Bài tập Áp dụng công thức cộng, công thức nhân đôi lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Biểu thức sinxcosy – cosxsiny bằng
cos(x – y);
cos(x + y);
sin(x – y);
sin(y – x).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Áp dụng công thức cộng lượng giác, ta có: sinxcosy – cosxsiny = sin(x − y).
Biểu thức bằng biểu thức nào sau đây?
;
;
;
.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Có
Cho hai góc a, b thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{5}{{13}},\left( {\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi } \right)\) và \(cos\beta = \frac{3}{5},\left( {0 < \beta < \frac{\pi }{2}} \right)\). Tính giá trị của cos(a − b).
\(\frac{{16}}{{65}}\);
\( - \frac{{18}}{{65}}\);
\(\frac{{18}}{{65}}\);
\( - \frac{{16}}{{65}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Có sin2a + cos2a = 1 mà \(\sin \alpha = \frac{5}{{13}}\) nên \(co{s^2}\alpha = \frac{{144}}{{169}}\).
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên cosa < 0. Do đó \(cos\alpha = - \frac{{12}}{{13}}\).
Có sin2b + cos2b = 1 mà \(cos\beta = \frac{3}{5}\) nên \({\sin ^2}\beta = \frac{{16}}{{25}}\).
Vì \(0 < \beta < \frac{\pi }{2}\) nên sinb > 0. Do đó \(\sin \beta = \frac{4}{5}\).
Áp dụng công thức cộng lượng giác
cos(a − b) = cosa×cosb + sina×sinb = \( - \frac{{12}}{{13}} \cdot \frac{3}{5} + \frac{5}{{13}} \cdot \frac{4}{5} = - \frac{{16}}{{65}}\).
Rút gọn biểu thức sin(a − 17°)cos(a + 13°) − sin(a + 13°)cos(a − 17°) ta được
sin2a;
cos2a;
;
.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có: sin(a − 17°)cos(a + 13°) − sin(a + 13°)cos(a − 17°)
= sin[(a − 17°) − (a + 13°)] = sin (−30°) = .
Cho x, y là các góc nhọn, \(\cot x = \frac{4}{3}\); cot y = 7. Tổng x + y bằng
\(\frac{\pi }{3}\);
\(\frac{\pi }{4}\);
\(\frac{\pi }{6}\);
\(\frac{{2\pi }}{3}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vì \(\cot x = \frac{4}{3}\); cot y = 7 nên \(\tan x = \frac{3}{4}\); \(\tan y = \frac{1}{7}\).
Có \(\tan (x + y)\,\, = \,\,\frac{{\tan x + \tan y}}{{1 - \tan x \cdot \tan y}}\)\( = \,\,\frac{{\frac{3}{4} + \frac{1}{7}}}{{1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{7}}} = 1\) \( \Rightarrow x + y = \frac{\pi }{4}\).
Đẳng thức nào không đúng với mọi x?
;
cos2x = 1 – 2sin2x;
sin2x = 2sinxcosx;
.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
.
Cho . Giá trị của sin2x là
;
;
;
.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vì sin2x + cos2x = 1 mà nên .
Mà nên sinx < 0. Do đó .
Áp dụng công thức nhân đôi có sin2x = 2sinxcosx = .
Trong các công thức sau, công thức nào sai?
;
;
sin3 = 3sin − 4sin3 ;
cos3 = 4cos3 − 3cos.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
.
;
;
;
.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Có
.
Cho . Tính giá trị biểu thức A = tan + cot
;
;
;
.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
A = tan + cot .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
cos2a = 1 – sin2a.
cos2a = cos2a – sin2a.
cos2a = 2cos2a + 1.
cos2a = 2sin2a – 1.
Đáp án đúng là: B
cos2a = cos2a – sin2a.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
cos(a + b) = cosacosb + sinasinb.
sin(a + b) = sinacosb + cosasinb.
sin(a – b) = sinacosb − cosasinb.
cos2a = 1 – 2sin2a.
