Bài tập Đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn thức bậc hai lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.              d) Sai.

a) Đúng.

B xác định khi 8x ≥ 0 và 50x ≥ 0, suy ra x ≥ 0. Vậy biểu thức B xác định khi x ≥ 0.

b) Sai.

Với x ≥ 0 thì: \({\rm{B}} = \sqrt {8{\rm{x}}} + \sqrt {50{\rm{x}}} = \sqrt {{2^2} \cdot {\rm{2x}}} + \sqrt {{5^2} \cdot {\rm{2x}}} = 2\sqrt {{\rm{2x}}} + 5\sqrt {{\rm{2x}}} = 7\sqrt {{\rm{2x}}} .\)

Vậy \({\rm{B}} = 7\sqrt {{\rm{2x}}} .\)

c) Đúng.

Ta có: \({\rm{A}} = \sqrt {{2^2} \cdot 5} - 4\sqrt {{3^2} \cdot 5} + 3\sqrt 5 = 2\sqrt 5 - 12\sqrt 5 + 3\sqrt 5 = - 7\sqrt 5 \). Vậy \({\rm{A}} = - 7\sqrt 5 \).

d) Sai.

Vì A + B = 0 nên \(7\sqrt {{\rm{2x}}} - 7\sqrt 5 = 0\)

\(\sqrt {{\rm{2x}}} = \sqrt 5 \)

\({\left( {\sqrt {{\rm{2x}}} } \right)^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}\)

2x = 5

\({\rm{x}} = \frac{5}{2}\) (thỏa mãn).

Vậy có một giá trị của x để A + B = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.              d) Đúng.

a) Đúng.

Bất phương trình xác định khi 5x ≥ 0, 20x ≥ 0 và 125x ≥ 0. Suy ra x ≥ 0.

Vậy bất phương trình xác định khi x ≥ 0.

b) Sai.

Với x ≥ 0 thì: \(\sqrt {20{\rm{x}}} = \sqrt {{2^2} \cdot {\rm{5x}}} = 2\sqrt {5{\rm{x}}} ;\;\,\sqrt {125{\rm{x}}} = \sqrt {{5^2} \cdot 5{\rm{x}}} = 5\sqrt {5{\rm{x}}} .\) Vậy b) sai.

c) Đúng.

\(2\sqrt {5{\rm{x}}} - 3\sqrt {20{\rm{x}}} + 2\sqrt {125{\rm{x}}} < 60\)

\(2\sqrt {5{\rm{x}}} - 6\sqrt {5{\rm{x}}} + 10\sqrt {5{\rm{x}}} < 60\)

\(6\sqrt {5{\rm{x}}} < 60\)

\(\sqrt {5{\rm{x}}} < 10\).

Vậy bất phương trình đã cho biến đổi được về bất phương trình \(\sqrt {5{\rm{x}}} < 10\).

d) Đúng.

Theo c) ta có: \(\sqrt {5{\rm{x}}} < 10\)

5x < 100

x < 20.

Mà x ≥ 0 nên 0 ≤ x < 20. Lại có, x là số tự nhiên nên x Î {0; 1; 2; …; 19}.

Vậy có tất cả 20 số tự nhiên x thỏa mãn bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Sai.                  c) Đúng.              d) Sai.

a) Sai.

A xác định khi \(\frac{{10}}{{{{\rm{x}}^3}}} \ge 0\), suy ra x > 0. Vậy A xác định khi x > 0.

b) Sai.

Với x > 0 ta có: \({\rm{A}} = {\rm{x}}\sqrt {\frac{{10}}{{{{\rm{x}}^3}}}} = \sqrt {\frac{{10{{\rm{x}}^2}}}{{{{\rm{x}}^3}}}} = \sqrt {\frac{{10}}{{\rm{x}}}} .\) Vậy \({\rm{A}} = \sqrt {\frac{{10}}{{\rm{x}}}} .\)

c) Đúng.

\({\rm{B}} = 2\sqrt {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \sqrt {{2^2}\left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)} = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + 2 \cdot \sqrt 3 \cdot 1 + {1^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1.\)

Vậy \({\rm{B}} = \sqrt 3 + 1.\)

d) Sai.

Vì \({\rm{A}} = {\rm{B}} - \sqrt 3 \) nên \(\sqrt {\frac{{10}}{{\rm{x}}}} = \sqrt 3 + 1 - \sqrt 3 \)

\(\sqrt {\frac{{10}}{{\rm{x}}}} = 1\)

\(\frac{{10}}{{\rm{x}}} = 1\)

x = 10 (thỏa mãn).

