Bài tập Dùng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) lớp 9 (có lời giải)
25 câu hỏi
Phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b2 – 4ac = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Phương trình vô nghiệm.
Phương trình có vô số nghiệm.
Phương trình có nghiệm kép.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Đáp án đúng là: C
Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b2 – 4ac = 0 nên phương trình này có nghiệm kép.
Phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b2 – 4ac ≥ 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Phương trình vô nghiệm.
Phương trình có nghiệm.
Phương trình có nghiệm kép.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Đáp án đúng là: B
Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b2 – 4ac ≥ 0 tức là ∆ > 0 hoặc ∆ = 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt hoặc có nghiệm kép.
Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm. Ta chọn phương án B.
Cho phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b2 – 4ac > 0. Khi đó, phương trình đã cho có nghiệm là
\({x_1} = {x_2} = - \frac{b}{{2a}}.\)
\({x_1} = \frac{{b - \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.\)
\({x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{a};\,\,{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{a}.\)
\({x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.\)
Đáp án đúng là: D
Vì phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b2 – 4ac > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.\)
Vậy ta chọn phương án D.
Phương trình 3x2 – 7x + 2 = 0 có nghiệm là
x = 1; x = \(\frac{2}{3}.\)
x = 2; x = \[\frac{1}{3}.\]
x = –1; x = \( - \frac{2}{3}.\)
x = –2; x = \(\frac{2}{3}.\)
Đáp án đúng là: B
Phương trình đã cho có ∆ = (–7)2 – 4.3.2 = 25 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5.\)
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) - 5}}{{2 \cdot 3}} = \frac{1}{3};\,\,{x_2} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) + 5}}{{2 \cdot 3}} = 2.\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2; x = \[\frac{1}{3}.\]
Ta chọn phương án B.
Phương trình –4x2 + 12x – 9 = 0 có nghiệm là
x = 0.
\(x = - \frac{3}{2}.\)
\(x = \frac{3}{2}.\)
\(x = - \frac{3}{2};\,\,x = \frac{3}{2}.\)
Đáp án đúng là: C
Phương trình đã cho có ∆' = 62 – (–4).(–9) = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép là \(x = \frac{{ - 6}}{{ - 4}} = \frac{3}{2}.\)
Vậy ta chọn phương án C.
Cho hai phương trình: x2 – 3x + 5 = 0 (1) và 2x2 + 5x + 2 = 0 (2) cùng với các khẳng định sau:
(A) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
(B) Phương trình (2) có nghiệm.
(C) Phương trình (2) có một nghiệm là số nguyên và một nghiệm là số hữu tỉ.
Trong các khẳng định (A), (B) và (C) thì
Cả (A), (B) và (C) đều sai.
Chỉ có (B) đúng.
Chỉ có (C) đúng.
Có 2 khẳng định là đúng.
Đáp án đúng là: D
Xét phương trình x2 – 3x + 5 = 0 (1) có ∆ = (–3)2 – 4.1.5 = –11 < 0 nên phương trình (1) vô nghiệm. Do đó khẳng định (A) là sai.
Xét phương trình 2x2 + 5x + 2 = 0 (2) có ∆ = 52 – 4.2.2 = 9 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3.\)
Do đó phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt (phương trình có nghiệm) là:
\({x_1} = \frac{{ - 5 - 3}}{{2 \cdot 2}} = - 2 \in \mathbb{Z};\,\,{x_2} = \frac{{ - 5 + 3}}{{2 \cdot 2}} = - \frac{1}{2} \in \mathbb{Q}.\)
Như vậy, khẳng định (B) và (C) đều đúng.
Vậy ta chọn phương án D.
>
Cho phương trình x2 – (2m + 1) + m = 0 với m là tham số. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m.
Phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Phương trình vô nghiệm khi \(m < \frac{1}{2}.\)
>
Phương trình có nghiệm kép khi \(m = \frac{1}{2}.\)
Đáp án đúng là: B
Phương trình x2 – (2m + 1) + m = 0 có:
∆ = [–(2m + 1)]2 – 4.1.m = 4m2 + 1.
Với mọi m ta có 4m2 ≥ 0 nên 4m2 + 1 > 0 hay ∆ > 0.
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tức là phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Phương trình 0,5x(x + 2) = (x – 1)2 có nghiệm là
\(x = 3 + \sqrt 7 ;\,\,x = 3 - \sqrt 7 .\)
\(x = - 3 + \sqrt 7 ;\,\,x = - 3 - \sqrt 7 .\)
\(x = 3 + \sqrt 7 ;\,\,x = - 3 - \sqrt 7 .\)
\(x = - 3 + \sqrt 7 ;\,\,x = 3 - \sqrt 7 .\)
Đáp án đúng là: A
Giải phương trình:
0,5x(x + 2) = (x – 1)2
0,5x2 + x = x2 – 2x + 1
0,5x2 – 3x + 1 = 0.
