Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác

Ta có: 5 + 10 > 12

            5 + 12 > 10

            10 + 12 > 5

Vậy có tam giác mà ba cạnh của nó là 5cm; 10cm; 12cm

Ta có: 1 + 2 < 3,3

Không có tam giác mà ba cạnh của nó là 1m; 2m; 3,3m vì tổng hai cạnh nhỏ hơn cạnh còn lại.

Ta có: 1,2 + 1 = 2,2

Không có tam giác mà ba cạnh của nó là 1,2m; 1m; 2,2m vì tổng hai cạnh bằng cạnh còn lại.

Theo bất đẳng thức tam giác và hệ quả ta có:

            AB - AC < BC < AB + AC (1)

Thay AB = 4cm, AC = 1cm vào (1) ta có:

            4 - 1 < BC < 4 + 1 ⇔ 3 < BC < 5

Vì độ dài cạnh BC là một số nguyên nên BC = 4cm.

Trong ΔAMI ta có:

MA < MI + IA

(theo bất đẳng thức tam giác)

Cộng vào hai vế với MB ta có:

MA + MB < MI + IA + MB

⇒ MA + MB < IB + IA (1)

Trong ΔBIC, ta có:

IB < IC + CB (bất đẳng thức tam giác)

Cộng vào 2 vế với IA ta có:

IB + IA < IC + CB + IA

⇒ IB + IA < CA + CB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MA + MB < IA + IB < CA + CB.

+ Nếu 4 m là độ dài 1 cạnh bên của tam giác. Suy ra, độ dài cạnh bên còn lại là 4 m và độ dài cạnh đáy là 9m.

Ta có: 4 + 4 < 9 (mâu thuẫn với bất đẳng thức tam giác).

Suy ra cạnh 4m là cạnh đáy, cạnh 9m là cạnh bên.

Chu vi của tam giác là: 4 + 9 + 9 = 22 (m).

*Giả sử ∠B ≥ 90o

Vì trong một tam giác cạnh đối diện với góc vuông hoặc góc tù là cạnh lớn nhất nên AC > BC.

Điều này trái với giả thiết cạnh BC là cạnh lớn nhất.

*Giả sử ∠C ≥ 90o

Vì trong một tam giác cạnh đối diện với góc vuông hoặc góc tù là cạnh lớn nhất nên AB > BC.

Điều này trái với giả thiết cạnh BC là cạnh lớn nhất.

Vậy ∠B và ∠C không thể là góc vuông hoặc góc tù (là các góc nhọn).

Vì điểm H nằm giữa B và C nên ta có: BH + HC = BC (1)

Lại có: AB > BH (đường xiên lớn hơn đường vuông góc)

AC > CH (đường xiên lớn hơn đường vuông góc)

Cộng từng vế ta có: AB + AC > BH + CH (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB + AC > BC

Giả sử C là giao điểm của đoạn thẳng AB với đường thẳng d.

Vì C nằm giữa A và B nên ta có:

AC + CB = AB (1)

Lấy điểm C' bất kỳ trên d (C' ≠ C)

Nối AC', BC'

Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác vào ∆ABC', ta có:

AC' + BC' > AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

AC' + C'B > AC + CB.

Vậy điểm C cần tìm là giao điểm của đường thẳng AB với đường thẳng d.

Để biết thành phố B có nhận được tín hiệu không thì phải tính được khoảng cách giữa hai thành phố B và C.

Sử dụng bất đẳng thức của tam giác và hệ quả vào ΔABC, ta có:

AB - AC < BC < AB + AC (1)

Thay các giá trị AB = 70km, AC = 30km vào (1), ta có:

70 - 30 < BC < 70 + 30 ⇔ 40 < BC < 100

Vì BC > 40 nên máy phát sóng để ở C có bán kính hoạt động bằng 40km thì B không nhận được tín hiệu.

Để biết thành phố B có nhận được tín hiệu không thì phải tính được khoảng cách giữa hai thành phố B và C.

Sử dụng bất đẳng thức của tam giác và hệ quả vào ΔABC, ta có:

AB - AC < BC < AB + AC (1)

Thay các giá trị AB = 70km, AC = 30km vào (1), ta có:

70 - 30 < BC < 70 + 30 ⇔ 40 < BC < 100

Vì BC < 100 nên máy phát sóng để ở C có bán kính hoạt động bằng 100km thì B nhận được tín hiệu.

Trong ΔABD, ta có:

AD < AB + BD (bất đẳng thức tam giác) (1)

Trong ΔADC, ta có:

AD < AC + DC (bất đẳng thức tam giác) (2)

Cộng từng vế (1) và (2), ta có:

2AD < AB + BD + AC + DC ⇔ 2AD < AB + AC + BC

Vậy AD < (AB + AC + BC) / 2 .

Trong ΔAMB, ta có:

MA + MB > AB (bất đẳng thức tam giác) (1)

Trong ΔAMC, ta có:

MA + MC > AC (bất đẳng thức tam giác) (2)

Trong ΔBMC, ta có:

MB + MC > BC (bất đẳng thức tam giác) (3)

Cộng từng vế (1), (2) và (3), ta có:

MA + MB + MA + MC + MB + MC > AB + AC + BC

⇔ 2(MA + MB + MC) > AB + AC + BC

Vậy MA + MB + MC > (AB + AC + BC) / 2 

* Trường hợp cạnh bên bằng 3dm:

Ta có: 3 + 3 > 5: tồn tại tam giác có các cạnh với số đo như trên.