Vậy có một giá trị của x thỏa mãn \({\rm{A}} = {\rm{B}} - \sqrt 3 \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Sai.                  c) Sai.                  d) Đúng.

a) Sai.

\(2\sqrt {\rm{a}} \) xác định khi a ≥ 0. Vậy a) sai.

b) Sai.

\(3\sqrt 8 = \sqrt {{3^2} \cdot 8} = \sqrt {72} ;\;\,7\sqrt 3 = \sqrt {{7^2} \cdot 3} = \sqrt {147} ;\;\,2\sqrt {\rm{a}} = \sqrt {{\rm{4a}}} .\) Vậy b) sai.

c) Sai.

Vì \(\sqrt {72} < \sqrt {147} \) nên \(3\sqrt 8 < 7\sqrt 3 .\) Vậy c) sai.

d) Đúng.

Để \(2\sqrt {\rm{a}} \) nằm giữa hai số \(3\sqrt 8 \) và \(7\sqrt 3 \) thì \(\sqrt {72} < \sqrt {{\rm{4a}}} < \sqrt {147} \) hay 72 < 4a < 147.

Suy ra 18 < a < 36,75. Mà a là số tự nhiên nên a Î {19; 20; …; 36}.

Vậy có tất cả 18 số tự nhiên a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.        b) Đúng.             c) Đúng.              d) Sai.

a) Đúng.

Điều kiện xác định của Q là x ≥ 0.

b) Đúng.

Ta có: \(Q = \sqrt {12x} + \sqrt {27x} \)

                  \( = \sqrt {4.3x} + \sqrt {9.3x} \)

                   \( = 2\sqrt {3x} + 3\sqrt {3x} \)

                   \( = 5\sqrt {3x} \).

c) Đúng.

Ta có: \(P = \sqrt {27} - 2\sqrt {48} + \sqrt {75} \)

              \( = \sqrt {9.3} - 2\sqrt {16.3} + \sqrt {25.3} \)

              \( = 3\sqrt 3 - 8\sqrt 3 + 5\sqrt 3 \)

               \( = 8\sqrt 3 - 8\sqrt 3 \)

                = 0.

d) Sai.

Ta có: \(P + Q = 0 + 5\sqrt {3x} = 5\sqrt {3x} \)

Để \(P + Q = 10\sqrt 3 \) thì \(5\sqrt {3x} = 10\sqrt 3 \) hay \(\sqrt {3x} = 2\sqrt 3 \).

Suy ra \(\sqrt {3x} = \sqrt {4.3} \) hay \(\sqrt {3x} = \sqrt {12} \).

Do đó, 3x = 12 hay x = 4 (thỏa mãn).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6

Ta có: \(\frac{2}{{{{\rm{x}}^2} - {{\rm{y}}^2}}}\sqrt {\frac{{3\left( {{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{xy}} + {{\rm{y}}^2}} \right)}}{2}} \)

\( = \frac{2}{{\left( {{\rm{x}} - {\rm{y}}} \right)\left( {{\rm{x}} + {\rm{y}}} \right)}}\sqrt {\frac{{3{{\left( {{\rm{x}} + {\rm{y}}} \right)}^2}}}{2}} \)

\( = \frac{2}{{\left( {{\rm{x}} - {\rm{y}}} \right)\left( {{\rm{x}} + {\rm{y}}} \right)}}\left| {{\rm{x}} + {\rm{y}}} \right|\sqrt {\frac{3}{2}} \)

\( = \frac{{2\left( {{\rm{x}} + {\rm{y}}} \right)}}{{\left( {{\rm{x}} - {\rm{y}}} \right)\left( {{\rm{x}} + {\rm{y}}} \right)}}\sqrt {\frac{{3 \cdot 2}}{{{2^2}}}} \) (do x ≥ 0, y ≥ 0 nên x + y ≥ 0)

\( = \frac{2}{{{\rm{x}} - {\rm{y}}}} \cdot \frac{{\sqrt 6 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{{{\rm{x}} - {\rm{y}}}}\).