Phương trình trên có ∆ = (–3)2 – 4.0,5.1 = 7 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt 7 }}{{2 \cdot 0,5}} = 3 + \sqrt 7 ;\,\,{x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt 7 }}{{2 \cdot 0,5}} = 3 - \sqrt 7 .\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 3 + \sqrt 7 ;\,\,x = 3 - \sqrt 7 .\)
Phương trình \(\frac{4}{{x + 1}} = \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) có bao nhiêu nghiệm?
0.
1.
2.
3.
Đáp án đúng là: B
Điều kiện xác định: x ≠ –1, x ≠ –2.
\(\frac{4}{{x + 1}} = \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
\(\frac{{4\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
4(x + 2) = –x2 – x + 2
4x + 8 = –x2 – x + 2
x2 + 5x + 6 = 0.
Phương trình trên có ∆ = 52 – 4.1.6 = 1 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1.\)
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - 5 + 1}}{{2 \cdot 1}} = - 2\) (loại); \({x_2} = \frac{{ - 5 - 1}}{{2 \cdot 1}} = - 3\) (thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = –3.
Phương trình \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{x - 2}}{{x + 2}} + \frac{{x - 3}}{{x + 3}} + \frac{{x + 4}}{{x - 4}} = 4\) có bao nhiêu nghiệm dương?
0.
1.
2.
3.
Đáp án đúng là: B
Điều kiện xác định: x ≠ 1, x ≠ –2, x ≠ –3, x ≠ 4.
\(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{x - 2}}{{x + 2}} + \frac{{x - 3}}{{x + 3}} + \frac{{x + 4}}{{x - 4}} = 4\)
\(\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 3}}{{x + 3}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x + 4}}{{x - 4}} - 1} \right) = 0\)
\(\frac{{x + 1 - x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{x - 2 - x - 2}}{{x + 2}} + \frac{{x - 3 - x - 3}}{{x + 3}} + \frac{{x + 4 - x + 4}}{{x - 4}} = 0\)\(\frac{2}{{x - 1}} + \frac{{ - 4}}{{x + 2}} + \frac{{ - 6}}{{x + 3}} + \frac{8}{{x - 4}} = 0\)
\(\frac{2}{{x - 1}} + \frac{{ - 4}}{{x + 2}} + \frac{{ - 6}}{{x + 3}} + \frac{8}{{x - 4}} = 0\)
\[2\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{2}{{x + 2}} - \frac{3}{{x + 3}} + \frac{4}{{x - 4}}} \right) = 0\]
\[\left( {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{4}{{x - 4}}} \right) - \left( {\frac{2}{{x + 2}} + \frac{3}{{x + 3}}} \right) = 0\]
\[\left[ {\frac{{x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} + \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right] - \left[ {\frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right] = 0\]
\[\frac{{x - 4 + 4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 3} \right) + 3\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 0\]
\[\frac{{x - 4 + 4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} - \frac{{2x + 6 + 3x + 6}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 0\]
\[\frac{{5x - 8}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} - \frac{{5x + 12}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 0\]
\[\frac{{\left( {5x - 8} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{\left( {5x + 12} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} = 0\]
(5x – 8)(x + 2)(x + 3) – (5x + 12)(x – 1)(x – 4) = 0
(5x2 + 10x – 8x – 16)(x + 3) – (5x2 – 5x + 12x – 12)(x – 4) = 0
(5x2 + 2x – 16)(x + 3) – (5x2 + 7x – 12)(x – 4) = 0
(5x3 + 15x2 + 2x2 + 6x – 16x – 48) – (5x3 – 20x2 + 7x2 – 28x – 12x + 48) = 0
5x3 + 15x2 + 2x2 + 6x – 16x – 48 – 5x3 + 20x2 – 7x2 + 28x + 12x – 48 = 0
30x2 + 30x – 96 = 0.
5x2 + 5x – 16 = 0
Phương trình này có ∆ = 52 – 4.5.(–16) = 345 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {345} }}{{2 \cdot 5}} = \frac{{ - 5 + \sqrt {345} }}{{10}} > 0\) (thỏa mãn điều kiện xác định);
\({x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {345} }}{{2 \cdot 5}} = \frac{{ - 5 - \sqrt {345} }}{{10}} < 0\) (thỏa mãn điều kiện xác định).
