Bài tập Chứng minh đẳng thức liên quan đến tỉ số lượng giác lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai.            b) Sai.          c) Đúng.           d) Đúng.

a) Sai.

Ta có: A = (cotx + tanx)² = cot²x + 2cotx.tanx + tan²x = cot²x + 2 + tan²x.

b) Sai.

Ta có: B = (cotx – tanx)² = cot²x – 2cotx.tanx + tan²x = cot²x – 2 + tan²x.

Do đó A ≠ B.

c) Đúng.

A + B = cot²x + 2 + tan²x + cot²x – 2 + tan²x = 2cot²x + 2tan²x = 2(cot²x + tan²x).

d) Đúng.

A – B – 4 = cot²x + 2 + tan²x – cot²x + 2 – tan²x – 4 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai.            b) Sai.            c) Đúng.            d) Đúng.

a) Sai.

Ta có: \(C = \frac{{{{\cot }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\cot }^2}x}}\)

\( = \frac{{{{\cot }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\cot }^2}x}} = 1 - \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cot }^2}x}} = 1 - {\cos ^2}x.{\tan ^2}x\)

\( = 1 - {\cos ^2}x.\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 1 - {\sin ^2}x = {\cos ^2}x\).

b) Sai.

D = \(\frac{{\sin x.\cos x}}{{\cot x}} = \sin x.\cos x.\tan x = \sin x.\cos x.\frac{{\sin x}}{{\cos x}} = {\sin ^2}x\).

c) Đúng.

Ta có: C + D = sin²x + cos²x = 1.

d) Đúng.

Có C – D = cos²x – sin²x = 1 – sin²x – sin²x = 1 – 2sin²x.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.        b) Đúng.        c) Sai.                d) Đúng.

a) Đúng.

Vì AM là đường trung tuyến trong tam giác vuông nên AM = MB = MC.

Do đó, tam giác AMC cân tại M.

Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {MCA} = \alpha \).

Do đó, \(\widehat {AMH} = 2\widehat {MCA} = 2\alpha \) (tính chất góc ngoài tam giác)

b) Đúng.

Ta có:

\(\sin 2\alpha = \sin \widehat {AMH} = \frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{2AH}}{{2AM}} = \frac{{2AH}}{{BC}} = \frac{2}{{BC}}.\frac{{AB.AC}}{{BC}} = 2.\frac{{AB}}{{BC}}.\frac{{AC}}{{BC}} = 2\sin \alpha .\cos \alpha \).

c) Sai.

Chứng minh được: $\Delta ABC\backsim \Delta HAC$ (g.g) nên \(\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{BC}}{{AC}}\), do đó \(HC = \frac{{A{C^2}}}{{BC}}\).

Ta có: \(1 + \cos 2\alpha = 1 + \frac{{HM}}{{AM}} = \frac{{HC}}{{AM}} = \frac{{2HC}}{{BC}} = 2.\frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} = 2{\cos ^2}\alpha \).

d) Đúng.

Chứng minh được$\Delta ABC\backsim \Delta HBA$  (g.g) nên \(\frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{AB}}\), do đó \(HB = \frac{{A{B^2}}}{{BC}}\).

Ta có: \(1 - \cos 2\alpha = 1 - \frac{{HM}}{{AM}} = \frac{{HB}}{{AM}} = \frac{{2HB}}{{BC}} = 2.\frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = 2{\sin ^2}\alpha \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.        b) Sai.            c) Sai.                d) Đúng.

a) Đúng.

Vì tam giác ABH vuông tại H nên theo định lí Pythagore, ta có:

\(A{H^2} + H{B^2} = A{B^2}\), do đó \(H{B^2} = A{B^2} - A{H^2}\) (1)

Vì tam giác BHC vuông tại H nên theo định lí Pythagore, ta có:

BH² + HC² = BC², do đó BH² = BC² – HC² (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC² – HC² = AB² – AH² .

b) Sai.

Ta có: \(H{A^2} - H{C^2} = A{B^2} - B{H^2} - B{C^2} + H{B^2} = A{B^2} - B{C^2} = {c^2} - {a^2}\).

c) Sai.

Ta chứng minh được  (g.g)

Do đó, \(\frac{{AH}}{{BA}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) nên AH.AC = AB² hay AH.b = c²

Suy ra \(AH = \frac{{{c^2}}}{b}\).

d) Đúng.

Ta có: \[{b^2} + {\rm{ }}{c^2}--{\rm{ }}2bc.cos\,A = {b^2} + {c^2} - 2bc.\frac{c}{b} = {b^2} + {c^2} - 2{c^2} = {b^2} - {c^2} = {a^2}\].

Do đó, a² = b² + c² – 2bc.cos A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.        b) Sai.            c) Đúng.            d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có \(\sin \alpha = \frac{{AC}}{{BC}}.\)

b) Sai.

Ta có: \(\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}}.\)

c) Đúng.

Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} + \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1.\)

Do đó, sin²α + cos²α = 1.

d) Đúng.

Ta có: \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{{AC}}{{AB}}.\frac{{AB}}{{AC}} = 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 4.