Do đó, \(\frac{{\sqrt 6 }}{{{\rm{x}} - {\rm{y}}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\) nên x – y = 6 hay x = y + 6. Vậy số thích hợp điền vào “…” là 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Ta có: \({\rm{A}} = \frac{{{\rm{a}} + 2}}{4}\sqrt {\frac{{8{{\rm{a}}^2}}}{{{{\left( {{\rm{a}} + 2} \right)}^2}}}} = \frac{{{\rm{a}} + 2}}{4} \cdot \frac{{2{\rm{a}}\sqrt 2 }}{{{\rm{a}} + 2}} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 2 }}{2},\)\({\rm{B}} = \frac{{\sqrt {{3^2} \cdot 2} - \sqrt 2 }}{4} = \frac{{3\sqrt 2 - \sqrt 2 }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Để A = B thì \(\frac{{{\rm{a}}\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), suy ra a = 1 (thỏa mãn).

Vậy có một giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Điều kiện: x ≠ \(\frac{1}{2}\) và x ≠ \(\frac{{ - 1}}{2}\).

\(\frac{{\sqrt {8{{\rm{x}}^2} + 8{\rm{x}} + 2} }}{{4{{\rm{x}}^2} - 1}} = \sqrt 2 \)

\(\frac{{\sqrt {2\left( {{\rm{4}}{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + 1} \right)} }}{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = \sqrt 2 \)

\(\frac{{\sqrt {2{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}} }}{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = \sqrt 2 \)

\(\frac{{\left| {2{\rm{x}} + 1} \right|\sqrt 2 }}{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = \sqrt 2 \)

\(\frac{{\left| {2{\rm{x}} + 1} \right|}}{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = 1\) (1).

Với x \( > \frac{{ - 1}}{2}\) thì |2x + 1| = 2x + 1, khi đó, phương trình (1) trở thành:

\(\frac{{2{\rm{x}} + 1}}{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = 1\)

\(\frac{1}{{2{\rm{x}} - 1}} = 1\)

2x – 1 = 1

x = 1 (thỏa mãn).

Với x \( < \frac{{ - 1}}{2}\) thì |2x + 1| = –(2x + 1), khi đó, phương trình (1) trở thành:

\(\frac{{ - \left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}}{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = 1\)

\(\frac{1}{{2{\rm{x}} - 1}} = - 1\)

2x – 1 = –1

x = 0 (không thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 9

Điều kiện: x ≥ 1.

\(\frac{1}{{\rm{x}}}\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^3} - 2{{\rm{x}}^2}} + 2\sqrt {\frac{{{\rm{x}} - 1}}{2}} = 8\)

\(\sqrt {\frac{{{\rm{2}}{{\rm{x}}^2}\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}{{{{\rm{x}}^2}}}} + \sqrt {\frac{{{2^2}\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}{2}} = 8\)

\(\sqrt {{\rm{2}}\left( {{\rm{x}} - 1} \right)} + \sqrt {{\rm{2}}\left( {{\rm{x}} - 1} \right)} = 8\)

\(2\sqrt {2\left( {{\rm{x}} - 1} \right)} = 8\)

\(\sqrt {2\left( {{\rm{x}} - 1} \right)} = 4\)

\({\left( {\sqrt {2\left( {{\rm{x}} - 1} \right)} } \right)^2} = {4^2}\)

2(x – 1) = 16

x = 9 (thỏa mãn).

Vậy x = 9 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

\({\rm{A}} = {\rm{xy}}\sqrt {\frac{{\rm{y}}}{{\rm{x}}} + \frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}}} - {\rm{x}}\sqrt {\frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{{{\rm{x}}^2}}}{\rm{ + 1}}} \)

\({\rm{A}} = \sqrt {{{\left( {{\rm{xy}}} \right)}^2}\left( {\frac{{\rm{y}}}{{\rm{x}}} + \frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}}} \right)} - \sqrt {{{\rm{x}}^2}\left( {\frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{{{\rm{x}}^2}}}{\rm{ + 1}}} \right)} \)

\({\rm{A}} = \sqrt {{\rm{x}}{{\rm{y}}^3} + {{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{y}}} - \sqrt {{{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}} \)

\({\rm{A}} = \sqrt {{\rm{xy}}\left( {{{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}} \right)} - \sqrt {{{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}} \)

\({\rm{A}} = \sqrt {{{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}} \left( {\sqrt {{\rm{xy}}} - 1} \right)\).

Vì xy = 1 và x > 0, y > 0 nên \(\sqrt {{\rm{xy}}} - 1 = 0\).

Do đó,\({\rm{A}} = \sqrt {{{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}} \left( {\sqrt {{\rm{xy}}} - 1} \right) = \sqrt {{{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}} .0 = 0\).

Vậy A = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.