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm dương là \(x = \frac{{ - 5 + \sqrt {345} }}{{10}}.\)
</>
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a \(\neq\) 0) có \(\Delta\) = 0 thì phương trình đó có
nghiệm kép \({{\rm{x}}_1} = {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - {\rm{b}}}}{{2{\rm{a}}}}\).
nghiệm kép \({{\rm{x}}_1} = {{\rm{x}}_2} = \frac{{\rm{b}}}{{2{\rm{a}}}}\).
nghiệm kép \({{\rm{x}}_1} = {{\rm{x}}_2} = \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}}\).
nghiệm kép \({{\rm{x}}_1} = {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - {\rm{b}}}}{{\rm{a}}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Vì phương trình ax2 + bx + c = 0 (a \(\neq\) 0) có \(\Delta\) = 0 nên phương trình đó có nghiệm kép \({{\rm{x}}_1} = {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - {\rm{b}}}}{{2{\rm{a}}}}\).Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a \(\neq\) 0) có \(\Delta\)’ > 0 thì phương trình đó có
nghiệm kép \({{\rm{x}}_1} = {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - {\rm{b'}}}}{{2{\rm{a}}}}\).
2 nghiệm phân biệt \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - {\rm{b'}} + \sqrt {\Delta '} }}{{\rm{a}}}{\rm{;}}\;{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - {\rm{b'}} - \sqrt {\Delta '} }}{{\rm{a}}}\).
2 nghiệm phân biệt \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - {\rm{b'}} + \sqrt {\Delta '} }}{{{\rm{2a}}}}{\rm{;}}\;{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - {\rm{b'}} - \sqrt {\Delta '} }}{{{\rm{2a}}}}\).
nghiệm kép \({{\rm{x}}_1} = {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - {\rm{b'}}}}{{\rm{a}}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vì phương trình ax2 + bx + c = 0 (a \(\neq\) 0) có \(\Delta\)’ > 0 thì phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - {\rm{b'}} + \sqrt {\Delta '} }}{{\rm{a}}}{\rm{;}}\;{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - {\rm{b'}} - \sqrt {\Delta '} }}{{\rm{a}}}\).Tổng các nghiệm của phương trình x2 – 4x + 3 = 0 là
1.
2.
3.
4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\Delta\)’ = (–2)2 – 1.3 = 1 > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm là
\({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 2} \right) + \sqrt 1 }}{1} = 3;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 2} \right) - \sqrt 1 }}{1} = 1\).
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng 4.Phương trình x2 – 3x + 1 = 0 có một nghiệm là
\({\rm{x}} = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}\).
\({\rm{x}} = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}\).
\({\rm{x}} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\).
\({\rm{x}} = - 3 + \sqrt 5 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\Delta\) = (–3)2 – 4.1.1 = 5 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là
\({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt 5 }}{2} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt 5 }}{2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\).
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là \({\rm{x}} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\).Phương trình \(\frac{1}{4}{{\rm{x}}^2} - {\rm{x}} + 1 = 0\) có nghiệm là
x = 2.
x = –2.
\({\rm{x}} = \frac{1}{2}\).
\({\rm{x}} = \frac{{ - 1}}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 = 0\) nên phương trình đã cho có nghiệm: \({\rm{x}} = \frac{{ - \left( { - 1} \right)}}{{2 \cdot \frac{1}{4}}} = 2\).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2.Phương trình (1) có \(\Delta\) = 1.
Phương trình (2) có \(\Delta\) = 5.
Phương trình (1) có hai nghiệm là x = 3; x = 2.
Hai phương trình đã cho có một nghiệm chung.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Phương trình (1) có \(\Delta\) = (–5)2 – 4.1.6 = 1.
Vậy phương trình (1) có \(\Delta\) = 1.
b) Sai.
Phương trình (2) có \(\Delta\) = 12 – 4.1.(–2) = 9.
Vậy phương trình (2) có \(\Delta\) = 9.
c) Đúng.
Vì phương trình (1) có \(\Delta\) = 1 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là
\({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) + \sqrt 1 }}{2} = 3;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) - \sqrt 1 }}{2} = 2\).
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là x = 3; x = 2.
d) Sai.
Vì phương trình (2) có \(\Delta\) = 1 nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là
\({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt 9 }}{2} = 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt 9 }}{2} = - 2\).
Theo c) ta có: Phương trình (1) có hai nghiệm là x = 3; x = 2.
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm chung.Cho phương trình (x + 1)2 – 3x = 2x2 (1), khi đó:
Phương trình (1) đưa được về phương trình x2 + x – 1 = 0.
