Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc
13 câu hỏi
Hình sau là thước có khoảng cách giữa hai lề song song với nhau bằng h. Để vẽ tia phân giác của góc xOy, ta áp một lề của thước vào cạnh Ox rồi kẻ đường thẳng a theo lề kia, sau đó làm tương tự với cạnh Oy ta kẻ được đường thẳng b. Vì sao giao điểm M của a và b nằm trên tia phân giác của góc xOy?
Kẻ MH ⊥ Ox, MK ⊥ Oy.
Khi đó:
MH là chiều rộng của thước hai lề
MK là chiều rộng của thước hai lề
Mà chiều rộng của thước đó bằng nhau và bằng h nên ta có:
MH = MK = h
Điểm M nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh của góc nên M thuộc tia phân giác của góc xOy.
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng hai đường phân giác của hai góc ngoài tại B và C và đường phân giác trong của góc A cùng đi qua một điểm.
Gọi K là giao điểm của hai tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh B và góc ngoài tại đỉnh C.
Kẻ KE ⊥ BC, KF ⊥ AC, KD ⊥ AB
Vì K nằm trên phân giác của ∠(CBD) nên:
KD = KE (tính chất tia phân giác) (1)
Vì K nằm trên tia phân giác của ∠(BCF) nên:
KE = KF (tính chất tia phân giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: KD = KF
Điểm K nằm trong ∠(BAC) cách đều 2 cạnh AB và AC nên K nằm trên tia phân giác của ∠(BAC) .
Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm D thuộc trung tuyến AM sao cho D cách đều hai cạnh của góc B.
Vì D cách đều hai cạnh của góc B nên D nằm trên đường phân giác của ∠(ABC)
Đồng thời D nằm trên đường trung tuyến AM.
Vậy D là giao điểm của đường phân giác của ∠(ABC) và đường trung tuyến AM
Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng AB và CD.
* Xét điểm M nằm trong góc AOD
Kẻ MH ⊥ OA, MK ⊥ OD
Xét hai tam giác MHO và MKO:
∠(MHO) = ∠(MKO) = 90o
MH = MK
OM cạnh huyền chung
Suy ra: ΔMHO = ΔMKO
(cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Suy ra: ∠(MOH) = ∠(MOK)(2 góc tương ứng)
Hay OM là tia phân giác của ∠(AOD).
* Ngược lại, M nằm trên tia phân giác của ∠(AOD)
Xét hai tam giác vuông MHO và MKO, ta có:
∠(MHO) = ∠(MKO)= 90o
∠(MOH) = ∠(MOK)
OM cạnh huyền chung
Suy ra: ΔMHO = ΔMKO (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra: MH = MK (2 cạnh tương ứng)
Vậy tập hợp các điểm M cách đều OA và OD là tia phân giác Ox của góc AOD.
Tương tự M nằm trong các góc AOC, DOB, BOC thì tập hợp các điểm M là tia phân giác Oy, Oy’, Ox’.
Vậy tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O là hai đường thẳng xx’ và yy’ là đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD.
Để vẽ đường phân giác của góc xOy có đỉnh O nằm ngoài tờ giấy, bạn Minh đã vẽ các điểm A, B như trên hình sau. Đường thẳng AB có là đường phân giác của góc xOy hay không? Vì sao?
Ta có: AD = AE nên A nằm trên tia phân giác của góc xOy
BM = BN nên B nằm trên tia phân giác của góc xOy
Mà A ≠ B nên đường thẳng AB là đường phân giác của góc xOy.
Cho góc xOy bằng 60°, điểm M nằm trong góc đó và cùng cách Ox, Oy một khoảng bằng 2cm. Khi đó đoạn thẳng OM bằng
(A) 2cm;
(B) 3cm;
(C) 4cm;
(D) 5cm
Hãy chọn phương án đúng.
M cách đều Ox và Oy
⇒ M thuộc tia phân giác của góc xOy.
⇒ ∠MOx = 30o
∆MHO vuông có cạnh HM đối diện với góc HOM
*) Áp dụng bài 6.5 ( sách bài tập – tập 1): Nếu tam giác ABC vuông tại A và ∠B = 30o
thì AC= BC/2
⇒ HM = 1/2.OM
⇒ OM = 2.HM = 2.2 = 4 (cm)
Chọn đáp án: C
Cho điểm A nằm trong góc vuông xOy. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A đến Ox, Oy. Biết AM = AN = 3cm. Khi đó
(A) OM = ON > 3cm
(B) OM = ON < 3cm
(C) OM = ON = 3cm
(D) OM ≠ ON
+) Vì A nằm trong góc xOy và cách đều Ox, Oy (AM = AN = 3cm) nên điểm A nằm trên tia phân giác của góc xOy.