Đáp án đúng là: A
cos(a + b) = cosacosb – sinasinb.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
sin(a + b) = sinasinb – cosacosb.
cos(a + b) = cosacosb + sinasinb.
sin(a – b) = sinasinb + cosacosb.
cos(a – b) = cosacosb + sinasinb.
Đáp án đúng là: D
cos(a – b) = cosacosb + sinasinb.
Cho tanα = 2. Tính \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\) bằng?
1.
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{{ - 1}}{3}\).
\(\frac{1}{3}\).
Đáp án đúng là: D
\(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \alpha - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{2 - 1}}{{1 + 2 \cdot 1}} = \frac{1}{3}\).
Cho sinx = \(\frac{3}{5}\) với \(\frac{\pi }{2}\) < x < π khi đó \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) bằng?
\(\frac{2}{7}\).
\(\frac{{ - 1}}{7}\).
\(\frac{{ - 2}}{7}\).
\(\frac{1}{7}\).
Đáp án đúng là: D
\[{\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\].
Do đó \(\cos x = \frac{4}{5}\), \(\cos x = \frac{{ - 4}}{5}\). Vì \(\frac{\pi }{2}\) < x < π nên \(\cos x = \frac{{ - 4}}{5}\)
\[\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{\frac{{ - 4}}{5}}} = \frac{{ - 3}}{4}\].
\(\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan x + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan x\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{{ - 3}}{4} + 1}}{{1 - \left( {\frac{{ - 3}}{4}} \right) \cdot 1}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{7}{4}}} = \frac{1}{7}\).
Cho biết \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi }{2}\) < α < π.
Khi đó:
\(\cos \alpha = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\).
\(\sin 2\alpha = \frac{{ - 4\sqrt 2 }}{9}\).
\(\cos 2\alpha = \frac{7}{9}\).
\(\cot 2\alpha = \frac{{7\sqrt 2 }}{8}\).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vì \(\frac{\pi }{2}\) < α < π nên cosα < 0.
Ta có cos2α = 1 – sin2α = 1 − \(\frac{1}{9}\) = \(\frac{8}{9}\) nên cos2α = \(\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\).
b) Đúng. sin2α = 2sinαcosα = 2∙\(\frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}} \right) = \frac{{ - 4\sqrt 2 }}{9}\).
c) Đúng. cos2α = 1 – 2sin2α = 1 − \(2 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{7}{9}\).
d) Sai. tan2α = \(\frac{{\sin 2\alpha }}{{\cos 2\alpha }} = \frac{{ - 4\sqrt 2 }}{7}\), \(\cot 2\alpha = \frac{1}{{\tan 2\alpha }} = \frac{{ - 7\sqrt 2 }}{8}\).
Biết \[\tan a = 2\].
Khi đó:
\(\cot a = \frac{{ - 1}}{2}\).
\[\cos 2a = \frac{{ - 3}}{5}\].
\(\sin 2a = \frac{4}{5}\).
\(\tan 2a = \frac{{ - 4}}{3}\).
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. cota = \[\frac{1}{{\tan a}} = \frac{1}{2}\].
b) Đúng. cos2a = 2cos2a – 1 = \(2 \cdot \left( {\frac{1}{{{{\tan }^2}a + 1}}} \right) - 1 = 2 \cdot \frac{1}{{{2^2} + 1}} - 1 = \frac{{ - 3}}{5}\).
c) Đúng. sin2a = 2sinacosa = 2tanacos2a = \(\frac{{2\tan a}}{{{{\tan }^2}a + 1}} = \frac{4}{5}\).
d) Đúng. tan2a = \(\frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ - 4}}{3}\).
Biết \(\sin 2\alpha = \frac{{ - 4}}{5}\), \(\frac{\pi }{2}\) < α < \(\frac{{3\pi }}{2}\).
