos17°22'35" ≈ 0,9543634797;

tan156°26'39" ≈  – 0,4359715781;

cot 56°36'42" ≈ 0,6590863967.

b)

i) sinα  = 0,862 ⇒α  ≈ 59°32'31".

ii) cosα  =  – 0,567 ⇒α  ≈ 124°32'29".

iii) tanα  = 0,334 ⇒α≈ 18°28'10".