Các đẳng thức thức đúng là: a), b), c), e).

Đẳng thức sai là d) và f), vì:

d) tan²x – 1 = \(\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - 1 = \frac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} \ne {\cos ^2}x\).

f) cotx.sinx = \(\frac{{\cos x}}{{\sin x}}.\sin x = \cos x\).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3

Ta có: BC = HC + HB = 9 + 16 = 25 (cm).

• Chứng minh được $\Delta AHB\backsim \Delta CHA$  (g.g) nên AH² = BH.HC = 9.16 = 144

Suy ra AH = 12 cm.

• Chứng minh được $\Delta BAC\backsim \Delta BHA$ (g.g) nên AB² = BH.BC = 9.25 = 225

Suy ra BC = 15 cm.

• Xét tam giác ABH vuông tại H có: AH = AB.sin B.

         tam giác ACH vuông tại H có AH = AC.sin C.

Do đó, AH² = AB.AC.sin B.sin C.

• Nhận thấy AEEHF là hình chữ nhật do \(\widehat {EAF} = \widehat {AFH} = \widehat {AEF} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {EAH}\).

Mà \(\widehat C = \widehat {EAH}\) (cùng phụ với \(\widehat {CAH}\)) nên \(\widehat C = \widehat {AEF}\).

Từ đây chứng minh được $\Delta ABC\backsim \Delta AFE$ (g.g) nên AE.AB = AF.AC.

Từ đây, nhận thấy có 3 khẳng định đúng là i), ii), iv).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1.

• Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC có: AB² + AC² = BC².

Suy ra BC = 15 cm.

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\) nên AB.AC = AH.BC

Do đó, \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{9.12}}{{15}} = 7,2\,\,\left( {cm} \right)\).

• Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABH có:

AH² + BH² = AB², suy ra BH² = AB² – AH² = 9² – 7,2²

Suy ra BH = 5,4 cm.

• Ta chứng minh được $\Delta EAH\backsim \Delta HAB$ (g.g) nên \(\frac{{AE}}{{HA}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) hay AH² = AE.AB (1)

 Chứng minh được $\Delta DAH\backsim \Delta HAC$ (g.g) nên \(\frac{{AD}}{{HA}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) hay AH² = AC.AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AD.AC hay \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AB}}\).

• Có tam giác ABC vuông tại A nên \(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}\), mà \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AB}}\) nên \(\tan B = \frac{{AE}}{{AD}}\).

Do đó, AE = AD.tan B.

Vậy có 1 khẳng định sai (khẳng định d).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3

• Xét tam giác vuông CKA vuông tại K có: \(\tan C = \frac{{AK}}{{KC}}\).

Xét tam giác vuông AKB vuông tại K có: \(\cot C = \frac{{BK}}{{AK}}\).

Mà \(\widehat C + \widehat B = 90^\circ \) nên tan C = cot B.

Do đó, \(\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{BK}}{{AK}}\) hay AK² = BK.KC = 2.6 = 12 suy ra \(AK = 2\sqrt 3 \,\,cm.\)

• Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AKB được: AB² = AK² + BK²

Suy ra AB = 4 cm.

• Xét tam giác vuông AKC có: \(\tan C = \frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\), suy ra \(\widehat C = 30^\circ \).

Mà \(\widehat {KAC} + \widehat C = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {KAC} = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

• Xét tam giác ABD vuông tại A, ta có: \(\tan \widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{AB}}\) (1)

Ta lại có BD là tia phân giác của góc B nên \(\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\).

Theo tỉ lệ thức, ta có: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{AD + DC}}{{AB + BC}} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\tan ABD = \frac{{AC}}{{AB + BC}}\).

Từ đây, nhận thấy có 3 khẳng định đúng là a), b), d).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

• Xét hai tam giác vuông HOC và FOE, có:

\(\widehat {CHO} = \widehat {EFO} = 90^\circ \)

\(\widehat {HOC} = \widehat {FOE}\) (đối đỉnh)

Do đó, $\Delta HOC\backsim \Delta FOE$  (g.g) suy ra \(\frac{{CH}}{{EF}} = \frac{{OC}}{{OE}}\) (1)

Lại có AD là phân giác góc BAC nên \(\frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{OC}}{{OE}}\) (2)

Từ (1) và (2) có \(\frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{CH}}{{EF}}\).

• Có EF là đường trung bình của tam giác ABH nên \(EF = \frac{1}{2}AH\).

Mà \(\frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{CH}}{{EF}}\) hay \(\frac{{AC}}{{2AE}} = \frac{{CH}}{{2EF}}\) suy ra \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{CH}}{{AH}}\), do đó AC.AH = AB.CH.

Tam giác ABH vuông tại H nên \(AH = AB.\cos \widehat {BAC}\)

Tam giác HBC vuông tại H nên \(CH = BC.\cos \widehat {ACB}\).

Do đó, \(AC.AB.\cos \widehat {BAC} = BC.AB.\cos \widehat {ACB}\) hay \(AC.\cos \widehat {BAC} = BC.\cos \widehat {ACB}\).

Vậy cả 2 khẳng định đều đúng.