Chu vi tam giác cân là: 3 + 3 + 5 = 11 (dm)

* Trường hợp cạnh bên bằng 5dm:

Ta có: 5 + 5 > 3: tồn tại tam giác có các cạnh với số đo như trên.

Chu vi tam giác cân là: 5 + 5 + 3 = 13 (dm)

Giả sử ΔABC có AB = 7cm, AC = 2cm.

Theo định lý và hệ quả của bất đẳng thức tam giác, ta có:

AB - AC < BC < AB + AC

⇒ 7 - 2 < BC < 7 + 2 ⇔ 5 < BC < 9

Vì số đo cạnh BC là một số tự nhiên lẻ nên BC = 7 (cm)

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD.

Xét ΔAMB và ΔDMC, ta có:

MA = MD (theo cách vẽ)

∠(AMB) = ∠(DMC) (đối đỉnh)

MB = MC (gt)

Suy ra: ΔAMB = ΔDMC (c.g.c)

Suy ra: AB = CD (hai cạnh tương ứng)

Trong ΔACD, ta có: AD < AC + CD

(bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: AD < AC + AB

Mà AD = AM + MD = 2AM

Suy ra: 2AM < AC + AB hay 

Bộ ba không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác là 6cm, 7cm, 13cm.

Vì 6+ 7= 13 ( tổng độ dài 2 cạnh bằng độ dài còn lại – mâu thuẫn với bất đẳng thức tam giác).

Chọn (C) 6cm, 7cm, 13cm.

Giả sử độ dài cạnh thứ ba là x ( cm ).

Theo hệ quả về bất đẳng thức tam giác ta có:

10 – 2 < x < 10 + 2

Hay 8 < x < 12

Trong các phương án chỉ có phương án D: 9cm thỏa mãn.

Chọn đáp án (D) 9cm.

Không có, vì 1 + 2 không lớn hơn 3.

Không có, vì 1,2 + 1 không lớn hơn 2,4.

Giả sử cạnh 3 cm là độ dài cạnh bên của tam giác.

Suy ra, độ dài cạnh bên còn lại là 3cm và độ dài cạnh đáy là 7cm.

Ta có: 3 + 3 < 7 mâu thuẫn với bất đẳng thức tam giác.

Do đó, không tồn tại tam giác với độ dài ba cạnh là 3,3,7.

Suy ra: tam giác cân thỏa mãn có cạnh bên bằng 7cm và cạnh đáy bằng 3cm

Giả sử cạnh 2 cm là độ dài cạnh bên của tam giác.

Suy ra, độ dài cạnh bên còn lại là 2cm và độ dài cạnh đáy là 8cm.

Ta có: 2 + 2 < 8 mâu thuẫn với bất đẳng thức tam giác.

Do đó, không tồn tại tam giác với độ dài ba cạnh là 2, 2, 8.

Vậy tam giác thỏa mãn có cạnh bên bằng 8cm và cạnh đáy bằng 2cm

Giả sử cạnh 5 cm là độ dài cạnh bên của tam giác.

Suy ra, độ dài cạnh bên còn lại là 5cm và độ dài cạnh đáy là 10cm.

Ta có: 5 + 5 = 10 mâu thuẫn với bất đẳng thức tam giác.

Do đó, không tồn tại tam giác với độ dài ba cạnh là 5,5,10

Vậy tam giác thỏa mãn có cạnh bên bằng 10cm và cạnh đáy bằng 5cm.

Giả sử CD là một dây của đường tròn bán kính R và AB là một đường kính của nó. Ta có:

- Nếu C, O, D không thẳng hàng thì trong tam giác COD có

CD < OC + OD = 2R = AB.

- Nếu C, O, D thằng hàng thì

CD < OC + OD = R + R = 2R (1)

Do AB là đường kính nên: AB = 2R (2)

Từ (1) và (2) suy ra: CD < AB .

Vậy trong mọi trường hợp ta luôn có đường kính là dây lớn nhất.

- Nếu A, B, C không thẳng hàng thì 3 điểm A, B, C tạo thành 3 đỉnh của 1 tam giác.

Trong tam giác ABC ta có AB + AC > BC

- Nếu A, B, C thẳng hàng và A ở giữa B và C hoặc trùng B, C thì AB + AC = BC

• Nếu A nằm giữa B và C thì AB + AC = BC.

• Nếu B nằm giữa A và C thì AB + BC = AC nên AC > BC.

Suy ra: AC + AB > BC

• Nếu C nằm giữa A và B thì AC + CB = AB nên AB > BC.

Suy ra: AB + AC > BC.

Vậy với ba điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có AB + AC ≥ BC

Vì AB không song song với d nên AB cắt d tại N.

Với điểm M bất kỳ thuộc d mà M không trùng với N thì ta có tam giác MAB.

Theo hệ quả bất đẳng thức tam giác ta có:

|MA−MB| < AB

Khi M ≡ N thì

|MA−MB|= AB

Vậy |MA−MB| lớn nhất là bằng AB, khi đó M ≡ N là giao điểm của hai đường thẳng d và AB.