Bài tập: Diện tích tam giác

Kẻ đường cao AH

Ta có: S_AMB = 0.5.BM.AH

S_AMC = 0.5.CM.AH

Mà BM = CM (gt)

Þ S_AMB = S_AMC (ĐPCM)

a) Tam giác AGP và PGB có chung đường cao hạ từ đỉnh G và AP = PB nên S_AGP = S_PGB

Tương tự, ta có: S_BGM = S_MGC và S_CGN = S_NGA.

Vì G là trọng tâm DABC Þ AG = 2GM.

Þ S_BGM = $\frac{1}{2}$S_ABG Þ S_BGM = S_AGP = S_PGB.

Chứng minh tương tự, ta suy ra được:

S_AGP = S_PGB = S_BGM = S_MGC = S_CGN = S_NGA

b) Sử dụng kết quả câu a) ta có diện tích mỗi tam giác bằng $\frac{1}{6}$ S_ABC, từ đó suy ra ĐPCM.

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông AHC, tính được AC = 50cm.

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}BC.AH=\frac{1}{2}AC.BK$ 

Þ AC.BK = 2400

Þ BK = 48cm

$S{}_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}AB.AC$

Þ AH.BC = AB.AC (ĐPCM)

$$\begin{gathered} S_{BHC}=\frac{1}{2}HD.BC ; S_{ABC}=\frac{1}{2}AD.BC \\ \Rightarrow \frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}=\frac{HD}{AD} \left(1\right) \end{gathered}$$

Chứng minh tương tự, ta có:

$\frac{S_{AHC}}{S{}_{ABC}}=\frac{HE}{BE} ; \frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}=\frac{HF}{CF}$    (2)

Từ (1) và (2), suy ra được $\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=1$ (ĐPCM)

Vẽ AH ^ BC, MK ^ BC 

$$\begin{gathered} S_{MBC}=S_{MAB}+S_{MAC}=\frac{1}{2}{S}_{ABC} \\ \Rightarrow MK=\frac{1}{2}AH \end{gathered}$$ 

Vì M không nằm  ngoài tam giác nên M nằm trên đoạn thẳng EF//BC và cách BC một khoảng (1/2) AH

Vẽ MH ^ BC, BK ^ AC.

S_AMNB = 3S_MNC

Þ S_ABC = 4S_MNC

Ta có: $\frac{S_{ABC}}{S_{BMC}}=\frac{AC}{MC}=\frac{3}{2}$ 

$\frac{S_{BMC}}{S_{MNC}}=\frac{BC}{NC}=\frac{6}{NC}\Rightarrow \frac{S_{ABC}}{S_{MNC}}=\frac{9}{NC}$ 

Mà S_ABC = 4S_CMN Þ NC = 2,25

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC$ 

Mà AH £ AB

$\Rightarrow S_{ABC}\le \frac{1}{2}AB.BC=6.$ 

Vậy diện tích lớn nhất của DABC là 6cm².

Dấu "=" xảy ra Û AH º BC Û DABC vuông tại B

Đặt BC = a, AC = b, AB = c

Ta có:  $a^2=b^2+c^2 và bc\le \frac{b^2+c^2}{2}$ 

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}bc\le \frac{1}{2}.\frac{b^2+c^2}{2}=\frac{a^2}{4}$ 

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác ABC là $\frac{a^2}{4}$ 

Dấu "=" xảy ra Û b = c Û DABC vuông cân tại A.

Tương tự 1B. Ta được:

$S_{GAB}=S_{GBC}=S_{GCA}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$ 

Þ S_GBC = 10cm²

a) Gọi I là giao điểm của BD và CE.

$BI=\frac{2}{3}BD=6cm,CI=\frac{2}{3}CE=8cm.$ 

Xét DBIC có: BC² =BI² + IC²

Þ DBIC vuông tại I (định lý Pitago đảo)

Þ BD ^ CE (ĐPCM)

b) $S_{BIC}=\frac{1}{2}BI.IC$=24cm²

Tương tự 1B. Ta có $S_{BIC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$ 

Þ S_ABC = 24.3 = 72cm²

$BH=HC=\frac{1}{2}BC = 6cm$

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông AHC, tính được AH = 8cm.

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}BK.AC\Rightarrow BK=9,6cm.$

Gọi độ dài các cạnh cuae hình chữ nhật lần lượt là x và y (Điều kiện: x,y, > 0).

Ta có: x² + y² = 10² = 100

$\Rightarrow S_{ABCD}=x.y\le \frac{x^2+y^2}{2}=\frac{100}{2}=50$ 

Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất bằng 50cm² khi x = y = $\sqrt{50}$ cm, tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.