Bài 9: Nghiệm của đa thức một biến

Thay x = -1; x = 5 vào đa thức f(x) = x2 – 4x – 5, ta có:

f(-1) = (-1)2 – 4.(-1) – 5 = 1 + 4 – 5 = 0

f(5) = 52 – 4.5 – 5 = 25 – 20 – 5 = 0

Vậy x = -1 và x = 5 là các nghiệm của đa thức f(x) = x2 – 4x – 5

Ta có: 2x + 10 = 0 ⇔ 2x = -10 ⇔ x = -10 : 2 ⇔ x = -5

Vậy x = -5 là nghiệm của đa thức 2x + 10

Ta có: 3x - 1/2 = 0 ⇔ 3x = 1/2 ⇔ x = 1/2 : 3 = 1/6

Vậy x = 1/6 là nghiệm của đa thức 3x - 1/2

Ta có: x2 – x = 0 ⇔ x(x – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x – 1 = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 1

Vậy x = 0 và x = 1 là các nghiệm của đa thức x2 – x

Ta có: (x – 2)(x + 2) = 0 ⇔ x – 2 = 0 hoặc x + 2 = 0

x – 2 = 0 ⇔ x = 2

x + 2 = 0 ⇔ x = -2

Vậy x = 2 và x = -2 là các nghiệm của đa thức (x – 2)(x + 2)

Ta có: (x – 1)(x2 + 1) = 0

Vì x2 ≥ 0 với mọi giá trị của x ∈ R nên:

x2 + 1 > 0 với mọi x ∈ R

Suy ra: (x – 1)(x2 + 1) = 0 ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức (x – 1)(x2 + 1)

Thay x = 1 vào đa thức ax2 + bx + c, ta có:

a.12 + b.1 + c = a + b + c

Vì a + b + c = 0 nên a.12 + b.1 + c = a + b + c = 0

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức ax2 + bx + c khi a + b + c = 0

Thay x = -1 vào đa thức ax2 + bx + c, ta có:

a.(-1)2 + b.(-1) + c = a – b + c

Vì a – b + c = 0 ⇒ a.(-1)2 + b.(-1) + c = a – b + c = 0

Vậy x = -1 là nghiệm của đa thức ax2 + bx + c khi a – b + c = 0

Đa thức f(x) = x2 – 5x + 4 có dạng ax2 + bx+ c trong đó hệ số a = 1, b = -5, c = 4

Ta có: a + b + c = 1 + (-5) + 4 = 1 – 5 + 4 = 0

Theo bài 46, vì a + b + c = 0 nên đa thức f(x) = x2 – 5x + 4 có nghiệm x = 1

Đa thức f(x) = 2x2 + 3x + 1 có dạng ax2 + bx+ c trong đó hệ số a = 2, b = 3, c = 1

Ta có: a – b + c = 2 – 3 + 1 = 0

Theo bài 47, vì a – b + c = 0 nên đa thức f(x) = 2x2 + 3x + 1 có nghiệm x=-1

Ta có: x2 + 2x + 2 = x2 + x + x + 1 + 1

= x(x + 1) + (x + 1) + 1

= (x + 1)(x + 1) + 1 = (x + 1)2 + 1

Vì (x + 1)2 ≥ 0 với mọi x ∈ R, nên (x + 1)2 + 1 > 0 với mọi x ∈ R

Vậy đa thức x2 + 2x + 2 không có nghiệm.

Gọi số cần tìm là a.

Ta có: a2 = a ⇔ a2 – a = 0 ⇔ a (a – 1) = 0 ⇔ a = 0 hoặc a – 1 = 0 ⇔ a = 0 hoặc a = 1

Vậy số cần tìm là 0 hoặc 1.

Gọi số cần tìm là b.

Ta có: b3 = b ⇔ b3 – b = 0 ⇔ b (b2 – 1) = 0

⇔ b = 0 hoặc b2 = 1

⇔ b = 0 hoặc b = 1 hoặc b = -1

Vậy số cần tìm là 0 hoặc 1 hoặc -1.

Thay x = 0 vào đa thức 5x + 10x2, ta có:

5.0 + 10.02 = 0 + 0 = 0

Thay x= - 1/2 vào đa thức 5x + 10x2, ta có:

Suy ra x = 0; x= (-1)/2 là các nghiệm của đa thức 5x + 10x2.

Đáp án đúng là (D) Đa thức x có nghiệm x = 0.