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Phương trình (1) có nghiệm lớn hơn 3.
Tổng các nghiệm của phương trình (1) bằng 1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
(x + 1)2 – 3x = 2x2
x2 + 2x + 1 – 3x – 2x2 = 0
x2 + x – 1 = 0.
Vậy phương trình (1) đưa được về phương trình x2 + x – 1 = 0 (2).
b) Đúng.
Phương trình (2) có \(\Delta\) = 12 – 4.1.(–1) = 5 > 0 nên phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
c) Sai.
Phương trình (2) có 2 nghiệm là: \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\).
Vậy phương trình (1) không có nghiệm nào lớn hơn 3.
d) Sai.
Tổng các nghiệm của phương trình (1) là: \(\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} = - 1.\)
Vậy tổng các nghiệm của phương trình (1) bằng –1Cho phương trình \({{\rm{x}}^2} + \sqrt 3 {\rm{x}} + 1 = 2 + 2\sqrt 3 {\rm{x}}\;\,\left( 1 \right)\), khi đó:
Phương trình (1) đưa được về phương trình \({{\rm{x}}^2} + \sqrt 3 {\rm{x}} - 1 = 0\).
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình (1) có nghiệm là số âm.
Phương trình x2 = 1 và phương trình (1) có một nghiệm chung.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a)Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
\({{\rm{x}}^2} + \sqrt 3 {\rm{x}} + 1 = 2 + 2\sqrt 3 {\rm{x}}\)
\({{\rm{x}}^2} + \sqrt 3 {\rm{x}} + 1 - 2 - 2\sqrt 3 {\rm{x}} = 0\)
\({{\rm{x}}^2} - \sqrt 3 {\rm{x}} - 1 = 0\).
Vậy phương trình (1) đưa được về phương trình \({{\rm{x}}^2} - \sqrt 3 {\rm{x}} - 1 = 0\) (2).
b) Đúng.
Phương trình (2) có \(\Delta = {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} - 4.1.\left( { - 1} \right) = 7 > 0\) nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c) Đúng.
Phương trình (1) có hai nghiệm là: \({{\rm{x}}_1} = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 7 }}{2};\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 7 }}{2}\).
Vậy phương trình (1) có nghiệm là số âm.
d) Sai.
Phương trình x2 = 1 có hai nghiệm là x = 1; x = –1.
Theo c) ta có: Phương trình (1) có hai nghiệm là: \({{\rm{x}}_1} = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 7 }}{2};\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 7 }}{2}\).
Vậy hai phương trình đã cho không có nghiệm chung.Cho hai phương trình 2x2 – \(2\sqrt 2 \)x + 1 = 0 (1) và x + 2m – 1 = 0 (2). Khi đó:
Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = 0.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình (1) có nghiệm âm.
Để nghiệm của phương trình (1) cũng là nghiệm của (2) thì \({\rm{m}} = \frac{{ - \sqrt 2 + 2}}{4}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a)Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Phương trình (1) có \(\Delta ' = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 2 \cdot 1 = 0\).
Vậy phương trình (1) có \(\Delta\)’ = 0.
b) Sai.
Vì phương trình (1) có \(\Delta\)’ = 0 nên phương trình (1) nghiệm kép.
Vậy phương trình (1) có nghiệm kép.
c) Sai.
Phương trình (1) có nghiệm là: \({\rm{x}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy phương trình (1) không có nghiệm âm.
d) Đúng.
Để 2 phương trình có nghiệm chung thì phương trình (2) có nghiệm \({\rm{x}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Thay \({\rm{x}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) vào phương trình (2) ta có: \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} + {\rm{2m}} - 1 = 0\), suy ra \({\rm{m}} = \frac{{ - \sqrt 2 + 2}}{4}\).
Vậy để phương trình có nghiệm chung thì \({\rm{m}} = \frac{{ - \sqrt 2 + 2}}{4}\).Cho phương trình x2 – 2mx – 2m – 1= 0 (1), khi đó:
Với m = 1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Với m = 1 thì phương trình có nghiệm bé hơn 3.
Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Phương trình (1) luôn có một nghiệm x = 1 với mọi giá trị của m.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b)Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Với m = 1 thì phương trình (1) trở thành:
x2 – 2.1.x – 2.1 – 1= 0
x2 – 2x – 3 = 0 (2).
Phương trình (2) có \(\Delta\)’ = (–1)2 – 1.(–3) = 4 > 0 nên phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy với m = 1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Đúng.
