Bài 7: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC

Khi đó A thuộc đường trung trực của BC (1)

Tam giác DBC cân tại D nên DB = DC

Khi đó D thuộc đường trung trực của BC (2)

Tam giác EBC cân tại E nên EB = EC

Khi đó E thuộc đường trung trực của BC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: A, D, E thẳng hàng.

Vì D thuộc đường trung trực của BC nên DB = DC (tính chất đường trung trực)

Vì E thuộc đường trung trực của BC nên EB = EC (tính chất đường trung trực)

Xét ΔBDE và ΔCDE, ta có:

DB = DC (chứng minh trên)

DE cạnh chung

EB = EC (chứng minh trên)

Suy ra: ΔBDE = ΔCDE (c.c.c).

* Nếu AB không vuông góc với d

- Vì điểm C cách đều hai điểm A và B nên C nằm trên đường trung trực của AB.

- Điểm C ∈ d

Vậy C là giao điểm của đường trung trực của AB và đường thẳng d.

Cần dựng đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt đường thẳng d tại C.

Vậy C là điểm cần tìm.

* Nếu AB vuông góc với d

Khi đó đường trung trực của AB song song với đường thẳng d nên không tồn tại điểm C.

Nối MA, MB

Gọi C là giao điểm của MB với đường thẳng d, nối CA

Ta có: MB = MC + CB

Mà CA = CB (tính chất đường trung trực)

Suy ra: MB = MC + CA (1)

Trong ΔMAC, ta có:

MA < MC + CA (bất đẳng thức tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MA < MB

Nối NA, NB. Gọi D là giao điểm của NA với đường thẳng d, nối DB

Ta có: NA = ND + DA

Mà DA = DB (tính chất đường trung trực)

Suy ra: NA = ND + DB (3)

Trong ΔNDB, ta có: NB < ND + DB

(bất đẳng thức tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: NA > NB.

Vì AC = AD (gt) nên A thuộc đường trung trực của CD.

Vì BC = BD (gt) nên B thuộc đường trung trực của CD.

Vì A ≠ B nên AB là đường trung trực của CD.

Vậy AB ⊥ CD.

- Vì A và B là hai điểm nằm trên đường tròn tâm O nên OA = OB.

- Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn AB.

Vì tâm O nằm trên đường thẳng d nên O là giao điểm của đường trung trực của AB và đường thẳng d.

- Dựng đường thẳng m là đường trung trực của AB cắt d tại O.

- Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA (hoặc OB).

* Lưu ý:

- Nếu m // d thì không dựng được tâm O

- Nếu m trùng với d thì có vô số điểm chung O do đó có vô số đường tròn thỏa mãn bài toán.

* Chứng minh thuận

Vì ΔCAB cân tại C nên CA = CB

Suy ra C thuộc đường trung trực của AB

Vì điểm C thay đổi mà ΔCAB luôn cân tại C nên C nằm trên đường trung trực của đường thẳng AB.

* Chứng minh đảo

Trên đường thẳng d lấy điểm C bất ký (C khác trung điểm M của AB).

Nối CA, CB.

Ta có: CA = CB (tính chất đường trung trực)

Suy ra tam giác CAB cân tại C.

Tập hợp các điểm C có tính chất CA = CB và ba điểm A, B, C không thẳng hàng là đường trung trực của AB ( trừ trung điểm M của AB).

Vì Ox là đường trung trực của AB nên:

OB = OA (t/chất đường trung trực) (1)

Vì Oy là đường trung trực của AC nên:

OA = OC (t/chất đường trung trực) (2)

Tư (1) và (2) suy ra: OB = OC.

Vì ΔOAB cân tại O và Ox là đường trung trực của AB nên Ox là đường phân giác của ∠(AOB) (tính chất tam giác cân)

Suy ra: ∠O3 = ∠O4 (3)

Vì tam giác OAC cân tại O và Oy là đường trung trực của AC nên Oy là đường phân giác của ∠(AOC) (tính chất tam giác cân)

Suy ra: ∠O1 = ∠O2 (4)

Từ (3) và (4) suy ra: ∠O1 + ∠O3 = ∠O2 + ∠O4

Ta có: ∠(BOC) = ∠O1 + ∠O3 + ∠O2 + ∠O4

= 2(∠O1 + ∠O3 ) = 2.∠(xOy) = 2.60o = 120o.