Khi đó:
cosα < 0.
2sinαcosα = \(\frac{{ - 4}}{5}\).
\(\cos \alpha = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}\), \(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
\(\cos \alpha = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }}\), \(\sin \alpha = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}\).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vì \(\frac{\pi }{2}\) < α <\(\frac{{3\pi }}{2}\) nên cosα < 0.
b) Đúng. \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{ - 4}}{5}\).
c) Đúng. Ta có hệ phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha = 1}\\{2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{ - 4}}{5}}\end{array}} \right.\) ⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{4}{{25{{\cos }^2}\alpha }} + {{\cos }^2}\alpha = 1}\\{\sin \alpha = \frac{{ - 2}}{{5\cos \alpha }}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{25{{\cos }^4}\alpha - 25{{\cos }^2}\alpha + 4 = 0}\\{\sin \alpha = \frac{{ - 2}}{{5\cos \alpha }}}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\cos }^2}\alpha = \frac{4}{5}}\\{{{\sin }^2}\alpha = \frac{1}{5}}\end{array}} \right.}\\{\sin \alpha = \frac{{ - 2}}{{5\cos \alpha }}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}}\\{\sin \alpha = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }}}\end{array}} \right.}\\{\sin \alpha = \frac{{ - 2}}{{5\cos \alpha }}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }},\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}}\\{\cos \alpha = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }},\sin \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}}\end{array}} \right.\).
d) Sai. cosα = \(\frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }}\), sinα = \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
Cho biết cos2α = \(\frac{5}{9}\) và 0 < α < 90°.
Khi đó:
sinα = \(\frac{{\sqrt {28} }}{9}\).
\(\cos \alpha = \frac{{\sqrt {53} }}{9}\).
\(\tan \alpha = \frac{{\sqrt {371} }}{{53}}\).
\(\cot \alpha = \frac{{\sqrt {371} }}{{14}}\).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. cos2α = \(\frac{5}{9}\), 0 < α < 90°.
sin2α = \(\frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{5}{9}} \right)}^2}}}{2} = \frac{{28}}{{81}} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \alpha = \frac{{\sqrt {28} }}{9}}\\{\sin \alpha = \frac{{ - \sqrt {28} }}{9}}\end{array}} \right.\) .
Vì 0 < α < 90° nên sin α = \(\frac{{\sqrt {28} }}{9}\).
b) Đúng. cos2α = 1 – sin2α = \(1 - {\left( {\frac{{\sqrt {28} }}{9}} \right)^2} = \frac{{53}}{{81}}\)
nên \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt {53} }}{9}\) và \(\cos \alpha = \frac{{ - \sqrt {53} }}{9}\).
Vì 0 < α < 90° nên \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt {53} }}{9}\).
c) Sai. \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{2\sqrt {371} }}{{53}}\).
d) Đúng. \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{{\sqrt {371} }}{{14}}\).
Cho \(\cos a = \frac{3}{4}\), sina > 0, \(\sin b = \frac{3}{5}\) , cosb < 0.
Khi đó:
Giá trị của \[\tan a = \frac{{\sqrt 7 }}{3}\].
Giá trị của \(\cot b = \frac{{ - 2}}{3}\).
Giá trị của cos(a + b) thuộc khoảng \(\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\).
Giá trị của cos2a + cos2b thuộc khoảng \(\left( {\frac{1}{2};1} \right)\).