Phương trình (2) có hai nghiệm là: \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt 4 }}{1} = 3;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt 4 }}{1} = - 1\).
Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm bé hơn 3.
c) Đúng.
Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = (–m)2 – 1.(–2m – 1) = m2 + 2m + 1 = (m + 1)2 ≥ 0 với mọi giá trị của m.
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
d) Sai.
Phương trình (1) có 2 nghiệm là:
\({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - {\rm{m}}} \right) + \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} + 1} \right)}^2}} }}{1} = 2{\rm{m}} + 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - {\rm{m}}} \right) - \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} + 1} \right)}^2}} }}{1} = - 1\).
Vậy phương trình (1) luôn có một nghiệm x = –1 với mọi giá trị của m.Tính tích các nghiệm của phương trình (x2 – 1)(x2 – 3x – 18) = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 18
(x2 – 1)(x2 – 3x – 18) = 0
x2 – 1 = 0 hoặc x2 – 3x – 18 = 0.
Với x2 – 1 = 0 thì phương trình có hai nghiệm x = 1, x = –1.
Với x2 – 3x – 18 = 0 ta có \(\Delta\) = (–3)2 – 4.1.(–18) = 81 > 0 nên phương trình đó có 2 nghiệm:
\({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt {81} }}{2} = 6;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt {81} }}{2} = - 3.\)
Vậy tích các nghiệm của phương trình đã cho bằng 18.
Tính tổng các nghiệm của phương trình 4x3 + 2x2 – x = 0.
(Kết quả để dưới dạng số thập phân).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: –0,5
4x3 + 2x2 – x = 0
x(4x2 + 2x – 1) = 0
x = 0 hoặc 4x2 + 2x – 1 = 0.
Phương trình 4x2 + 2x – 1 = 0 có \(\Delta\)’ = 12 – 4.(–1) = 5 > 0 nên phương trình có đó có hai nghiệm là: \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4};\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}\).
Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là: \(0 + \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4} + \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4} = \frac{{ - 1}}{2}\).
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng –0,5.
Cho phương trình x(x + 1) – 2x = 2x2 – 3x – 3. Gọi x = a là nghiệm lớn nhất của phương trình đã cho. Tính giá trị biểu thức T = 2a – 5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
x(x + 1) – 2x = 2x2 – 3x – 3
2x2 – 3x – 3 – x2 – x + 2x = 0
x2 – 2x – 3 = 0 (1).
Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = (–1)2 – 1.(–3) = 4 > 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm
\({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt 4 }}{1} = 3;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt 4 }}{1} = - 1\).
Do đó, a = 3.
Với a = 3 thì T = 2.3 – 5 = 1.
Vậy T = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Biết rằng phương trình x2 – 4mx – 4m = 1 (m là tham số) luôn có 1 nghiệm x = a với mọi giá trị của m. Tính giá trị biểu thức M = 3a – 5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: –8
Vì x2 – 4mx – 4m = 1 nên x2 – 4mx – 4m – 1 = 0 (1).
Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = (–2m)2 – 1.(–4m – 1) = 4m2 + 4m + 1 = (2m + 1)2 ≥ 0 với mọi giá trị của m nên phương trình (1) có hai nghiệm là:
\({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 2{\rm{m}}} \right) + \sqrt {{{\left( {{\rm{2m}} + 1} \right)}^2}} }}{1} = 4{\rm{m}} + 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 2{\rm{m}}} \right) - \sqrt {{{\left( {{\rm{2m}} + 1} \right)}^2}} }}{1} = - 1\).
Do đó, a = –1.
Với a = –1 thì M = 3.(–1) – 5 = –8.
Vậy M = –8 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hai phương trình x2 – 7x + 12 = 0 (1) và x2 + 2mx – 15 = 0 (2). Biết rằng m bằng tổng các nghiệm của phương trình (1), phương trình (2) có bao nhiêu nghiệm dương?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Phương trình (1) có \(\Delta\) = (–7)2 – 4.1.12 = 1 > 0 nên phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt là: \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) + \sqrt 1 }}{2} = 4;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) - \sqrt 1 }}{2} = 3.\)
Suy ra m = 4 + 3 = 7.
Thay m = 7 vào phương trình (2) ta có: x2 + 2.7x – 15 = 0, suy ra x2 + 14x – 15 = 0 (3).
Phương trình (3) có có \(\Delta\)’ = 72 – 1.(–15) = 64 > 0 nên phương trình (3) có hai nghiệm:
\({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - 7 + \sqrt {64} }}{1} = 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 7 - \sqrt {64} }}{1} = - 15\).
Vậy phương trình (2) có một nghiệm dương.