Gọi N là giao điểm của BC với đường thẳng a.

* Nếu M ≠ N

Nối MC.

Vì a là đường trung trực của AC và M ∈ a

Suy ra: MA = MC (tính chất đường trung trực) (1)

Trong ΔMBC, ta có:

BC < MB + MC (bất đẳng thức tam giác) (2)

Thay (1) vào (2) ta có: BC < MA + MB

* Nếu M trùng với N

Nối NA. Ta có:

NA = NC (tính chất đường trung trực)

Mà: MA + MB = NA + NB = NC + NB = BC

Vậy: MA + MB ≥ BC

Theo chứng minh trên, khi M trùng với N thì MA + MB = BC bé nhất. Vậy khi M là giao điểm của BC với đường thẳng a thì MA + MB bé nhất.

- Dựng điểm A' sao cho bờ sông là trung trực của AA'.

- Nối A'B cắt bờ sông tại điểm C.

Theo kết quả của bài 62 thì C là điểm cần tìm có khoảng cách CA + CB ngắn nhất.

Vì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB.

Vì N thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên NA = NB.

+) Xét ∆AMN và ∆BMN có:

MA = MB ( chứng minh trên)

NA = NB (chứng minh trên)

MN chung

Suy ra: ∆AMN = ∆BMN (c.c.c) nên các khẳng định (A), (B), (C) sai, (D) đúng.

+) Do tam giác ABD cân tại D nên DA = DB ( định nghĩa tam giác cân).

Suy ra: D nằm trên đường trung trực của AB. (1)

+) Do tam giác ABC là tam giác đều nên CA = CB

Suy ra: C nằm trên đường trung trực của AB (2)

Từ (1) và (2)suy ra: CD là đường trung trực của AB.

+) Do E là trung điểm của AB nên EA = EB

Suy ra E nằm trên đường trung trực của AB

Suy ra, E nằm trên đường thẳng CD.

Do đó, (B) sai .

Chọn B.

Vì D thuộc đường trung trực của BC nên DB = DC. Mặt khác, D ở giữa A và C nên AD + DC = AC hay AD = AC – DC

Nếu BD = 5cm; AC = 8cm, thì CD = BD = 5cm và AD = 8 – 5 = 3 (cm).

Ta có AC = AD + DC = AD + BD = 3,2 + 11,4 = 14,6 (cm).

Vì ba đường trung trực của tam giác đồng quy nên D thuộc đường trung trực của cạnh BC. Mặt khác đường trung trực của cạnh BC đi qua trung điểm của BC nên D là trung điểm của cạnh BC.

+) Xét tam giác ADE và BDE có:

DE chung

DA = DB ( vì DE là đường trung trực của AB)

Suy ra: ∆ADE = ∆ BDE ( cạnh huyền – cạnh góc vuông).

+ Chứng minh tương tự ta có: ∆ADF = ∆ CDF ( cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Từ (1) và (2) suy ra: 

Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của cạnh BC.

Giả sử AM ⊥ BC. Khi đó AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Suy ra AB = AC. Điều này mâu thuẫn với giả thiết AB ≠ AC. Vậy trung tuyến AM không vuông góc với BC.

Ta có |MA − MB| ≥ 0 với một điểm M tùy ý và |MA − MB| = 0 chỉ với các điểm M mà MA = MB, tức là chỉ với các điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Mặt khác M phải thuộc d. Vậy M là giao điểm của đường thẳng d và đường trung trực của đoạn thẳng AB. Có giao điểm này vì AB không vuông góc với d.

Tóm lại: Khi M là giao điểm của d và đường trung trực của đoạn thẳng AB thì |MA − MB| đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 0.