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. tan2a + 1 = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}a}}\) nên \[\tan a = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}a}} - 1} = \sqrt {\frac{{16}}{9} - 1} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}\].
b) Sai. cot2b + 1 = \(\frac{1}{{{{\sin }^2}b}}\) nên \(\cot b = - \sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}b}} - 1} = - \sqrt {\frac{{25}}{9} - 1} = \frac{{ - 4}}{3}\).
c) Sai. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos a = \frac{3}{4}}\\{\sin a > 0}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \sin a = \sqrt {1 - {{\cos }^2}a} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\)
và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin b = \frac{3}{5}}\\{\cos b < 0}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \cos b = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}b} = \frac{{ - 4}}{5}\).
cos(a + b) = cosacosb – sinasinb = \(\frac{3}{4} \cdot \left( {\frac{{ - 4}}{5}} \right) - \frac{{\sqrt 7 }}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{{ - 3}}{5} \cdot \left( {1 + \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right) \notin \left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\).
d) Sai.\(\cos 2a + \cos 2b = 2{\cos ^2}a - 1 + 1 - 2{\sin ^2}b = 2 \cdot \frac{9}{{16}} - 2 \cdot \frac{9}{{25}} = \frac{{81}}{{200}} = 0,405 \notin \left( {\frac{1}{2};1} \right)\)
Tính giá trị của biểu thức M = cos415° − sin415° + cos215° − sin215° (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Đáp án: 1,7
M = (cos415° − sin415°) + (cos215° − sin215°)
= (cos215° − sin215°)(cos215° + sin215°) + (cos215° − sin215°)
= (cos215° − sin215°) + (cos215° − sin215°) = cos30° + cos30° = \(\sqrt 3 \)≈ 1,7.
Tính giá trị của biểu thức A = \(\sin \frac{\pi }{{48}} \cdot \cos \frac{\pi }{{48}} \cdot \cos \frac{\pi }{{24}} \cdot \cos \frac{\pi }{{12}} \cdot \cos \frac{\pi }{6}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 0,05
A = \(\sin \frac{\pi }{{48}} \cdot \cos \frac{\pi }{{48}} \cdot \cos \frac{\pi }{{24}} \cdot \cos \frac{\pi }{{12}} \cdot \cos \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2} \cdot \sin \frac{\pi }{{24}} \cdot \cos \frac{\pi }{{24}} \cdot \cos \frac{\pi }{{12}} \cdot \cos \frac{\pi }{6}\)
\( = \frac{1}{4} \cdot \sin \frac{\pi }{{12}} \cdot \cos \frac{\pi }{{12}} \cdot \cos \frac{\pi }{6} = \frac{1}{8} \cdot \sin \frac{\pi }{6} \cdot \cos \frac{\pi }{6} = \frac{1}{{16}} \cdot \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{{32}} \approx 0,05\).
Cho góc α thoả mãn \(\sin \alpha = \frac{4}{5}\). Tính P = cos4α (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án: −0,8
Ta có cos2α = 1 – 2sin2α = 1 − \(2 \cdot {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{{ - 7}}{{25}}\).
Nên P = cos4α = 2cos22α – 1 = \(2 \cdot \frac{{49}}{{625}} - 1 = \frac{{ - 527}}{{625}} \approx - 0,8\).
Cho biểu thức sau sin(60° + α) – sin(60° − α). Biết biểu thức có dạng k∙sinα. Khi đó giá trị của k bằng bao nhiêu?
Đáp án: 1
sin(60° + α) – sin(60° − α) = (sin60°cosα + cos60°sinα) – (sin60°cosα – cos60°sinα)
= 2cos60°sinα = 2\( \cdot \frac{1}{2}\sin \alpha = \sin \alpha \).
Cho biểu thức B = sinα∙cosα∙cos2α∙cos4α. Biết biểu thức B có dạng \(\frac{a}{b} \cdot \sin \left( {k\alpha } \right)\). Tính giá trị của T = a + b bằng bao nhiêu?
Đáp án: 9
\(B = \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \cos 2\alpha \cdot \cos 4\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha \cdot \cos 2\alpha \cdot \cos 4\alpha = \frac{1}{4} \cdot \sin 4\alpha \cdot \cos 4\alpha \)
= \(\frac{1}{8}\sin 8\alpha \).
Vậy T = a + b = 1 + 8 = 9.