Suy ra: OA là tia phân giác của góc xOy.
Suy ra:
+) Tam giác AOM vuông tại M có góc 
nên
Suy ra; tam giác OAM vuông cân tại M nên OM = MA = 3cm.
+) Chứng minh tương tự ta có tam giác OAN vuông cân tại N nên :
ON = NA = 3cm
Vậy OM = ON = 3cm
Chọn C.
Cho góc đỉnh O khác góc bẹt. Từ một điểm M trên tia phân giác của góc O, kẻ các đường vuông góc MA, MB đến hai cạnh của góc này. Chứng minh rằng AB ⊥ OM.
Gọi H là giao điểm của AB và OM.
Xét ΔAOM (vuông tại A) và ΔBOM (vuông tại B) có:
OM chung
∠MOA = ∠MOB ( vì OM là tia phân giác của góc xOy)
⇒ ΔAOM = ΔBOM (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ OA = OB.
+) Xét ΔOAH và ΔBOH có:
OA = OB ( chứng minh trên )
OH chung
∠AOH = ∠BOH ( vì OH là tia phân giác của góc xOy)
⇒ ΔOAH = ΔOBH (c.g.c)
⇒ ∠OHA = ∠OHB. Mà ∠OHA + ∠OHB = 180o ( hai góc kề bù)
⇒ ∠OHA = ∠OHB = 90o
Vậy AB ⊥ OM.
Cho góc đỉnh O khác góc bẹt. Trên hai cạnh của góc O lấy hai điểm C và D, sao cho OC = OD. Hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai cạnh của góc O tại C và D cắt nhau ở E. Chứng minh rằng OE là tia phân giác của góc O.
Xét ΔODE và ΔOCE vuông tại D và C có:
OE chung
OD = OC (gt)
⇒ ΔODE = ΔOCE ( cạnh huyền- cạnh góc vuông)
⇒ ∠DOE = ∠COE
⇒ OE là phân giác của góc O
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm P, Q sao cho AP = AQ. Hai đoạn thẳng CP, BQ cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: Tam giác OBC là tam giác cân.
Ta sẽ chứng minh ΔOBC có hai góc OBC và OCB bằng nhau
ΔABQ và ΔACP có: AB = AC, AQ = AP, ∠A chung
⇒ ΔABQ = ΔACP (c.g.c)
⇒ ∠ABQ = ∠ACP.
Mà ∠ABC = ∠ACB (Vì tam giác ABC cân tại A)
⇒ ∠ABC - ∠ABQ = ∠ACB - ∠ACP hay ∠OBC = ∠OCB
⇒ ΔOBC cân tại O.
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm P, Q sao cho AP = AQ. Hai đoạn thẳng CP, BQ cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: Điểm O cách đều hai cạnh AB, AC.
ΔOBC cân tại O ⇒ OB = OC.
ΔAOB và ΔAOC có: AO chung, AB = AC (giả thiết), OB = OC (cmt)
⇒ ΔAOB = ΔAOC (c.c.c).
⇒ ∠BAO = ∠CAO
⇒ AO là tia phân giác của góc BAC
⇒ O cách đều hai cạnh AB, AC
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm P, Q sao cho AP = AQ. Hai đoạn thẳng CP, BQ cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với nó.
Gọi giao điểm AO với BC là H.
ΔAHB và ΔAHC có:
cạnh AH chung,
AB = AC
∠(BAH) = ∠(CAH) (theo b).
⇒ ΔAHB = ΔAHC (c.g.c)
⇒ HB = HC và ∠(AHB) = ∠(AHC)
Lại có: ∠(AHB) + ∠(AHC) = 180º ( hai góc kề bù)
Suy ra: ∠(AHB) = ∠(AHC) = 90º
tức là AO ⊥ BC và AO đi qua trung điểm của BC.
Cho hai đường thẳng song song a, b và một cát tuyến c. Hai tia phân giác của một cặp góc trong cùng phía cắt nhau tại I. Chứng minh rằng I cách đều ba đường thẳng a, b, c.
Gọi A, B, C lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I đến a, b, c. Xét hai góc trong cùng phía E và F. Do I thuộc tia phân giác của góc E nên IA = IC. (1)
Do I thuộc tia phân giác của góc F nên IC = IB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra IA = IB = IC, tức là I cách đều ba đường thẳng a, b, c.
